1.5可测集与可测函数(讲义)(可编辑修改word版)

1.5 可测集与可测函数

1.5.1 可测集与可测函数

定义 1.5.1 设 X 是基本空间， R 是 X 上的

- 代数，且 X =

E ， E ∈R

则称 ( X , R ) 是 可测空间 (measurable space)， R 中的元素 E 是 ( X , R ) 上的 可测集 (measurable set)。 特别地，

当 X = R 1 ， R = L 时，称(R 1 , L ) 是 Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集 称为 Lebsgue 可测集；

当 X = R 1 ， R = S (R ) = B 时，称(R 1 , B ) 是 Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为 Borel 可测集.

注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在- 代数 R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。

定义 1.5.2 设( X , R ) 是可测空间， E ⊂ X ， f 数c ，集

是定义在 E 上的有限实函数。若对一切实 E (c ≤ f ) ={x c ≤ f (x ), x ∈ E }

都是( X , R ) 上的可测集（即： E (c ≤ f )∈ R ），则称 f 称 E 上的可测函数(measurable function)。特别地，

是 E 上关于 R 的可测的函数，简 当( X , R ) = (R 1, L ) 时，称 f

当( X , R ) = (R 1, B ) 时，称 f 是 E 上关于 L 的 Lebsgue 可测函数；

是 E 上关于 B 的 Borel 可测函数。

定理 1.5.1 设( X , R ) 是可测空间， f 是定义在 E ⊂ X 上的有限实函数。则 f 是 E 上的

可测函数的充分必要条件是：对任意实数c , d ，集

E (c ≤ f < d )

是可测集。

证 设 f

是可测函数，由于

E (c ≤ f

< d ) = E (c ≤ f ) - E (d ≤ f ) ，

而 E (c ≤ f ) 和 E (d ≤ f ) 都是可测集，所以 E (c ≤ f < d ) 是可测集。

反之，若已知对任意实数c , d ，集 E (c ≤ f < d ) 是可测集，则由

⎨ ⎪

∞

E (c ≤ f ) = E (c ≤ f n =1

< c + n )

立即得 E (c ≤ f ) 是可测集。 证毕！

例 1.5.1 定义在闭区间 E =[a , b ] 上的任何一个连续函数 f

都是 E 上的 Lebsgue 可测函 数。

证 对任意实数c ，由 f

的连续性，集

E (c ≤ f ) ={x c ≤ f (x ),

x ∈[a , b ]}

是[a , b ] 中的闭集（自习），因此 E (c ≤ f ) 是可测集；故 f 都是[a , b ] 上的可测函数。

例 1.5.2 设函数 f 间，函数

定义在 E = (-∞, ∞) 上， a i , b i (i =1,2, ,n ) 是一组互不相交的区

⎧i ,

f (x ) = ⎪

x ∈ a i , b i (i =1,2, ,n ), n

⎪ 0, ⎪⎩

x ∈(-∞, ∞) - i =1 a i , b i

称为阶梯函数，它是 E 上的 Lebsgue 可测函数。

证 因为对任意实数c ，

E (c ≤ f ) ={x c ≤ f (x ), x ∈(-∞, ∞)}

或是全直线，或是空集，或是有限个区间的并，而这些都是 Lebsgue 可测集，所以 f 是

(-∞, ∞) 上的可测函数。

例 1.5.3

设

( X , R ) 是 可 测 空 间 ， E , E i ∈ R ， i = 1, 2, , n ，

∞

E i ⊂ E ， 且 i =1

E i E j = ∅, i ≠ j . f 是定义在 E 上的函数，且

⎧i , f (x ) = ⎪ x ∈ E i (i =1,2, ,n ),

n

则 f 是 E 上的可测函数。 ⎨

0, ⎩

x ∈ X - E i ,

i =1

例 1.5.4 (不可测函数的例)

(R 1, L ) 是 Lebsgue 可测空间， Z 是 Lebsgue 不可测集， f (x )

是 Z 的特征函数

Z

(x ) ， x ∈R 1. 因为

2 2 R 1 (1 ≤ Z

) ={

x Z

(x ) ≥ 1 , x ∈R 1}

= Z

是 Lebsgue 不可测集，所以函数

Z

(x ) 不是 R 1 上的 Lebsgue 可测函数。

例 1.5.5 也有这样的可测空间( X , R ) ，定义在 X 上的所有函数都是可测函数。

例如，取 R = 2X （此时 R 是一个- 代数）， f 数，对任意实数c ，显然

是定义在 X 上的任意一个有限实函 X (c ≤ f ) ={x c ≤ f (x ), x ∈ X }∈ R ，

故 f 是 X 上的可测函数。

1.5.2 可测函数的性质

定理 1.5.2 设( X , R ) 是可测空间， f

是定义在 E ⊂ X 上的有限实函数，则

(1) 若 f 是 E 上的可测函数，则 E 必是可测集；反之不然（为什么？）。

(2) 若 f 是 E 上的可测函数， E 1 ⊂ E 可测，当 f 作为 E 1 上的函数时， f 是 E 1 上的可

测函数；

(3) 设 E 1 E 2 = ∅, E 1 E 2 = E ，若 E 1 ,

E 2 是可测集，则 f

是 E 上的可测函数的充分

必要条件是： f 是 E 1 , E 2 上的可测函数。

(4) 集 E 是可测集的充分必要条件是：集 E 的特征函数E

(x ) 是 X 上可测函数。

证 (1) 因为

∞

E = E (-n ≤ f ) ，

n =1

而根据可测函数的定义，集 E (-n ≤ f ) 是可测集，所以 E 是可测集。

反之不然。因为对∀E ∈ L 且 m (E ) ≠ 0 ，都存在 F ⊂ E ,

意子集都∈ L ，则 m (E ) = 0 .

F ∉ L . 若 E ∈ L ，其任

(2) 对任意实数c ，由于 E 1 (c ≤ f ) = E (c ≤ f ) E 1 ，而 E (c ≤ f ) 和 E 1 都是可测集，所以

E 1 (c ≤ f ) 是可测集，即 f 作为 E 1 上的函数时，它是 E 1 上的可测函数。

(3) 设 f 是 E 上的可测函数，由(2)知： f 是 E 1 , E 2 上的可测函数。

反之，若 f 是 E 1 , E 2 上的可测函数，对任意实数c ，由于