四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试数学(理)试题

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四川省成都市石室中学2021-2022学年高三上学期一诊考试数学(理)试题

成都石室中学2021~2022学年度上期高2022届一诊模拟
数学（理科）试卷
（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1.已知（，，i为虚数单位），复数，则（）
参考数据：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.已知在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）已知过点，倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，若M为线段AB的三等分点，求的值．
（1）三名业主参与抽奖，求恰有一名业主获得二等奖的概率；
（2）记某业主参加抽奖获得的装修基金为X，求X的分布列和数学期望．
19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，且．
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）若，且线段SD上一点E满足平面AEC，求AE与平面SAB所成角的正弦值．
A.2B. C. D.
2.已知集合，，则（）
A B. C. D.
3.若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f 等于（）
A. 3B.－3C. D.－
4.函数是
A.最小正周期为偶函数B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数
5.某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：

2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1、若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（）.A )1,2(--.B )1,2(-.C )1,2(.D )1,2(-2、“2log (23)1x -<”是“48x>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.976P ξ<=，则(13)P ξ-<<=（）A.0.952B.0.942C.0.954D.0.9604、若数列{}n a 的前n 项和为2n S kn n =+，且1039,a =则100a =（）A. 200B. 199C. 299D. 3995、若(0,)2πα∈，若4cos()65πα+=，则sin(2)6πα+的值为（）A ．123725- B ．732450- C ．243750- D ．123725+ 6、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(0,4)A 和(0,4)C -，顶点B 在椭圆221925x y +=上，则sin()sin sin A C A C+=+( )A ．35B ．45C ．54D ．537、若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则43y z x -=-的取值范围是（）A.(,4][3,)-∞-⋃+∞B. (,2][1,)-∞-⋃-+∞C. [2,1]--D. [4,3]-8、从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A ．432B ．378C ．180D ．362FE D 1C 1B 1A 1DC BA9、已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数过点(,1)6π-，则函数()sin()f x x ωϕ=+（）A.在区间[,]63ππ-上单调递减 B.在区间[,]63ππ-上单调递增 C.在区间[,]36ππ-上单调递减 D.在区间[,]36ππ-上单调递增 10、在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 的交AD 于点,F 若EF ,AB AC λμ=+则λμ+=( )A. 16-B. 16C. 13- D. 1 11、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 在棱1CC 上，且12CF FC =，P 是侧面四边形11BCC B 内一点（含边界），若1A P //平面AEF ，则直线1A P 与面11BCC B 所成角的正弦值的取值范围是（）A.25529[,]529 B.313529[,]1329 C.31322[,]133 D.2522[,]5312、若存在两个正实数,x y ，使得等式2(2)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为()A.11[,]2e -B. 2(0,]eC. 2(,0)[,)e -∞⋃+∞D. 11(,)[,)2e-∞-⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,()2xf x =,则4(log 9)f 的值为__________．14、已知61()x ax+展开式的常数项是160，则由曲线2y x =和a y x =围成的封闭图形的面积为．15、若点O 和点(3,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的对称中心和左焦点，点P 为GFEDCBA 双曲线右支上任意一点，则221PFOP +的取值范围为________________.16、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，13()|2|22f x x =--；（2）(2)2()f x f x =．设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大一次为1x ，2x ，…，n x ，…．若1(,1)2a ∈，则122n x x x +++=…．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）已知向量(3sin 22,cos ),(1,2cos ),m x x n x =+=设函数()f x m n =.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在(,]62ππ-上的值域；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4,4f A b ==，ABC ∆的面积为3，求a 的值.18、（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AD ==，E 是AD 的中点，BE 与AC交于点F ，GF ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求二面角E AG B --所成角的余弦值.19、（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列； ②求X 的数学期望和方差．附临界值表：2K 的观测值：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n =a+b+c+d ）关于商品和服务评价的2×2列联表：20、（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于,M N 两点，直线AM 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）若AMN ∆的外接圆在点M 处的切线与椭圆交于另一点D ，2F MD ∆的面积为67，求椭圆Γ的标准方程．21、(本小题满分12分）已知函数21()(1)2x f x x e ax =--()a R ∈ ()I 当1a ≤时，求()f x 的单调区间； ()II 当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，求a 的取值范围.22、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线l 过点(1,0)且倾斜角为α，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为2sin 4cos 0.ρθθ+=()I 写出曲线M 的直角坐标方程及直线l 的参数方程； ()II 若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值.2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． DAADC BABDB BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．1133-、; 1143、; 265153+、(1,]; 16n 、3(2-1).三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、解析：（Ι）()23sin 222cos f x m n x x =⋅=++3sin 2cos 232sin 236x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭…………………3分22T ππ∴==………………4分 (,],62x ππ∈-72(,],666x πππ∴+∈- ∴当7266x ππ+=时，即2x π=时,()min 2,f x = 当262x ππ+=时，即6x π=时,()max 5,f x =()(,]62f x x ππ∴∈-在上的值域为[2,5].………………6分（Ⅱ）()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1352,2666663A A A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭…………8分 1sin 32ABC S bc A ∆==1c ∴=，………10分2222cos 1313a b c bc A a ∴=+-=∴=………12分18、解析：(Ι)∵四边形ABCD 为矩形，∴AEF ∆∽CBF ∆， ∴21===BC AE BF EF CF AF …1分又∵矩形ABCD 中，2,1==AD AB ，∴3,22==AC AE 在BEA Rt ∆中，2622=+=AE AB BE ∴3331==AC AF ，2633BF BE == 在ABF ∆中，222221)36()33(AB BF AF ==+=+ ∴ 90=∠AFB ，即BE AC ⊥ ……………2分∵⊥GF 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ∴GF AC ⊥……………3分又∵F GF BE = ，⊂GF BE ,平面BCE ∴⊥AF 平面BEG ……………4分(Ⅱ)由（Ι）得FG BE AD ,,两两垂直,以点F 为原点，FG FE FA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,0,33A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,36,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0,0G ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,66,0E ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,36,33AB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33,0,33AG ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33,66,0EG ，36,,036AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭…………6分设),,(z y x n =是平面ABG 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AG n AB ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0333303633z x y x ，取2=x ，得)2,1,2(-=n ………8分设(,,)m x y z =是平面AEG 的法向量，则00AE n AG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3603633033x y x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取1x =，得(1,2,1)m =………10分xyz设平面AEG 与平面ABG 所成角的大小为θ，则10cos 10m n m nθ⋅==………………11分∵平面AEG 与平面ABG 成钝二面角 ∴二面角E AG B --所成角的余弦值为1010-. ……………. 12分19、解：（Ι）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评 120 40 160 对商品不满意20 20 40 合计 14060200…2分2200(120202040)9.5247.8971406040160k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯…4分故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关．….…5分（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.6，………6分 X 的取值可以是0,1,2,3．其中P （X=0）=0.43=8125； P （X=1）=C 31•0.6•0.42=36125；……..7分 P （X=2）=C 32•0.62•0.4=54125； P （X=3）=C 33•0.63=27125．……..9分X 的分布列为： X 0123P 8125 36125 54125 27125… 10分②由于X ～B （3，0.6），则E （X ）=3×0.6=1.8，D （X ）=3×0.4×0.6=0.72…12分．20、解：（Ι）由题意, 22(,0),(,),(,)b b A a M c N c a a--………………1分212AM b a c a k c a a -∴===+………………3分12c e a ∴==………………4分(Ⅱ)设椭圆的方程为2222143x y c c+=………………5分AMN ∆的外接圆圆心为0(,0)T x ,则220092()4c TA TM x c x c =⇒+=-+ 08cx ∴=-………………6分34238TMck c c ∴==+∴过M 的切线方程为:3944cy x =-+………………7分联立切线与椭圆方程: 2222221437*********x y c c x cx c c y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⎨⎪=-+⎪⎩………………8分∴ 22111607M D c c x x ∆=>= ∴117D cx =………………9分 ∴2213113622777F MDc c c S c ∆=⨯⨯-==………………11分 ∴ 2c =∴椭圆的方程为 22186x y +=………………12分 21、解：()I ()()xxf x xe ax x e a '=-=-…（1分）当0a ≤时，0x e a ->，∴(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增…（2分）当01a <≤时，令()0f x '=得0ln x x a ==或(i) 当01a <<时，ln 0a <，故：(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；…（4分）(ii) 当1a =时，ln 0a =，()(1)xxf x xe ax x e '=-=-0≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无减区间；…（5分）综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞，单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时，()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和，单调减区间是(ln ,0)a ；当1a =时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间. …（6分）()II 由()I 知()x f x xe ax '=-当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方即32(1)xxe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立即210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立…（7分）记2()1x g x e ax x =---(0)x >，∴()()21xg x e ax h x '=--=()'2x h x e a ∴=-…（8分）(i) 当12a ≤时，()'20xh x e a =->恒成立，()g x '在(0,)+∞上单调递增， ∴()'(0)0g x g '>=∴()g x 在(0,)+∞上单调递增 ∴()(0)0g x g >=，符合题意；…（10分）(ii) 当12a >时，令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时，()'0h x <，∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减 ∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<=∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减，∴(0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=，不符合题意…（11分）综上可得a 的取值范围是1(,]2-∞. …（12分）22、解：（Ι）对于C ：由2sin 4cos 0.ρθθ+=，得22sin 4cos 0.ρθρθ+=，进而得曲线M 的直角坐标方程为：24.y x =-；………………2分直线l 过点(1,0)且倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩()t 为参数(4分) （Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩()t 为参数带入M 的直角坐标方程24,y x =-得：22sin 4cos 40,t t αα⋅+⋅+=①当sin 0α=时，适合题意，此时0;α=（6分）②当sin 0α≠时，2216cos 16sin 0αα-=，此时3.44ππαα==或综上，直线l 的倾斜角的值为0α=或3.44ππαα==或（10分）。

四川省成都石室中学2021届高三数学10月月考试题理.doc

四川省成都石室中学2021届高三数学10月月考试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N =R 2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（） A. i B. 1 C. i - D. 1- 3.已知命题p ：2(,0),2310x x x ∀∈-∞-+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（）A.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>” 4.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2614,,a a a 成等比数列，则5S =（） A.352B.35C. 252D. 255.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的5x =，2y =，输出的4n =，则程序框图中的中应填（） A. x y ≤B.y x ≤C. y x <D.x y =6.设函数2,1(),12x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()12f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（）A. (],0-∞B. []0,2C. [)2,+∞D. (][),02,-∞⋃+∞7. 若直线()42y k x -=-与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围是（）A.[)1,+∞B.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦D. (],1-∞-8.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，其中e 是自然对数的底数．则,,a b c 的大小关系为（） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >>9.2021年广东新高考将实行312++模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率（）A.136 B.116 C.18 D.1610.高斯函数[]()f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则[]0()g f x =（）A.12e e --B.2-C. 12e e --D.2212e e-- 11.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:3E y x =交于,A B 两点，O为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为（）A.2B.212.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（）A. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则5a =______． 14.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有______种．（用数字作答）15.已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为______．16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（Ⅰ）求BDCD；（Ⅱ）若1AD AC ==，求BC 的长．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（202X 年修订）》，要求各学校每开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）估计这200名学生健康指数的平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . ①求(63.498.2)P X <<；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间()63.4,98.2的人数为ξ，试求E ξ. 附：参考数据 1.35 1.16≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+≈，(22)0.955P X μσμσ-<<+≈，(33)0.997P X μσμσ-<<+≈.19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ；（Ⅱ）求二面角P AG C --大小的正弦值.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()0,1A ，且椭圆的离心率为3(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()()1122,,,M x y N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数2()12xx f x e =--．（Ⅰ）若直线y x a =+为()f x 的切线，求a 的值；（Ⅱ）若[)0,x ∀∈+∞，()f x bx ≥恒成立，求b 的取值范围．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C ：()2244x y +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）从原点O 作圆C 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.成都石室中学2021~2021度上期高2021届10月月考数学试卷（理科）答案一、选择题：B D B C A D C C D B C A 二、填空题：13. __100____．14. ___36___．15.____ 254π__．16. ___67___．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠，在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠，…………………………3分又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==.…………………………6分（Ⅱ）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==，设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅.…………………………9分因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =32BC x ==.…………………………12分 18.（本小题满分12分）∴()14555515654075758545952075200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，…………………3分 ()()()()2222251540454575557565758575200200200200s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯()2209575135200+-⨯=.………………………6分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知X 服从正态分布()75,135N ，且11.6σ≈，∴11(63.498.2)(-+2)=0.9550.6830.81922P X P X μσμσ<<=<<⨯+⨯=.………………9分②依题意，ξ服从二项分布，即()410,0.819B ξ，则8190E np ξ==.………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AD 的中点为O ，连结OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连结GH .//AD BC ，12AB BC CD AD ===四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形 OB AC ∴⊥，//OB CD CD AC ⊥ PAD ∆为等边三角形，O 为AD 中点 PO AD ∴⊥…………………………2分平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD 平面ABCD AD =. PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥ PO ∴⊥平面ABCD CD ⊂平面ABCD PO CD ∴⊥H ，G 分别为OB ， PB 的中点 //GH PO ∴ GH CD ∴⊥…………………………5分又GH AC H ⋂= ,AC GH 平面GACCD 平面GAC …………………………6分（Ⅱ）取BC 的中点为E ，以O 为空间坐标原点，分别以OE ，OD ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.…………………………7分设4=AD ，则(0,0,23P ，()0,2,0A -，)3,1,0C，()0,2,0D ，31322G - ⎝.(0,2,23AP =,33322AG ⎛= ⎝.设平面PAG 的一法向量(),,n x y z →=.由00n AP n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 2230333022y z x y z ⎧+=⇒+=⎩ 3y z x z ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩. 令1z =，则()1,3,1n =-.…………………………10分由（Ⅰ）可知，平面AGC 的一个法向量()3,1,0CD =-.∴二面角P AG C --的平面角θ的余弦值2315cos 25n CD n CDθ⋅=-=-=.二面角P AG C --大小的正弦值为5.…………………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221,,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ,由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. …………………………6分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． ……………………………………7分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． ………………………………8分过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===．由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-．而()122m =-∈-，，所以直线l 的方程为1y x =-． …………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设切点为()00,P x y ，()'xf x e x =-，∴()000'1xf x e x =-=，……………………2分令()xh x e x =-，则()'1xh x e =-，当0x >时，()'0h x >，()h x 在()0,∞+上为增函数；当0x <时，()'0h x <，()h x 在(),0-∞上为减函数；所以()()min 01h x h ==，所以00x =，又0200112xe x x a --=+，所以0a =．……………………4分（Ⅱ）[)0,x ∀∈+∞，()f x bx ≥恒成立2102xx e bx ⇔---≥，[)0,x ∈+∞．令2()12xx g x e bx =---，[)0,x ∈+∞．()()'x g x e x b h x =--=，()'1x h x e =-,当0x >时，()'10xh x e =->，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()min 1h x b =-，①若1b ≤，则当0x >时'()0g x >，故()g x 在[)0,+∞上为增函数，故[)0,x ∈+∞时，有()()00g x g ≥=即2102xx e bx ---≥恒成立，满足题意.…………8分②若1b >，因为()'g x 为()0,∞+上的增函数且()'010g b =-<，()()'ln 2ln ln 21ln 21ln 20g b b b b b =-->---=->⎡⎤⎣⎦，故存在()()00,ln 2x b ∈，使得0'0g x .当()00,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()00,x 为减函数，()()00g x g <=，矛盾，舍去. 综上1b ≤．………………………12分22. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭…………………………3分（Ⅱ）4sin ρθ=………………………7分233ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭……………………10分。

2021届四川省成都市石室中学高三一模数学(理)试题及答案

2021届四川省成都市石室中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．已知集合x y z xyzM mm x y z xyz⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案：D分,,x y z 都是正数，,,x y z 都是负数，,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数，,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m 的值，从而求得集合M 的元素的个数，由此可得出集合M 的子集的个数.解：因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =，当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选：D.2．若复数z 满足2021(1)1i z i +⋅=-，则其共轭复数z 的模为（）A ．1B ．1-C D ．2答案：A由复数的四则运算得出z ，再由模长公式得出共轭复数z 的模. 解：()1010202121010(1)i i i i i =⋅=⋅-=21(1)1211(1)(1)2i i i z i i i i ----====-++-,||1z i z ∴==故选：A3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093答案：D 解：试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，则“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C由2132S S S ⋅＜可得出0q >，利用等价性即可判断.解：11S a =，()211S a q =+，()2311S a q q =++，故()()222222131111S S S a q q q a q ⎡⎤-⋅=+-++=⎣⎦，因为在等比数列{}n a 中，10a ≠，故21320S S S q ⋅<⇔>,故“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的充要条件.故选：C ．点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题.5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）个 A ．242610AB ．242610A AC ．()2142610CD ．()2142610C A先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理即可得结论．解：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为()2126C，后接4个数字组成的方法数为410A，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有()2126C410A个.故选：D．6．已知圆柱形石材，底面圆半径为125-，高为5log9，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为（）A．45πB．()254log3πC．()254log9πD．425π答案：A比较圆柱的底边直径与高的大小，从而确定此石材可加工成体积最大的球体的半径，再由表面积公式得出此球表面积.解：1255log9log51,251->=⋅=<，125log925-∴>⋅即1523log5->故此石材可加工成体积最大的球体的半径为125-即此球表面积为2124 455ππ-⎛⎫=⎪⎝⎭故选：A7．已知圆C的半径为2，在圆C内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于为（）A．1πB．34C．14D．12答案：C当M是弦中点时，弦长最短，利用垂径定理,得只要M点到圆心C的距离不大于1即可满足要求，由此可得M点所在区域，计算出该区域面积及已知圆面积后可得概率．解：当M是弦中点时，弦长最短，弦长为1CM=，所以过点M的所有弦的长度都大于M落在以点C为圆心，半径为1的圆内．则所求概率为221124Pππ⨯==⨯．点评：本题考查几何概型，解题关键是确定点M 所在的区域．利用弦长公式及垂径定理可确定．8．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （） A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x =对称C ．在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦ 答案：D利用辅助角公式得出()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，则该函数的最小正周期为π， 0ω>，则22πωπ==，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象. 对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-，函数()y g x =为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，2sin 022g ππ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的图象不关于直线2x π=对称，B选项错误；对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22x ππ≤≤，则函数()y g x =在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项错误；对于D 选项，当263x ππ≤≤时，4233x ππ≤≤，则sin 212x -≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，D 选项正确. 故选：D. 9．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，若函数()32221()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则cos 2cos B B +的取值范围是（）A ．9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．9,08⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．91,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：B先求出()'f x ，根据条件可得()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出cos B 的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.解：由()222()2f x x bx a c ac '=+++-，根据()f x 有极值点，则()222()20f x x bx a c ac '=+++-=有两个不同的实数根.所以222440b a c ac，即222a c b ac +-<由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-=<，由0B π<<，所以11cos 2B -<<，2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48B B B B B ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭由11cos 2B -<<，则21992cos ,0488B ⎛⎫⎡⎫+-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭所以cos 2cos B B +的范围是9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B点评：关键点睛：本题考查导数与极值点的关系和余弦定理的应用、余弦的二倍角公式的应用，解答本题的关键是由条件得出()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出11cos 2B -<<的范围，属于中档题. 10．已知圆()221:21C x y ++=，()222:249C x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（） ABC ．2D答案：B求出点C 的轨迹为椭圆，可知1C 为该椭圆的左焦点，利用椭圆的几何性质求出1minCC ，再利用勾股定理可求得CM 的最小值.解：易知圆1C 的圆心()12,0C -，圆1C 的半径为11r =，圆2C 的圆心()22,0C ，半径为27r =，12124C C r r =<-，所以，圆1C 内含于圆2C ，设圆C 的半径为R ，则1217CC R CC R ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，故121284CC CC C C +=<=，故圆心C 的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为1C 、2C ，设该椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为()20c c >，则28a =，可得4a =，24c =，可得2c =，b ∴==所以，点C 的轨迹方程为2211612x y +=.10CM C M ⋅=，则1CM C M ⊥且11C M =，由椭圆的几何性质可得1min2CC a c =-=，故2211min3CMCC C M=-=故选：B.点评：方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.11．设函数()x a f x e x +=+，()ln(3)4x a g x x e --=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()200022x f x g x x -=--成立，则实数a 值为（）A ．2ln 2-+B ．1ln 2+C ．1ln 2--D ．2ln 2+答案：D 将问题转化为002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解，由均值不等式可得0044x ax aee +++≥，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，从而得出答案.解：由题意当03x >-时()()2000022x f x g x x -=--有解即0020000ln(43)22x ax a x ex x e x +++=--++-在()03x ∈-+∞，上有解. 即002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解.由0044x a x ae e+++≥=, 当且仅当004x ax aee++=，即0ln 2x a =-时取得等号.设()2ln(3)32x g x x x -=+-，则()()()()()231333243168333x x x x x x x g x x x x x x ++-+-+++---'=--===-++ 由()0g x '<，得2x >-，由()0g x '>，得32x -<<-，所以()g x 在()3,2--上单调递增，在 ()2,-+∞上单调递减. 所以()()24g x g ≤-=要使得002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解. 则0ln 22x a =-=-时成立，即ln 22a =+ 故选：D点评：关键点睛：本题考查导数求最值，利用均值不等式求最值，解答本题的关键是由均值不等式得到0044x ax aee +++≥，当且仅当004x ax aee ++=时取得等号，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，属于中档题.12．已知棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1AQ 、BC 所成角正弦值为定值2121，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（）A ．5212B ．24C ．22D ．26答案：A由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点，由条件可得动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，5为半径的14圆，先求出1MC QS 的最小值，1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，再得出点R 到侧面11CDD C 的距离是最小值，从而得出答案. 解：由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点.点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，在正方体中，BC ⊥平面11DD C C , 故连接PC ,有PC BC ⊥,所以PC 为点P 到直线BC 的距离. 所以在平面11DD C C 上，点P 满足到点C 的距离等于到直线11C D 的距离.所以动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．由11//A D BC ，所以异面直线1AQ 、BC 所成角为11QA D ∠（或其补角）在正方体中，11A D ⊥平面11DD C C ,又1D Q ⊂平面11DD C C ，所以111A D D Q ⊥ 所以111121sin 21QD QA D AQ ∠==,又112A D = 所以114105cos 21QA D ∠=，则1111111tan 225QD QD QA D A D ∠=== 所以115QD =，即动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，15为半径的14圆．在四边形1MPC Q 中，111MPC Q MC Q MC P S S S =+,又21125MC =+=在平面11DD C C 内，取1CC 的中点O ，连接MO ,以1CC 为x 轴，MO 为y 轴则直线1MC 的方程为：12yx +=-，即220x y ++=，()11,2D -- 则点Q 到直线1MC 222255512r --+-==+ 所以1MC QS的最小值为115225=. 动点P 的轨迹方程为：()240y x y =<，设2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以点P 到直线1MC 的距离()2213212225525y y y d ++++==≥（当1y =-时取得等号）所以1PC MS面积最小值113352425MC P S ∆=⨯⨯=所以四边形1MPC Q 面积111MPC Q MC Q MC P S S S =+≥54点R 满足134A RB π∠=，又122A B =所以点R 在以1A B 为弦的劣弧上，由134A RB π∠=，则圆心角为2π. 其半径为2，圆心到1A B 的2所以圆弧上的点到1A B 的距离的最大值为22当劣弧所在的平面垂直于平面11DD C C 时，圆弧上的点到平面11DD C C 2所以动点R 到面11DD C C 2 所以多面体1RMPC Q 体积最小值为1552234⨯=故选：A点评：关键点睛：本题考查立体几何中的轨迹问题，体积的最值问题，异面直线成角，解答本题的关键是由条件得出动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 5为半径的14圆，由解析几何可得出点Q 到直线1MC的距离的最值，从而得出1MC QS的最小值，点P 到直线1MC的距离d =，从而得出1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，属于难题.二、填空题13．已知方程()2221m x my -+=表示双曲线，则m 的取值范围是_______________________．答案：()0,2利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 解：解：因为方程()2221m x my -+=表示双曲线，所以()20m m -<，即02m <<，所以m 的取值范围是()0,2，故答案为：()0,2.14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_________．（用数字作答）答案：52-利用已知条件求出n 的值，写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值.解：由于12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故17n +=，解得6n =，所以，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为6621661122r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令620r -=，解得3r =，因此，展开式中的常数项为33461522T C ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭.故答案为：52-. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a 在y x =上，[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021222S S S ⎡⎤++⋯+=⎢⎥⎣⎦_______________________．答案：2020先求得n a n =，再求得n S ，进而求得20212nS ，然后用裂项求和求得122021202120212021+++222S S S ，最后根据其范围求得结果.解：依题意可得n a n =，所以数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n S +=，因此202120211120212(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以， ()122021202120212021111111+++2021222122320212022120212021120212020,202120222022S S S ⎛⎫=⋅-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，故122021202120212021+++2020222S S S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.点评：方法点睛：本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．16．拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设ABC 代表旧城区，新的城市发展中心123,,O O O ，分别为正ACD △，正ABE △，正BCF △的中心､现已知2,30AB ACB ∠==，123O O O 则ABC 的面积为___________.答案：233连接12,CO CO ，易得122133,,30,3033CO AC CO BC O CB O CA ==∠=∠=，进而得到1290O CO ∠=，利用勾股定理得到2212AC BC +=，然后再利用余弦定理求得AC BC ⋅即可. 解：如图所示：连接12,CO CO ，由题意得：122133,,30,30CO CO O CB O CA =∠=∠=，又因为30ACB ∠=，所以1290O CO ∠=，12321233O O O S O ==，解得122O O =，由勾股定理得2221212CO CO O O +=，即2221233AC O O ⎫⎫+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2212AC BC +=，由余弦定理得2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅，解得83AC BC ⋅=所以三角形ABC 的面积为123sin 3023ABCSAC BC =⋅=点评：关键点点睛：本题关键是证得1290O CO ∠=，再利用勾股定理和余弦定理求得AC BC ⋅而得解. 三、解答题17．在ABC 中，232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-．（1）求cosA 的值：（2）若a =5b =，求BA 在AC 方向上的投影．答案：（1）3cos 5A =-；（2）35．（1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将已知式化简，即可得到cos A 的值；（2）先利用余弦定理求出c ，也即是BA ，再根据投影的定义，求BA 在AC 方向上的投影，其中需要注意的是BA 和AC 的夹角是A 的补角. 解：解：（1）由232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=- 可得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，即3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-，（2）由余弦定理可知2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =，7c =-（舍去）．向量BA 在AC 方向上的投影：3||cos()cos 5BA A c A π-=-=． 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1B B ，BC 的中点，（1）证明：1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）线段CD 上是否存在一点G ，使得直线FG 与平面11A EC ，3若存在，请旨出点G 的位置，并求二面角11E AC G --的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）存在；点G 为CD 6（1）由公理二证明1A E ，DF 共面，再结合公理三得出1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出a 的值，再由向量法得出二面角11E AC G --的平面角的余弦值.解：（1）证明：1//EF A D 且1EF A D ≠1A E ∴，DF 共面∴设1A E DF P ⋂=则1P A E ∈，而1A E ⊂面11AA B BP ∴∈面11AA B B ；同理可得P ∴∈面ABCD∴点P 在面ABCD 与面11AA B B 的公共直线AB 上即1A E ，AB ，DF 三线共点（2）解：根据题意可知，1AA ，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：11(0,0,2),(2,0,1),(2,2,2),(2,1,0)A E C F故111(2,0,1),(2,2,0)A E AC =-= 假设满足条件的点G 存在设(,2,0),(0,2)G a a ∈，则(2,1,0)FG a =- 设平面11A EC 的法向量为(,,)m x y z =则由111m A E m A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得，20220x z x y -=⎧⎨+=⎩不妨取2z =，则1x =，1y =-所以平面11A EC 的一个法向量为(1,1,2)m =- 设直线FG 与平面11A EC 的平面角为θ 则222222(2)1(1)1203sin cos ,(2)101(1)2m FGm FGa m FG a θ⋅-⨯+-⨯+⨯====-++⨯+-+化简得2210a a -+=，解得1a =．则1(1,0,2)GC =，设平面11AGC 的法向量为(,,)n x y z =由111n GC n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得+20220x z x y =⎧⎨+=⎩，取2x =-则平面11AGC 的一个法向量为(2,2,1)n =- 222cos ,636n n n m m m ⋅--+===⨯二面角11E AC G --的平面角的余弦值69点评：思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 （1）求C 的方程；（2）设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得AM BM =恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）C 的方程为24x y =；（2）存在，1t =.（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义列方程组，解方程即可；（2）根据导数的几何意义得到直线l 的切线方程，切线与椭圆联立，根据韦达定理得,A B 的纵坐标的关系，再根据直线方程联立得点M 的纵坐标，由AM BM =可知点M 为,A B 的中点，根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果.解：（1）设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵PQF △为等边三角形时，其面积为∴21sin 23PQ π⨯=4PQ =， ∵Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影，∴()0,Q x t ，当PQF △为等边三角形时，PQ PF FQ ==，由抛物线的定义知，2pt =-， ∴0220200+42162p y x p x py ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得2p =， ∴C 的方程为24x y =；（2）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则2004x y =，()0,Q x t∵214y x =，∴12y x '=， ∴切线0001:2l yy x x x ，即001:2l yx x y ，00222000022112122242401y x x y x x x x y x y y ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒+⎨ ⎪⎝⎭⎪++⎪--⎩==， ∴0012201122x y x x x +=+， ∴000120100200022001112122242212x y y x x x x x y y y y y x x +=-+-=⨯-=++；∵()0,Q x t ，∴0:OQ tl y x x =-， 0020002212M t y x y t x y x t y x x y⎧=-⎪-⎪⇒=⎨-⎪=-⎪⎩， ∵AM BM =，且A ，M ，B 在同一条直线上，则点M 为AB 的中点，∴122M y y y =+，即0022004422t x t y y x =--+，则1t =.综上，存在t ，使得AM BM =恒成立，1t =. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？答案：(1)48125；(2)(i)15元；(ii)答案见解析.解：试题分析：()1先计算出包裹件数在101400~之间的天数为48，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(3)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较解析：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==，故可估计概率为45，显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，即4~35X B ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭. （2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为15100=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（ii ）根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）. 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据．21．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.答案：（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1λ≥.（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()x x a h x e+==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2）1x ，2x 是方程12xx a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.解：（1）由题可知2()(1)20x x f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根，即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()xx a h x e +==， ()2(1)()x xx x e x e xh x e e -+-'==，x ∈R ，(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >，∴2(0,1)a ∈，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，1x ，2x 是方程12x x a e+=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x x x x λλ+>⇔>->因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即111111x x x x e eλλ--++<，两边取对数，并整理得：()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭对1(1,0)x ∈-恒成立，设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，(1,0)x ∈-， 1(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意；当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥.点评：本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t ，α中的一个为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线:sin 13l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）当t 为参数，3πα=时，判断曲线1C 与直线l 的位置关系；（2）当α为参数，2t =时，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，若2(0)P ，，求11||||PA PB +的值答案：（1）曲线1C 与直线l 平行；（2）1．（1）首先将曲线1C 和直线l 的方程化简为直角坐标方程，再判断位置关系；（2）首先得到曲线1C 的普通方程，再得将直线l 的参数方程，利用t 的几何意义求11||||PA PB +的值. 解：（1）当t 为参数，3πα=时，曲线1C表示直线：1)y x =-由:sin()13l πρθ-=，得1:sin cos 12l ρθθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得2y =+ 因为斜率相等，所以曲线1C 与直线l 平行；（2）当α为参数，2t =时，曲线1C 的参数方程12cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数消去参数得曲线1C 的普通方程22(1)4x y，易知直线过(0,2)P ，故设直线l的参数方程为12()2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数联立直线l 的参数方程与曲线1C 的普通方程，得2(231)10t t设,A B 对应的参数为12,t t ，则1212123,1t t t t故12121212121111231t t t t PA PBt t t t t t ．点评：方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点： 1.直角坐标系下的弦长公式()22121214AB k x x x x =++-或是()212122114y y y y k ++-；2.利用直线参数方程的几何意义可知12AB t t =-；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长12AB ρρ=-.23．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：2221+++ab b a b ＜5．答案：（1）322+；（2）证明见解析. （1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．解：（1）121222()332322a b a b a b z a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭，当且仅当“2b a =”时取等号，故12a b+的最小值为322+ （2）证明：222222241155ab bab bb b a b a ++=+++++ )22225242221555ab ab b b b ab b a +==+⋅+⋅，当且仅当15,2a b ==时取等号，此时a +b ≠1．故2221+++ab b a b 5．点评：本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.。

2021届四川省成都石室中学高三上学期开学考试数学(文)试题 PDF版

石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期入学考试
文科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A x, y x y 0, x, y R, B x, y x y+1 0, x, y R ，则集合 A I B 的元素个
数是（）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．i 为虚数单位， z 5i ，则 z 的共轭复数为（） 1 2i
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的
数学成绩为125 分），物理成绩是多少？n Nhomakorabean
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
附：回归方程 $y a$ b$x 中, b$ i1 n
(xi x)2
=
i 1 n
xi 2
2
nx
第 1 页共 4 页命题人：
A． y 2x 2x B． y x tan x
C． y x sin x
D． y 1 2x x
8．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
MA
当 MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1
i 1
i 1
n
又因为
42
xi
i 1
x 2
16940 ，所以 bˆ
xi
i 1 n
x yi y xi x 2
8470 16940
0.5 ，
i 1
a$ y b$x 74 0.5110 19 ，所以 $y 0.5x 19 ，................10 分

石室中学开学考试模拟(一)(理科)

x2 3开学考试模拟（一）（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 + 3i1.在复平面内，复数z =对应的点的坐标为iA. (3, 2)B. (2, 3)C. (-2,3)D. (3, -2)2. 已知集合A={x y=ln(-x2-3x+4)},B={y y=22-x2 }，则A B=A. (-4, 4]B. (0,1)C. (-∞, 4]D. (-4, +∞)3．设命题p : ∀x ≤ 0 , =-x ，则⌝p 为A．∀x ≤ 0 , C．∀x > 0 , ≠-x=-xB．∃x0D．∃x0≤ 0 ,≤ 0 ,=-x≠-x4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田1面积所用的经验公式为:弧田面积=2(弦+矢)×矢,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,2π现有圆心角为,半径等于20 米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据：3π≈3.14,≈1.73）A.220 平方米B. 246 平方米C. 223 平方米D.250 平方米5.已知双曲线8x2- 8 y2=-1有一个焦点在抛物线C : x2 = 2 py ( p > 0) 准线上，则p 的值为A．2 B．1 C．1D．1 2 46.已知正项递增等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若a +a = 20, a ⋅a= 64 ，则S6 =4 7 4 7A.313S9B.521 C.14D.157.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入A.P = 3N1000B.P =3M1000C.P =3M2000D.P =3N2000 x2 x 2x2 x 23 3 2 2 3 6 15.已知函数 f (x ) = ⎪3 18. 已知 2 sin(θ -π) cos(π +θ ) = cos 2θ ，且sin θ ≠ 0 ，则tan(θ + 4 π) 的值为 6A.B.33C. 2 -D. 2 +9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为 S 1 ，其内切球的表面积为 S 2 ，且 S 1 = λS 2 ，则λ =A ．1B ．2C ．3 D ． 432310. 已知 AB 是半径为 2 的圆 M 的一条直径，四边形 ABCD 是圆 M 内接四边形， ∠CMD = 120，若 P在线段 CD 上（端点 C 、D 除外）运动，则 PA ⋅ PB 的取值范围A ． (0,3)B ． (1,3)C ．[-3,0)D ． (-3,3)x 2 y 2 x 2 y 211. 已知椭圆C 1 : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) ，双曲线C 2 : b 2 - a 2 - 2b 2= 1 ，F 1 , F 2 分别为C 2 的左、右焦点，P 为C 和C 在第一象限内的交点，若∆PF F 的内切圆的圆心的横坐标为 2，C 和C 的离心率之积为 3，1 2 1 21 2 2则该内切圆的半径为A . 4 - 2B . 4 + 2C . 4 - 2D . 4 - 2 12.已知函数 f (x ) = x e x则 m 的取值范围是+ln x +1 ，若关于 x 的方程 f 2 (x ) - mf (x ) + m 2-1 = 0 恰好有 4 个不相等的实根，xA ． (1, 1+1)e B ． (0, 1+1)eC. (1,2 3 ) 3D ． (0,2 3 )3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.如图，动点 P （x ，y ）在平行四边形 ABCD 内部（含边界）运动，则z = 2x - 4 y 的最小值为.14.将 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有种放法.（用数字作答）⎧1 x 3 - ax +1, 0 ≤ x < 1,⎨ ，若 ⎪⎩a ln x , x ≥ 1,f (x ) ≥ f (1) 恒成立，则正实数a 的取值范围是.16. 已知 f (x ) = m sin ωx - cos ωx (m > 0,ω > 0) ， g (x ) = e x ，若对 ∀x ∈ R ， ∃x ∈[0, ln 2] ，使得f (x 1 ) ≤g (x 2 ) 成立，若 f (x ) 在区间[0,π ] 上的值域为[-1,2] ，则实数ω 的最大值为.36 6 6 3 2⎩ 三、解答题：（一）必考题：共 60 分 17.（本小题满分 12 分）已知数列{a }， a = 3 ，且对任意n ∈ N *，都有a n + a n +2 = an12n +1（1）设b n = a n +1 - a n ，判断数{b n }是否为等差数列或等比数列；a = 5 c =⎧⎪a n , n 为奇数{c } 2n S （2）若 2 n ⎨⎪2a n -1, ，求数列 n 为偶数n 的前项的和 2n .18.（本小题满分 12 分）某房产中介公司对 2018 年成都市前几个月的二手房成交量进行统计， y 表示 2018 年 x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i 1 2 3 4 5 6 7 8 y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到 0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获 5 千元奖金；抽中“二等奖”获 3 千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概 11 率为，获得“二等奖”的概率为 42，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 X （千元）的分布列及数学期望.8 8 8参考数据：∑ x y = 850 ， ∑ x 2= 204 ， ∑ y 2= 3776 ，≈ 4.58 ， ≈ 5.57 .i ii =1ii =1ii =1∑ x i y i- n ⋅ x ⋅ y参考公式：相关系数 r = i =1nn∑ x 2- nx 2∑ y 2- ny2iii =1i =1n， 21 312 633 19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，∆PAD 是等边三角形，四边形 ABCD 是矩形， CD =，F 为棱 PA 上一点，且AF = λAP (0 < λ < 1) ，M 为 AD 的中点，四棱锥 P -ABCD 的体积为 . 31（1）若λ = ，N 是 PB 的中点，求证：平面 MNF // 平面 PCD ；2（2）是否存在λ ，使得平面 FMB 与平面 PAD 所成的二面角余弦的绝对值为? 1120.（本小题满分 12 分）x 2 y 2已知椭圆 C ： + a 2 b2= 1(a > b > 0) 上任意一点到其两个焦点 F 1 , F 2 的距离之和等于 2 5 ，焦距为 2c ，圆O : x 2 + y 2 = c 2 ， A , A 是椭圆的左、右顶点， AB 是圆O 的任意一条直径，四边形 A AA B 面积1212的最大值为2 5 .（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，若直线l 1 : y = kx + m (m ≠ 0) 与圆O 相切，且与椭圆相交于M , N 两点，直线l 2 与l 1 平行且与椭圆相切于 P （ O , P 两点位于l 1 的同侧），求直线l 1 ， l 2 距离d 的取值范围.21 1 ⎩⎩ 21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = 1x 2+ m ln(1- x ) ，其中m ∈ R ．2（1）求函数 f (x ) 的单调区间；（2）若函数 f (x ) 存在两个极值点x ， x ，且 x < x ，证明： f (x ) + f (x ) > - ln 4 ． 1212124 4（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为⎧x = 3cos θ(θ为参数），P (x , y ) 是曲线 C 上的任意一点，⎨ y = 2sin θ 0 0⎧x = x 0 动点Q (x , y ) 满足⎨2 y = 3y，记Q (x , y ) 轨迹为 E ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极轴建π立极坐标系， l 的极坐标方程为θ = 4（1）求 E 的普通方程；(ρ ∈ R ) ，A 点的极坐标为(5,0)（2）若l 与 E 交于 M ，N 两点，求∆AMN 的面积；23．选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x ) = x .(1)求不等式 f (x -1) + f (2x -1) ≤ 2x 的解集；1 4 9(2)若a > 0, b > 0, c > 0 ，且 + + = 1,证明: f (x + a ) + f (x - b - c ) ≥ 36 .a b c。

{高中试卷}四川省上学期成都石室中学高三数学文开学考试试题答案[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：四川省2021年上学期成都石室中学高三数学文开学考试试题答案13.y =14.315．(-∞，1)(0-⋃，1)16.①②④ 17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <- (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则126a x --=，226a x -+=当206a x -<<或26x ->时，()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在，)+∞上单调递增；()f x 在22(,66a ---上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD …………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD 的距离为FO =分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD ………………10分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯=…………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分又2221a c b -==，解得2a =，c =，则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=，则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，212251m x x k -=+，…………7分设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分 21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x -=，所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分（Ⅱ）依题意，．则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=．()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,ax e -∈()(1)0x t x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--，…………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+…………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。

石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(理科)

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e−a
．
( ) 则 g( x) = ex − a = xex − a ，令 t ( x) = xex − a ， x 0, e−a ， t( x) = ex (x +1) 0 ， xx
( ) 所以 t ( x) 在 0, e−a 上是单调增函数．
( ) 要使得 g ( x) 在 0, e−a 上存在极值，
( ) ( ) f (e) = 1 − 2 ， f e3
e2
=
1 e2
−1 3
，
f
(e)
f
e2
所以
f (x)min
=
f
(3) =
ln 3 − 2 3
，
f (x)max
=
f
(e2 ) =
1 e2
−1 3
．…………5 分
（Ⅱ）依题意
g
(
x)
=
ex
+
1 x
−
a
ln
x
+
1 x
−1
=
ex
−
a
ln
x
+1，
0
x1 x2
x1 x2
k2 =
m2 − r2 1+ k2
+
km
−2km 1+− r2k2 =
m2 − r2
…9 分
1+ k2
将
m2
=1+
4k 2
代入上式，可得
k1k2
=
(4
− r2 )k2 m2 − r2
+1
=
(4 − r2 )k2 4k 2 + (1 −
+1 r2)

四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试数学(理)含答案

⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。

四川省成都市石室阳安中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学(理)试题

A．命题“ p q ”为假命题，则命题 p 与命题 q都是假命题
B．命题“若 x y ，则 sin x sin y ” 的逆否命题为真命题
C．若 x0 使得函数 f x 的导函数 f x0 0 ，则 x0 为函数 f x 的极值点；
D．命题“ x0 R ，使得 x02 x0 1 0 ”的否定是：“ x R ，均有 x2 x 1 0 ”
A． 1, 2
B． 2,3
C． 3, 4
D． 4,5
二、填空题 13．若直线 ax 2by 2 0(a,b 0) 始终平分圆 x2 y2 4x 2y 8 0 的周长，则 1 2 的
ab
最小值为
．
14．已知直线 l1 : x my 1 0 过定点 A，直线 l2 : mx y m 3 0 过定点 B ，l1 与 l2 相交
19．已知函数 f x 2 ln x ax2 b 在 x 1处取得极值 1.
（1）求 a ， b 的值；
（2）求 f x 在 e1, e 上的最大值和最小值.
{#{QQABYYYQogCIABIAABgCEQHiCkCQkAACCKgGRAAEMAABSAFABAA=}#}
试卷第 3页，共 4页
A． 2 5
3 B． 5
C．
1 2
D． 1 3
9．已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数，且满足 f x 2 f x 0 ，当 x 0,1 时，
f
x
2x
1，则
f
11 2
（
）
A． 8 2 1
B． 2 2 1
C． 2 1
D．1 2
10．已知 F1, F2 是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且 F1PF2 60, PF1 3 PF2 ，

四川省成都石室中学2021届高三数学上学期开学考试试题理

四川省成都石室中学2021届高三数学上学期开学考试试题理一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．32．i 为虚数单位， 512iz i=+，则z 的共轭复数为（） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（） A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生4．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件6 ．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23a =2b =，60A =︒，则B 为（） A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（）A ．22xxy -=- B ．tan y x x = C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF=AMF ∆的面积为（）A ．1B 2C ．2D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（） A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（） A ．235x y z <<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x <<11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）A ．11πB ．143πC ．283πD ．16π12.已知a 为常数，函数()212e 1+2xf x ax ax a =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是（）A ．0a < B. 01a << C ．()15f x > D ．()23f x > 二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．16.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形1BFD E 一定是平行四边形；③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积的最大值为2.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6小题；共70分）17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114620,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()422116940,i i x x =∑-=()42215250,i i y y =∑-=其中,i i x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42i =，y 与x 的相关系数0.82r =．（Ⅰ）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系（不必说理由）；（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并估计如果B 考生参加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？附：回归方程y a bx =+中, 1122211()()=()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ya y bx x x xn b x====---==---∑∑∑∑，18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3，短轴长为2，直线l 与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O 为圆心的圆满足：此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），且OP ，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13a =时，求()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值；（Ⅱ）设函数()()1xg x e f x x=+-在区间()0,a e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=-+⎩为参数）．（Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3xOA παα∠=<<，B 为2C 上的一点，且3AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值．石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分所以()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑.............8分又因为()422116940i i x x =-=∑，所以()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑，740.511019a y bx =-=-⨯=，所以0.519y x =+，................10分将125x =代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则126a x --=，226a x -+=当0x <<或x >()0f x '>；当2266a x ---<<()0f x '<；()f x 在，)+∞上单调递增；()f x 在22(66a --上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥, 又FOBD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴∵DBF ∆为等边三角形，∴,DB EFDB EF =∴(()(,3,0,3,0,2,0AF AD EF =-=-=设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则320AF n x EF n y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅==⎪⎩ 取1x =，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面AEF 所成角为θ，………10分6,4AD n AD n AD n⋅==⋅分20．解：（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分又2221a c b -==，解得2a =，c =，则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为225x y +=．证明如下：假设存在符合条件的圆，设此圆的方程为222(0)x y r r +=>，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩可得2222(1)20k x kmx m r +++-=，则△22222(2)4(14)()0km k m r =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，221221m r x x k -=+，…………7分设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222222222221212121212222212121222()()()111m r kmk km m y y kx m kx m k x x km x x m m r k k k k k m r x x x x x x m r k --+++++++-++=====--+ (9)分将2214m k =+代入上式，可得2222122222(4)1(4)14(1)r k r k k k m r k r -+-+==-+-，…………10分要使12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意．所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值14-，…………11分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，综上可得当圆的方程为225x y +=时，直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．……12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x -=，所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分（Ⅱ）依题意()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭，0a x e -<<．则()x xa xe a g x e x x-'=-=，令()x t x xe a =-，()0,a x e -∈，()(1)0xt x e x '=+>，所以()t x 在()0,ae-上是单调增函数．要使得()g x 在()0,ae-上存在极值，则须满足()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩即0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩所以0aae e a -->>，ln e e a a -->，即ln ae a a ->+．…………8分所以1111ln 1ln 1aea a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以0a >，1ln 10a a+-≥．…………11分即110a e a a --+-->，所以11a e a a --+>+．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+-…………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。

2021年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷(理科)

2021年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{y|y＝2x，x≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0}C．{1，2}D．{﹣1，0}2．（5分）设i为虚数单位，若复数z满足（2+i）z＝5，则|z|＝（）A．5B．C．D．23．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．﹣1B．1C．3D．54．（5分）下列说法错误的是（）A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件B．在回归直线＝0.5x﹣85中，变量x＝200时，变量y的值一定是15C．命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0D．若α∩β＝1，m⊂α，n⊂β，α⊥β，m⊥l，则m⊥n5．（5分）多项式（x﹣）（1﹣x）4的展开式中含x2项的系数为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．46．（5分）已知函数f（x）＝ae x+x2的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝（2e+2）x+b，那么ab＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣27．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，则其大致图象是下列图中的（）A．B．C．D．8．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题（如7被3除余1：1被2除余1）．现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则数列{a n}各项的和为（）A．736B．816C．833D．298009．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x 的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．（5分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC 为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P﹣ABC有一个内切球O，则球O的体积为（）A．A B．C．D．9π11．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，满足f（2﹣x）＝f（x），且f（x）在（﹣1，0）上递减．若a＝f（5），b＝f（﹣ln2），c＝f（log318），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c12．（5分）已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F1作斜率为的直线l与双曲线的左，右两支分别交于M，N两点，以F2为圆心的圆过M，N，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡上．13．（5分）记S n为递增等比数列{a n}的前n项和，若a1a2a3＝8，a4＝a3+4，则S10的值为．14．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则向量﹣与的夹角为．15．（5分）已知直线经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，并交抛物线于A，B两点，则|AF|＝4，且在抛物线的准线上的一点C满足＝2，则p＝．16．（5分）函数f（x）的定义域为D，若满足：（1）f（x）在D内是单调函数；（2）存在，使得f（x）在上的值域为[m，n]，那么就称函数f （x）为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若c＝2，△ABC的面积为，D为边BC的中点，求AD的长度．18．（12分）在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．（1）求证：FO1∥平面ADE；（2）若BC＝FC＝2，求二面角B﹣AF﹣C的余弦值．19．（12分）2021年3•15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20．（12分）已知椭圆M：＝1（a＞b＞0）离心率为，点P（）在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，且O为△ABC的重心，探究△ABC面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣alnx+4a，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令g（x）＝f（x）﹣sin x，若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），证明：．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直线l：，圆C：ρ＝2sinθ．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|3x﹣1|+|2x+2|的最小值M．（1）求M；（2）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c＝9M，求证：（）（）（）≥8．2021年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{y|y＝2x，x≤0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0}C．{1，2}D．{﹣1，0}【解答】解：∵A＝{y|y＝2x，x≤0}＝{y|0＜y≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{y|0＜y≤1}∩{﹣1，0，1，2}＝{1}．故选：A．2．（5分）设i为虚数单位，若复数z满足（2+i）z＝5，则|z|＝（）A．5B．C．D．2【解答】解：∵复数z满足（2+i）z＝5，∴z＝＝＝＝2﹣i．∴|z|＝＝．故选：C．3．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．﹣1B．1C．3D．5【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），由z＝x+2y，化为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．4．（5分）下列说法错误的是（）A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件B．在回归直线＝0.5x﹣85中，变量x＝200时，变量y的值一定是15C．命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0D．若α∩β＝1，m⊂α，n⊂β，α⊥β，m⊥l，则m⊥n【解答】解：当a＞1，可得，即为充分条件，当时，可得a＞1或a＜0，即为不必要条件，故A选项正确，当变量x＝200时，回归直线＝0.5x﹣85＝0.5×100﹣85＝15，说明y的值在15附近波动，故B选项错误，特称命题的否定为全称命题，故C选项正确，∵α∩β＝1，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β，∵n⊂β，∴m⊥n，故D选项正确．故选：B．5．（5分）多项式（x﹣）（1﹣x）4的展开式中含x2项的系数为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：多项式（x﹣）（1﹣x）4的展开式中含x2项的系数为•（﹣1）﹣2•（﹣1）3＝﹣4+8＝4，故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝ae x+x2的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝（2e+2）x+b，那么ab＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【解答】解：f（x）＝ae x+x2图象在（1，f（1））切线方程为y＝（2e+2）x+b，由f（x）＝ae x+x2，f′（x）＝ae x+2x，f′（1）＝ae+2＝2e+2⇒a＝2，f（1）＝ae+1＝2e+2+b⇒b＝﹣1，ab＝﹣2，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，则其大致图象是下列图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），∴该函数为偶函数，故排除答案A，D，又∵f（）＝0而B选项中显然f（）＜0，因此排除B．故选：C．8．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题（如7被3除余1：1被2除余1）．现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则数列{a n}各项的和为（）A．736B．816C．833D．29800【解答】解：“能被2除余1且被3除余1的数”即“被6除余1”，所有项为等差数列，通项为“a n＝6n﹣5”，由题意知6n﹣5≤100，得n≤，∴n≤17，a17＝6×17﹣5＝97，a1＝1，∴S17＝＝＝833．故选：C．9．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x 的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由图象知函数的周期T＝4（﹣）＝4×＝，即＝，得ω＝3，则f（x）＝sin（3x+φ），由f（）＝sin（3×+φ）＝﹣1，得sin（+φ）＝﹣1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（3x+）＝sin3（x+），为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y ＝sin3（x﹣+）＝sin3x，故选：C．10．（5分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P﹣ABC有一个内切球O，则球O的体积为（）A．A B．C．D．9π【解答】解：由题意，将鳖臑补形为长方体，如图根据P A＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，可得△P AC的面积为10，△BAC的面积为6，△BPC的面积为10，，△BAP的面积为6，三棱锥P﹣ABC有一个内切球半径为r，可得V P﹣ABC＝即＝解得r＝，∴球O的体积＝．故选：C．11．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，满足f（2﹣x）＝f（x），且f（x）在（﹣1，0）上递减．若a＝f（5），b＝f（﹣ln2），c＝f（log318），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：由y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，可得f（x）是偶函数，即f（﹣x）＝f（x）；∵f（2﹣x）＝f（x），即f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），可得f（x）的周期T＝2；f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增．a＝f（5）＝f（）≈f（0.404），b＝f（﹣ln2）＝f（ln2）≈f（0.69），c＝f（log318）＝f（2+log32）＝f（log32）≈f（0.63），注：log32＝，则a＜c＜b．故选：A．12．（5分）已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F1作斜率为的直线l与双曲线的左，右两支分别交于M，N两点，以F2为圆心的圆过M，N，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：取MN的中点P，因为以F2为圆心的圆过M，N，则MF2＝NF2，连结F2P，则F2P⊥MN，设MF2＝NF2＝x，因为MF2﹣MF1＝2a，则MF1＝x﹣2a，又因为NF1﹣NF2＝2a，则NF1＝x+2a，所以MN＝NF1﹣MF1＝4a，则MP＝NP＝2a，故PF1＝x，在Rt△F1F2P中，PF2＝，在Rt△MF2P中，PF2＝，所以＝，解得x2＝2a2+2c2，又直线的斜率为，则tan∠PF1F2＝，所以，即c2＝3a2，所以离心率．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡上．13．（5分）记S n为递增等比数列{a n}的前n项和，若a1a2a3＝8，a4＝a3+4，则S10的值为1023．【解答】解：∵{a n}为等比数列，又∵a1a2a3＝8，∴，a2＝2，设等比数列{a n}的公比为q，∵a4＝a3+4，∴，即2q2＝2q+4，解得q＝﹣1，q＝2，∵{a n}为递增的等比数列，∴q＝﹣1（舍去），q＝2，∵a2＝2a1，∴，运用等比数列前n项和公式．故答案为：1023．14．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则向量﹣与的夹角为150°．【解答】解：向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，∴cos＜（），＞＝＝＝＝＝﹣．∴向量﹣与的夹角为150°．故答案为：150°．15．（5分）已知直线经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，并交抛物线于A，B两点，则|AF|＝4，且在抛物线的准线上的一点C满足＝2，则p＝2．【解答】解：过A作AD垂直于准线于D，过B作BE垂直于准线于E点设准线与x轴交于P，由抛物线的性质可得|AF|＝|AD|＝4，＝2，可得|BC|＝2|BF|＝|BE|，所以∠DCA＝30°，所以|AC|＝2|AD|＝8，|CF|＝|AC|﹣|AF|＝8﹣4＝4，所以|PF|＝|CF|＝2＝p，故答案为：2．16．（5分）函数f（x）的定义域为D，若满足：（1）f（x）在D内是单调函数；（2）存在，使得f（x）在上的值域为[m，n]，那么就称函数f （x）为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是（﹣，0）．【解答】解：（1）设u（x）＝a x+t，则y＝log a u，当a＞1时，u（x）＝a x+t为增函数，y＝log a u也是增函数，则y＝log a（a x+t）为增函数，当0＜a＜1时，u（x）＝a x+t为减函数，y＝log a u也是减函数，则y＝log a（a x+t）为增函数，综上可得：y＝log a（a x+t）为增函数，即f（x）在D内是单调函数．（2）∵f（x）是单调递增函数，∴若f（x）＝log a（a x+t）为“梦想函数”，则有，即方程a+t＝a x有两个不同的正数解，即可得（a）2﹣a﹣t＝0有两个不同的正数解，则有，即，可得﹣＜t＜0，即t的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若c＝2，△ABC的面积为，D为边BC的中点，求AD的长度．【解答】解：（I）因为．由正弦定理可得，sin C＝sin A cos B﹣sin B sin A，即sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝sin A cos B﹣sin B sin A，因为sin B≠0，所以tan A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝，（II）因为S△ABC＝＝＝，故b＝1，由题意可得，＝，∴||2＝＝＝，故AD＝．18．（12分）在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．（1）求证：FO1∥平面ADE；（2）若BC＝FC＝2，求二面角B﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：连接O1C，因为EA，FC，都是圆柱O1O2的母线，所以AE∥CF，因为C，D是的两个三等分点，AB为圆O1的直径，所以AD∥O1C，又因为AD∩AE＝A，CF∩O1F＝F，所以平面AED∥平面O1CF，又因为O1F⊂平面O1CF，所以FO1∥平面ADE．（2）解：连接AC，因为AB为圆O1的直径，所以AC⊥BC，又因为CF⊥平面ABC，所以CF⊥CB，CF⊥AC，所以CA、CB、CF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：C（0，0，0），B（0，2，0），F（0，0，2），A（2，0，0），＝（﹣2，2，0），（﹣2，0，2），设平面ABF的法向量为＝（x，y，z），，令x＝1，则＝（1，，），平面ACF的法向量为＝（0，1，0），所以二面角B﹣AF﹣C的余弦值为＝＝．19．（12分）2021年3•15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【解答】解：（1）选择方案一，若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，故该顾客享受7折优惠的概率为＝；（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X的可能取值为5000，7000，9000，10000，所以P（X＝5000）＝＝，P（X＝7000）＝＝，P（X＝9000）＝＝，P（X＝10000）＝1﹣﹣﹣＝，故E（X）＝5000×+7000×+9000×+10000×＝元；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝10000﹣2000Y，由已知可得Y～B（3，），所以E（Y）＝3×＝，故E（Z）＝E（10000﹣2000Y）＝10000﹣2000E（Y）＝8800元．因为E（X）＞E（Z），故该顾客选择第二种抽奖方案更合算．20．（12分）已知椭圆M：＝1（a＞b＞0）离心率为，点P（）在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，且O为△ABC的重心，探究△ABC面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）因为点P（）在椭圆M上，则，又离心率为，则，结合a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆M的方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，则AB⊥x轴，点C在x轴上，|AB|＝，点C到AB的距离为3，故S△ABC＝＝；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，可得（4k2+1）x2+8kmy+4（m2﹣1）＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＝16（4k2+1﹣m2）＞0，且，故，因为O为△ABC的重心，则，故点在椭圆上，则有，整理可得4m2＝4k2+1，所以＝，又点O到直线AB的距离为，所以S△ABC＝3S△ABO＝＝．综上所述，△ABC面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣alnx+4a，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令g（x）＝f（x）﹣sin x，若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），证明：．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0当a＞0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在上单调递减，在单调递增．（2）证明：g（x）＝2x﹣alnx﹣sin x+4a，∵g（x1）＝g（x2），∴2x1﹣alnx1﹣sin x1＝2x2﹣alnx2﹣sin x2，∴a（lnx1﹣lnx2）＝2（x1﹣x2）﹣（sin x1﹣sin x2），令h（x）＝x﹣sin x，则h'（x）＝1﹣cos x≥0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，不妨设x1＞x2＞0，∵h（x1）＞h（x2），∴x1﹣sin x1＞x2﹣sin x2∴﹣（sin x1﹣sin x2）＞x2﹣x1，∴2（x1﹣x2）﹣（sin x1﹣sin x2）＞2（x1﹣x2）+（x2﹣x1）＝x1﹣x2，∴a（lnx1﹣lnx2）＞x1﹣x2，∴，下面证明，令，只需证，只需证，设，则，∴m（t）在（1，+∞）递增，∴m（t）＞m（1）＝0，即成立，∴，即．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直线l：，圆C：ρ＝2sinθ．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（2）已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．【解答】解：（1）由，得，又，代入可得直线l的直角坐标方程为：，即为；由圆C：ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2，∴圆C直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由x2+（y﹣1）2＝1得，圆C的参数方程为（α为参数）；（2）设点P坐标为（cosα，1+sinα），则＝，又d2＝1+sinα，那么，当时，d1+d2取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|3x﹣1|+|2x+2|的最小值M．（1）求M；（2）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c＝9M，求证：（）（）（）≥8．【解答】（1）解：f（x）＝|3x﹣1|+|2x+2|＝，f（x）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，则f（x）的最小值为f（）＝，故M＝；（2）证明：a+b+c＝9M＝24，（）（）（）＝（）（）（）＝（）（）（）．当且仅当a＝b＝c＝8时等号成立．。

2021年成都石室中学高三上学期入学考试数学文模拟练习解析版配套精选卷

〔2〕假设将上述频率视为概率，该服装店实体店每天的人工本钱为500元，门市本钱为1200元，每售出一件利润为50元，求该门市一天获利不低于800元的概率；
〔3〕根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值〔精确到〕．
20．椭圆C的两个顶点分别为，焦点在x轴上，离心率为.
〔1〕求椭圆C的方程
A．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕B．〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕
C．〔﹣1，1〕D．[﹣1，1]
3．命题“，〞的否认是
A．，B．，
C．，D．，
4．在如图的程序框图中，假设输入，那么输出的的值是
A．3 B．7 C．11 D．33
5．在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，假设x满足|x|≤m〔m＞0〕的概率为，那么m的值等于
A．B．3 C．4 D．﹣2
6．等比数列{an}满足a1+a2=6，a4+a5=48，那么数列{an}前8项的和S8为
A．510 B．126 C．256 D．512
7．函数是定义域为的奇函数，，且当时，，那么以下结论正确的选项是
A．B．
C．D．
8．，实数x，y满足，假设z=3x+y最小值为1,那么a的值为
∴，得m=4．
∴m的值等于4．
应选：C．
【点睛】
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
当0＜m≤3时，
满足|x|≤m〔m＞0〕的解集的区间长度为2m，
又在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，假设x满足|x|≤m〔m＞0〕的概率为，

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石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试理科数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．i 为虚数单位， 512iz i=+，则z 的共轭复数为（） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（） A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生4．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（）A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件6 ．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a =2b =，60A =︒，则B 为（） A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（）A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF=AMF ∆的面积为（）A ．1B 2C ．2D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（） A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（） A ．235x y z <<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x <<11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（） A ．11πB ．143πC ．283πD ．16π12.已知a 为常数，函数()212e 1+2x f x ax ax a =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是（）A ．0a < B. 01a << C ．()15f x > D ．()23f x > 二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点E ，交棱于点F ，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直； ④四边形.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6小题；共70分）17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计1111ABCD A B C D -1BD α1AA 1CC α1BFD E α1DBB 1BFDE的值：4242421114620,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()422116940,i i x x =∑-=()42215250,i i y y =∑-=其中,i i x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42i =，y 与x 的相关系数0.82r =．（Ⅰ）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系（不必说理由）；（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并估计如果B 考生参加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？附：回归方程y a bx =+中, 1122211()()=()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ya y bx x x xn b x====---==---∑∑∑∑，18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数). （1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，短轴长为2，直线l 与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O 为圆心的圆满足：此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），且OP ，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13a =时，求()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值；（Ⅱ）设函数()()1xg x e f x x=+-在区间()0,a e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=-+⎩为参数）．（Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3xOA παα∠=<<，B 为2C 上的一点，且3AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值．石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ()()4242114235035042110748470i i i i i i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =○1当24480a ∆=-≤时，即0a -<，()0f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则126a x -=，226a x -=当0x <<或x >()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在，)+∞上单调递增；()f x 在22(66a --上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴∵DBF ∆为等边三角形，∴,DB EFDB EF =∴(()(,3,0,3,0,2,0AF AD EF =-=-=设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则320AF n x EF n y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅==⎪⎩取1x =，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面AEF 所成角为θ，………10分6,4AD n AD n ADn⋅==⋅分20．解：（1，可得c e a==，由短轴长为2，可得1b =， …………1分又2221a c b -==，解得2a =，c =则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为225x y +=．证明如下：假设存在符合条件的圆，设此圆的方程为222(0)x y r r +=>，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分由方程组222y kx mx y r =+⎧⎨+=⎩可得2222(1)20k x kmx m r +++-=，则△22222(2)4(14)()0km k m r =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，221221m r x x k -=+，…………7分设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222222222221212121212222212121222()()()111m r kmk km m y y kx m kx m k x x km x x m m r k k k k k m r x x x x x x m r k --+++++++-++=====--+ (9)分将2214m k =+代入上式，可得2222122222(4)1(4)14(1)r k r k k k m r k r -+-+==-+-，…………10分要使12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意．所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值14-，…………11分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，综上可得当圆的方程为225x y +=时，直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．……12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x-=，所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分（Ⅱ）依题意，． ()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae -()g x ()0,ae -()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+11 12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+- …………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。