活用“三个二次”的关系解题
21个数学解题技巧
21个数学解题技巧一、代数部分1. 代入法的妙处- 就像给数学式子找个替身一样。
如果有方程，比如y = 2x+1，又知道x = 3，那直接把x = 3代入方程，就像把钥匙插进锁里，“咔哒”一下，y的值就出来了，y=2×3 + 1=7，简单又直接。
2. 配方法的魔法- 这就像给代数式做个造型。
比如说x^2+6x + 5，要把它变成完全平方式。
先看x^2+6x，6x的一半是3x，那就在式子后面加上3^2再减去3^2，就变成(x + 3)^2-9+5=(x + 3)^2-4。
这样就可以轻松地求最值或者解方程啦。
3. 因式分解的窍门- 因式分解就像把一个大的数学“蛋糕”切成小块。
对于二次三项式ax^2+bx + c，如果a = 1，找两个数m和n，使得m + n=b且mn = c，那x^2+bx + c=(x + m)(x + n)。
比如x^2+5x+6，m = 2，n = 3，就可以分解成(x + 2)(x+3)。
4. 换元法的巧思- 这就像是给数学式子换件“衣服”。
假如有个式子(x^2+1)^2-3(x^2+1)+2 = 0，看起来很复杂，那就设t=x^2+1，式子就变成t^2-3t + 2 = 0，这就是个简单的二次方程啦，解出t后再把t=x^2+1代回去求出x。
5. 比例性质的活用- 比例就像数学里的“跷跷板”。
如果(a)/(b)=(c)/(d)，那么ad = bc。
比如说(x)/(3)=(5)/(x)，根据这个性质就得到x^2=15，然后就能求出x=±√(15)啦。
6. 绝对值的处理- 绝对值就像给数字戴了个“安全帽”，里面的数不管正负，出来都是非负的。
如果| x| = 3，那x可能是3或者-3。
要是解| x - 2|=5，就想x - 2 = 5或者x - 2=-5，这样就可以求出x = 7或者x=-3。
7. 方程组的消元术- 解方程组就像在玩消消乐。
对于二元一次方程组2x + 3y=8 3x - 2y=-1，可以通过乘以适当的数让两个方程中某个未知数的系数相同或者相反，然后相加或者相减就把这个未知数消掉了。
人教版数学六年级上学期《期末检测题》含答案
2023-2024学年六年级数学上册期末素养测评卷(考试分数：100分；考试时间：90分钟)一、用心思考,认真填空。
(共15分)面积占阴影部分圆面积的( )%；分针针尖走过的路程是( )厘米。
10．(本题1分)中国建筑中经常能见到“外方内圆”的设计。
图中正方形两个顶点的连线长6dm。
圆与正方形之间的部分(即阴影部分)是( )dm2。
11．(本题1分)A种酒精浓度为40%,B种酒精浓度为36%,C种酒精浓度为35%,它们混合在一起得到了11千克浓度为38.5%的酒精溶液,其中种酒精比种酒精多3千克,则种酒精有( )千克。
12．(本题2分)如下图：从图( )可知222（）成立(填序号)。
在图+=++2a b a ab b※中,是15cm,是10cm,图※阴影部分的周长是( )cm。
二、仔细推敲,判断正误。
(共5分)三、反复比较,合理选择。
(共5分)19．(本题1分)如图是某校六年级学生选择摄影、象棋、武术、十字绣四个兴趣小组的扇形统计图,以下说法错误的是( )。
A ．100B ．200C ．300D ．40021．(本题1分)一辆拖拉机前轮直径80厘米,后轮直径120厘米。
行驶前,两个轮胎的位置如下图所示,当后轮转动5周时,前轮的位置是( )图。
A ．B ．C ．D ．22．(本题1分)在浓度30%的盐水中加入100克水,浓度降到20%,再加入( )克盐,浓度会恢复30%。
A ．约43克B ．约30克C ．约10克D ．约23克四、看清题目,巧思妙算。
(共26分)11719++⨯五、实践操作,探索创新。
(共6分)26．(本题6分)(1)请在下方以点O为圆心画一个周长为12.56厘米的圆。
(2)在O点东偏北30°方向有一点C在圆上,请在图中画出点C的位置。
(3)点C位于点D北偏西50°方向2厘米处。
请在图中画出点D的位置。
六、活学活用,解决问题。
(共43分)27．(本题7分)宣纸质地柔韧,经久耐用,被称为“千年寿纸”。
第16章《 二次根式》核心考点【学生版】
第16章《二次根式》核心专题一点通一、知识篇(一) 二次根式的概念与性质1.下列二次根式中，能与3合并的是（ ） A . 23 B . 12 C . 18 D . 322.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A . 21 B . 8 C . 30 D . 123.使2+x 有意义，x 的取值范围是___________.4.已知y ＝244x x -+-－2，则x －y 的值是__________. 5.已知5＋1的整数部分为a ，小数部分为b ，则2a ＋3b 的值为________.6. 实数a 、b 在数轴上的对应位置如图，则2)1(-b －2)1(-a ＝（ ）A . b －aB . 2a －bC . a －bD . 2＋a －b7.已知2＜a ＜3，化简：122+-a a ＋2)4(-a .(二) 二次根式的乘除8.计算：35×1259×3＝________. 9.计算：23÷181＝_________. 10.已知直角三角形两直角边分别是214cm 和421cm ，则它的面积是_________.11.计算：27×50÷621＝_________. 12.已知a ＜b ，化简b a 3-的结果是___________.(三) 二次根式的加减13. 计算：212－631＋348.14. 计算：(12＋20)－(3－5).15.化简：(1) x x 1832＋812x x －x x 22； (2) (391x x －3231y y )＋(x x 412－325y y ).16. 先化简，再求值：(x x 932＋32y x y )－(x x 12－5x xy ). 其中x ＝3，y ＝31.(四) 二次根式的混合运算17. 计算：(1)3(2－3)＋27＋│6－3│； (2) (6x4x －2x x 1)÷3x .(五) 实际应用18. 长方形的一组邻边长分别为 4π2a 和6πa a 2，它与一个半径为8a 的圆的周长相同. (1)求a 的值； (2)求出此时长方形的周长.(六) 二次根式与规律19. 观察下列各式：2221111++＝1＋211⨯＝1＋(1－21)， 2231211++＝1＋321⨯＝1＋(21－31)， 2241311++＝1＋431⨯＝1＋(31－41)， ……， 请利用你发现的规律，计算：2221111++＋2231211++＋2241311++＋…＋2220241202311++＝_____________.二、技能篇(一) 整体思想20. 已知a －b ＝23－1，a ＋b ＝23＋1，求a 2－b 2的值.21.已知a ＝3－22，b ＝3＋22，求a 2b ＋ab 2的值.22. 已知x ＝215-，y ＝215+，求x 2－xy ＋y 2的值，23.已知x ＝3－1，求x 2＋2x －5的值.24.已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求b a a b +＋2ab 的值.(二) 活用公式25. 化简：(a b ＋b a )2－(a b －b a )2.26. 已知x ＝2－3，求x 2＋(2＋3)x ＋43的值.27. 计算：(1) (3＋2)2023(3－2)2024；(2) (7＋43)5(2－3)10； (3) (3＋2－1)(3－2＋1).(三) 运用配方28. 已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足a 2－12a ＋36＋8-b ＝0，求这个三角形的最大边c 的取值范围.(四) 运用分式的性质29. (1)已知m ＝3＋1，n ＝3－1. ①求m n ＋n m 的值； ②求m n ＋nm 的值.(2)先化简，再求值：22222y x y xy x -+-÷(x 1－y 1)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.三、综合篇30. 运用整体思想求值(1)已知a ＝3＋22，b ＝3－22，则a 2＋b 2＋ab ＝__________；(2)已知x ＝3－2，y ＝3＋2，求x 2－xy ＋y 2的值.31. (分母有理化)观察下列各个二次根式的变形过程：121+＝)12)(12(12-+-＝22)1()2(12--＝12-；231+＝)23)(23(23-+-＝22)2()3(23--＝23-； 341+＝)34)(34(34-+-＝22)3()4(34--＝34-； 请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出11-+n n 的结果是____________； (2)根据你发现的规律，请计算：()20231202320221431321211+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++++.32. 利用因式分解求值：已知a ＞0，b ＞0，且a (a ＋4b )＝3b (a ＋2b ).(1)求b a 的值； (2)求ab a ab a 326-+的值。
高中数学《一元二次不等式及其解法》优秀说课稿(经典、值得收藏)
《一元二次不等式及其解法》优秀说课稿大家好！我是来自***。
今天我说课的内容是人教A版高中数学必修5，第三章第二节《一元二次不等式及其解法》的第一课时。
下面，我将围绕以下四个问题说明我对本节课的理解与设计。
问题一：教什么？一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，它是解不等式的基础和核心。
在高中数学中，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，如函数、数列、导数、解析几何、三角函数等。
概括的说，本节课的地位体现在它的基础性，作用体现在工具性。
根据新课标的要求，结合教材特点和高二学生的认知能力，本节课我确定以下四个层次的教学目标：知识目标：正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法；能力目标：通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；德育目标：学习“三个二次”的关系，体会事物之间普遍联系的辩证思想；情感目标：创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。
而本节课的重点是：一元二次不等式的解法。
问题二：在什么起点教？知识掌握上，学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步的了解。
心理上，高二学生的逻辑推理更加严密，但抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
针对这样的学情，我将本节课的难点确定为：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系。
问题三：怎样教？根据以上分析，教法上我主要采用了问题教学法。
首先通过创设“一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比公司B所需费用少”的情境，让学生发现问题；接着在分析问题的过程中引出了一元二次不等式的定义；最后，在解决问题的基础上获得了一元二次不等式的解法，从而顺利突破难点。
与之相对应的，学生将按照自主探究和小组合作相结合的方法展开学习，在画一画、看一看、说一说、变一变的过程中体会探究新知的乐趣。
数学九年级上册《二次函数的图像与性质(3)》导学案
5.2 二次函数的图像与性质（3）班级______学号_____姓名___________［学习目标］1、理解二次函数y ＝ax 2+k 中a 、k 和m 对函数图像的影响，能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系.2、会用描点法作出函数y ＝ax 2+k 图像，根据图像认识和理解二次函数y ＝ax 2+k 性质. 3、体会本节中图形的变化与 图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），体会数形结合的数学思想。
［活动方案］活动一 思考与探索（一）思考1：二次函数12+=x y 的图像是个什么图形？是抛物线吗？在同一直角坐标系中画出它们的图像.三个图像中对应点的坐标如何变化？ 它们的图像之间有什么关系? 为什么？抛物线12+=x y 的对称轴、顶点、最值、增减性如何？x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y =… … 12+=x y … … 22-=x y……类似的：二次函数k ax y +=2的图像与函数2ax y =的图像有什么关系？ 它的对称轴、顶点、最值、增减性如何？活动二 思考与探索（二）二次函数()23+=x y 的图像是抛物线吗？如果结合下表和看课本P 14-15你的解释是什么？x… -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … 2x y =… … 2)3(+=x y … … 2)3(-=x y……类似的：二次函数()2m x a y +=的图像与二次函数2ax y =的图像有什么关系？它的对称轴、顶点呢？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢活动三 总结与归纳：1、二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、图像的形状，位置的关系是：y=ax 2+k 图像可以看作是由y=ax 2的图像向 平移 个单位得到； y=a （x+m ）2图像可以看作是由y=ax 2的图像向 平移 个单位得到；2、它们的性质是：二次函数y=ax 2+k 中，当a>0时，当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 有最 值，为 .当a ＜0时， . y=a （x+m ）2的性质是什么?活动四例题点评：1、例1：函数y=4x2+5的图像可由y=4x2的图像向平移个单位得到；y=4x2-11的图像可由 y=4x2的图像向平移个单位得到。
初中数学《二次函数的应用》教案
初中数学《二次函数的应用》教案2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。
2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。
情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。
2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。
教学方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。
从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
第九讲 环形跑道(师)
第九讲环形跑道问题一、课堂引入环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
二、典例解析【例题1】【题干】张磊和王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.王亮的速度是180米/分.（1）张磊和王亮同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，张磊的速度是多少米/分？（2）张磊和王亮同时从同一点出发，同一方向跑步，张磊跑多少圈后才能第一次追上王亮？【答案】：解：（1）500÷1－200=300（米/分）．（2）500÷(300－200)=5（分） 300×5÷500=3（圈）．【解析】：⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．张磊的速度是500÷1－200=300（米/分）．⑵在环形的跑道上，张磊要追上王亮，就是张磊比王亮多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500÷(300－200)=5（分） 300×5÷500=3（圈）．【活学活用1】【题干】淘气和笑笑在周长为800米的环形跑道上进行长跑。
淘气的速度是40米/分，笑笑的速度是60米/分。
（1）淘气和笑笑同时从同一地点出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？（2）淘气和笑笑同时从同一地点出发，同一方向跑步，笑笑跑几分钟能第一次追上淘气？【答案】：解：（1）800÷（60+40）=48分）（2）800÷（60-40）=40（分）【活学活用2】【题干】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走（一个顺时针，另一个逆时针），他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.【答案】：解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A 到D 的距离，应该是从A 到C 距离的3倍，即A 到D 是80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.【例题2】【题干】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。
教案用待定系数法求二次函数的解析式
（修改）教案——22.1.4.2用待定系数法求二次函数解析式【教学目标】1.会用待定系数法求二次函数的解析式.2.体验由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式．3.理解二次函数三种形式的本质．【教学重难点】用待定系数法求二次函数的解析式.【教学过程】一．旧知回顾1.回忆所学函数的解析式？一次函数的解析式为__________________；反比例函数的解析式为__________________；二次函数的解析式为______________________________________________________；2.回忆求一次函数和反比例函数的解析式的方法是什么？此法的一般步骤是什么？二．合作探究问题1：二次函数图象上三个点（－2,1）（-1,0）（0,-3），会求这个函数的解析式？变式：一个二次函数，当自变量x=-2时，函数值y=1,当自变量x=-1时，函数值y=0,当自变量x=0时，函数值y=-3,会求这个函数的解析式？归纳：已知三点或三组对应值，求二次函数解析式的方法叫做一般式法.问题2：二次函数图象过点（1，-8）和顶点（-2，1），会求这个二次函数的解析式？变式1：抛物线过点（1，-8），且当x=-2时，y有最值为1，试求出这个二次函数的解析式.变式2：抛物线过点（1，-8），（0，-3），且其对称轴是直线x=-2，试求出这个二次函数的解析式.变式3：抛物线过点（-1，0），（-3，0），（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.归纳：已知顶点坐标或最值或对称轴，求解析式的方法叫做顶点式法.已知抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点式法.要点诠释：在设函数解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的一般式②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值时，可设函数的顶点式已知抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点式法.三．课堂练习1.已知二次函数的图像过点(0, 0)，(1,－3)，(2,-7)三点，求该二次函数解析式.2.若二次函数的图像有最高点为(1,－6)，且经过点(2，－8），求此二次函数的解析式.3.若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0)且过点(3,4)，求此二次函数的解析式.4.如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C 两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．四．课堂小结1.二次函数解析式常见两种表示形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a 、b 、c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a 、h 、k 为常数，a ≠0)；（3）交点式：)0,)()((2121≠--=a x x x x x x a y 是交点横坐标，2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下一设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，))((21x x x x a y --=；二代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；三解：解此方程或方程组，求待定系数；四还：将求出的待定系数还原到解析式中．3.要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式： ① 当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；② 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③ 已知抛物线与x 轴的交点坐标，可设函数的解析式为))((21x x x x a y --=五．教学反思（1）体会解题过程中的数形结合思想与转化思想.（2）活用待定系数法求二次函数的解析式.。
数学分类知识推荐二次函数公式大全
数学分类知识推荐二次函数公式大全二次函数公式：一样地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一样式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a0).(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都能够化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点.“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
事实上《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意差不多一致。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一、学习目标1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。
2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。
二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是：ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)【评注】1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。
＜0 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。
例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答。
【解】二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。
【评注】二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。
它是函数与方程思想的应用范例。
应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。
例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。
【解】一元二次不等式的解集表：【评注】1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。
例4、写出一元二次不等式的解法步骤。
【解】一元二次不等式的解法步骤是：1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。
这步可简记为“使a＞0”。
2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。
3.写出解集：用区间或用大括号表示解集。
部编版九年级语文下册第20课《曹刿论战》课后习题参考答案
小信未孚（名词，信用）
必以信（名词，实情）
小大之狱（助词，的）
公与之乘（代词，代曹刿）
焉又何间焉（句末语气词，相当于“呢”）
惧有伏焉（兼词，于之、于此，在那里）
③词类活用。
神弗福也（名词用作动词，赐福、保佑）
公将鼓之（名词用作动词，击鼓进军）
四、再读课文，疏通文意
1.理解句意。
鲁庄公同曹刿共乘一辆战车，在长勺和齐军作战。庄公（一上阵）就要击鼓进军，曹刿说：“（现在）不行。”齐军擂过三通战鼓后，曹刿说：“可以击鼓进军了。”齐军大败。庄公正要下令追击，曹刿说：“还不行。”（说完就）向下察看车轮碾出的痕迹，登上车前的横木眺望齐国军队，（这才）说：“可以追击了。”于是追击齐军。
战胜齐军后，鲁庄公询问取胜的原因。曹刿答道：“打仗，要靠勇气。第一次击鼓能够鼓起士气，第二次击鼓时士气减弱，第三次击鼓时士气已经穷尽了。敌方的士气已经穷尽而我方的士气正盛，所以打败了他们。（齐是）大国，难以摸清（它的情况），怕的是有埋伏，我发现他们的车印混乱，军旗也倒下了，所以才下令追击他们。”
学习本单元对学生而言有一定难度，所以必须强调一些方法：一是引导学生借助语境推断文言词义，疏通句意、文意；二是指导学生在反复诵读中感受人物的形象，体会诗文的意境；三是要让学生把握文章的写作特色，关注作者布局谋篇、表情达意的妙处。本单元写作“有创意地表达”意在锻炼学生创意表达的能力，培养学生多角度思考的创新意识。名著导读意在指导学生重点阅读外国小说《简·爱》，了解小说中的人物形象和价值观念。
1.借助课文注释疏通文意，积累文言词汇与特殊句式，理解词语古今意义的差别。
2.学习文章的精练笔法与详略安排的技巧。
3.感受先贤的政治智慧，体会他们的责任感和担当精神。
二次函数应用数学教学反思(通用5篇)
二次函数应用数学教学反思（通用5篇）二次函数应用数学教学反思1因教研组活动的安排需要，本周二我作为初四代表出示研讨课，课题为《二次函数的应用——————形如抛物线型》，结合老师的评课反思一下：我的设计思路是：前置补偿（确定二次函数解析式的方法和思路）———————探究新知（由前置补偿第四小题过渡到问题一，目的在于体会数学与实际问题的转化，并得出确定实际问题中解析式的关键在于有实际意义得出关键点的坐标；然后过渡到没有坐标系的实际问题中，该怎么处理，有学生探究并分情况展示，然后比较过程与结果，增加优化意识。
另一方面由实际问题的解决，体会二次函数应用中的数学思想：第一环节，实际意义—→关键点的坐标—→解析式，留意由实际意义到点的坐标转化时的符号，进一步明确解决问题的第二个环节，解析式—→关键点的坐标—→实际意义，留意由坐标到实际意义转化时要取肯定值。
）—————活学活用（解决一个隧道问题，目的加强对思路的理解与体会，从本节课上也提高一下难度，但因时间关系，没有完成）。
评课整理如下：优点：思路比较清楚，过渡比较自然，题后反思比较到位。
缺点：1、孙老师：对学生的评价比较模糊，比如有错误的情况下还打个对号。
2、郭老师：解题步骤需加以规范和总结：一建二设三解四答。
3、张老师：学问总结有些地方不太到位，比如，三种不同的情况为什么a的取值不变？比较三种的优劣时可以从两个方面进行即确定解析式和解决最终实际问题。
这样可以更体会更深刻一些。
4、付主任：本节课有宽度，但缺乏深度，容量比较小，学案可以在浓缩一下，可以将问题一和问题二结合起来。
5、齐主任：课堂模式和反映出来的教学理念比较过时，以学生为主体的教育理念体现的不够突出，假如把这节课放在课改之前可能是一堂好课。
自我反思：1、从郭老师、张老师和孙老师的建议中，我应当加强对课的精细化要求，授课态度要严谨，对学生的一点一滴都要负责任，同时对教材学问的挖掘面面俱到，引领学生对学问能有一个更全面更深化的理解。
一元二次不等式及其解法课件
1 2
, 32
)
【活学活用】
1.已知函数f(x)=(ax-1)·(x+b)，如果不
等式f(x)>0的解集是(-1,3)，则不等式
f(-2x)<0的解集是( A)
(A)(-∞,
3 2
)∪( 12
,+∞)
(B)( 3 , 1) 22
(C)(-∞,
12)∪(
3 2
,+∞)
(D)(
1 2
, 32
)
思维拓展：高次不等式穿根法
基础 篇
例1：解下列一元二次不等式
(1)x2 3x 4 0; (2) x2 x 3 1; (3)2x2 3x 2 0; (4)4x2 12x 9 0.
例1：解下列一元二次不等式
(1)x2 3x 4 0;-，-1 U4，+
(2) x2 x 3 1;-1, 2
专题二
一元二次不等式及其解法
学习目标
❖ 学习目标: 通过复习进一步理解“三个二次”的关 系，掌握一元二次不等式的解法并会实际运用。
❖ 学法指导：体会数形结合、分类讨论的思想方法， 加强计算能力的培养。
❖ 学习重点、难点：一元二次不等式的解法及其步骤、 恒成立问题、实际应用问题。
[导入新知] 【概念回顾】 1．一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是2 的 不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋ bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论；
高中数学人教A版三维设计浙江专版必修讲义第三章 一元二次不等式及其解法含答案
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋ bx＋ c>0(a>0) 的解集 Δ＝ b2－ 4ac ax2＋ bx
有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)
Error!或 x>x2} {x|x1 < x < x2}
解含参数的一元二次不等式时的注意点 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
[活学活用] 设 a∈R，解关于 x 的不等式 ax2＋(1－2a)x－2>0. 解：(1)当 a＝0 时， 不等式可化为 x－2>0，解得 x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
5
1 (2)当 a≠0 时，方程 ax2＋(1－2a)x－2＝0 的两根分别为 2 和－ .
a
1
1
①当 a<－ 时，解不等式得－ <x<2，即原不等式的解集为Error!；
2
a
1 ②当 a＝－ 时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；
2
1
1
③当－ <a<0 时，解不等式得 2<x<－ ，即原不等式的解集为Error!；
4
[活学活用] 1．若不等式 f(x)＝ax2－x－c>0 的解集为(－2,1)，则函数 y＝f(x)的图象为( )
解析：选 B 因为不等式的解集为(－2,1)，所以 a<0，排除 C、D，又与坐标轴交点的 横坐标为－2,1，故选 B.
活用转化思想 提升数学素养
２０２３年８月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀活用转化思想㊀提升数学素养◉南京东山外国语学校㊀殷成叶㊀㊀数学解题的过程也可以看成一个转化的过程,如把复杂的问题简单化,把抽象的问题具体化,把陌生的问题熟悉化,把实际的问题数学化,等等．因此,在数学教学中加强转化思想的教学,对提高学生解题能力㊁提升学生思维品质㊁落实学生数学素养都有着非常重要的作用．笔者结合具体案例,浅谈了转化思想在数学解题中的应用,以期抛砖引玉,唤起同行对培养学生转化思想的重视．１多元变少元在面对多元的代数问题时,学生常常因复杂繁难而望而生畏．解决此类问题最常规的方法就是运用代入消元法和加减消元法,通过消元将多元问题转化为少元乃至一元问题．当然,除了代入消元法和加减消元法外,还可以根据式子的结构特点,探寻元与元之间特殊的关系,采用特殊手段进行消元．不过,无论应用何种方法,其最终目的都是为了消元,以此化繁为简,灵活解决问题．例１㊀若实数a,b满足a＋b２＝１,则２a２＋４b２的最小值㊀㊀㊀．分析:本题是一个二元问题,根据已知无法求出字母a和b的具体值．根据已知a＋b２＝１,易得b２＝１－a,将其代入２a２＋４b２,化简可得２a２＋４b２＝２(a－１)２＋２．又a＝１－b２ɤ１,故当a＝１时,２a２＋４b２取最小值,且最小值为２．由此可见,通过代入法将二元问题转化为一元问题,问题的解决变得容易多了．例２㊀已知aȡ２,m２－２a m＋２＝０,n２－２a n＋２＝０,则(m－１)２＋(n－１)２的最小值是㊀㊀㊀．分析:本题是一个含有参数a的多元问题,乍看上去很难将结论与已知建立联系,但是仔细观察已知条件不难发现m２－２a m＋２＝０与n２－２a n＋２＝０的式子结构是完全相同的,易于联想m,n为一元二次方程x２－２a x＋２＝０的两个实数根,于是可将问题转化为关于字母a的代数式问题,问题迎刃而解．在解题时既要知晓常规的方法,也要去探寻特殊的手段,这样运用常规方法难以解题时不妨从特殊入手,运用特殊的手段来转化,从而将复杂的㊁陌生的问题转化为简单的㊁熟悉的问题．２高次变低次在解方程问题时经常会遇到一些高次方程,此类方程若不能直接求解就需要根据题目的特点将其转化为低次方程处理,进而将问题简单化．例３㊀已知关于x的方程x３＋(a＋１７)x２＋(３８－a)x－５６＝０,它的其中两个根为大于２的两个连续整数,则a＝㊀㊀㊀．分析:本题是一个关于x的三次方程问题,根据已有经验可以尝试将其转化为关于x的一元二次方程来解决．观察方程的特点容易发现,方程各项系数之和等于０,故１是原方程的根．于是方程的左边应该含有因子x－１,提出x－１后,原方程转化为(x－１) [x２＋(a＋１８)x＋５６]＝０．根据已知可得,方程x２＋(a＋１８)x＋５６的其中两个根为大于２的两个连续整数,则设方程的两根分别为x(x＞２)和x＋１,于是有x＋x＋１＝－(a＋１８),x(x＋１)＝５６,{解得a＝－３３,x＝７．例４㊀已知关于x的方程x４＋２x３＋(３＋k)x２＋(２＋k)x＋２k＝０有实数根,且实数根之积为－２,则实数根的平方和为㊀㊀㊀．分析:根据已知可将原方程转化为(x２＋x＋２) (x２＋x＋k)＝０,又x２＋x＋２＝０无实数根,所以x２＋x＋k＝０有实数根,这样就将问题转化成了关于x的一元二次方程问题,问题轻松获解．在解题时,不要急于求成,应善于根据代数式的结构特征将高次问题转化为低次问题,以此优化解题过程,提高解题效率．３次元变主元因受思维定式的影响,当方程中有两个字母a或x时,大多学生会习惯性地将x视为主元,将其看成关于x的方程．其实在解题时,有时候若能换个角度思考,反 客 为 主 ,往往会获得柳暗花明的效果．例５㊀已知关于x的方程x３＋(１－a)x２－２a x＋a２＝０有且只有一个实数根,则实数a的取值范围为㊀㊀㊀．分析:该题是一个关于x的三次方程问题,从常规思路出发,最先想到的就是将高次问题转化为低次３３Copyright©博看网. All Rights Reserved.学生培养２０２３年８月下半月㊀㊀㊀问题来解决．但是根据题目的条件,很难实现这一操作,所以在解题时需要另辟蹊径．因此,不妨将a 看成主元,将问题转化为关于字母a 的二次方程来解．于是原方程转化为a ２－(x ２＋２x )a ＋x ３＋x ２＝０,分解因式得(a －x )(a －x －x ２)＝０,所以x ＝a 或x ２＋x －a ＝０．又原方程仅有一个实数根,故x ２＋x －a ＝０无实数根,即Δ＝１＋４a ＜０,所以a ＜－１４．其实,在解题时会遇到很多类似例５的问题,所以要敢于打破思维定式的束缚,学会从不同角度进行分析,以此化 一筹莫展 为 豁然开朗 ．４方程变函数数学知识是相互联系的,在解题时要学会抓住它们的内在联系,从而通过转化找到解决问题的突破口．例如,一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ʂ０)与二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)有着特殊的内在联系．当y ＝０时,二次函数就转化为了一元二次方程,这样就可以运用方程的思路解决函数问题．同样,也可以将一元二次方程看成是函数值为０时二次函数的特殊形式,利用函数的思想方法解决方程问题．这样借助具体情境进行相互转化,可以拓宽解题思路,给学生耳目一新的感觉．例６㊀求证:方程(x －a )(x －a －b )＝１(a ,b 均为实数)有两个实根,其中一个实根大于a ,一个实根小于a ．分析:本题若直接从方程的角度去思考,则需要对原方程进行变形,运用换元等思路解决问题,过程比较繁琐．若从函数的角度分析,将方程转化为二次函数y ＝(x －a )(x －a －b )－１,则问题就转化为该二次函数图象与x 轴有两个交点,且两点位于点(a ,０)的两侧．于是设二次函数y ＝(x －a )(x －a －b )－１,变形得y ＝x ２－(２a ＋b )x ＋a ２＋a b －１,二次函数的二次项系数为１,故该抛物线开口向上．又当x ＝a 时,y ＝(a －a )(a －a －b )－１＝－１＜０,故此抛物线与x 轴有两个交点,且位于点(a ,０)的两侧．这样将方程问题转化为函数问题,借助函数的性质有效地避免了繁琐的运算,提升了解题效率．５正面变反面凡事都有正㊁反两个方面,数学问题亦是如此．当有些问题从正面思考不易于求解时,不妨从反面出发,运用逆向思维去解决问题,往往会豁然开朗．例７㊀若三个二次函数y １＝x ２＋２m x ＋m ２－m ,y ２＝x ２＋(２m ＋１)x ＋m ２,y ３＝２x ２－４m x ＋２m ２＋m ＋５中,至少有一个函数的图象与x 轴有交点,求m 的取值范围．分析:本题若从正面入手需要分多种情况讨论,解决起来会非常繁琐．根据 正难则反 的原则,不妨从反面入手,则就仅有一种可能,即三个函数与x 轴均无交点,这样可以有效地降低思维的难度,提高解题效率．在解题时,我们习惯于从已知条件出发,运用顺向思维将已知与结论建立联系,但是有时从正面出发可能会遇到各种阻碍,为此在解题时要学会运用逆向思维去思考问题,即从结果出发,通过逆向推理探寻解决问题的突破口．这样通过顺逆的合理转化,不仅可以提高解题效率,还可以培养思维的灵活性,有利于学生解决问题能力的提升．６一般与特殊特殊具有直观㊁易于操作的特点,在解题时,有时候从问题的特性去思考可以达到化繁为简㊁化难为易的目的．不过特殊法有时候不具备说服力,难以体现问题的共性特征,为此在解题时,要处理好一般与特殊的关系,通过恰到好处的转化来提高解题效率．例８㊀计算:２０１９２＋４２０２１２＋２０１７２．分析:本题若直接计算显然计算量比较大．深入思考不难发现,其实２０１９,２０１７,２０２１这三个数之间存在着一种特殊的关系,为此在解本题时不妨从特殊关系入手,尝试借助特殊为解题搭建一个一般化的桥梁,从而运用一般方法解决问题．２０１９比２０１７多２,而比２０２１少２,不妨设２０１９＝x ,则２０１７＝x －２,２０２１＝x ＋２．所以,原式＝x ２＋４(x ＋２)２＋(x －２)２＝x ２＋４２(x ２＋４)＝１２．例９㊀已知二次方程x ２＋２p x ＋２q ＝０有两个实数根(p ,q 为奇数),则方程的根一定是(㊀㊀)．A ．奇数㊀㊀B ．偶数㊀㊀C ．分数㊀㊀D ．无理数分析:本题若直接根据已知条件求解会非常困难,其实本题中无论p ,q 取何奇数,其结论都是唯一的,为此在解题时不妨利用特值法,令p ＝３,q ＝１,代入方程解得x １＝－３＋７,x ２＝－３－７,因此原方程的两根为无理数,故答案为选项D ．特值法是解决一些客观题的常用方法,将一般问题特殊化可以化繁为简,有效地提高解题效率．总之,数学题目是复杂多变的,解题方法也是丰富多彩的,在解题时要善于从不同角度分析,合理应用转化,以此优化解题过程,提高解题效率．Z ４３Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高一数学二次函数知识点归纳
高一数学二次函数知识点归纳为了协助考生们了解更多高中知识点，查字典数学网分享了高一数学二次函数知识点归结，供您参考!I.定义与定义表达式普通地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决议函数的启齿方向，a0时，启齿方向向上，a0时，启齿方向向下，IaI还可以决议启齿大小，IaI越大启齿就越小，IaI越小启齿就越大.)那么称y为x的二次函数。
二次函数表达式的左边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式普通式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种方式的相互转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线独一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决议抛物线的启齿方向和大小。
当a0时，抛物线向上启齿;当a0时，抛物线向下启齿。
|a|越大，那么抛物线的启齿越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决议对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决议抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
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所 以， 当 ｍ一 一÷ 时 ， 抛物 线 的对 称 轴 为
Ｙ轴 ．
是否有解 的过程 ； 一 元 二 次不 等 式 口 ｚ ＋ｂ ｘ４ － ｆ ＞０ （ 或 ＜０ ） （ ｎ ≠Ｏ ） 是 探 究 未 知数 ｚ满 足 条 件 的 范 围 的 过 程 ． 从 图像 上 看 ， 三 者实 际 上是 紧 密联 系 的 ， 还 可 以 相 互 转 化： 二 次 函 数 —ｎ ＋６ ＋ｃ （ ｎ ≠０ ） 研 究 的 某 一 变 化 过 程 的全
■ 例 ２ 当 ｋ取 何 值 时 ， 方 程 ＋ ４ ｘ ＋４ ｋ — 刘 ｋ 一０的 一 个 根 大 于 ３ ， 另一个根 小于 ３ ７ 其
分析 ： 如果 一元 二 次 方 程 ｎ ｚ ＋ｂ ｘ＋ ｆ 一０ 明 （ 。 ≠Ｏ ） 的两 个 实 根 ｚ 、 ｚ ， 满 足 条件 ｚ ＜３ ＜ ． ２ ， ２ ２ ， 则 相应 的 二 次 函 数 ＝ｎ ｚ 。 ＋６ ＋ｃ （ 口 ≠Ｏ ） 图
二次不等式ｎ ｚ ＋６ ｚ ＋ ｆ ＞ Ｏ （ 或＜Ｏ ） 中可以通过观察二次函 数 由图１ 可知： 当 一 ３ 时， ＜Ｏ ， 即一 。 ＋４ ＋２ １ ＜Ｏ ， 通过 掌 的图像来确定自变量 ３ ／ ＂ 的取值范围． 总之“ △ ” 可以说是用一条 二次函数 ：一 ４ － ４ ｋ ＋２ １ 的图像可得 ＜～３ 或ｋ ＞７ ． 饼
． ・ ． 当６ ＜ ／ 一
大于 ３ ． 例３ 如果一元 二 次不 等式 口 ｚ ＋ｎ ｂ 一 ｌ ＜ｘ ＜２ ， 试 求 。与 ｂ的值 ． 分析 ： 首先把不等式转化为二 次 函数 ， 设 ６ ， 因 为一 元 二 次不 等式 ｎ ｚ ｚ ＋。 ｂ ＋６ ＞ ０的ｉ 对二次函数来说 ， 就是 当 １ ＜ｚ ＜ ２时 ， ＞ Ｏ ． 一元二次方程 。 ｚ ＋ａ ｂ ｘ ４ － ｂ ＝０的 两 个 根 分 据 一 元 二 次 方 程 的跟 与 系数 关 系 ， 可 以确 定 ｃ 解： ‘ ． ‘ 一元二次不等式 ｎ ｚ ＋ｎ ｂ
本 文 中的 三个 “ 二次” 是指 ： 二 次 函数 ＝Ｏ ． Ｘ 。 ＋ｂ ｘ ＋ｃ （ ａ ≠ ０ ） ， 一元二次 方 程 口 ＋ｂ ｘ＋ ｃ ＝０ （ 口 ≠ｏ ） ， 一 元 二 次 不 等 式
口 ＋ｂ ｘ ＋ｆ ＞ ０或 ＜ ０ （ ｎ ≠０ ） ． 在初 中数学 学习 中， 二 次函数 、
即 ｛ ｌ 一 — － （ ５ ｍ — － ￣ ３ ） 一 ± 一 ｎ
２（ ２ｍ 一 １ ） ２（ ２ ｍ 一 １）
解得 ｍ一一÷ ．
从 形式 上看 ， 三者 研 究 的重 点 的确 不 同： 二 次 函 数 Ｙ一
０ ｚ ＋ｂ ｘ ＋ｃ （ ａ ≠Ｏ ） 是 一 个 研 究 因变 量 Ｙ与 自变 量 ｚ 变 化 关 系 的过 程 ， 其中需要探究 函数 图像增 减性 、 对 称性 及最 值等 ； 一
一
（ ３ ） 要 使 抛 物 线 的对 称轴 为 ｙ轴 ， 必 须 具 备
条件 ｎ ≠ｏ ， 一 一０ ．
ｒ ２ ｍ一１ ≠ Ｏ，
元 二 次 方 程 是 中 考 的 必 考 内容 ， 尤其二 次函数综合性 较强 ，
使得学生难以理解和掌 握 ， 一 元 二 次 不 等 式 虽 不 是 初 中 阶段 所 学内容 ， 但 在 二 次 函 数 的 教 学 内 容 中 经 常 用 到． 为此 ， 我 认 为 很 有 必要 探 讨 研 究 三 个 “ 二 次” 之 间 的密 切 关 系．
使 函 数 ｙ 的 值 等 于 ０ 的 ｚ 值 ） ； 一 元 二 次 不 等 式 ｎ ｚ ＋ ｂ ｘ ＋ ｆ ＞ Ｏ （ 或 ＜ Ｏ ） （ 。 ≠ ０ ） 则 是 研 究 在 什 么 条 件 下 ， 二 次 函 数 图 像 位 于 ｚ轴 上 方或 位 于 ｚ轴 下 方 的 问 题 ．
（ ＆ ≠Ｏ ） 中的“ △ ” 可 以和１ ７ ＿ 次项系数“ ｎ ” 一 起 判 断 图像 与 ｚ轴 的 交 点个 数 ； 在 一 元 二 次 方程 中用 于 判 断 方 程 根 的 个 数 ； 在 一 元 令 — ＋ ４ ｚ＋ ４ ｋ —ｋ ｚ ， 当 一 ３时 ， 代 人 上式 ， 得 Ｙ 一 一 ＋４ ＋２ １ ．
４
３ ：
． ．
√
、 － ，
２ ：
一
解 题 冒Βιβλιοθήκη 、 ＼ ｌ ／ ，
中
学 圆１ 生 观 察图 像、 分析、 归纳可得： 当ｚ ＝３ 时， 对应的 值的符 数
理 丫 匕
三者的联系最明显的就是一元二次方程 ｎ ＋６ ｚ ＋Ｃ 一０ 号与 ｎ的符号总是相反的． （ ｄ ≠Ｏ ） 根的判别式， 即△ 一ｂ 。 一４ ａ ｃ ， 二次函数 ． ） ， 一ａ ， ｚ ＋ｂ ｘ ＋ｃ 解： 因为二次项系数 口 一１ ＞Ｏ ．
过程 ， 就 是 在 自变 量 取 值 范 围 内 ， 变 量 ｚ与 变 量 之 间 的 对 应
关 系； 一元二次方程 ｎ ＋ｂ ｘ ＋ｆ ＝０ （ ｎ ≠Ｏ ） 是研 究 二 次 函 数 图
像的５ 寺 征可能如 图 １ 所示 ：
ｙ
１ 一 ， 、
， Ｊ 、
口＜０
像 与 轴 交 点 的 横 坐 标 ， 可 以理 解 为 变 化 过 程 中 的 一 瞬 间 （ 即
琢甘超术’ ｕ Ｊ 以哒件 ： 一兀一伏力任 １ ＿ 十 一
（ 口 ≠０ ） 是寻找二次函 数 — ｎ ＋ｂ ｘ ＋ ｃ （ ａ ≠Ｏ ） 图像上的点； 一 元二次不等式 ｄ ｚ 。 ＋ｂ ｘ ４ － ｃ ＞０ （ 或＜０ ） 是截取二次函数 Ｙ 一 ｎ ＋ ６ ｚ ＋ ｃ （ ｎ ≠Ｏ ） 图 像上的 一段．