2021年中考数学二轮专题复习讲义：第28讲 图形的相似 第1课时 相似形

第28讲图形的相似第1课时相似形1．比例线段考试内容考试要求比例线段定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．a 基本性质若ab＝cd，则ad＝bc.当b＝c时，b2＝ad，那么b是a、d 的比例中项．黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且ACAB＝BCAC＝5－12≈0.618，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．2.平行线分线段成比例考试内容考试要求基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段．c 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．3.相似图形的有关概念考试内容考试要求相似图形____________________相同的图形称为相似图形．a相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应 的比叫做相似比．(1)相似多边形周长的比等于相似比； (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三角形 两个三角形的三个角分别_ ，三条边 ，则这两个三角形相似．当相似比等于1时，这两个三角形 ． 4.相似三角形的判定考试内容考试要求判定1 ____________________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．a判定2 三边 的两个三角形相似．判定3 两边 且夹角 的两个三角形相似． 判定4 两角分别 的两个三角形相似．判定5满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似．拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．5.相似三角形的性质考试内容考试要求性质1.相似三角形的对应角 ，对应边 ．a2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于．3.相似三角形面积的比等于相似比的____________________.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做重心．三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．拓展如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．①AC2＝AD·AB；②BC2＝BD·AB；③CD2＝AD·BD；④AB·CD＝AC·BC.考试内容考试要求基本思想转化思想：证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．b1．(2017·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则()A.ADAB＝12B.AEEC＝12C.ADEC＝12D.DEBC＝122．(2015·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则DEEF的值为( )A .12B ．2C .25D .35 3．(2015·嘉兴)如图是百度地图的一部分(比例尺1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西____________________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm ，则杭州到嘉兴的实际距离约为____________________．【问题】如图，点D 在△ABC 的边AC 上．(1)要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是____________________； (2)若△ADB ∽△ABC ，AB ＝4，AD ＝2，则AC ＝________； (3)通过(1)、(2)解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定．类型一 比例性质、黄金分割等相关概念例1 (1)(2016·山西)宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连结EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF ＝GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．(2) 已知x 3＝y 4＝z6≠0，求x ＋y －z x －y ＋z 的值．【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k ，即比值为k ，把所有字母都用含有k 的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的．1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为( )A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm 2．(2015·扬州)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB ＝4cm ，则线段BC ＝ cm .类型二相似多边形例2已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ADCB相似，则AD＝()A.5－12B.5＋12C. 3 D．2【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．3．(2015·葫芦岛)如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连结AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连结AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n－1的面积为____________________．类型三相似三角形的判定与性质例3(2016·南充)已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M 在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM.(1)如图1，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM＝AN；(2)①如图2，在点P 运动过程中，满足△PBC ∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？(不需说明理由)②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝12？请说明理由．【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．4．(1)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S四边形BCED的值为( )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4(2) (2016·河北)如图，△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( )5．(1)(2015·自贡)将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 .(2)(2015·无锡市南长区模拟)如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB 的中点，过点D的直线与BC所在直线交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝.类型四与相似三角形相关的问题例4如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为()A．4 B．5 C．6 D．7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.6．(1)已知：在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E 作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连结DE、DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为()(2)(2015·杭州模拟)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对(3) (2015·滨州)如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y ＝－1x 、y ＝2x 的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为( )A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变 7．(2016·龙东)已知，在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF ∶FC 的值是 .【课本改变题】教材母题－－浙教版教材九上第149页第5题课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式．【找不准相似三角形中的对应边】如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是()A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BDC．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD参考答案第28讲 图形的相似第1课时 相似形【考点概要】2．成比例 3.形状 相等 成比例 边 相等 成比例 全等 4.平行 成比例 成比例 相等 相等 成比例 5.相等 成比例 相似比 平方【考题体验】1．B 2.D 3.45 80km【知识引擎】【解析】(1)添加条件是∠ABD ＝∠C 或∠ADB ＝∠ABC 或者AD AB ＝AB AC ； (2)由△ADB ∽△ABC ，得AD AB ＝AB AC，得AC ＝8； (3)相似三角形知识：性质、判定等． 【例题精析】例1 (1)设正方形的边长为2，则CD ＝2，CF ＝1.在直角三角形DCF 中，DF ＝12＋22＝5，∴FG ＝5，∴CG ＝5－1，∴CG CD ＝5－12，∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D . (2)设x 3＝y 4＝z 6＝k(k ≠0)，根据题意，得x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝6k ，所以x ＋y －z x －y ＋z＝3k ＋4k －6k 3k －4k ＋6k ＝k 5k ＝15. 例2 B例3(1)如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠DAB ＝∠ABC＝∠BCD ＝∠D ＝90°，∵△PBC ∽△PAM ，∴∠PAM ＝∠PBC ，PM PC ＝AM BC ＝PA PB ，∵∠PBC ＋∠PBA ＝90°，∴∠PAM ＋∠PBA ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴AP ⊥BN ，∵∠ABP ＝∠ABN ，∠APB ＝∠BAN ＝90°，∴△BAP ∽△BNA ，∴PA PB ＝AN AB ，∴AN AB ＝AM BC ，∵AB ＝BC ，∴AN ＝AM. (2)①仍然成立，AP ⊥BN 和AM ＝AN.理由如图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠D ＝90°，∵△PBC ∽△PAM ，∴∠PAM ＝∠PBC ，PM PC ＝AM BC ＝PA PB ，∵∠PBC ＋∠PBA ＝90°，∴∠PAM ＋∠PBA ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴AP ⊥BN ，∵∠ABP ＝∠ABN ，∠APB ＝∠BAN ＝90°，∴△BAP ∽△BNA ，∴PA PB ＝AN AB ，∴AN AB ＝AM BC，∵AB ＝BC ，∴AN ＝AM. ②这样的点P 不存在．理由：假设PC ＝12，如图3中，以点C 为圆心12为半径画圆，以AB 为直径画圆，CO ＝BC 2＋BO 2＝52＞12＋12，∴两个圆外离，∴∠APB ＜90°，这与AP ⊥PB 矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC ＝12的点P 不存在．例4 设AE ＝x ，则AC ＝x ＋4，∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠CAD ，∵∠CDB ＝∠BAC(圆周角定理)，∴∠CAD ＝∠CDB ，∵∠ACD ＝∠DCE ，∴△ACD ∽△DCE ，∴CD CE ＝AC DC ，即64＝x ＋46，解得：x ＝5.故选B .【变式拓展】1．A 2.12 3.5n22n －1 4.(1)C (2)C 5.(1)1∶3 (2)2或103 6.(1)D (2)A (3)D 7.23或43【热点题型】【分析与解】(1)设矩形的边长PN ＝2y mm ，则PQ ＝y mm ，由条件可得△APN ∽△ABC ，∴PN BC ＝AE AD ，即2y 120＝80－y 80，解得y ＝2407，∴PN ＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ； (2)设PN ＝x mm ，由条件可得△APN ∽△ABC ，∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝80－PQ 80，解得PQ ＝80－23x.∴S ＝PN·PQ ＝x(80－23x)＝－23x 2＋80x ＝－23(x －60)2＋2400，∴S 的最大值为2400mm 2，此时PN ＝60mm ，PQ ＝80－23×60＝40(mm )．【错误警示】A ．∵△ABC ∽△DBA ，∴AB BD ＝BC AB ，∴AB 2＝BD·BC.赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。