角平分线的性质与判定的习题ppt课件
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角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
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角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。
角的平分线课件(共16张PPT)
6.3.2.2 角的平分线
思考 如何能得到角平分线呢？ 量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到 小数点后 1 位，然后 再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?
角平分线的性质 课件
05
角平分线的习题与解析
基础习题
1 3
基础习题1
已知角平分线AD，点E在AD上，若∠BAC=50°， ∠CAD=25°，求∠BCA的度数。
基础习题2
2
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠B=40°，∠C=70°，
求∠BAD的度数。
基础习题3
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=120°， ∠C=30°，求∠BAD的度数。
03
角平分线将一个多边形分成面积相等的两部分。
02
角平分线的性质证明
性质1的证明
总结词
角平分线将相对边分成两段相等 的线段
详细描述
根据角平分线的定义，我们知道 角平分线将一个角分为两个相等 的子角。因此，相对边被角平分 线分成两段相等的线段。
性质2的证明
总结词
角平分线上的点到角的两边距离相等
详细描述
总结词
基于角平分线定理，我们可以推导出 一些重要的推论，这些推论在解决几 何问题时非常有用。
详细描述
推论一，若AD为角BAC的角平分线，则有 AB/BD = AC/CD。这个推论可以直接从角平 分线定理得出。推论二，若AD为角BAC的角平 分线，且在点D上作线段DE平行于AB交AC于 点E，则有AE =EB。这个推论可以用于证明线 段的等分。
角平分线定理的应用
要点一
总结词
角平分线定理在实际问题中有着广泛的应用，它可以用于 解决各种与角度和线段比例相关的几何问题。
要点二
详细描述
应用一，在建筑设计时，可以利用角平分线定理来确定建 筑物的位置和角度，以确保建筑物的美观和功能性。应用 二，在地图绘制时，可以利用角平分线定理来确定道路、 河流等地理要素的走向和分布，以保证地图的准确性和实 用性。应用三，在土地测量时，可以利用角平分线定理来 确定土地的边界和面积，以确保土地测量的准确性和公正性。
角平分线的性质与判定通用课件
角平分线定理
01
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
利用角平分线定理证明线段比例
02
通过构造角平分线，利用角平分线定理证明线段之间的比例关
系。
利用角平分线定理证明等腰三角形
03
通过构造角平分线，证明三角形中的两个底角相等，从而证明
是等腰三角形。
在三角形中的实际应用
利用角平分线确定角的度数
通过构造角平分线，将一个较大的角分成两个较小的角，从而确定角的度数。
判定方法在多边形中的应用
在多边形中，可以通过作对角线来判定角平分线。如果一个 点到多边形两个相对顶点的距离相等，那么这个点就是角平 分线上的点。
在多边形中，也可以通过作角平分线上的点到对边的垂线来 判定角平分线。如果这条垂线与对边平行，那么这个点就是 角平分线上的点。
03
角平分线的应用
在几何证明题中的应用
角平分线的性质与 判定通用课件
目 录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线的应用 • 角平分线的作法 • 角平分线的性质与判定的联系与
区别
01
角平分线的性质
定义与性质
角平分线定义
从一个角的顶点出发，将该角分 为两个相等的部分，这条线段被 称为该角的角平分线。
角平分线性质
角平分线将相对边分为两段相等 的线段。
04
角平分线的作法
通过给定角的两边作垂线
总结词
通过角的两边作垂线，可以确定角平 分线。
详细描述
在给定角上，通过角的两边作垂直于 对边的垂线，这两条垂线会在角的顶 点处相交，且交点到角的两边距离相 等，这个交点就是角平分线的交点。
通过给定角的顶点作对边的平行线
总结词
角平分线的性质和判定(共张)课件
作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
角平分线课件PPT
生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
角平分线的判定定理ppt课件
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
P
H
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的 交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已 知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D OE
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
的判定 到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
已知：如图，PD^OA ，PE^OB，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD^OA PE^OB
E
\ PD P OE 9O 0
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边）
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件
= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
1第2课时角平分线的性质及判定PPT课件(沪科版)
最小边（角）是对应边（角）. 对应边所对的角是对应角. 对应角所对的边是对应边.
合作提高 .请指出下列全等三角形的对应边和对应 角
如上图中△ ABD ≌ △CDB则AB= CD ；AD=
；
BD= CB ； ∠ABDD=B
； ∠A∠DBC=DB ；
∠A= ∠CB；D
∠C
• 总结提升
1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？
思考：1、全等三角形的周长、面积相等吗？
2、两个三角形三边对应相等，三对角也对应相等， 这两个三角形全等吗？
当堂训练
有什么办法判断两个三角形全等？,用数学式子表
示两个三角形全等,并指出对应角、对应边
A
E
B
C
D
平 F移
两个三角形全等是通过什么方法验证的？
解：对应边是：AC与DF，AB与DE，BC与EF 对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F 小结：最大边（角）是对应边（角）。 最小边（角）是对应边（角）。
合作探究
师生探究·解决问题
• 例:如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是
对应顶点， 说出这两个三角形中相等的边和
角．
C
B
O
A
D
请视察，并说出你看到的现象
（1）
（2）
（3）
（4）
思考:他们能完全重合吗?
（5）
•形状、大小完全一样的两个图形能够完全重合。
1、能够完全重合的两个图形叫做全等图形 2、你能够找诞生活中的一些全等图形吗？
E
两个全等三角形能够完全重合
C
F
互相重合的顶点叫__对__应_顶__点___
点A、点F的对应顶 点分别是_D__、 _C__
合作提高 .请指出下列全等三角形的对应边和对应 角
如上图中△ ABD ≌ △CDB则AB= CD ；AD=
；
BD= CB ； ∠ABDD=B
； ∠A∠DBC=DB ；
∠A= ∠CB；D
∠C
• 总结提升
1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？
思考：1、全等三角形的周长、面积相等吗？
2、两个三角形三边对应相等，三对角也对应相等， 这两个三角形全等吗？
当堂训练
有什么办法判断两个三角形全等？,用数学式子表
示两个三角形全等,并指出对应角、对应边
A
E
B
C
D
平 F移
两个三角形全等是通过什么方法验证的？
解：对应边是：AC与DF，AB与DE，BC与EF 对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F 小结：最大边（角）是对应边（角）。 最小边（角）是对应边（角）。
合作探究
师生探究·解决问题
• 例:如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是
对应顶点， 说出这两个三角形中相等的边和
角．
C
B
O
A
D
请视察，并说出你看到的现象
（1）
（2）
（3）
（4）
思考:他们能完全重合吗?
（5）
•形状、大小完全一样的两个图形能够完全重合。
1、能够完全重合的两个图形叫做全等图形 2、你能够找诞生活中的一些全等图形吗？
E
两个全等三角形能够完全重合
C
F
互相重合的顶点叫__对__应_顶__点___
点A、点F的对应顶 点分别是_D__、 _C__
《角平分线的判定》课件
应用举例
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。
《角平分线》PPT教学课件
知识讲解
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就
是角平分线，你能说明它的道理吗?
两个三角形三边对应相等，两个三角形全
A C
等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就
是角平分线 想一想：能够运用这种方法作出任意角的 角平分线吗？
B
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
× ∴ BD = CD ，
A
D C
( 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
理由： 没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.
知识讲解
★ 练一练
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
× ∴ BD = CD ,
(角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在 角的平分线上.
知识讲解
角平分线性质定理的逆定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
A
D C
P
O
E
B
用途： 证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.
知识讲解
典例讲解 例题 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A N PM
B
C
知识讲解
证明：
A
D
N
P
F M
B
C
E
知识讲解
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用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
练习题 :
.
1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
G M
H
∴点F在∠DAE的平分.线上
2.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这 一点到 到三角形三边的距离 相等．
3.到三角形三边距离相等的点是（ C ）
A.三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定
B E
M
D
A
FN
C
.
18.如图，已知△ABC的周长为10，OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB、OD⊥BC于点D， 且OD＝2，求△ABC的面积。
A
O
B
D
C
.
19.如图Rt△ABC中，∠C=90。AC=BC,AD是∠BAC
的平分线，DE⊥AB于E,
求证：△DBE的周长等于AB长
B E
D
C
A
.
则△DEB的周长为（ B）
A. 4cm
B. 6cm
C. 10cm
D. 以上都不对
.
8.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于
(B )
A．2 cm
B．3 cm
C．4 cm
D．5 cm
C
E
A
D
B
.
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线， DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则
.
15.如图：在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB A
F
E
CD B
.
16.如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,
求证：DE=DF
E
B
A
D
C F
.
17.如图，在∠BAC的平分线上任取一点D,在 AB,AC上各取一点E,F,若DE=DF,且AE>AF 求证：∠AED=∠DFC
BC=__8___cm.
.
10.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
且CD=CE，则∠DOC=_3_0__°.
.
11.如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则
PN=___2____。
N
A
C
0
P
MB
.
12.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是 AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
D．4
.
6.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分
∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ D ）
A. DC＝DE
B. ∠AED＝90°
C. ∠ADE＝∠ADC
D. DB＝DC
.
7.如图所示，△ABC中，∠C＝90 Nhomakorabea，AC＝BC，AD
平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，
角平分线的性质 （复习课）
.
1、会用尺规作角的平分线.
2、角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
A D
1 O2
P C
E B
.
3、角平分线性质的逆定理: 角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上。
（1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． （1）根据角平分线性质的逆定理: 或：证△BDE≌△BDC（HL）. （2）∠DBC=27°
.
13.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D， AE与BD相交于点C .求证：AC＝BC．
.
14.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
.
4.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为 A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公
路的距离相等，可供选择的地址有（ D）
A. 一处 B. 二处 C.三处 D. 四处
.
5.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射
线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为
（B）
A．1
B．2
C．3
练习题 :
.
1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
G M
H
∴点F在∠DAE的平分.线上
2.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这 一点到 到三角形三边的距离 相等．
3.到三角形三边距离相等的点是（ C ）
A.三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定
B E
M
D
A
FN
C
.
18.如图，已知△ABC的周长为10，OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB、OD⊥BC于点D， 且OD＝2，求△ABC的面积。
A
O
B
D
C
.
19.如图Rt△ABC中，∠C=90。AC=BC,AD是∠BAC
的平分线，DE⊥AB于E,
求证：△DBE的周长等于AB长
B E
D
C
A
.
则△DEB的周长为（ B）
A. 4cm
B. 6cm
C. 10cm
D. 以上都不对
.
8.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于
(B )
A．2 cm
B．3 cm
C．4 cm
D．5 cm
C
E
A
D
B
.
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线， DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则
.
15.如图：在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB A
F
E
CD B
.
16.如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,
求证：DE=DF
E
B
A
D
C F
.
17.如图，在∠BAC的平分线上任取一点D,在 AB,AC上各取一点E,F,若DE=DF,且AE>AF 求证：∠AED=∠DFC
BC=__8___cm.
.
10.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
且CD=CE，则∠DOC=_3_0__°.
.
11.如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则
PN=___2____。
N
A
C
0
P
MB
.
12.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是 AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
D．4
.
6.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分
∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ D ）
A. DC＝DE
B. ∠AED＝90°
C. ∠ADE＝∠ADC
D. DB＝DC
.
7.如图所示，△ABC中，∠C＝90 Nhomakorabea，AC＝BC，AD
平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，
角平分线的性质 （复习课）
.
1、会用尺规作角的平分线.
2、角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
A D
1 O2
P C
E B
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3、角平分线性质的逆定理: 角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上。
（1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． （1）根据角平分线性质的逆定理: 或：证△BDE≌△BDC（HL）. （2）∠DBC=27°
.
13.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D， AE与BD相交于点C .求证：AC＝BC．
.
14.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
.
4.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为 A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公
路的距离相等，可供选择的地址有（ D）
A. 一处 B. 二处 C.三处 D. 四处
.
5.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射
线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为
（B）
A．1
B．2
C．3