导数单调性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数单调性
一、 函数求导
[()()]()()f x g x f x g x '''±=± [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=+
2()()()()()
[
]()()
f x f x
g x f x g x g x g x ''-'= 复合函数求导法则
[()]y f g x =的求导和(),()y f g x μμ==的导数间的关系为x x y y μμ'''=•
要诀：1.分清函数的复合关系；2.从外向内“分层求导”，逐一相乘；3.中间变量即时回代 典型例题
例1、 求下列函数的导数
（1）22()353f x x x x =-++
（2）1()ln 1x f x x
+=-
（3）()sin x
f x a x = （4）()tan f x x =
（5）22
()(21)f x x =- （6）1()sin()2
4
f x x π
=+
（7）sin 2()x
f x e = （8）ln(21)
()21
x x f x x +=
-+
（9）ln 21
()x
x f x e += （10）()f x =
（11）()(x
f x x e -=- （12）1()2x
f x xe
x -=+
二、 函数的单调性
在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果
()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．
典型例题
一、求解函数单调性
例2、 已知函数2
()(22)x
f x x x e =+-，求()f x 的单调递减区间.
练习：已知函数1()(()2
x f x x e x -=≥.求函数的单调区间.
例3、已知函数32
()
f x x ax b
=++，讨论()
f x的单调性.
练习1：设函数
2
(x)22ln f a x
x
=-+
（1）当a=1时，求f(x)的单调递减区间；（2）讨论函数f(x)的单调区间.
练习2：设函数讨论的单调性.
练习3：设函数
1
(x)ln
1
x
f a x
x
-
=+
+
，其中a为常数.讨论(x)
f的单调性.
1
()ln().
f x x a x a R
x
=--∈()
f x
二、已知函数解析式（含参数）的单调性，求参数的取值范围
例4：已知函数13)(2
3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.
练习1：若0≥a ，函数x
e ax x x
f )2()(2-=，设)(x f 在]1,1[-上是单调函数，求a 的
取值范围．
练习2：已知函数1)1(2
131)(2
3+-+-=
x a ax x x f 在区间（1，4）上是减函数，在区间（6，∞+）是增函数，求a 的取值范围。
三、 构建新函数，通过新函数单调性，求参数的取值范围（部分可以使用拉格
朗日中值定理）
（1） 讨论函数(x)f 的单调性；
（2） 设1a <-，如果对任意121212,(0,),()()4x x f x f x x x ∈+∞-≥-，求a 的取
值范围.
练习1：已知2
1(x)(1)ln , 1.2
f x ax a x a =
-+-> （1） 讨论函数(x)f 的单调性；
（2） 证明：若5a <，则对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有
1212
()()
1f x f x x x ->--.
练习2：已知函数1ln ()x
f x x
-=
. （1） 讨论函数()y f x =的单调性；
（2） 对任意的212,[,]x x e ∈+∞，有121212
()()f x f x k
x x x x ->-，求k 的取值范围.
答案
二、 函数的单调性
一、求解函数单调性 例2答案：(4,0)-
练习答案：1
5+22
∞单调递减区间：（，1），（，）
52
单调递增区间：（1，） 例3答案：
20-3
23
a
a a
>∞∞时，单调递增区间：（，-）,(0,+)；单调递减区间：(-,0)
0-+a =∞∞时，单调递增区间：（，）
20-03
23
a
a a
<∞∞时，单调递增区间：（，）,(-,+)；单调递减区间：(0,-)
练习1答案：（1）递减区间：(0,1)
（2）0,a ≤∞单调递减区间：(0,+)
1
10,a a a
>∞单调递减区间：(0,)；单调递增区间：(,+) 练习2答案：，①当2≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞∈x 上为单调递增函数；②当2
>a 时，函数)(x f 在)24,0(2--a a 和),24(
2
+∞-+a a 上为单调递增函数；在)2
4,
24(2
2-+--a a a a 上为单调递减函数。 练习3答案：0+a ≥∞时，单调递增区间：（0，）；
1
02
+1+1+1+1,a a a a a
a a a a
-
<<+∞时，-（）-（）单调递增区间：（
,-（）-（）单调递减区间：(0,)