2020年九年级数学上期中试题(及答案)

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2020-2021学年湖北省武汉市青山区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将方程x2−8x=10化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为()A. −8B. 8C. 10D. −102.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为()A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2(x−3)2D. y=2(x+3)24.如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于()A. 100°B. 50°C. 40°D. 25°5.抛物线y=−3(x−1)2−2的顶点坐标是()A. (1,2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)6.用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是()A. (x+5)2=16B. (x+5)2=34C. (x−5)2=16D. (x+5)2=257.如图，Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为()A. 12°B. 15°C. 25°D. 30°8.要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，则参赛球队的个数是()A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个9.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC=180°.若AD=2，BC=6，则△BOC的面积为()A. 3B. 6C. 9D. 1210.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2−4ac<0；②a+b+c<0；③c−a=2；④方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知方程x2−4x+1=0的两个根是x1和x2，则x1+x2=______．12.已知点A(−2,a)与点B(b,3)关于原点对称，则a−b=______13.已知点A(−2,y1)，点B(1,y2)在抛物线y=3x2−2上，则y1，y2的大小关系是：y1______y2.(填“>”或“<”)14.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程是______．15.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加______m.16.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=√3，O为AB的中点，将OA绕着点O旋转得到OE，连接DE.以DE为边作等边△DEF(点D、E、F按顺时针方向排列)，连接CF，则CF的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2−x−1=0．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.二次函数y=ax2−2x+c中的x，y满足如表：x…−10123…y…0−3−4−3m…(1)求抛物线的解析式；(2)求m的值．19.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．20.请用无刻度直尺画出下列图形，并保留作图痕迹．(1)将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD；(2)过C作线段AB的垂线段CE，垂足为E；(3)作∠ABD的角平分线BF．21.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC.D是BC⏜的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．(1)求证：BC=2DE；(2)若AC=6，AB=10，求DF的长．22.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．(1)直接写出月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；(2)该超市想在月销售量不低于250千克的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为每千克多少元？(3)售价定为每千克多少元时会获得最大利润？求出最大利润．23.[学习概念]有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．[理解运用](1)如图1，在对余四边形ABCD中，连接AC，∠D=30°，∠ACD=105°，AB=AC，求∠BAD的度数；(2)如图2，在凸四边形ABCD中，DA=DB，DA⊥DB，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？并证明你的结论；(3)[拓展提升]如图3，在对余四边形ABCD中，∠A=45°.∠ABD+∠BDC=180°，BC=4.求AB+CD的长．24.已知抛物线y=ax2经过点A(2,1)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线l经过点A且与抛物线对称轴右侧交于点B，若△ABO的面积为6，求直线l的解析式；(3)如图2，直线CD与抛物线交于C、D两点，与y轴交于点(0,m)，直线PC、PD与抛物线均只有一个公共点，点P的纵坐标为n，求m与n的数量关系．答案和解析1.【答案】D【解析】解：方程整理得：x2−8x−10=0，其中二次项系数为1，常数项为−10．故选：D．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c= 0(a,b，c是常数且a≠0).在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】C【解析】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，C中图形是中心对称图形，故选：C．根据中心对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3.【答案】A【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2x2向上平移3个单位可得到函数y=2x2+3，故选：A．直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．4.【答案】B∠BOC=50°．【解析】解：∵∠BOC=100°，∴∠A=12故选：B．根据圆周角定理可求得∠A=50°．本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5.【答案】D【解析】解：∵y=−3(x−1)2−2是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,−2)．故选：D．直接根据顶点式的特点求顶点坐标．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．6.【答案】A【解析】解：x2+10x+9=0，x2+10x=−9，x2+10x+52=−9+52，(x+5)2=16．故选：A．移项，配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方)，即可得出答案．本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．7.【答案】B【解析】解：由旋转的性质可知，∠B′AB=∠BAC=30°，AB=AB′，(180°−30°)=75°，∴∠ABB′=∠AB′B=12∵∠BCB=90°，∴∠BB′C=90°−75°=15°，故选：B．利用旋转的性质，三角形面积和定理求解即可．本题考查旋转变化的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】B【解析】解：设参赛球队的个数是x，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x(x−1)2=15，解得：x1=6，x2=−5(不合题意，舍去)，则参赛球队的个数是6个；故选：B．根据赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=x(x−1)2，由此列出方程，然后求解即可．本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，读懂题意，得到总场数与球队之间的关系是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC=180°，∠BCE=90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=∠COE，∴AD⏜=CE⏜，∴AD=CE=2，∵BC=6，∴△BEC的面积为12BC⋅CE=12×6×2=6，∵OB=OE，∴△BOC的面积=12△BEC的面积=12×6=3，故选：A．延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC=180°，∠BCE=90°，由∠AOD+∠BOC=180°，∠AOD=∠COE，推出AD=CE=2，根据三角形的面积公式可求得△△BEC的面积．BEC的面积为6，由OB=OE，可得△BOC的面积=12本题主要考查了圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解决问题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为；抛物线与y轴的交点坐标抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,2)得a−b+c=2，由抛物线的对称轴为直=−1得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，线x=−b2a二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．11.【答案】4【解析】解：根据题意得x1+x2=−−41=4．故答案为4．根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．12.【答案】−5【解析】解：由题意，得：a=−3，b=2，a−b=−3−2=−5，故答案为：−5．根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．13.【答案】>【解析】解：∵点A(−2,y1)，点B(1,y2)在抛物线y=3x2−2上，∴当x=−2时，y1=12−2=10，当x=1时，y2=3−2=1，∴y1>y2，故答案为>．将点A(−2,y1)，点B(1,y2)分别代入y=3x2−2，求出相应的y1、y2，即可比较大小．本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．14.【答案】36(1−x)2=25【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=25，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一次降价后的价格为36×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×(1−x)×(1−x)，则列出的方程是36(1−x)2=25．故答案为：36(1−x)2=25．15.【答案】(2√6−4)【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标(−2,0)，到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−1代入抛物线解析式得出：−1=−0.5x2+2，解得：x=±√6，所以水面宽度增加到2√6米，比原先的宽度当然是增加了2√6−4，故答案为：(2√6−4)．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．16.【答案】2√3−1【解析】解：如图，连接DO，延长OA到T，使得AT=OA，连接DT，FT，CT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=90°，∵AD=√3，OA=OB=1，=√3，∴tan∠AOD=ADAO∴∠AOD=60°，∠ADO=30°，∴OD=2AO，∵AO=AT，∴OT=2AO，∴OT=OD，∴△ODT 是等边三角形，∵△DEF 是等边三角形，∴∠ODT =∠EDF =60°，DO =DT ，DE =DF ，∴∠DEO =∠FDT ，∴△DEO≌△FDT(SAS)，∴FT =OE =OA =1，∵∠B =90°，BT =2+1=3，BC =√3，∴CT =√BT 2+BC 2=√32+(√3)2=2√3，∵CF ≥CT −TF ，∴CF ≥2√3−1，∴CF 的最小值为2√3−1．故答案为：2√3−1．如图，连接DO ，延长OA 到T ，使得AT =OA ，连接DT ，FT ，CT.证明△DEO≌△FDT(SAS)，推出FT =OE =OA =1，利用勾股定理求出CT ，根据CF ≥CT −TF ，可得CF ≥2√3−1，由此即可解决问题．本题考查旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：x 2−x −1=0，x =−b±√b 2−4ac 2a=1±√1+42×1=1±√52， ∴x 1=1+√52，x 2=1−√52．【解析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．确定a ，b ，c 的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值．18.【答案】解：(1)由题意可知，抛物线y =ax 2−2x +c 经过(−1,0)，(0,−3)， ∴{a +2+c =0c =−3，解得：{a =1c =−3，所以抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3；(2)把x=3代入y=x2−2x−3，可得y=9−6−3=0，所以m=0．【解析】(1)取两组对应值代入y=ax2−2x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可；(2)把x=3代入二次函数的解析式求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19.【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+ 2x)cm，根据题意得：(80+2x)(50+2x)=5400，解得：x1=−70(不符合题意，舍去)，x2=5．答：金色纸边的宽度为5cm．【解析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+2x)cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．20.【答案】解：(1)如图，线段BD即为所求．(2)如图，线段CE即为所求．(3)如图，射线BF即为所求．【解析】(1)根据旋转变换的性质画出图形即可．(2)取格点T，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求．(3)取格点，G，H，连接GH，AD交于点F，作射线BF，射线BF即为所求．本题考查作图−旋转变换，角平分线，垂线段等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，∴DE=GE，BD⏜=BG⏜，∵D是BC⏜的中点，∴CD⏜=BD⏜=BG⏜，∴BC⏜=DG⏜，∴BC=DG=2DE；(2)解：连接BD、OD，如图所示：∵CD⏜=BG⏜，∴∠DBC=∠BDF，∴DF=BF，∵AB为⊙O的直径，AB=10，∴∠ACB=90°，OB=OD=5，∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8，BC=4，由(1)得：DE=12∵DE⊥AB，∴OE=√OD2−DE2=√52−42=3，∴BE=OB−OE=2，设DF=BF=a，则EF=4−a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+(4−a)2=a2，，解得：a=52∴DF=5．2【解析】(1)延长DE交⊙O于点G，先由垂径定理得DE=GE，BD⏜=BG⏜，再证出BC⏜=DG⏜，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；(2)连接BD、OD，先由圆周角定理得∠DBC=∠BDF，得DF=BF，由圆周角定理得BC=4，再由勾股定理求出OE=3，则BE=∠ACB=90°，勾股定理得BC=8，则DE=12OB−OE=2，设DF=BF=a，则EF=4−a，然后在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．22.【答案】y=−10x+1000w=−10x2+1400x−40000【解析】解：(1)月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：y=500−10(x−50)=−10x+1000，即y=−10x+1000；月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：w=(x−40)y=(x−40)(−10x+1000)=−10x2+1400x−40000，即w=−10x2+1400x−40000，故答案为：y=−10x+1000，w=−10x2+1400x−40000；(2)根据题意得：−10x2+1400x−40000=8000，解得：x1=80，x2=60，又∵月销售量不低于250千克，则有：−10x+1000≥250，解得：x≤75，∴x1=80>75(舍去)，答：销售单价应定为60元时，月销售利润达到8000元；(3)由(2)得：w=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，∵a=−10<0，∴抛物线的开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=70时，w取最大值，最大值为9000元，答：售价定为每千克70元时会获得最大利润？最大利润为9000元．(1)根据一个月可售出500千克，减去因涨价而减少的数量得到月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式，根据(售价−成本)×月销售量得到月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式；(2)将月销售利润8000元代入w=−10x2+1400x−40000，解方程即可得到结果；(3)将w=−10x2+1400x−40000化为顶点式就可以求出结果．本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是对余四边形，依题意得，∠B+∠D=90°，∵∠D=30°，∴∠B=90°−∠D=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠ACD=105°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=165°，在四边形ABCD中，∠BAD=360°−∠B−∠ACD−∠D=360°−60°−165°−30°= 105°；(2)四边形ABCD为对余四边形，证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵DA=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，如图2，过点D作DM⊥CD，使CD=CM，连接CM，BM，∴∠DMC=∠DCM=45°，∵∠ADB=∠CDM=90°，∴∠ADB+∠BDC=∠CDM+∠BDC，∴∠ADC=∠BDM．在△ADC和△BDM中，{DA=DB∠ADC=∠BDM DC=DM，∴△ADC≌△BDM(SAS)，∴AC=BM．在Rt△MDC中，根据勾股定理得，CM2=CD2+DM2=2CD2，∵2CD2+CB2=AC2，∴CM2+CB2=BM2，∴△BCM是直角三角形，且∠BCM=90°，∵∠DCM=45°，∴∠DCB=∠BCM−∠DCM=45°，∴∠DCB+∠DAB=90°，∴四边形ABCD为对余四边形；(3)如图3，过点B作BE⊥BC交CD的延长线于点E，∵四边形ABCD为对余四边形，依题意得，∠A+∠C=90°，∵∠A=45°，∴∠C=∠E=45°=∠A，∵∠ABD+∠BDC=180°，∠BDE+BDC=180°，∴∠ABD=∠EDB，在△ABD和△EDB中，{∠A=∠E∠ABD=∠EDB BD=DB，∴△ABD≌△EDB(AAS)，∴AB =ED ，EB =BC =4，在Rt △EBC 中，根据勾股定理得，BE 2+BC 2=CE 2，∴CE =4√2，即AB +CD =4√2．【解析】(1)先根据对余四边形求出∠B =60°，进而得出∠ACB =60°，∠BCD =165°，最后用四边形内角和定理，即可得出结论；(2)先判断出∠BAD =∠ABD =45°，进而判断出∠ADC =∠BDM ，即可判断出△ADC≌△BDM(SAS)，得出AC =BM.再根据勾股定理得出CM 2=CD 2+DM 2=2CD 2，进而判断出∠BCM =90°，即可得出结论；(3)先判断出∠C =∠E =45°=∠A ，再判断出∠ABD =∠EDB ，进而得出△ABD≌△EDB(AAS)，得出AB =ED ，EB =BC =4，最后用勾股定理求出CE =4√2，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了新定义，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2经过点A(2,1)． ∴1=4a ，解得a =14，∴抛物线解析式为y =14x 2；(2)∵点A(2,1)．∴直线OA 为y =12x ，如图1，过B 作BE//OA 交y 轴于E ，连接AE ，则S △AOB =S △AOE =6，∴12OE ×2=6，∴OE =6，∴点E(0,6)，设直线BE 为y =12x +6，解{y =12x +6y =14x2得{x =6y =9或{x =−4y =4，∴B(6,9)，设直线l 的解析式为y =kx +b ，∴{2k +b =16k +b =9，解得{k =2b =−3， ∴直线l 的解析式为y =2x −3；(3)设直线CD 的解析式为y =kx +m ，由{y =kx +m y =14x2去掉y 整理得14x 2−kx −m =0．设C 、D 的坐标分别为(x C ,y C )，(x D ,y D )，∴x C ⋅x D =−4m ，设直线CP 的解析式为y =ax +c ，由{y =ax +c y =14x 2整理得，14x 2−ax −c =0． ∵CP 与抛物线只有一个公共点，∴△=a 2+c =0，∴c =−a 2，∴14x 2−ax +a 2=0，解得x C =2a ，同理：设直线DP 的解析式为y =bx +d ，可得x D =2b ，∴2a ⋅2b =−4m ，∴ab =−m ，联立{y =ax +c y =bx +d ，即{y =ax −a 2y =bx −b 2，解得{x =a +b y =ab， ∴P(a +b,ab)，∵点P 的纵坐标为n ，∴n =ab =−m ．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式解答即可；(2)求得直线OA 的解析式，过B 作BE//OA 交y 轴于E ，连接AE ，则S △AOB =S △AOE =6，根据三角形面积求得OE ，得到E 的坐标，进而求得直线BE 的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式；(3)设直线CD 的解析式为y =kx +m ，与抛物线解析式联立整理得14x 2−kx −m =0.根据根与系数的关系得到x C ⋅x D =−4m ，设直线CP 的解析式为y =ax +c ，联立抛物线x2−ax−c=0.根据题意△=a2+c=0，解析式得到14x2−ax+a2=0，解得x C=2a，同理：设直线DP的解析式求得c=−a2，即可得到14为y=bx+d，可得x D=2b，所以4ab=−m，直线CP和直线DP联立，解方程求得交点P((a+b,ab)，即可求得n=−m．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交或平行问题，直线与抛物线的交点问题，方程思想的运用是解题的关键．。

2020-2021学年江苏省徐州市新沂市九年级上学期数学期中考试题及答案

2020-2021学年江苏省徐州市新沂市九年级上学期数学期中考试题及答案一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 方程x 2－4＝0的解是A. x ＝2B. x ＝－2C. x ＝±2D. x ＝±4 【答案】C【解析】【分析】方程变形为x 2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．【详解】解：x 2－4＝0x 2=4，∴x=±2．故选：C ．2. 用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是（）A.B. 223x x +=2-43x x =C.D. 22-43x x =2443x x +=【答案】B【解析】【分析】根据配方法的步骤，确定答案即可．【详解】解：A 、根据配方的要求，常数项等于一次项系数一半的平方，两边应加1，故本项错误；B 、两边同时加上-4的一半的平方，即同时加4，故本项正确；C 、先两边同时除2，再两边加上-2的一半的平方，即同时加上1，故本项错误；D 、．两边同时加上1，故本项错误；故选：B ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程和完全平方式是解题的关键．3. 下列四个函数中，图象的顶点在轴上的函数是（）y A. B. C. D. 232y x x =-+25y x =-22y x x =-+244y x x =-+【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质，图象的顶点在y 轴上，则顶点的横坐标x=0，根据题意，计算出即可解答．【详解】A 、二次函数y=x 2-3x+2，顶点的横坐标x=−=≠0，故本项错误； 2b a 32B 、二次函数y=5-x 2，顶点的横坐标x=−=0，故本项正确； 2b aC 、二次函数y=-x 2+2x ，顶点的横坐标x=−=1≠0，故本项错误； 2b a D 、二次函y=x 2-4x+4，顶点的横坐标x=−=2≠0，故本项错误； 2b a故选B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，应熟记二次函数的顶点坐标公式，本题读懂题意是关键．4. 已知⊙O 的半径为3，OA=3，直线l 经过点A ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交【答案】D【解析】【分析】根据圆心到直线的距离进行判断即可．【详解】解：∵OA=3，直线l 经过点A ，∴圆心O 到直线l 的距离≤3，∵⊙O 的半径为3，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．故选D ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断时注意分情况讨论．5. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠AOB=50°，则∠ACB 的度数为（）A. 100°B. 50°C. 25°D. 35°【解析】【分析】根据圆周角定理∠ACB=∠AOB 计算即可．12【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠AOB=50°，12∴∠ACB=25°．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6. 如图，⊙O 的直径垂直于弦，垂足是点，，，则AB CD E 22.5CAO ∠=o 6OC =CD 的长为( )A.B. C. 6 D. 12 【答案】A【解析】【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，CE DE =245BOC A ∠=∠=o可得为等腰直角三角形，所以的长． OCE △CE ==CD 【详解】∵，AB 为直径，CD AB ⊥∴， CE DE =∵∠BOC 和∠A 分别为所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°， BC∴，2222.545BOC A ∠=∠=⨯=o o ∴为等腰直角三角形，OCE △∵OC=6，∴， 6CE ===∴2CD CE ==故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的7. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线22y x =对应的函数关系式是（）A. B. C. D. 2(2-1)-3y x =22(-1)-3y x =2(21)-3y x =+22(1)-3y x =+【答案】B【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y= 的顶点坐标为(0，0)，22x 向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，所以,所得图象的解析式为y=2 -3．2(1)x -故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．8. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图像，对于下列说法：①abc＞0，②，③a+b+c 240b ac ->＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a＞0，-＞0，c ＜0， 2b a∴abc＞0，∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确；由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确；由图象可得，当0<x<-时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； 2b a∴正确的个数有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分）9. 一元二次方程的一次项为___________.2320x x ++=【答案】3x【解析】【分析】根据一元二次方程一次项的定义写出该方程的一次项．【详解】解：一元二次方程的一次项是3x ．2320x x ++=故答案是：3x ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．10. 抛物线的顶点坐标是_________．2(1)-1y x =+【答案】(-1，-1)【解析】【分析】利用顶点式直接求得交点坐标即可．【详解】解：∵抛物线，2(1)-1y x =+∴顶点坐标是（-1，-1）．故答案为：（-1，-1）．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．11. 若是方程的一个根，则＝____.x a =2220x x +-=2124a a --【答案】-3【解析】【分析】先把代入方程中，然后利用整体思想进行求解即可．x a =2220x x +-=【详解】解：把代入方程得：x a =2220x x +-=，即，2220a a +-=222a a +=∴；()22124122143a a a a --=-+=-=-故答案为-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解是解题的关键．12. 设、是一元二次方程的两根，则____.1x 2x 2210x x --=12x x +=【答案】2【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两根1x 2x 2210x x --=∴． 12221b x x a -+=-=-=故答案是：2【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根和、两根积的公式是解题的关键．13. 若抛物线的图像与轴有交点，那么的取值范围是________.22y x x m =++x m 【答案】1m £【解析】【分析】由抛物线的图像与轴有交点可知，从而可求得22y x x m =++x 240b ac ∆=-≥的取值范围．m 【详解】解：∵抛物线的图像与轴有交点22y x x m =++x ∴令，有，即该方程有实数根0y =220x x m ++=∴240b ac ∆=-≥∴．1m £故答案是：1m £【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点情况与一元二次方程分的情况的关系、解一元一x 次不等式，能由已知条件列出关于的不等式是解题的关键．m 14. 圆锥的侧面展开图的面积为18π，母线长为6，则圆锥的底面半径为________．【答案】3【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设底面周长为C ，底面半径为r ．∵侧面展开图的面积为18π， ∴18π=C×6，C=6π=2πr，12∴r=3．故答案为：3【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．关键是根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2解答．15. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．【答案】125【解析】【分析】根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得的值；根据内切圆ABC ACB ∠+∠的性质分析，可计算得的值，从而完成求解．OBC OCB ∠+∠【详解】∵∠A＝70°∴180110ABC ACB A ∠+∠=-∠= ∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴， 12OBC ABC ∠=∠12OCB ACB ∠=∠∴ 11111055222OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯= ∴180********BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=-= 故答案为：125．【点睛】本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．16. 如图，直线、相交于点，半径为1cm 的⊙的圆心在直线AB CD ,30O AOC ∠=︒P AB 上，且与点的距离为8cm ，如果⊙以2cm/s 的速度，由向的方向运动，那么_________O P A B 秒后⊙与直线相切.P CD【答案】3或5【解析】【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE⊥CD 与E ，根据切线的性质得到PE=1cm ，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm ，则⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，即可得到⊙P 移动所用的时间；当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE⊥CD 与F ，同前面一样易得到此时⊙P 移动所用的时间．【详解】当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE⊥CD 与E ，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间==3（秒）； 822-当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE⊥CD 与F ，∴PF=1cm，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间==5（秒）． 822+故答案为3或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.17. 抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程的解是________________．()2220a x bx b c -+-+=【答案】121,6x x =-=【解析】【分析】由题意得当y=0时，则有的两个根为，进而根据同20ax bx c ++=123,4x x =-=解方程可进行求解．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，∴当y=0时，则有的两个根为，20ax bx c ++=123,4x x =-=∴的解为：或，()2220a x bx b c -+-+=23x -=-24x -=解得：；121,6x x =-=故答案为．121,6x x =-=【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．18. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．　【解析】【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS 证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P 在以AB 为直径的圆上运动，运动路径是弧BG ，连接OC 交圆O 于P ，如图，则此时PC 最小，进一步即可求解．【详解】解：由题意得：BM ＝CN ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB ＝BC ＝2，在△ABM 和△BCN 中，∵AB＝BC ，∠ABM＝∠BCN，MB ＝CN ，∴△ABM≌△BCN（SAS ），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，设圆心为O ，运动路径是弧，是这个圆的，如图 BG14所示：连接OC 交圆O 于P ，此时PC 最小，∵AB＝2，∴OP＝OB ＝1，由勾股定理得：OC ，=；1-．1-【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和圆的有关性质等知识；熟练掌握上述知识，证出点P 在以AB 为直径的圆上运动是解题关键．三、解答题（本大题共有4小题，每小题6分，共24分）19. 解方程：．240x x +=【答案】x 1=0，x 2=-4【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：240x x +=(4)0x x +=x 1=0，x 2=-4【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确选择因式分解法是解题的关键．20. 解方程：． 22520x x -+=【答案】， 112x =22x =【解析】【分析】原式运用公式法求解即可得到答案．【详解】解：22520x x -+=这里2,5,2a b c ==-=22=4(5)422251690b ac ∆-=--⨯⨯=-=> 5322x ±∴=⨯∴， 112x =22x =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用解题方法是解答本题的关键．21. 已知关于的方程.x 2-3-30x x a +=（1）若此方程有两个实数根，求的取值范围；a （2）在（1）的条件下，当取满足条件的最小整数时，求此时方程的解．a 【答案】（1）；（2）， 34a ≥11x =22x =【解析】【分析】（1）因为方程有实数根，所以可得判别式大于或等于零，得到不等式后，即可求得答案；（2）由（1）结论以及取满足条件的最小整数可求得参数的取值，再代入原方程即可得a 解．【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根x 2-3-30x x a +=∴()()22434130b ac a ∆=-=--⨯⋅-+≥∴； 34a ≥（2）∵有（1）可知，，取满足条件的最小整数 34a ≥a ∴1a =∴把代入原方程得：1a =2320x x -+=∴，．11x =22x =【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解不等式、解方程等，体现了数学运算的核心素养．22. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC ＝2cm ，AC ＝4cm ，∠ABD＝45º．（1）求弦BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2） BD =5542π-【解析】【分析】（1）先添加辅助线连接，由是的直径可得，再由勾股OD AB O 90ACB ∠=︒定理求得、，即可得到等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求得答案；AB OB （2）根据即可求得结论．OBD OBD S S S =- 阴影扇形【详解】解：（1）连接，如图：OD∵是的直径AB O ∴90ACB ∠=︒∵，2BC =4AC =∴ AB =∴OB =∵且45ABD ∠=︒OB OD ==∴90BOD ∠=︒∴在中，Rt BOD BD ==（2）∵，90BOD ∠=︒OB OD ==∴， 522OBD OB OD S ⋅==V 54OBD S π==扇形∴． 5542OBD OBD S S S π-=-=V 阴影扇形【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、扇形的面积、三角形的面积，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．四、解答题（本大题共有3小题，每小题8分，共24分）23. 已知：二次函数过点（0，－3），（1，－4）2y x bx c =++（1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x＜3时，y 的取值范围是．【答案】（1）；（2）见解析；（3）－4≤y＜02-2-3y x x =【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数得： 2y x bx c =++， 314c b c =-⎧⎨++=-⎩解得：， 23b c =-⎧⎨=-⎩所以，二次函数的表达式为：；223y x x =--（2）二次函数的图象如下：（3）∵()214y x =--∴当x ＝1时，有最小值－4，当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x ＝1，∴当0≤x＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．24. 如图，在长40m 、宽22m 的矩形地面内，修筑两条同样宽且垂直于矩形的边的道路，余下的部分铺上草坪（即阴影部分），要使草坪的面积达到760m 2，道路的宽应为多少米？【答案】道路的宽应为米2【解析】【分析】根据题意设道路的宽应为米，则种草坪部分的长为，宽为x ()40x m -，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．()22x m -【详解】解：设道路的宽应为米，则种草坪部分的长为，宽为，根x ()40x m -()22x m -据题意得：()()4022760x x --=2-621200x x +=()()2600x x --=，20x -=600x -=∴，（不合题意舍去）12x =260x =答：道路的宽应为米．2【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，要求学生能根据题目中的等量关系建立方程，同时也考查了学生的阅读理解能力．25. 已知△ABC，请按以下要求完成本题：（1）请作出△ABC 的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O 的直径AD 交CB 于E ，则∠DEC = ．【答案】（1）见解析；（2）60°【解析】【分析】（1）分别作出AB 与AC 的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O 即可；（2）连接BD ．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC．【详解】解：（1）如图所示：（2）连接BD ．∵AD 是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，又∵∠D=∠ACB=40°，∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．五、解答题（共有2小题，第26题8分，第27题10分，共18分）26. 如图，已知直线l与⊙O相离，过圆心O画OA⊥l于点A，交⊙O于点P且OA=5，点B 为⊙O上一点BP的延长线交直线l于点C且AB=AC.（1）判断AB与⊙O有怎样的位置关系，并说明理由；PC（2）若，求⊙O的半径.【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OB，由题意易得∠ACB=∠ABC，∠OAC=90°，则有∠APC=∠OBP，进而可证OB⊥AB，则问题可证；（2）设⊙O的半径为x，由（1）得OP = OB = x，则有PA = 5-x，然后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：（1）AB与⊙O相切，理由：连接OB，如图所示：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，又∵OA⊥l，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC = 90°，又∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，∴∠APC=∠OBP，∴∠OBP+∠ABC = 90°，即OB⊥AB，∵点B是半径OB的外端点，∴AB 是⊙O 的切线；(2)设⊙O 的半径为x ，∴OP = OB = x又∵OA = 5，PC =∴ PA = 5-x在Rt△ACP 中∴ AC 2 =PC 2 -PA 2 =， (()2225105x x x --=-+-在Rt△OAB 中∴ AB 2 =OA 2 -OB 2 =222525x x -=-又∵AB = AC∴，2225105x x x -=-+-解得：x =3∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．27. 某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)与增种果树x(棵)之间的函数关系如图所示．（1）求每棵果树产果y(千克)与增种果树x(棵)之间的函数关系式；（2）设果园的总产量为w(千克)，求w 与x 之间的函数表达式；（3）试说明（2）中总产量w(千克)随增种果树x(棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？【答案】（1）；（2）；（3）当x=50时，w 的最1802y x =-+215048002w x x =-++大值为．6050【解析】【分析】（1）由图像可得坐标，设，然后代入求解即可；()()12,74,28,66y kx b =+（2）根据（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1））由图像可得坐标，则设，把点()()12,74,28,66y kx b =+()()12,74,28,66代入得：，解得：， 12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴； 1802y x =-+（2）由（1）及题意得：； ()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭215048002x x =-++（3）由（2）得：， ()221150480050605022w x x x =-++=--+∴，开口向下，对称轴为直线， 102a =-<50x =∴当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，50x ≤50x ≥∴当时，w 取最大，最大值为．50x =6050【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．六、解答题（本大题10分）28. 如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，213-222y x x =-点M 是线段BC 下方抛物线上的任意一点，点M 的横坐标为m ，过点M 画MN⊥x 轴于点N ，交BC 于点P ．（1）填空：A （，），C （，）；（2）探究△ABC 的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m 取何值时线段PM 的长度取得最大值，最大值为多少？【答案】（1）-1，0；0，-2；（2）；（3）当m=2时，PM 的最大值是2 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用抛物线解析式容易求得A 、C 的坐标；（2）证明△AOC∽△COD，Rt△ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，由此求得圆心的坐标即可；（3）可求得直线BC 的解析式，利用m 可表示出PM 的长，则可利用二次函数的性质求得PM 的最大值．【详解】解：（1）当y=0，则=0，得方程的解 213-222y x x =-121,4x x =-=∴A（-1,0）B （4,0），当x=0时，y=-2∴C（0，-2）．（2）1,2,4OA OC OB ===∠AOC=∠COB=90°∴ 12OA OC OC OB ==∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt△ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，∵A（-1,0）B （4,0），∴圆心的坐标（）． 3,02（3）C （0，-2），B （4，0）又∵直线BC 解析式1y 22x =-，M （m, ） 1(,2)2p m m -213222m m --PM=（）-（） 122m -213222m m -- 2122PM m m =-+ 21=(2)22m --+当m=2时，PM最大值=2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．。

2020-2021学年九年级第一学期期中考试数学试卷(含答案)

2020-2021学年九年级第一学期期中考试数学试卷（含答案）一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分）1、抛物线y = 2(x+1)2-3的顶点坐标是（）A. (-1，-1)B. （1，3）C. (-1，3)D. （1，-3）2、在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3(x-5)，则这个变化可以是（）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移2个单位3、已知点A(1，-3)关于y 轴的对称点A ′在反比例函数y=k x 的图象上，则实数k 的值为（） A. 3 B. 31 C. -3 D. - 314、已知学校航母组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式h=-t 2+24t+1，则下列说法中正确的是( )A. 点火后9s 点火后13s 的升空高度相同B. 点火后24s 火箭落于地面C. 点火后10S 的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m5、已知y=x 2+(t-2)x-2，当x>1时y 随x 的增大而增大，则t 的取值范围是（）A. t > 0B. t = 0C. t < 0D. t ≥ 06、如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE=3CE ，AB=8，则AD 的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6第6题第7题第8题第9题7、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b=( )A. 2：1B. 2：1C. 3：3D. 3：28、如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中：① abc>0，② 2a+b=0， ③ 4a+b 2< 4ac ，④ 3a+c< 0.正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 49、孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则这个小孔的水面宽度为（）A. 52米B. 43米C. 7米D. 213米10、若一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为-1，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图像可能是（）A B C D二、填空题（每小题5分，满分20分）11、若35a b b -=，则a b = . 12、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程y=ax 2+bx+c 的两个根的和为 .第12题第13题13、如图，点C 在反比例函数y=k x(x>0)的图像上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB=BC ，已知△AOB 的面积为1，则k 的值为 .14、已知抛物线y=ax 2+bx-1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛线上. （1）此抛物线的对称轴是直线；（2）已知点P （12，-1a），Q （2，2），若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，则a 的取值范围是 . 三、（每小题8分，满分16分）15、已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（2，-1），求此二次函数的表达式，并求出当0≤x ≤3时， y 的最值.16、已知234a b c ==，且a+3b-2c=15，求4a-3b+c 的值四、（每小题8分，满分16分）17、如图，二次函数y=(x+2)2+m 的图像与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A(-1,0)及点B.（1）求二次函数的解析式；（2）根据图像，写出满足kx+b ≥(x+2)2+m 的x 的取值范围.18、如图是反比例函数y=k x的图象，当-4≤x ≤-1时,-4≤y ≤-1. （1）求该反比例函数的解析式；（2）若M 、N 分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN 长度的最小值五、（每小题10分，满分20分）19、如图，点R 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AR> RB ，S 1表示AR 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，求S 3：S 2的值20、如图，在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且EC AE BD AD =.（1）求AD 的长；（2）求证：ACEC AD BD =.六、本题12分21、如图，函数y 1=k 1x+b 的图象与函数22k y x=的图象交于点A(2，1)、B ，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求函数y 1的表达式和点B 的坐标；（2）观察图像，比较当x>0时y 1与y 2的大小.七、本题12分22、如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A （-1，0）、B （2，0），与y 轴交于点C(0，4)，点P 是第一象限内抛物线上的一点.（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP 的面积为S 求S 的最大值.八、本题14分x（1≤x≤80）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x≤40 41≤x≤80售价（元/件）x+40 90每天销量（件） 200-2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元。

2020-2021学年上海市松江区九年级(上)期中数学试卷解析版

2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6 2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A．S2＝2S1B．S1＝S3C．S2＝2S4D．S3＝2S4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若＝＝≠0，则＝．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是千米．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是cm．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝cm．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6【分析】判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【解答】解：A、2×5≠3×4，不成比例；B、2×6＝3×4，成比例；C、2×7≠3×5，不成比例；D、3×6≠4×5，不成比例；故选：B．2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，则tan A＝＝，A选项计算正确；cot A＝＝，B选项计算错误；sin A＝＝，C选项计算错误；cos A＝＝，D选项计算错误；故选：A．4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC．【解答】解：如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，即＝，＝，＝，故B选项答案错误；故选：B．5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2【分析】根据平行向量的判定一一判断即可；【解答】解：A、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；B、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意；C、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意；D、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；故选：C．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A ．S 2＝2S 1B ．S 1＝S 3C ．S 2＝2S 4D ．S 3＝2S 4 【分析】由AD ∥BC ，推出△AOD ∽△COB ，推出＝＝＝，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵AD ∥BC ， ∴△AOD ∽△COB ， ∴＝＝＝，∴S △BOC ＝2S △AOB ＝2S △ODC ，S △DOC ＝2S △AOD ，＝（）2＝，∴选项A ，B ，D 正确，故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若＝＝≠0，则＝．【分析】设＝＝＝k ≠0，得出x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：设＝＝＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ，则＝＝；故答案为：．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是 30 千米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可知实际距离＝图上距离÷比例尺．【解答】解：根据题意，3÷＝3000 000厘米＝30千米．即实际距离是30千米．故答案为：30．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是12．【分析】根据相似三角形的性质得到两相似三角形的面积比是4：9，根据题意列式计算即可．【解答】解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×＝12，故答案为：12．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是6cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故答案为：6．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AM是较长线段；则AM＝AB，代入数据即可得出AM的长．【解答】解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB＝6cm，∴AM＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，故答案为：（3﹣3）．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝4．【分析】如图，连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合BC＝6可求EF的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3，又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝6，∴EF＝4．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝5．【分析】根据AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，可得出FC：FD＝1：2，再根据FC＝2.5，即可得出FD的长度．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，∴FC：FD＝1：2，∵FC＝2.5，∴FD＝5．故答案为5．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝4．【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，从而可得比例式，结合DE：BC＝1：3，可求得AB的值，最后根据BD＝AB﹣AD计算即可．【解答】解：依题意画出图形，如图：在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE：BC＝1：3，∴＝，∵AD＝2，∴AB＝6，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．故答案为：4．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．【分析】根据勾股定理和A（3，4），可得OA的长，根据OA与x轴正半轴的夹角为α，可得sinα的值．【解答】解：∵A（3，4），∴OA＝＝5，∴sinα＝．故答案为：．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝12．【分析】首先由在△ABC中，∠ABD＝∠C，可以证明△ABD∽△ACB，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABD＝∠C，而∠A公共，∴△ABD∽△ACB，∴AB2＝AD•AC，而AD＝9，CD＝7，∴AC＝16，∴AB＝12．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝（+）．【分析】根据平行四边形的性质和平行线截线段成比例求得AE线段的长度，结合平行四边形法则求得即可．【解答】解：∵点F是CD的中点，∴FC＝DC．又∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，CD＝AB，∴＝，即＝＝，∴AE＝AC．∵＝，＝，∴＝+＝+，∴＝＝（+），故答案是：（+）．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，'＝BC'•DH＝BD•CM，∵S△BDC∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】根据平面向量的加法法则计算即可，利用三角形法则画出图形即可．【解答】解：2（2﹣）﹣3（+）＝4﹣2﹣3﹣＝﹣3．如图，即为所求．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．【分析】（1）根据题意作AD⊥BC于点D，然后根据题目中的条件可以求得AD的长，从而可以求得△ABC的面积；（2）根据题意和（1）中的条件可以求得CD和AC的，从而可以求得∠C的余弦值．【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，∵在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，∴∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝3，∴AD＝3，∴△ABC的面积是：；（2）由（1）知∠ADC＝90°，BD＝3，AD＝3，∵BC＝8，∴CD＝5，∴AC＝2，∴cos∠C＝．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）【分析】由勾股定理求得AB，所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝CD＝x，BD＝BC﹣CD＝6﹣x，先证明△BDE∽△BCA，于是可利用相似比求得x＝cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH ⊥AB于H，交MQ于J，先利用面积法计算出CH＝cm，设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，证明△CMQ∽△CBA，则可利用相似比计算出x＝cm，然后比较两个正方形的边长的大小来判断哪种方法利用率高．【解答】解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，则MN∥CH，AB＝＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC∴CH＝＝（cm），设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为（cm）；∵＝＞，∴图1利用率高．23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【分析】（1）由“有两个角分别相等的三角形相似“来判定即可；（2）由△ABF∽△ACE可得比例式＝，再结合夹角相等，可判定△EAF∽△CAB，从而可得＝①，∠AEF＝∠ACB；然后结合角平分线的定义可得∠EAM＝∠CAN，则可判定△EAM∽△CAN，进而得出比例式＝②，由①②可得结论．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE＝EF即可证得；（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得＝，∠FCE＝∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG＝∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则＝＝，即可证得＝，则所证结论即可得到．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴＝，＝，又∵DE＝EF，∴＝，∴＝；（2）∵CF2＝FG•FB，∴＝，又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∠FCE＝∠CBF，又∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠CBF，∴∠FCE＝∠EFG，又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴＝＝，∴＝，即CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．【分析】（1）证明△ABD为等腰直角三角形，求出BD＝，利用DE∥BA，则，即，即可求解；（2）证明△ABD∽△DCE，则，即可求解；（3）分AD＝DE、AD＝DE、AE＝DE三种情况，利用解直角三角形的方法和三角形相似，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，故点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，设tan B＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，则AH＝AB sinα＝20×＝12，BH＝16，则BC＝2BH＝32，∵ED∥AB，则∠ADE＝∠BAD＝∠B＝α，则△ABD为等腰三角形，在△ABD中，过点D作DM⊥AB于点M，则MD＝BD sin B，BM＝BD cos B＝AB，即BD＝AB＝×20，解得BD＝，∵DE∥BA，则，即，解得：AE＝；（2）如图2，在△ABD中，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，∵∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE，则，其中，AB＝20，CD＝32﹣x，BD＝x，CE＝20﹣y，故，化简得：y＝x2﹣x+20（0＜x＜32）；（3）①当AD＝DE时，此时点B、D重合，不符合题意；②当AD＝DE时，由（2）知则＝1，即＝1，解得x＝12，即BD＝12；③当AE＝DE时，∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝∠C，故△ADC为等腰三角形，则AD＝CD＝32﹣x，在△ABD中，BD＝x，AD＝32﹣x，如图1，则AH＝12，AH＝16，在△ADH中，AD＝32﹣x，DH＝16﹣x，AH＝12，由勾股定理得：（32﹣x）2＝（16﹣x）2+122，解得x＝19.5；综上，BD的长度为12或19.5．。

武汉市武昌区七校联考2020届九年级上期中数学试卷含答案解析(样卷全套)

2020-2021学年湖北省武汉市武昌区七校联考九年级(上)期中数学试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为()A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和12．二次函数y=x2﹣2x+2的顶点坐标是()A．(1，1) B．(2，2) C．(1，2) D．(1，3)3．将△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1(A、B分别对应A1、B1)，则直线AB与直线A1B1的夹角(锐角)为()A．130°B．50°C．40°D．60°4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是()A．(x+3)2=﹣4 B．(x﹣3)2=4 C．(x+3)2=5 D．(x+3)2=±5．下列方程中没有实数根的是()A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+3x+2=0C．2020x2+11x﹣2020 D．x2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P(﹣2，3)关于原点对称的点的坐标是()A．(3，﹣2) B．(2，3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，﹣3)7．如图，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM:OC=3:5，则AB的长为()A．cm B．8cm C．6cm D．4cm8．已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是()A．a确定抛物线的形状与开口方向B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D．若将抛物线C沿直线l:y=x+2平移，则a、b、c的值全变9．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是()A．64 B．16 C．24 D．3210．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，且a2+ab+ac＜0，下列说法:①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且(x1﹣1)(1﹣x2)＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=(b2﹣4c＞0)，则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题(共8小题，共72分)17．解方程:x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是(3，﹣1)，与y轴的交点是(0，﹣4)，求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根(1)求x1+x2，x1x2的值；(2)求2x12+6x2﹣2020的值．2020图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的图形；(2)若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB+∠AOB=60°(1)求∠AOB的度数；(2)若AE=1，求BC的长．22．飞机着陆后滑行的距离S(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是:S=60t﹣1.5t2(1)直接指出飞机着陆时的速度；(2)直接指出t的取值范围；(3)画出函数S的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停下来？23．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t(秒)(1)如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时:①求∠AFC的度数；②求的值；(2)如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B方向运动．当t ≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．24．定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹(满足条件的所有点所组成的图形)叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(1)已知抛物线的焦点F(0，)，准线l:，求抛物线的解析式；(2)已知抛物线的解析式为:y=x2﹣n2，点A(0，)(n≠0)，B(1，2﹣n2)，P为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P点坐标；(3)若(2)中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作⊙M，⊙M上是否存在定点N？若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．2020-2021学年湖北省武汉市武昌区七校联考九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为()A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和1【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案．【解答】解:∵3x2﹣4x﹣1=0，∴方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣4；故选B．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．二次函数y=x2﹣2x+2的顶点坐标是()A．(1，1) B．(2，2) C．(1，2) D．(1，3)【考点】二次函数的性质．【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．【解答】解:y=x2﹣2x+2的顶点横坐标是﹣=1，纵坐标是=1，y=x2﹣2x+2的顶点坐标是(1，1)．故选:A．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是(﹣，)．3．将△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1(A、B分别对应A1、B1)，则直线AB与直线A1B1的夹角(锐角)为()A．130°B．50°C．40°D．60°【考点】旋转的性质．【分析】先根据题意画出图形，利用旋转的性质得出OA=OA1，OB=OB1，AB=A1B1，那么根据SSS证明长△OAB≌△OA1B1，得到∠OAB=∠OA1B1，由等角的补角相等得出∠OAM=∠OA1M．设A1M与OA 交于点D，在△OA1D与△MAD中，根据三角形内角和定理即可求出∠M=∠A1OD=50°．【解答】解:如图，△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1(A、B分别对应A1、B1)，则∠A1OA=50°，OA=OA1，OB=OB1，AB=A1B1．设直线AB与直线A1B1交于点M．由SSS易得△OAB≌△OA1B1，∴∠OAB=∠OA1B1，∴∠OAM=∠OA1M，设A1M与OA交于点D，在△OA1D与△MAD中，∵∠DAM=∠DA1O，∠ODA1=∠MDA，∴∠M=∠A1OD=50°．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质，补角的性质以及三角形内角和定理．证明出∠OAM=∠OA1M是解题的关键．4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是()A．(x+3)2=﹣4 B．(x﹣3)2=4 C．(x+3)2=5 D．(x+3)2=±【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．【解答】解:∵x2+6x+4=0，∴x2+6x=﹣4，∴x2+6x+9=5，即(x+3)2=5．故选:C．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．下列方程中没有实数根的是()A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+3x+2=0C．2020x2+11x﹣2020 D．x2+x+2=0【考点】根的判别式．【分析】分别求出各个选项中一元二次方程根的判别式，进而作出判断．【解答】解:A、x2﹣x﹣1=0，△=(﹣1)2﹣4×(﹣1)=9＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；B、x2+3x+2=0，△=32﹣4×2=1＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；C、2020x2+11x﹣2020，△=112﹣4×2020×(﹣20200，方程有两个不相等的根，此选项错误；D、x2+x+2=0，△=12﹣4×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；故选D．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，利用一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac)判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．6．平面直角坐标系内一点P(﹣2，3)关于原点对称的点的坐标是()A．(3，﹣2) B．(2，3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，﹣3)【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．【解答】解:点P(﹣2，3)关于原点对称的点的坐标是(2，﹣3)．故选:D．【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键．7．如图，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM:OC=3:5，则AB的长为()A．cm B．8cm C．6cm D．4cm【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】由于⊙O的直径CD=10cm，则⊙O的半径为5cm，又已知OM:OC=3:5，则可以求出OM=3，OC=5，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB．【解答】解:如图所示，连接OA．⊙O的直径CD=10cm，则⊙O的半径为5cm，即OA=OC=5，又∵OM:OC=3:5，所以OM=3，∵AB⊥CD，垂足为M，∴AM=BM，在Rt△AOM中，AM==4，∴AB=2AM=2×4=8．故选B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+()2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是()A．a确定抛物线的形状与开口方向B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D．若将抛物线C沿直线l:y=x+2平移，则a、b、c的值全变【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移的性质判断即可．【解答】解:∵平移的基本性质:平移不改变图形的形状和大小；∴抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，a确定抛物线的形状与开口方向；若将抛物线C沿y轴平移，顶点发生了变化，对称轴没有变化，a的值不变，则﹣不变，所以b的值不变；若将抛物线C沿直线l:y=x+2平移，则a的值不变，故选D．【点评】本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．9．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是()A．64 B．16 C．24 D．32【考点】二次函数的最值．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S=AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解:设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16﹣x，则:S=AC•BD=x(16﹣x)=﹣(x﹣8)2+32，=32；当x=8时，S最大所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，故选D．【点评】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，且a2+ab+ac＜0，下列说法:①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且(x1﹣1)(1﹣x2)＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据题意把a的符号分成两种情况，再由a2+ab+ac＜0判断出a+b+c的符号，即可得出当x=1时，y的符号，从而得出b+c的符号，再得出方程ax2+bx+c=0有一个根大于1，一个根小于1，即可得出(x1﹣1)(x2﹣1)＜0；b2﹣4ac＞0；抛物线和坐标轴有三个交点．【解答】解:当a＞0时，∵a2+ab+ac＜0，∴a+b+c＜0，∴b+c＜0，如图1，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；a(b+c)＜0，故②正确；∴方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，∴(x1﹣1)(x2﹣1)＜0，即(x1﹣1)(1﹣x2)＞0，故③正确；∴二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，故④正确；故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是直线x=﹣．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线对称轴公式进行计算即可得解．【解答】解:对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣，即直线x=﹣故答案为:直线x=﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，比较简单．12．已知x=(b2﹣4c＞0)，则x2+bx+c的值为0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．【解答】解:∵x=(b2﹣4c＞0)，∴x2+bx+c=()2+b+c=++c===0．故答案为:0．【点评】本题考查了一元二次方程，实数的运算法则，求代数式的值的应用，能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离7cn或17cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE=AB=12，CF=CD=5，接着根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE=5，在Rt△OCF 中计算出OF=12，然后分类讨论:当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF﹣OE．【解答】解:作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE=AB=12，CF=DF=CD=5，在Rt△OAE中，∵OA=13，AE=12，∴OE==5，在Rt△OCF中，∵OC=13，CF=5，∴OF==12，当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE=12+5=17；当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF﹣OE=12﹣5=7；即AB和CD之间的距离为7cn或17cm．故答案为7cn或17cm．【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为﹣2．【考点】黄金分割．【分析】设AC=x，则BC=AB﹣AC=2﹣x，根据AC2=BC•AB求出AC，同理可得出AD和AE，从而得出答案．【解答】解:设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，∵AC2=BC•AB，∴x2=1﹣x，解得:x1=，x2=(不合题意，舍去)，∴AC=，∵AD2=CD•AC，∴AD=×=，∵AE2=DE•AD，∴AE=×=﹣2；故答案为:﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是x＞3或x＜﹣1．【考点】二次函数与不等式(组)．【分析】由函数图象可知抛物线的对称轴为x=1，从而可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，y ＜0，找出抛物线位于x轴下方部分x的取值范围即可．【解答】解:根据函数图象可知:抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴一个交点的坐标为(﹣1，0)，由抛物线的对称性可知:抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)．∵y＜0，∴x＞3或x＜﹣1．故答案为:x＞3或x＜﹣1．【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两个交点的坐标是解题的关键．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是(2﹣3)a≤DE≤a．．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】当B、D重合或C、E重合时DE长度最大，解直角三角形即可求得DE的最大值；当∠BAD=∠CAE=15°时，DE长度最小，作AF⊥BC，且AF=AB，连接DF、CF，证明△ABD≌△ADF，则∠B=∠AFD，BD=DF，然后证明△ABH∽△DFH，根据相似三角形的性质求得DH==a，即可求得DE的最小值．【解答】解:当B、D重合或C、E重合时DE长度最大，如图1，∵∠BAE=30°，∠AEB=90°，∴DE=AB=a，当∠BAD=∠CAE=15°时，DE长度最小，如图2，作AF⊥BC，且AF=AB，连接DF、CF，∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAF=30°，∵∠BAD=∠CAE=15°，∴∠DAH=∠EAH=15°，∴∠BAD=∠DAH，在△ADB和△ADF中，，∴△ABD≌△ADF，∴∠B=∠AFD，BD=DF，∵∠AHB=∠DHF=90°，∴△ABH∽△DFH，AB:AH=DF:DH，∴=，∴=，∴DH=，其中BD+DH=a、AH=a，∴DH== a∴DE=(2﹣3)a，故DE长度的取值范围是(2﹣3)a≤DE≤a．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．三、解答题(共8小题，共72分)17．解方程:x2+x﹣2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解:分解因式得:(x﹣1)(x+2)=0，可得x﹣1=0或x+2=0，解得:x1=1，x2=﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的解法是解本题的关键．18．已知抛物线的顶点坐标是(3，﹣1)，与y轴的交点是(0，﹣4)，求这个二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据二次函数顶点坐标设出顶点形式，把(0，﹣4)代入求出a的值，即可确定出解析式．【解答】解:设抛物线解析式为y=a(x﹣3)2﹣1，把(0，﹣4)代入得:﹣4=9a﹣1，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣(x﹣3)2﹣1．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根(1)求x1+x2，x1x2的值；(2)求2x12+6x2﹣2020的值．【考点】根与系数的关系．【分析】(1)利用一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两根之和和两根之积即可；(2)利用一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两根之和和两根之积，再将代数式加以整理代入数值即可．【解答】解:(1)∵∴x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根，∴x1+x2=3，x1x2=﹣5，；(2)∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根，∴x12﹣3x1﹣5=0，∴x12=3x1+5，∴2x12+6x2﹣2020=2(3x1+5)+6x2﹣2020=6(x1+x2)﹣2020=﹣1987．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解的意义，遇到此类求代数式求值问题，应对代数式进行适当的变形，使其含有两根和、两根积的形式，再求得其值．2020图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的图形；(2)若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为．【考点】作图-旋转变换；三角形的外接圆与外心．【专题】作图题．【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，于是可得到△A′B′C′；(2)利用网格特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对应点A″、B″、C″，于是可得到△A″B″C″；(3)△ABC的外接圆是能盖住△ABC得最小圆，画AB和AC的垂中平分线，两垂直平分线的交点为M，则点M为△ABC的外接圆的圆心，然后利用勾股定理计算出MA即可．【解答】解:(1)如图，△A′B′C′为所作；(2)如图，△A″B″C″为所求；(3)如图，点M为△ABC的外接圆的圆心，此时⊙M是能盖住△ABC的最小的圆，⊙M的半径为=．故答案为．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了三角形的外心．21．如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB+∠AOB=60°(1)求∠AOB的度数；(2)若AE=1，求BC的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】(1)连接OC，根据垂径定理和三角形的外角的性质证明∠DAB=∠AOB，求出∠AOB的度数；(2)根据直角三角形的性质得到BE=OB，设⊙O的半径为r，根据勾股定理求出r，根据等边三角形的性质得到答案．【解答】解:(1)连接OC，∵OA⊥BC，OC=OB，∴∠AOC=∠AOB，∠ACO=∠ABO，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB，∠ACO=∠OAB，∴∠DAB=∠AOC，∴∠DAB=∠AOB，又∠DAB+∠AOB=60°，∴∠AOB=30°；(2)∵∠AOB=30°，∴BE=OB，设⊙O的半径为r，则BE=r，OE=r﹣1，由勾股定理得，r2=(r)2+(r﹣1)2，解得r=4，∵OB=OC，∠BOC=2∠AOB=60°，∴BC=r=4．【点评】本题考查的是勾股定理、圆周角定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、理解垂直于弦的直径平分这条弦、等边对等角是解题的关键．22．飞机着陆后滑行的距离S(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是:S=60t﹣1.5t2(1)直接指出飞机着陆时的速度；(2)直接指出t的取值范围；(3)画出函数S的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停下来？【考点】二次函数的应用．【分析】(1)直接由函数解析式得出答案即可；(2)由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当S取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可；(3)利用配方法求得函数的最值，也就是飞机着陆后滑行的最远距离．【解答】解:(1)飞机着陆时的速度V=60；(2)当S取得最大值时，飞机停下来，则S=60t﹣1.5t2=﹣1.5(x﹣2020+600，此时t=2020此t的取值范围是0≤t≤2020(3)如图，S=60t﹣1.5t2=﹣1.5(x﹣2020+600．飞机着陆后滑行600米才能停下来．【点评】此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．23．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t(秒)(1)如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时:①求∠AFC的度数；②求的值；(2)如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B方向运动．当t ≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；特殊角的三角函数值．【专题】压轴题．【分析】(1)①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=12020②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B 作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=12020从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用三角函数可得BH=y，GH=y，从而有FH=x﹣y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代数式就可解决问题；(2)过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC 的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．【解答】解:(1)如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=12020②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，∵∠AFG=180°﹣1202060°，FG=FA，∴△FAG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠FAC．在△AGB和△AFC中，，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=12020∴∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，BH=BG•sin∠BGH=BG•sin60°=y，GH=BG•cos∠BGH=BG•cos60°=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=(y)2+(x﹣y)2=x2﹣xy+y2．∴==1；(2)过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得:∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2(t﹣3)=2t﹣6．∴BE=6﹣(2t﹣6)=12﹣2t，BN=BE•cosB=BE=6﹣t，∴DN=t﹣(6﹣t)=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sinB=6×=3；当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C．∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形(由共顶点的两个等边三角形组成)是解决第1(2)小题的关键，证到∠ECM=90°是解决第(2)小题的关键．24．定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹(满足条件的所有点所组成的图形)叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(1)已知抛物线的焦点F(0，)，准线l:，求抛物线的解析式；(2)已知抛物线的解析式为:y=x2﹣n2，点A(0，)(n≠0)，B(1，2﹣n2)，P为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P点坐标；(3)若(2)中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作⊙M，⊙M上是否存在定点N？若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)直接根据新定义即可求出抛物线的解析式；(2)首先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，根据PA+PH最短时，P、B、A共线，据此求出PA+PB的最小值及此时P点坐标；(3)设OQ=m(m＞0)，则CQ=QE=n2﹣m，在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2，进而求出ON 是定值，据此作出判断．【解答】解:(1)设抛物线上有一点(x，y)，由定义知:x2+(y﹣)2=|y+|2，解得y=ax2；(2)如图1，由(1)得抛物线y=x2的焦点为(0，)，准线为y=﹣，∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2个单位所得，∴其焦点为A(0，﹣n2)，准线为y=﹣﹣n2，由定义知P为抛物线上的点，则PA=PH，∴PA+PH最短为P、B、A共线，此时P在P′处，∵x=1，∴y=1﹣n2＜2﹣n2，∴点B在抛物线内，∴BI=y B﹣y I=2﹣n2﹣(﹣﹣n2)=，∴PA+PB的最小值为，此时P点坐标为(1，1﹣n2)；(3)由(2)知E(|n|，0)，C(0，n2)，设OQ=m(m＞0)，则CQ=QE=n2﹣m，在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2，解得m=﹣，则QC=+=QN，∴ON=QN﹣m=1，即点N(0，1)，故AM过定点N(0，1)．【点评】本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到求抛物线解析式、平移的知识、点的共线、勾股定理等知识，解答本题的关键是新定义，抛物线焦点、抛物线的准线等知识，此题难度不大．。

2020-2021学年山东省青岛市九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷1.下列方程是一元二次方程的是()A. 2x2+y=1B. 9y=3y−1C. 2x2=1D. 3x−2x2=82.如图所示的4个三角形中，相似三角形有()A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3.根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c=10(a、b、c为常数，a≠0)的一个解x的范围为()x00.51 1.52 ax2+bx+c−15−8.75−2 5.2513A. 0<x<0.5B. 0.5<x<1C. 1<x<1.5D. 1.5<x<24.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD=1：3，则∠EOA的度数为()A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°5.青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是()A. 13B. 23C. 19D. 296.如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是()A. 3cmB. 4cmC. 4.8cmD. 5cm7.下列结论正确的是()A. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形．B. 如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形．C. 如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形．D. 一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF=BE，连接DF.下列说法中正确的有()(1)GH：FD=1：2；(2)BD2=BF⋅BC；(3)四边形EBHD是菱形；(4)S△ADF=29S△ABC．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.已知x2=y4≠0，则3x+y2y=______ ．10.在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球30个，这些球除颜色外都相同.某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回袋中，不断重复上述过程，试验数据如下表：摸球的次数10020050080010001200摸到白球的次数4281201324402481根据上表数据，估算口袋中黑球有______ 个.11.如图，直线a//b//c，直线AC与DF交于点O，且与直线a、b、c分别交于点A、B、D、E、F，如果DE=2，EF=5，AC=6，那么AB的长为______ ．12.书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，该校这两个月借阅图书的月均增长率是______ ．13.如图，四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，图中阴影部分的面积是______ cm2．14.现有30张相同的菱形纸片(如图1，有一个内角为60°)，小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用______ 张菱形纸片(不得将菱形纸片剪开)．15.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：一个菱形，使它的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上．16.解方程：x2+2x+2=8x+4(配方法)．17.解方程：8x2−2x−3=0．18.已知：关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根.求：k的最小整数解．19.用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色“游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；(2)求游戏者获胜的概率．20.如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF=∠DAG．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)若DE=3，ADAB =25，求BC的长．21.有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．22.已知：在△ABC中，CB=CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．23.尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．(1)若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是______ 件(直接填写结果)；(2)不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？(3)在(2)的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．24.古希腊数学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比又被称为黄金比，其比值是√5−12.古希腊很多矩形建筑中，宽与长之比都等于黄金比，在艺术领域，许多优美的曲线也与黄金比有关，黄金比在我们的生活中彰显着丰富的美学价值．【探索发现】：如图1，若点P1是线段AB靠近点B的黄金分割点，则AP1=√5−12AB，所以BP1=(1−√5−12)AB=3−√52AB．若P2是线段BP1靠近点B的黄金分割点，则BP2=3−√52BP1，所以BP2=______ AB．若P3是线段BP2靠近点B的黄金分割点，则BP3=3−√52BP2，所以BP3=______ AB．……【归纳提炼】若P n是线段BP n−1靠近点B的黄金分割点，则BP n=______ AB．【解释应用】：如图2，矩形ABCD中，宽BC与长AB的比为黄金比，则称矩形ABCD为“黄金矩形”．在课本“想一想”中我们已经知道，该矩形有如下特点：作正方形①，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P1为线段AB的黄金分割点；以此类推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q1为线段BC的黄金分割点；作正方形③，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P2为线段______ 的黄金分割点；作正方形④，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q2为线段______ 的黄金分割点；……显然，这样变换可以无限的进行下去．借助对“BP2与AB，BQ2与BC的比例关系”的探究，写出当“黄金矩形”ABCD 的周长为a时，以BP2，BQ2为领边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：______ ．【拓展延伸】：(1)设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，请直接写出a1+a2+a3+a4=______ .(用含有a的代数式表示)(2)如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：______ .(用含有a的代数式表示)25.已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s.过点Q作QE⊥AC，QE与BC相交于点E，连接PQ.设)，解答下列问题：运动时间为t(s)(0<t≤165(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？(2)设四边形BPQC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使△CDF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C.是一元二次方程，故本选项符合题意；D.是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2.【答案】A【解析】解：观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1：2，所以这两个直角三角形相似．故选：A．根据相似三角形的判定方法判断即可．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．3.【答案】D【解析】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c−10=−4.75，当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c−10=3，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10(a≠0)的一个解x的范围是1.5<x<2，故选：D．根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解．本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解，本题属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠BAD=90°，∴∠OAB=∠OBA，∵∠EAB：∠EAD=1：3，∴∠EAB=22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=67.5°，∴∠OBA=∠OAB=67.5°，∴∠AOB=45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．根据∠EAB：∠EAD=1：3，∠BAD=90°，可以求得∠BAE的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到∠EOA的度数．本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5.【答案】A【解析】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有3种情况，∴两人恰好选择同一组的概率为39=13；故选：A．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD=6cm，S菱形ABCD ═12AC×BD=24cm2，∴AC=8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴OE=12AC=4cm，故选：B．由菱形的性质得出BD=6cm，由菱形的面积得出AC=8cm，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：A.若一个四边形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，则这个四边形是菱形或矩形，故本选项不合题意；B.如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形可以是菱形，故本选项不合题意；C.若一个菱形绕对角线的交点旋转90°后所得图形与原图形重合，则这个菱形是正方形，本选项符合题意；D.一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四辺形一定是矩形，故本选项不合题意；故选：C．依据菱形、矩形以及正方形的判定方法，即可得出结论．本题考查了菱形、矩形、正方形的判定与性质；熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质，并能进行推理论证是解答本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，DH//AB，∴四边形DEBH是平行四边形，∴GH=EG，BG=DG，又∵EF=BE，∴EG//DF，GE=12DF，∴GH=12DF，∴GH：DF=1：2，故①正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵DE//BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，∴BE=DE=EF，∴∠BDF=90°=∠C，又∵∠ABD=∠DBC，∴△BDF∽△BCD，∴BDBC =BFBD，∴BD2=BC⋅BF，故②正确；∵BE=DE，四边形DEBH是平行四边形，∴四边形DEBH是菱形，故③正确；条件不足，无法证明S△ADF=29S△ABC.故④错误，故选：C．①由题意可证四边形DEBH是平行四边形，可得GH=EG，BG=DG，由三角形中位线定理可得EG//DF，GE=12DF，可得GH=12DF；②通过证明△BDF∽△BCD，可得BDBC =BFBD，可证BD2=BC⋅BF；③由菱形的判定可证四边形EBHD 是菱形；④条件不足，无法证明．本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．9.【答案】54【解析】解：∵x 2=y 4≠0， ∴y =2x ，则3x+y 2y =3x+2x 4x=54．故答案为：54．直接利用已知得出y =2x ，即可代入化简得出答案．此题主要考查了比例的性质，得出y 与x 之间的关系是解题关键．10.【答案】18【解析】解：根据图表给出的数据可得，摸到白球的频率将会接近0.4，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：30×0.4=12(个)，则口袋中黑球有30−12=18(个)．故答案为：18．根据图表给出的数据得出白球的频率，再用总球的个数乘以白球的频率，求出白球的个数，再用总个数减去白球的个数即可得出黑球的个数．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．11.【答案】127【解析】解：∵直线a//b//c，∴DEEF =ABBC=25，∴ABAC =DEDF=22+5，∴AB6=27，解得：AB=127，故答案为：127．平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据平行线分线段成比例解答即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．12.【答案】30%【解析】解：该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，依题意，得：500(1+x)2=845，解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不合题意，舍去)．故答案为：30%．该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，根据该校9月份及11月份借阅图书数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.【答案】(3√3−3)【解析】解：如图，连接BE，交AC于O，∵△ACE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴EA=EC，BA=BC，∴BE垂直平分AC，∵四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，∴AB=BC=√6(cm)，∴AC=√2AB=2√3(cm)，∴AE=2√3(cm)，AO=12AC=√3(cm)，∴Rt△AOE中，EO=√AE2−AO2=3(cm)，∴阴影部分面积=S△ACE−S△ACD=12×AC×EO−12×6=12×2√3×3−3=(3√3−3)cm2，故答案为：(3√3−3).连接BE，交AC于O，依据等边三角形和正方形的性质，即可得到AO的长，依据勾股定理即可得到EO的长，最后根据阴影部分面积=S△ACE−S△ACD进行计算．本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理的运用，正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．14.【答案】12【解析】解：观察图象可知，至少要用12张菱形纸片．故答案为：12．利用图象法，画出图形判断即可．本题考查相似多边形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题．15.【答案】解：如图，四边形EFGH即为所求．【解析】过平行四边形的对角线的交点，画两条互相垂直直线EG ，FH ，J 交平行四边形ABCD 的边于E ，G ，F ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ，四边形EFGH 即为所求．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：x 2+2x +2=8x +4，x 2+2x −8x =−2+4，x 2−6x =2，配方得：x 2−6x +9=2+9，(x −3)2=11，开方得：x −3=±√11，解得：x 1=3+√11，x 2=3−√11．【解析】移项，合并同类项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．17.【答案】解：8x 2−2x −3=0，b 2−4ac =(−2)2−4×8×(−3)=100，x =−b±√b 2−4ac 2a=2±√1002×8， x 1=34，x 2=−12．【解析】先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．18.【答案】解：根据题意，得：△=22−4×(k −1)×(−1)>0且k −1≠0，解得k >0且k ≠1，所以k 的最小整数解为2．【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出△=22−4×(k −1)×(−1)>0，结合一元二次方程的定义知k −1≠0，从而得出答案．本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．19.【答案】解：(1)根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数；(2)∵共有6种等可能的结果数，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种，∴游戏者获胜的概率是36=12．【解析】(1)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可；(2)找出一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】(1)证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB=90°，∠AGD=90°，∴∠BAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∵∠BAF=∠DAG，∴∠B=∠ADG，又∵∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△ADE；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵ADAB =25，BC=3，∴25=3BC，∴BC=152．【解析】(1)由直角三角形的性质得出∠B=∠ADG，可证明△ABC∽△ADE；(2)由相似三角形的性质可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】解：设这个正方形的边长为x cm，则原长方形的长为(x+5)cm，宽为(x+ 2)cm，依题意，得：(x+5)(x+2)=54，整理，得：x2+7x−44=0，解得：x1=4，x2=−11(不合题意，舍去)．答：这个正方形的边长为4cm．【解析】设这个正方形的边长为xcm，则原长方形的长为(x+5)cm，宽为(x+2)cm，根据原长方形的面积为54cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵CB=CA，∴∠A=∠B，∵∠ACM=∠A+∠B，∴∠A=12∠ACM，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF=12∠ACM，∴∠A=∠ACF，∵E是AC的中点，∴AE=CE，在△ADE与△CFE中，{∠A=∠ECFAE=CE∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE(ASA)，∴AD=CF；(2)解：当∠ACB=90°，四边形ADCF是正方形，理由：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF=12∠ACM=45°，∴∠DAC=∠ACF，∴AD//CF，由(1)知AD=CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵点D是AB的中点，∴AD=CD，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴∠DCF=90°，∴矩形ADCF是正方形．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据外角的性质定理得到∠A=1 2∠ACM，由角平分线的定义得到∠ACF=12∠ACM，求得∠A=∠ACF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；(2)由已知条件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC=45°，推出AD//CF，由(1)知AD=CF，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD=CD，求得∠ACD=∠CAD=45°，根据正方形的判定定理得到结论．本题考差了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】280【解析】解：(1)80+5÷0.5×20=280(件)．故答案为：280．(2)设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为(25−15−x)元，平均每天可售出80+x0.5×20=(40x +80)件，依题意，得：(25−15−x)(40x +80)=1280，整理，得：x 2−8x +12=0，解得：x 1=2，x 2=6， ∴25−x =23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．(3)当x =2时，40x +80=160<200，不合题意，舍去；当x =6时，40x +80=320>200，符合题意， ∴25−x =19．答：商品的销售单价为19元．(1)根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；(2)设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为(25−15−x)元，平均每天可售出80+x 0.5×20=(40x +80)件，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；(3)由(2)的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x 的值，再将其代入(40x +80)中即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)将x 的值代入(40x +80)中，求出平均每天的销售量．24.【答案】(3−√52)2(3−√52)3 (3−√52)n BP 1 BQ 1 y =(√5−12)4a (√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]【解析】解：【探索发现】：由题意可知：BP 2=(3−√52)2AB ，BP 3=(3−√52)3AB ，故答案为：(3−√52)2，(3−√52)3．【归纳提炼】：由规律可知：BP n =(3−√52)nAB ．故答案为：(3−√52)n．【解释应用】：且点P 2为线段P 1B 的黄金分割点，点Q 2为线段BQ 1的黄金分割点， ∵BC =√5−12AB ，BP 1=√5−12BC ，BQ 1=√5−12BP 1，BP 2=√5−12BQ 1，所有矩形相似， ∴BP 2，BQ 2为领边的“黄金矩形”的周长y 与a 的关系式：y =(√5−12)4a. 故答案为：BP 1，BQ 2，y =(√5−12)4a.【拓展延伸】：(1)设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a 1，a 2，a 3，a 4，设AB =x ，BC =y ，则2x +2y =a ， ∴2x +2⋅√5−12x =a ， ∴x =√5−14a ，y =(√5−1)223a ， ∴a 1+a 2+a 3+a 4=(√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a.(2)如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：14⋅π(a 1+a 2+a 3+a 4)=14π⋅[(√5−1)223a +(√5−1)324a +(√5−1)425a +(√5−1)526a]=πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]. 故答案为：πa ⋅[(√5−1)22+(√5−1)322+(√5−1)423+(√5−1)423]. 【探索发现】：根据黄金分割的定义计算即可；【归纳提炼】：探究规律，利用规律解决问题即可；【解释应用】：根据相似多边形的性质相似比等于周长比，解决问题即可；【拓展延伸】：(1)分别求出a 1，a 2，a 3，a 4即可解决问题； (2)利用弧长公式计算即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，黄金分割，解直角三角形，相似多边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵AB=6cm，BC=9cm，∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10，∵EQ⊥AC，∴∠EQC=∠B=90°，∵∠ECQ=∠ACB，∴△ECQ∽△ACB，∴EQAB =CQCB=ECAC，∴EQ6=2t8=EC10，∴EQ=32t，EC=52t，∵点E在BQ的垂直平分线上，∴EB=EQ，∴8−52t=32t，∴t=2．(2)如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10−2t，QH=45AQ=45(10−2t)，∵AP=t，∴S△APQ=12⋅AP⋅QH=12⋅t⋅45(10−2t)=−45t2+4t，∴y=S△ABC−S△APQ=12×6×8−(−45t2+4t)=45t2−4t+24(0<t≤165).(3)①如图2−1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．∵∠ABC=90°，AJ=JC，∴BJ=AJ=JC=12AC=5，∴∠JBC=∠JCB，∴∠BJH=∠BCJ+∠JCB=2∠JCB，∵E，F关于AC对称，∴∠ACE=∠ACF，CF=CE=52t ∴∠FCE=2∠ACB=∠BJH，∵FK⊥CD，CB⊥CD，∴FK//CB，∴∠CFK=∠FCE=∠BJH，∵BH⊥AC，∴S△ACB=12⋅AB⋅CB=12⋅AC⋅BH，∴BH=AB⋅BCAC =245，∵FD=FC，FK⊥CD，∴CK=KD=3，∵∠BJH=∠CFK，∴sin∠BJH=sin∠CFK，∴BHBJ =CKCF，∴2455=352t，∴t=54，②当CF=CD时，52t=6，∴t=125，综上所述，满足条件的t 的值为54或125．【解析】(1)证明△ECQ∽△ACB ，可得EQAB =CQCB =ECAC ，可得EQ6=2t 8=EC10，推出EQ =32t ，EC =52t ，由题意点E 在BQ 的垂直平分线上，推出EB =EQ ，由此构建方程，求解即可．(2)如图2中，过点Q 作QH ⊥AB 于H ，则AQ =10−2t ，QH =45AQ =45(10−2t)，根据y =S △ABC −S △APQ ，求解即可．(3)分两种情形：①如图2−1中，当DC =DF 时，连接DF ，取AC 的中点J ，连接BJ ，和点B 作BH ⊥AC 于H ，过点F 作FK ⊥CD 于K.证明∠BJH =∠CFK ，可得sin∠BJH =sin∠CFK ，由此构建方程求解．②当CF =CD 时，构建方程，求解即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2020-2021学年江苏省连云港市东海县九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是()A. ax2+bx+c=0B. 2(x−x2)−1=0C. x2−y−2=0D. mx2−3x=x2+22.在数2、3、4和5中，是方程x2+x−12=0的根的为()A. 2B. 3C. 4D. 53.已知x=−1是方程mx2+nx=0的根，则必有()A. m+n=0B. m2+n=0C. m−n=0D. m2−n=04.在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则()A. y>z>xB. x>z>yC. y>x>zD. z>y>x5.有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC.如图，由∠BOC=2∠A=130°，得∠A=65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是()A. 淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B. 淇淇说的不对，∠A就得65°C. 嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D. 两人都不对，∠A应有3个不同值6.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是()A. 80πcm2B. 40πcm2C. 24πcm2D. 2πcm27.根据下列表格中关于x的代数式ax2+bx+c的值与x对应值，x 5.12 5.13 5.14 5.15 ax2+bx+c−0.04−0.020.010.03那么你认为方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)的一个解最接近于下面的()A. 5.12B. 5.13C. 5.14D. 5.158.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB⏜上的点D处，且BD⏜l：AD⏜l=1：3(BD⏜l表示BD⏜的长)，若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为()A. 1：3B. 1：πC. 1：4D. 2：9二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.将一元二次方程3x(x−1)=2化成ax2+bx+c=0(a>0)的形式为______ ．10.一元二次方程x2−9=0的解是_________．11.九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的众数为______ ．12.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么______将被录用(填甲或乙)．应聘者甲乙项目学历98经验76工作态度5713.已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是______ ．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE.若∠A=100°，∠E=60°，则∠ECD=______°.15.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则BD的长为______ ．16.如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园.它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，则围成矩形的长为______ ．17.若关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0(a≠0)有一根为x=2019，则一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)−1=0必有一根为______ ．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，点D在BC上，且CD=2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共96.0分）19.解下列方程：(1)(x−1)2=9．(2)x2−10x+18=0．(3)2x2+1=√10x.(4)(2x+1)2=3(2x+1)．20.关于x的一元二次方程x2−8x−k=0有两个相等的实数根．(1)求k的值；(2)求出方程的根．21.如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=DC，AC与BD相等吗？为什么？22.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(3,4)，(1)则该弧所在圆心的坐标是______ ．(2)C与下列格点的连线中，能与该圆弧相切的是______ ．A.点(6,0)；B.点(5,1)；C.点(2,5)；D.点(1,6)．23.为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量(单位：克)如表：A加工厂74757575737778727675B加工厂78747873747574747575(1)根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数；(2)估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？(3)根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？24.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．25.新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗.据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元？(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室.种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买多少盆B种花苗，B种花苗每盆就降价多少元.若九年级一班的同学本次购买花苗共花费了256元，请计算出本次购买了A、B两种花苗各多少盆？26.某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示.他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法.该社团以方程x2+10x−39=0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空.因为x2+10x−39=0，所以有x(x+10)=39．展示1：阿尔⋅花拉子米构图法如图1，由方程结构，可以看成是一个长为(x+10)，宽为x，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．(1)图2中，补上的空白小正方形的边长为______ ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为(x+______ )2=39+______ ；展示2：赵爽构图法如图3，用4个长都是(x+10)，宽都是x的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．(2)图3中，大正方形面积可以表示为(______ )2(用含x的代数式表示)；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+______ ，故可得原方程的一个正的根为______ ．(3)请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x2+2x=3的配方结果(请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度)．27.【问题情境】如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，在边OB上找一点P，使得∠CPD最大．【问题解决】小明在解决这个问题时认为：如图2，同时过C、D两点的圆与OB 边相切于点P，当且仅当取此切点时，∠CPD才最大．(1)小明证明自己结论的思路是：在射线OB上任取另一点P1(不同于切点P)，证明∠CDD>∠CP1D即可请完成小明的证明；【结论应用】请和小明一起，利用“问题情境”的结论解决下列问题：(2)如图3，一幢楼BC上有一高为2m的信号塔AB，当观测点E在水平地面CD上，且满足CE=6√10时，看信号塔AB的视角(即∠AEB)最大，求楼高BC；(3)如图4，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠BCD=60°，BC=9，对角线AC 平分∠BCD.点E是BC上一点，请问当BE的长满足什么条件时，在线段AD上恰好只存在一点P，使得∠BPE=60°？(直接写出结果，不必写出解答过程)答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”.根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．【解答】解：A.当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；B.符合一元二次方程的定义，故此选项正确；C.是二元二次方程，故此选项错误；D.当m=1时，是一元一次方程，故此选项错误；故选B．2.【答案】B【解析】解：∵x2+x−12=0，∴(x+4)(x−3)=0，∴x=−4或x=3，故选：B．根据一元二次方程的解法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3.【答案】C【解析】解：由题意，得x=−1满足方程mx2+nx=0，所以，m−n=0，故选：C．把x=−1代入已知方程，即可求得(m−n)的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义．根据题意，可以判断x、y、z的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意得：若去掉一个最高分，平均分为x，则此时的x一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分z，去掉一个最低分，平均分为y，则此时的y一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分z，y>z>x，故选A．5.【答案】A【解析】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′=180°−65°=115°．故选：A．直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．6.【答案】B【解析】解：如图，连接CD．∵OC=OD，∠O=60°，∴△COD是等边三角形，∴OC=OD=CD=4cm，∴S阴=S扇形OAB−S扇形OCD=60⋅π⋅162360−60⋅π⋅42360=40π(cm2)，故选：B．首先证明△OCD是等边三角形，求出OC=OD=CD=4cm，再根据S阴=S扇形OAB−S扇形OCD，求解即可．本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：根据表格可得方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)的一个解x的范围为5.13<x<5.14，∵|−0.02|=0.02，|0.01|=0.01，且0.02>0.01，∴方程的解最接近于5.14．故选：C．观察表格确定出解的范围，进而求出近似解即可．此题考查了解一元二次方程−公式法，以及解三元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：连接OD交OC于M．由折叠的知识可得：OM=12OA，∠OMA=90°，∴∠OAM=30°，∴∠AOM=60°，∵且BD⏜：AD⏜=1：3，∴∠AOB=80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，80πl=2πr，180∴r：i=2：9．故选：D．连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想．9.【答案】3x2−3x−2=0【解析】解：方程3x(x−1)=2，去括号得：3x2−3x=2，移项得：3x2−3x−2=0．故答案为：3x2−3x−2=0．方程整理为一般形式即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．10.【答案】x1=3，x2=−3【解析】【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：∵x2−9=0，∴x2=9，解得：x1=3，x2=−3．故答案为：x1=3，x2=−3．11.【答案】5【解析】解：∵5出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为5．故答案为：5．根据众数的定义直接求解即可．此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．12.【答案】乙【解析】【分析】本题主要考查加权平均数，若n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n 的权分别是w 1，w 2，w 3，…，w n ，则(x 1w 1+x 2w 2+⋯+x n w n )÷(w 1+w 2+⋯+w n )叫做这n 个数的加权平均数．根据加权平均数的定义列式计算，比较大小，平均数大者将被录取．【解答】解：，x 乙−=8×2+6+7×32+1+3=436，∴x 甲−<x 乙−，∴乙将被录用，故答案为：乙． 13.【答案】在圆外【解析】解：根据题意，得该圆的半径是4，小于点P 到圆心O 的距离5，则点P 在⊙O 外部，故答案为在圆外．首先求得该圆的半径，再根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d <r ，则直线与圆相交；若d =r ，则直线于圆相切；若d >r ，则直线与圆相离．考查了点与圆的位置关系，这里要特别注意8是圆的直径；掌握点和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键．14.【答案】50【解析】解：∵EC是⊙O的直径，∴∠EBC=90°，∴∠BCE=90°−∠E=30°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°−∠A=80°，∴∠ECD=∠BCD−∠BCE=50°，故答案为：50根据圆周角定理得到∠EBC=90°，求出∠BCE，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD= 180°−∠A=80°，计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15.【答案】√3【解析】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB，∵OA=OB，∴OA=AB=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO=90°，∵OB=1，∴BD=√3OB=√3，故答案为：√3．连接OB，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△AOB为等边三角形，进而求出∠AOB=60°，根据切线的性质得到∠DBO=90°，根据正切的定义计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【解析】解：设宽为x m，则长为(20−2x)m．由题意，得x⋅(20−2x)=48，解得x1=4，x2=6．当x=4时，20−2×4=12>9(舍去)，当x=6时，20−2×6=8．即：围成矩形的长为8m．故答案为：8m．设宽为xm，则长为(20−2x)m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找到等量关系准确的列出方程．17.【答案】x=2020【解析】解：对于一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)−1=0，设t=x−1，所以at2+bt−1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0(a≠0)有一根为x=2019，所以at2+bt−1=0有一个根为t=2019，则x−1=2019，解得x=2020，所以a(x−1)2+b(x−1)−1=0必有一根为x=2020．故答案为：x=2020．对于一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)=0，设t=x−1得到at2+bt=0，利用at2+ bt−1=0有一个根为t=2019得到x−1=2019，从而可判断一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)−1=0必有一根为x=2020．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【解析】解：如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T．⏜，∵PQ⏜=DQ∴OQ⊥PD，∴∠QOD=90°，∠QOD=45°，∴∠QCD=12∵∠ACB=90°，∴∠ACT=45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC=90°，∵AC=8，∴AT=AC⋅sin45°=4√2，∵AQ≥AT，∴AQ≥4√2，∴AQ的最小值为4√2，故答案为4√2．如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T.证明∠ACT=45°，求出AT即可解决问题．本题考查圆周角定理，垂线段最短，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)∵(x−1)2=9，∴x−1=3或x−1=−3，解得x1=4，x2=−2；(2)∵x2−10x=−18，∴x2−10x+25=−18+25，即(x−5)2=7，则x−5=±√7，∴x1=5+√7，x2=5−√7；(3)∵2x2+1=√10x，∴2x2−√10x+1=0，∴a=2，b=−√10，c=1，则△=(−√10)2−4×2×1=2>0，∴x=−b±√b2−4ac2a =√10±√24，即x1=√10+√24，x2=√10−√24；(4)∵(2x+1)2=3(2x+1)，∴(2x+1)2−3(2x+1)=0，则(2x+1)(2x−2)=0，∴2x+1=0或2x−2=0，解得x1=−0.5，x2=1．【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用配方法求解即可；(3)利用公式法求解即可；(4)利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−8x−k=0有两个相等的实数根．∴△=0，即△=(−8)2−4⋅(−k)=0，∴64+4k=0，解得k=−16；(2)因为k=−16，所以方程为x2−8x+16=0．解之得x1=x2=4．【解析】(1)根据题意得出关于k的方程，解方程即可求得k的值；(2)把k的值代入原方程解方程即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．21.【答案】解：AC与BD相等．理由如下：∵AB=DC，∴弧AB=弧CD，∴弧AB+弧BC=弧BC+弧CD，即弧AC=弧BD，∴AC=BD．【解析】由AB=DC，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到弧AB=弧CD，即有弧AB+弧BC=弧BC+弧CD，即弧AC=弧BD，因此AC与BD相等．本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．22.【答案】(1,1) A【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(1,1)．故答案是：(1,1)．(2)过格点A，B，C画圆弧，则点C与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(6,0)．故答案是：A．(1)根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．(2)根据切线的判定在网格中作图即可得结论．此题考查了切线的判定，坐标与图形性质，以及点的坐标与直角坐标系，其中确定出圆心O′的坐标是本题的突破点．23.【答案】解：(1)把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数，=75(克)；则中位数是75+752因为75出现了4次，出现的次数最多，所以众数是75克；(74+75+75+75+73+77+78+72+76+75)=75(克)；平均数是：110(2)根据题意得：=30(个)，100×310答：质量为75克的鸡腿有30个；(3)选B加工厂的鸡腿．[(72−75)2+(73−75)2+(74−75)2+4×0+(76−75)2+(77−75)2+∵S A2=110(78−75)2]=2.8，(73+4×74+75×3+78×2)=75B加工厂鸡腿质量的平均数为x=110[(73−75)2+4×(74−75)2+3×0+2×(78−75)2]=2.6，S B2=110∵A、B平均值一样，B的方差比A的方差小，B更稳定，∴选B加工厂的鸡腿．【解析】(1)根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可；(2)用总数乘以质量为75克的鸡腿所占的百分比即可；(3)根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键．24.【答案】证明：(1)连接OC．∵点C在⊙O上，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，∴∠CAD=∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°，∴CD是⊙O切线．(2)作OF⊥AB于F，∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，∴四边形CDFO是矩形，∴OC=FD，OF=CD，∵CD=2AD，设AD=x，则OF=CD=2x，∵DF=OC=10，∴AF=10−x，在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，∴(10−x)2+(2x)2=102，解得x=4或0(舍弃)，∴AD =4，AF =6，AC =4√5，∵OF ⊥AB ，∴AB =2AF =12．【解析】(1)欲证明CD 为⊙O 的切线，只要证明∠OCD =90°即可．(2)作OF ⊥AB 于F ，设AD =x ，则OF =CD =2x ，在Rt △AOF 中利用勾股定理列出方程即可解决问题．本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)设A 种花苗的单价为x 元，B 种花苗的单价为y 元，依题意得：{3x +5y =2104x +10y =380，解得：{x =20y =30．答：A 种花苗的单价为20元，B 种花苗的单价为30元．(2)设购买B 种花苗m 盆，则购买A 种花苗(12−m)盆，依题意得：20(12−m)+(30−m)m =256，整理得：m 2−10m +16=0，解得：m 1=2，m 2=8，当m =2时，12−m =10；当m =8时，12−m =4．答：共购买了A 种花苗10盆，B 种花苗2盆；或购买了A 种花苗4盆，B 种花苗8盆．【解析】(1)设A 种花苗的单价为x 元，B 种花苗的单价为y 元，根据“购买A 种花苗3盆，B 种花苗5盆，则需210元；购买A 种花苗4盆，B 种花苗10盆，则需380元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买B 种花苗m 盆，则购买A 种花苗(12−m)盆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．26.【答案】5 5 25 2x+10100 x=3【解析】解：(1)图2中，补上的空白小正方形的边长为5；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为(x+5)2=39+25；故答案为：5，5，25；(2)图3中，大正方形面积可以表示为(2x+10)2(用含x的代数式表示)；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+100，则(2x+10)2=4×39+100，(2x+10)2=256，2x+10=±16，解得x1=3，x2=−13．故原方程的一个正的根为x=3．故答案为：2x+10，100，x=3；(3)如图所示：(1)观察图形即可求解；(2)先观察图形填空，再直接开平方即可求解；(3)根据拼图方法直观地表示方程x2+2x=3的配方结果．本题主要考查解一元二次方程−配方法，根据示例和方程的特点构建几何图形并完成分割是解题的关键．27.【答案】解：(1)在射线OB上任取另一点P1(不同于切点P)，连接P1D，交圆于点E，连接P1C，CD．∵∠CPD=∠CED，∠CED>∠CP1D，∴∠CPD>∠CP1D；(2)作AB垂直平分线OF，过点E作OE⊥CD，连接OB．则有∠CFO=∠CEO=∠C=90°，∴四边形OECF为矩形．∴OF=CE=6√10，∵看信号塔AB的视角(即∠AEB)最大，∴以O为圆心OB为半径的圆O，必与CD切于点E，即OB=OE．∵AB=2，∴BF=1．设BC=x米，则OB=OE=CF=(1+x)米．在直角三角形OBF中，有OB2=BF2+OF2，即(1+x)2=(6√10)2+1，解得x=18或−20(舍去)，所以楼高BC为18米；(3)如图3，∵∠BCD=60°，BC=9，对角线AC平分∠BCD，则∠ACB=30°，则AB=BCtan30°=9⋅√33=3√3，则AC=2AB=6√3，∵AD//BC，则∠ACB=∠DAC=∠ACD=30°，故△ADC为底角为30°、底边为6√3的等腰三角形，则AD=CD=12AC÷cos30°=12×6√3÷√32=6；①当以BE为弦的圆与AD相切时，符合题设要求，则点P在AD上，∠BPE=60°，连接OP并延长PO交BC于点F，则PF⊥BC，连接OB、OE，则∠BOF=2∠BPO=60°，则Rt△BOF中，∠OBF=30°，设圆的半径为r(以下圆的半径均用r表示)，则OF=12r，则AB=PF=r+12r=3√3，解得r=2√3，在Rt△BOF中，BF=BO⋅cos30°=2√3⋅√32=3=12BE，故BE=6；②如图4，当以BE为弦的圆过点D时，符合题设要求，即点P、D重合，连接BO并延长交CD于点G，同理可得△BOE为底角为30°的等腰三角形，则∠GBC=30°，而∠DCB=60°，故∠BGC=90°，即BG⊥CD，在Rt△BCG中，CG=12BC=92，BG=BCcos30°=9√32，则GD=CD−CG=6−92=32，OG=BG−r=9√32−r，连接OD、OE，在Rt△ODG中，OD2=DG2+OG2，即r2=(9√32−r)2+(32)2，解得r=7√3，由①知，BE=2rcos30°=2×7√3×√32=7；③当以BE为弦的圆过点A时，此时点A为临界点，连接AE，∴∠ABC=90°，故AE过点O，同理可得：∠AEB=30°，则AE=2AB=6√3=2r，=9．则BE=2rcos30°=6√3⋅√32综上，BE=6或7<BE≤9时，符合要求．【解析】(1)∠CPD=∠CED，∠CED>∠CP1D，即可求解；(2)证明OECF为矩形，以O为圆心OB为半径的圆O，必与CD切于点E，则OB=OE，得到BF=1；在直角三角形OBF中，有OB2=BF2+OF2，即(1+x)2=(6√10)2+1，即可求解；r=3√3，(3)①当以BE为弦的圆与AD相切时，符合题设要求，得到AB=PF=r+12解得r=2√3，进而求解；②如图4，当以BE为弦的圆过点D时，符合题设要求，即点P、D重合，进而求解；③当以BE为弦的圆过点A时，此时点A为临界点，即可求解．本题是圆的综合题，主要考查的是圆的基本知识、直线和圆的位置关系、解直角三角形等，综合性强，难度较大．。

北京市昌平区2020届九年级上学期期中考试数学试题及答案

北京市昌平区2020届九年级上学期期中考试数学试题一、选择题（共8 道小题，每小题2 分，共16 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．1．如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则s inB的值等于4 3343545A．B．C．D．CBA第1题第4题的最小值是B．7 第5题D．5x 5272．二次函数yA ．7C ．53．已知⊙O的半径是4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外4．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos 的值是D．不能确定3 4433545A．B．C．D．5．如图所示，C 是⊙O 上一点，若C 40，则AO B的度数为A. 20°B.40°C. 80°D. 140°6．如图，河堤横断面迎水坡的坡度是的长度是C. ，堤高A. ，则坡面B. D.x 2x m的图象与轴没有交点，则m的取值范围是x7．若函数y2A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1D．m=1 8．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O 的直径．若D B C 33，二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） D3 9．如果cos A，那么锐角A 的度数为______.2A O10．如右图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD =105°，则∠DCE 的度数是11．一个扇形的半径为 6 ㎝，圆心角为 900，则这个扇形的弧长为_______，这个面积为BCE.．12．将抛物线y 5x 2先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，可以得到新的抛物线是_______________________ 13．比较大小：cos 45∘ cos 55∘（用“>”或“<”填空）．所对的圆心角为 80°，则弦所对的圆周角的度数是14 ．若 ⊙ 的弦_________y x bx c 的部分图象如图所示，由图象可知，15．二次函数2 y不等式x 2b xc 0 的解集为___________________.16．⊙O 的直径为 10cm ，弦 AB∥CD ，且AB = 8cm ，CD = 6cm ， x则弦 AB 与 CD 之间的距离为．三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）17．计算：2sin 453 t an 30 2 t an 60c o s 3018．如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于点E ，AB =8，AE =6，ED =4，求CD 的长．BCE ODA19．如图所示，在求的值．中，，垂足是．若，，．20．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深 AB 一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果为⊙ 的直径，弦OE AE 1C D AB 于，AB寸，C D 10 寸，那么直径的长为多少寸？”请你补全示意AB 图，并求出的长．21．如果二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过点（1,0），（2,-1），（0，3），（1）求二次函数解析式，（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标.22．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过 BC 的中点 D ，DE⊥AC 于 E ，求证：△BDA∽△CED.CDE AOB四、解答题（共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分） m23．如图，一次函数y kx b 与反比例函数的图象交于 A （2，1），B （-1，）两点. y n x（1）反比例函数和一次函数的解析式；m （2）结合图象直接写出不等式的解集.kx b 0ym xxyy k x b A 11O2xBn24．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46 米到达B 后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD．（结果保留根号）DA B C25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20 元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足（20≤x≤40），设销y2x80售这种产品每天的利润为W（元）.（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式.（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？1 26．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα= ，3求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°.设∠BAC=α，则sinα=B C AB1= ．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AB=3x，则AC= x．作CD⊥AB于D，求出223C DCD= （用含x的式子表示），可求得sin2α= = ．O C3【问题解决】已知，如图2，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ= ，求sin2β5的值.P P M MCA BO D N N图1图图2五、解答题（共 2 道小题，各 7 分，共 14 分）27．已知抛物线y = x 2 + (a − 2)x − 2a （a 为常数，且 a>0）. （1）求证：抛物线与 x 轴有两个公共点；（2）设抛物线与 x 轴的两个公共点分别为 A ，B （A 在 B 左侧），与 y 轴的交点为 C. 当 AC=2√5时，求抛物线的表达式.28．在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为 1，P 是坐标系内任意一点，点 P 到⊙O 的距 xOy 离的定义如下：若点 P 与圆心 O 重合，则S 为⊙O 的半径长；若点 P 与圆心 O 不重合，S PP作射线 OP 交⊙O 于点 A ，则为线段的长度．S AP P图 1 为点 P 在⊙O 外的情形示意图．yy 1P 1 A 1xO 1xO图 1 备用图 21 1,0C 1,1 ， 0, S S （1）若点 B ， D ，则 ___； S ___； ___； 3C BD x b M 2，求的取值范围；b（2）若直线 y 上存在点，使得S MP R（3）已知点，在 x 轴上，为线段 P Q 上任意一点．若线段 P Q 上存在一点，T Q．．S 满足 T 在⊙O 内且 S，直接写出满足条件的线段长度的最大值．P Q ． TRy1 xO1北京市昌平区2020 届初三上学期期中考试数学试题（答案）一、选择题题号 1D 2B3A4D5C6D7A8B答案二、填空题：9．30°.13. ＞10. 105°11. 3π，9π15. X<-1, x>512. y=5(x-3) -42 14. 40°，140°16. 1，717. √2+√3−318. CD=16/319. 12/1320. 2621. (1)y=x -4x+3 (2)对称轴x=2，顶点（2，-1）222.略23.(1) y=2/x， y=x-1; (2)-1<x<0，x>224. 23√3+2325.(1)w=-2x +120x-1600; (2)30 元，最大利润200 元226. 2√2x; 4√2; 24/259327(1)略(2)y=x -4228.(1) 0, , 2/3;(2)−3√2≤b≤3√2;(3)4五、解答题（共 2 道小题，各 7 分，共 14 分）27．已知抛物线y = x 2 + (a − 2)x − 2a （a 为常数，且 a>0）. （1）求证：抛物线与 x 轴有两个公共点；（2）设抛物线与 x 轴的两个公共点分别为 A ，B （A 在 B 左侧），与 y 轴的交点为 C. 当 AC=2√5时，求抛物线的表达式.28．在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为 1，P 是坐标系内任意一点，点 P 到⊙O 的距 xOy 离的定义如下：若点 P 与圆心 O 重合，则S 为⊙O 的半径长；若点 P 与圆心 O 不重合，S PP作射线 OP 交⊙O 于点 A ，则为线段的长度．S AP P图 1 为点 P 在⊙O 外的情形示意图．yy 1P 1 A 1xO 1xO图 1 备用图 21 1,0C 1,1 ， 0, S S （1）若点 B ， D ，则 ___； S ___； ___； 3C BD x b M 2，求的取值范围；b（2）若直线 y 上存在点，使得S MP R（3）已知点，在 x 轴上，为线段 P Q 上任意一点．若线段 P Q 上存在一点，T Q．．S 满足 T 在⊙O 内且 S，直接写出满足条件的线段长度的最大值．P Q ． TRy1 xO1北京市昌平区2020 届初三上学期期中考试数学试题（答案）一、选择题题号 1D 2B3A4D5C6D7A8B答案二、填空题：9．30°.13. ＞10. 105°11. 3π，9π15. X<-1, x>512. y=5(x-3) -42 14. 40°，140°16. 1，717. √2+√3−318. CD=16/319. 12/1320. 2621. (1)y=x -4x+3 (2)对称轴x=2，顶点（2，-1）222.略23.(1) y=2/x， y=x-1; (2)-1<x<0，x>224. 23√3+2325.(1)w=-2x +120x-1600; (2)30 元，最大利润200 元226. 2√2x; 4√2; 24/259327(1)略(2)y=x -4228.(1) 0, , 2/3;(2)−3√2≤b≤3√2;(3)4。

2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)

九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。

2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级(上)期中数学试卷(含答案)

2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）.1．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点2．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A 固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．154．对于函数y＝﹣x2﹣2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≥0C．x≤0D．x≤﹣15．将抛物线y＝x2+4x+1通过平移得到y＝x2，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位6．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是（）A．1B．2C．0D．不能确定7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）8．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（）A．2米B．3米C．4米D．5米9．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD10．如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 11．已知，则＝．12．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路 30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐（填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．13．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点，OC ⊥AB 于点E ．若∠CDB ＝30°，OA ＝2，则AB 的长为．14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为cm．16．如图，直线l：经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…B n （n，y n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，A n+1（x n+1，0）（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是．三.解答题（本题有8个小题，共80分）17．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（1）求它的对称轴；（2）求它与x轴，y轴的交点坐标．18．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．20．如图，已知点A、B的坐标分别是（0，0）（4，0），将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′．（1）画出△A′B′C′（不要求写出作法）；（2）写出点C′的坐标；（3）求旋转过程中点B所经过的路径长．21．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h 确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米．（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x（x＞0），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中：销售单价（元）40+x销售量y（件）销售玩具获得利润W（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？23．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（﹣4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC ＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形．（1）求证：△ABC是半直角三角形；（2）求证：∠DEC＝∠DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S；△ABF（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．试题解析一．选择题（共10小题）.1．解：二次函数y＝（x﹣1）2+5的图象开口向上，顶点坐标为（1，对称轴为直线x＝1．故选：C．2．解：∵AB＝2cm，∴圆的直径是4cm，故选：C．3．解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：，解得x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故选：A．4．解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣7＝﹣（x+1）2﹣7，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，∴当x≤﹣6时，y随x的增大而增大，故选：D．5．解：∵抛物线y＝x2+4x+7可化为y＝（x+2）2﹣3，∴把抛物线y＝（x+2）2﹣7先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到抛物线y＝x2．故选：D．6．解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点，△＝（﹣m）2﹣3×1×（﹣5）＝m7+20，∵m2一定为非负数，∴m2+20＞7，∴二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是3．故选：B．7．解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（﹣1，1），故选：B．8．解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a＝﹣，∴抛物线解析式：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，x1＝﹣2（舍去），x2＝3．∴OB＝5米．故选：B．9．解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM＝，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN＝∠CON＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴7CD＞MN，故D选项错误；故选：D．10．解：把y＝2x代入y＝ax2+bx+c可得ax6+（b﹣2）x+c＝0，由图象可知方程ax4+（b﹣2）x+c＝0有两个大于2的解，故而y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象与x轴正半轴交于两点，故选：A．二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）11．解：∵，∴＝＝．12．解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝2.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．13．解：∵∠CDB＝30°，∴∠COA＝60°，∴A＝30°，∴OE＝OA＝2，在Rt△AEO中，AE＝，∵OC⊥AB∴AB＝2AE＝8．故答案为：214．解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+6，将（﹣12，0）代入得出2+7，解得：a＝﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）6+4．故答案为：y＝﹣（x+6）2+5．15．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF6即：（4﹣x）2+72＝x2解得：x＝2.5故答案为：2.716．解：直线l：，当x＝1时，y＝，即：B1（1，），当x＝2时，y＝，即：B2（5，），∵A1（d，0），A3（2﹣d，0），若B4为直角顶点，则A1A2的中点（8，0）到B1的距离与到A5和A2的距离相等，即：1﹣d＝，解得：d＝；同理：若B2为直角顶点，则A4A3的中点（2，4）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；若B4为直角顶点，求出的d为负数3之后的B点，求出的d都为负数；所以d的值是或．故答案为：或．三.解答题（本题有8个小题，共80分）17．解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+2x+9，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即该抛物线的对称轴为直线x＝7；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+2x+9，∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣1或x＝7，即该抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），6），9）．18．解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从3个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，6），﹣1）和C（4，∴，∴a＝，b＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣5；（2）当y＝0时，得x2﹣x﹣1＝0；解得x2＝2，x2＝﹣2，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣8＜x＜4．20．解：（1）如图所示，△A′B′C′即为△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形；（2）点C′（﹣2，5）；（3）点B所经过的路径长＝＝2π．21．解：（1）抛物线的解析式为y＝ax2+c，又∵抛物线经过点C（0，2）和点B（16，∴0＝256a+8，a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8（﹣16≤x≤16）；（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，延长CD经过O点，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB8∴R2＝（R﹣8）8+162，解得R＝20；（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，EF＝y＝3.2米；②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，则OH＝D ，O F′＝R＝20，在Rt△OH F′中，H ，∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）∴在离桥的一端7米处，抛物线型桥墩高3.5米； ．22．解：（1）由题意得，销售量为：y＝600﹣10x，销售玩具获得利润为：W＝（40+x﹣30）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000；故答案为：600﹣10x，﹣10x2+500x+6000；（2）列方程得：﹣10x7+500x+6000＝10000，解得：x1＝10，x2＝40．∴该玩具销售单价应定为50元或80元；答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）销售单价为在40元的基础上上涨x，根据题意得，解得：3≤x≤6，W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，∴当4≤x≤8时，y随x增大而增大，＝8640（元），∴当x＝6时，W最大值答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．23．（1）证明：∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝45°，∵∠ABE＝∠ADE＝45°，∴△ABC是半直角三角形；（2）证明：∵OM⊥AB，OA＝OB，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵∠DEB＝∠DAB，∴∠DBA＝∠DEB，∵D、B、A、E四点共圆，∴∠DBA+∠DEA＝180°，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∴∠DEA＝∠DEC；（3）解：如图1，连接AM，设⊙M的半径为r，∵点D的坐标为（0，2），∴OM＝8﹣r，由OM2+OA5＝MA2得：（8﹣r）8+42＝r6，解得r＝5，∴⊙M 的半径为5，∵∠ABE＝45°，∴∠EMA＝7∠ABE＝90°，∴EA2＝MA2+ME7＝52+42＝50，∴AE＝5．24．解：（1）∵点A（﹣1，0），7），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝4，∴B（4，5），把A（﹣8，0）和B（43+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，B（8，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+6，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），t2﹣6t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t4﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），＝＝＝．∴S△ABF（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣5，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB4＝PA2，∴（4﹣5）2+（m﹣5）8+（4+1）7+52＝（8+1）2+m8，解得：m＝8，∴P（1，7）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，∴（1+1）8+m2+（4+4）2+52＝（4﹣1）8+（m﹣5）2，解得：m＝﹣6，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB6+PA2＝BA2，∴（8+1）2+m3+（4﹣1）4+（m﹣5）2＝（5+1）2+42，解得：m＝6或﹣5，∴P（1，6）或（2；综上，点P的坐标为（1，﹣2）或（7，﹣1）．。

厦门市同安区六校2020届新人教版九年级上期中联考数学试题含答案(全套样卷)

2020-2021学年度第一学期期中联考数学科试卷满分:150 分；考试时间:12020 分钟联考学校:竹坝学校、莲美中学、凤南中学、梧侣学校、澳溪中学、厦门市第二外国语学校一、选择题(本大题10小题，每小题4分，共40分)1、下列关于x的方程中，是一元二次方程的有()A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x2﹣1=0 D．x2+=12、方程x2﹣2x=0的根是( )A．x1=x2=0 B．x1=x2=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣23、关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是()A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4、已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于()A．4 B．1 C．0 D．﹣15、一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(x-3)(x-4)=0的根，则这个三角形的周长( )A．13 B．11或13 C．11 D．11和136、用配方法解下列方程时，配方有错误的是()A．2m2+m﹣1=0化为B．x2﹣6x+4=0化为(x﹣3)2=5C．2t2﹣3t﹣2=0化为D．3y2﹣4y+1=0化为7、抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是()A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8．如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC 于点M，以下结论正确的是()A．BE=CE B．FM=MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高() A．4元或6元B．4元C．6元D．8元10．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论:①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11.抛物线y=2(x+3)2+1的顶点坐标是___________12．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=．13．如果函数y=(k﹣3)+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．14．已知抛物线y=x2﹣2(k+1)x+16的顶点在x轴上，则k的值是．15．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．16．如图，Rt△OAB的顶点A(﹣2，4)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为．三、解答题(共86分)17．(7分)解方程:x2﹣6x﹣16=018．(7分)解方程:2x2+3=7x；19．(7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．20207分)求抛物线y=-2x2+8x-8的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2020-2021学年湖北省武汉市洪山区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程2x2+1=6x化成一般形式后，一次项和常数项分别是()A. 2x2、1B. 2、6C. −6x、1D. −6、12.下列食品图案中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.解方程x2−6x+3=0，可用配方法将其变形为()A. (x+3)2=3B. (x−6)2=3C. (x−3)2=3D. (x−3)2=64.平面直角坐标系中，点(−2,9)关于原点对称的点坐标是()A. (−9,2)B. (2,−9)C. (2,9)D. (−2,−9)5.关于x的一元二次方程2x2+5x−1=0根的说法，正确的是()A. 方程没有实数根B. 方程有两个相等实数根C. 方程有两个不相等实数根D. 方程有一个实数根6.将抛物线y=2(x−1)2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为()A. y=2(x−2)2−5B. y=2x2+4C. y=2(x−3)2+1D. y=2(x−2)2+57.二次函数y=−x2−2x+c在−3≤x≤2的范围内有最大值为−5，则c的值是()A. −2B. 3C. −3D. −68.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与直线y=bx+c在同一坐标系中的大致图象可能为()A. B.C. D.9.如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为()A. 50mB. 45mC. 40mD. 60m10.如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，有以下四个结论：①BE+DF=EF；②BM2+DN2=MN2③若AB=3，BE=1，则BN=3；④若CE=2，则DN=√2，其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若x=2是方程x2−mx+2=0的根，则m=______．12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=45°，AB=6，则⊙O的半径为______．13.如图，已知A(4,0)、B(0,3)，以点B为圆心，AB的长为半径画圆，交y轴正半轴于点C，则线段AC的长度等于______．14.在平面直角坐标系中，以点(2,0)为旋转中心，将点(1,3)顺时针旋转90°所得到的点坐标为______．15.已知抛物线y=a(x−ℎ)2+k与x轴交于(−2,0)、(3,0)，则关于x的一元二次方程：a(x−ℎ+6)2+k=0的解为______．16.已知关于x的二次函数y=ax2−4ax+3a2−6，当x<0时，y随x的增大而减小．并且，当−1≤x≤3时，y有最小值1.则a的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：2x2−3x+1=0．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.如图为二次函数y=−x2−x+2的图象，试根据图象回答下列问题：(1)方程−x2−x+2=0的解为______；(2)当y>0时，x的取值范围是______；(3)当−3<x<0时，y的取值范围是______．19.湖北省预计将于今年年底实现全省贫困人口全部脱贫．2018年，湖北省精准脱贫专项资金合计约30亿元，据扶贫办报告，2020年湖北省政府将合计拨款43.2亿元用于脱贫攻坚最后一战．根据以上信息，请你计算在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为多少？20.请用直尺按要求在网格中作图，并标明字母(辅助线可用虚线作出，以下作图请勿超出网格范围)．(1)作出平行四边形ABDC；(2)以AC为边，作出正方形ACMN；(3)作出一条同时平分平行四边形ABDC与正方形ACMN面积的直线．21.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，弦CD平分∠ADB．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)若BD=3，AD=5，过C点作BD的平行线交DA的延长线于点E，试求△CAE面积．22.某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，该玩具的月销售总利润W=(售价−成本)×月销量，三者有如下数据：售价x(元/件)152030月销量y(件)500400200月销售总利润W(元)250040004000(1)试求y关于x的函数关系式(x的取值范围不必写出)；(2)玩具的成本为______元，当玩具售价x=______元时，月销售总利润有最大值______元；(3)受市场波动原因，从本月起，该玩具成本上涨a元/件(a>0)，且物价局规定该玩具售价最高不得超过25元/件．若月销量y与售价x仍满足(1)中的关系，预计本月总利润W最高为3000元，请你求出a的值．23.四边形ABCD若满足∠A+∠C=180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．(1)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=90°，AB=AD，求∠ACB的度数．小云同学是这么做的：延长CB至M，使得BM=CD，连AM，可证明△CAD≌△MAB，通过判断△MAC的形状，可以得出结论．①在图1中按要求完成作图；②△MAC的形状为______；③∠ACB=______；(2)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明：CA=CB+CD；(3)如图3，等腰△ABD、等腰△CDE的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且∠BAD与∠C互补．请你判断∠DAE与∠DBC的数量关系并证明．24.如图1，抛物线y=x2+(m+1)x−(m+2)(其中m为大于−1的常数)交坐标轴于A、B、C三点．(1)当m=1时，①直接写出A、B、C的坐标A______、B______、C______；②点D在抛物线上，且满足∠DAO=∠BCO，试求D点坐标；(2)如图2，点M在抛物线上且位于x轴下方，直线AM、BM分别交y轴于P、Q两点，MN⊥y轴于N.若OPOC =54，试求ONOQ的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：2x2+1=6x，2x2−6x+1=0，所以一次项和常数项分别是−6x，1，故选：C．先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．根据中心对称图形的概念判断．本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】D【解析】解：方程x2−6x+3=0，移项得：x2−6x=−3，平方得：x2−6x+9=6，即(x−3)2=6．故选：D．方程移项，两边加上一次项系数一半的平方配方得到结果，即可作出判断．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：点(−2,9)关于原点对称的点坐标是(2,−9)，故选：B．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．5.【答案】C【解析】解：∵2x2+5x−1=0，∴△=52−4×2×(−1)=25+8=33>0，∴该方程有两个不相等实数根．故选：C．计算方程根的判别式，求其符号进行判断即可．本题主要考查根的判别式，掌握方程根的判别式与方程根的情况是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y=2(x−1)2+3向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y=2(x−2)2+5．故选：D．根据函数图象平移的法则进行解答即可．本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：把二次函数y=−x2−2x+c转化成顶点坐标式为y=−(x+1)2+c+1，又知二次函数的开口向下，对称轴为x=−1，故当x=−1时，二次函数有最大值为−5，故−1+2+c=−5，故c=−6．首先把二次函数y=−x2−2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在−3≤x≤2内有最大值，得到−1+2+c=−5，解得即可．本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．8.【答案】B【解析】解：选项A中，由一次函数的图象可知b<0，c>0，由二次函数的图象可知a<0，b>0，c>0，故选项A不符合题意；选项B中，由一次函数的图象可知b<0，c>0，由二次函数的图象可知a>0，b<0，c>0，故选项B符合题意；选项C中，由一次函数的图象可知b>0，c>0，由二次函数的图象可知a>0，b<0，c>0，故选项C不符合题意；选项D中，由一次函数的图象可知b<0，c>0，由二次函数的图象可知a>0，b<0，c<0，故选项D不符合题意；故选：B．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中b和c的正负情况和二次函数图象中a、b、c的正负情况，注意a>0，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】A【解析】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB⏜于D，连接OA，如图所示：则OA=OD=250，AC=BC=1AB=150，2∴OC=√OA2−AC2=√2502−1502=200，∴CD=OD−OC=250−200=50(m)，故选：A．设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB⏜于D，连接OA，先由垂径定理得AC= BC=12AB=150，再由勾股定理求出OC=200，然后求出CD的长即可．本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：①延长CB，截取BI=DF，连接AI，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ABE=∠ADC=90°，∴∠ABI=90°，在△ADF和△ABI中，{AD=AB∠ADF=∠ABI DF=BI，∴△ADF≌△ABI(SAS)，∴∠BAI=∠DAF，AI=AF，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠BAI+∠BAE=45°，即∠EAI=45°，∴∠EAI=∠EAF，∵AE=AE，∴△AIE≌△AFE(SAS)，∴IE=FE，即DE+BF=EF，故①正确；②过B作BD的垂线，截取BH=ND，连接AH，HM，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ADB=∠ABD=45°，∠BAD=90°，∴∠ABH=45°=∠ADN，在△ADN和△ABH中，{AD=AB∠ADN=∠ABH DN=BH，∴△ADN≌△ABH(SAS)，∴∠DAN=∠BAH，AN=AH，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠DAN+∠BAM=∠BAH+∠BAM=45°，∴∠MAN=∠HAM=45°，在△AHM和△ANM中，{AH=AN∠HAM=∠NAM AN=AN，∴△AHM≌△ANM(SAS)，∴MH=MN，Rt△BHM中，HM2=BH2+BM2，∴MN2=BM2+DN2，故②正确；③连接AC，过E作EH⊥AC于点H，∵四边形ABCD为正方形，AB=3，∴∠ACB=∠BAC=∠ADB=∠CAD=45°，AB=BC=3，∴∠HEC=∠HCE=45°，∵BE=1，∴CE=2，∴EH=√2，∴BE≠HE，∴∠BAE≠∠CAE，∵∠EAF=∠CAD=45°，∴∠CAE=∠DAF，∵∠BAE≠∠DAF，∴∠EAF+∠BAE≠∠ADN+∠DAF，∵∠BAN=∠EAF+∠BAE，∠BNA=≠∠ADN+∠DAF，∴∠BAN≠∠BNA，∴AB≠BN，∵AB=3，∴BN≠3，故③错误；④过点D作DG⊥BD过N作NG//BC，与DG交于点G，连接CG，与AF的延长线交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠BDC=45°，∠BCD=90°∴∠CDG=∠ADC=45°，NG⊥CD，∴∠DNG=∠DGN=45°，∴DN=DG，∵∠ADN=∠CDG=45°，∴△ADN≌△CDG(SAS)，∴∠DAN=∠DCG，∵∠DAN+∠AFD=90°，∠AFD=∠CFH，∴∠HCF+∠CFH=90°，∴∠CHF=90°，∵∠CBD=∠EAF=45°，∴A、B、E、N四点共圆，∴∠ABE+∠ANE=180°，∵∠ABC=90°，∴∠ANE=90°=∠CHF，∴EN//CG，∴四边形CENG为平行四边形，∴NG=EC=2，∴DN=CG⋅sin45°=2×√2=√2，故④正确，2故选：C．①延长CB，截取BI=DF，连接AI，如图，易证△ADF≌△ABI，△AIE≌△AFE，得IE=FE，即DF+BE=EF，成立；②过B作BD的垂线，截取BH=ND，连接AH，HM，如图，易证△ADN≌△ABH，△AHM≌△ANM，得MN=MH，最后根据勾股定理可作判断；③连接AC，过E作EH⊥AC于点H，证明EH≠EB得∠BAE≠∠CAE，进而证明∠BAN≠∠BNA，得BN≠3；④过点D作DG⊥BD过N作NG//BC，与DG交于点G，连接CG，与AF的延长线交于点H，证明△DNG为等腰直角三角形，证明四边形CENG为平行四边形，便可解决问题．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．11.【答案】3【解析】解：∵x=2是方程x2−mx+2=0的一个根，∴22−2m+2=0，解得m=3，故答案为：3．将x=2代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12.【答案】3√2【解析】解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA=OB=√2AB=3√2，2即⊙O的半径是3√2，故答案为：3√2．连接OA，OB，可得∠AOB=90°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB=90°．13.【答案】4√5【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(4,0)，(0,3)，∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√OB2+OA2=√32+42=5，∴BC=AB=5，∴OC=BC+OB=5+3=8，在Rt△COA中，由勾股定理得：AC=√OA2+OC2=√42+82=4√5．故答案为：4√5．先根据勾股定理求出AB，再求出OC，然后利用勾股定理即可得到线段BC的长．本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．14.【答案】(5,1)【解析】解：如图，观察图象可知E(1,3)绕点A(2,0)，顺时针旋转90°所得到的点F的坐标为(5,1)．故答案为：(5,1)．利用图象法，画出图形解决问题即可．本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．15.【答案】x1=−8，x2=−3【解析】解：将抛物线y=a(x−ℎ)2+k向左平移6个单位长度后的函数解析式为y= a(x−ℎ+6)2+k，∵抛物线y=a(x−ℎ)2+k经过(−2,0)，(3,0)两点，∴当a(x−ℎ+6)2+k=0向左平移6个单位时，对应的解是x1=−8，x2=−3，故答案为：x1=−8，x2=−3．将抛物线y=a(x−ℎ)2+k向左平移6个单位得到y=a(x−ℎ+6)2+k，然后根据抛物线y=a(x−ℎ)2+k经过(−2,0)，(3,0)两点，可以得到a(x−ℎ+6)2+k=0的解．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16.【答案】73【解析】解：∵二次函数y=ax2−4ax+3a2−6=a(x−2)2+3a2−4a−6，∴顶点为(2,3a2−4a−6)，对称轴为直线x=2，∵当x<0时，y随x的增大而减小，∴开口向上，a>0，∵当−1≤x≤3时，y有最小值1，∴顶点为(2,1)，∴3a2−4a−6=1，解得，a=73或a=−1，∵a>0，a的值为73，故答案为73．解析式化成顶点式，得到顶点为(2,3a2−4a−6)，对称轴为直线x=2，根据当x<0时，y随x的增大而减小，即可得到开口向上，a>0，由当−1≤x≤3时，y有最小值1可知顶点为(2,1)，即可得到3a2−4a−6=1，解方程组即可求得a的值．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，得到关于a的方程是解题的关键．17.【答案】解：方程分解因式得：(2x−1)(x−1)=0，可得2x−1=0或x−1=0，解得：x1=12，x2=1．【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．18.【答案】x1=−2，x2=1−2<x<1−4<y≤94【解析】解：(1)令y=−x2−x+2=0，解得x=−2或1，故答案为x1=−2，x2=1；(2)从图象看，当y>0时，x的取值范围是−2<x<1，故答案为−2<x<1；(3)由抛物线的表达式知，顶点坐标为(−12,94 )，当x=−3时，y=−9+3+2=−4，故当−3<x<0时，y的取值范围是为−4<y≤94．(1)令y=−x2−x+2=0，解得x1=−2，x2=1，即可求解；(2)观察函数图象即可求解；(3)由抛物线的表达式知，顶点坐标为(−12,94)，当x=−3时，y=−9+3+2=−4，进而求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．19.【答案】解：设在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为x，依题意，得：30(1+x)2=43.2，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．答：在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为20%．【解析】设在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为x，根据2018年及2020年湖北省政府投入精准脱贫专项资金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20.【答案】解：(1)如图，平行四边形ABDC即为所求．(2)如图，正方形ACMN即为所求．(3)如图，直线l即为所求．【解析】(1)根据平行四边形的判定画出图形即可．(2)根据正方形的判定画出图形即可．(3)连接AD，BC交于点G，连接AM，CN交于点H，直线GH即为所求．本题考查作图−应用与设计，三角形的面积，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)∵CD平分∠ADB，∴∠BDC=∠ADC，∴BC⏜=AC⏜，∴BC=AC，∵∠ACB=60°，∴△ABC为等边三角形；(2)如图，作CM⊥ED于点M，由(1)知：∠CDA=∠BDC=60°，∵CE//BD，∴∠DCE=∠BDC=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE，∵∠BCD=60°−∠ACD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，{BC=AC∠BCD=∠ACE DC=EC，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD=AE=3，∴DC=DE=DA+AE=8，∵CM⊥ED，∴DM=12DE=4，∴CM=√DC2−DM2=4√3，∴△CAE 面积为：12AE ⋅CM =6√3．【解析】(1)根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明；(2)作CM ⊥ED 于点M ，结合(1)可得△CDE 是等边三角形，然后证明△BCD≌△ACE ，可得BD =AE =3，根据等边三角形三线合一可得DM 的长，根据勾股定理得CM 的长进而可得△CAE 面积．本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．22.【答案】10 25 4500【解析】解：(1)设函数表达式为y =kx +b ，则{15k +b =50020k +b =400，解得{k =−20b =800，故y 关于x 的函数关系式为y =−20x +800；(2)设成本为m 元，由题意得：(15−m)×500=2500，解得m =10(元)，则W =y(x −10)=(−20x +800)(x −10)=−20(x −40)(x −10)，∵−20<0，故W 有最大值，当x =12(40+10)=25(元)时，W 的最大值为4500(元)；故答案为10，25，4500；(3)由题意得：W =(800−20x)(x −10−a)=−20(x −25−12a)2+5a 2−300a +4500，则当x =25+12a 时，W 有最大值，由题意得x ≤25且25+12a >25，∴当x =25时，有最大利润W =300(15−a)=3000，解得a =5．(1)设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，用待定系数法求解即可；(2)该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；根据周销售利润=周销售量×(售价−进价)，列出w 关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；(3)根据周销售利润=周销售量×(售价−进价)，列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于a的方程，求解即可．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．23.【答案】等腰直角三角形45°【解析】(1)解：①如图1，②如图1，延长CB至M，使得BM=CD，连AM，∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABM+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABM，∵AD=AB，∴△CAD≌△MAB(SAS)，∴∠CAD=∠MAB，AC=AM，∵∠CAD+∠CAB=90°，∴∠MAB+∠CAB=90°．即∠CAM=90°，∴△MAC为等腰直角三角形；故答案为：等腰直角三角形；③∵△MAC为等腰直角三角形，∴∠ACB=45°．故答案为：45°；(2)证明：如图2，延长CB至M，使得BM=CD，连AM，∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABM+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABM，∵AD=AB，∴△CAD≌△MAB(SAS)，∴∠CAD=∠MAB，AC=AM，∴∠CAM=∠MAB+∠CBA=∠CAD+∠CBA=∠BAD=60°，∴△ACM为等边三角形，∴CA=CM=CB+BM=CB+CD．∠DAE+∠DBC=180°.理由如下：(3)12证明：如图3，延长CD至M，使得DM=CB，连AM，AC，则∠ADM=∠ABC，又AB=AD，∴△ABC≌△ADM(SAS)，∴AC=AM，∴∠M=∠ACB=∠ACD，又CD=CE，CA=CA，∴△ACD≌△ACE(SAS)，∴AD=AB=AE，∴∠DAE=2∠DBE，∵∠DBE+∠DBC=180°，∴1∠DAE+∠DBC=180°．2(1)①按题意画出图形即可；②延长CB至M，使得BM=CD，连AM，证明△CAD≌△MAB(SAS)，由全等三角形的性质得出∠CAD=∠MAB，AC=AM，可得出∠CAM=90°，则可得出答案；③由等腰三角形的性质可得出答案；(2)延长CB至M，使得BM=CD，连AM，证明△CAD≌△MAB(SAS)，得出∠CAD=∠MAB，AC=AM，证明△ACM为等边三角形，则可得出答案；(3)延长CD至M，使得DM=CB，连AM，AC，证明△ABC≌△ADM(SAS)，得出AC=AM，则∠M=∠ACB=∠ACD，证明△ACD≌△ACE(SAS)，由全等三角形的性质得出AD=AB=AE，得出∠DAE=2∠DBE，则可得出答案．本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．24.【答案】(−3,0)(1,0)(0,−3)【解析】解：(1)①当m=1时，y=x2+(m+1)x−(m+2)=x2+2x−3，令y=x2+2x−3=0，解得x=−3或1，令x=0，则y=−3，故点A、B、C的坐标分别为(−3,0)、(1,0)、(0,−3)，故答案为：(−3,0)、(1,0)、(0,−3)；②当点D在x轴上方时，设直线AB交y轴于点H，∵OA=OC=3，∠DAO=∠BCO，∠COB=∠AOH=90°，∴△COB≌△AOH(AAS)，∴OH=OB=1，x+1，由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为y=13则{y =x 2+2x +3y =13x +1，解得{x =43y =139(不合题意的值已舍去)，故点D 的坐标为(43,139)；当点D 在x 轴下方时，同理可得点D′(23,−119)；故点D 的坐标为(43,139)或(23,−119)；(2)对于y =x 2+(m +1)x −(m +2)①，令y =x 2+(m +1)x −(m +2)=0，解得x =1或−m −2，令x =0，则y =−m −2，故点A 、B 、C 的坐标分别为(−m −2,0)、(1,0)、(0,−m −2)，设直线BM 的表达式为y =kx +b ，将点B 的坐标代入上式并解得b =−k ，故直线BM 的表达式为y =kx −k②，则OQ =k ，联立①②并整理得：x 2+(m +1−k)x +(k −m −2)=0，则x B x M =k −m −2而x B =1，故x M =k −m −2，设直线AM 的表达式为y =k′x +b′，将点A 的坐标代入上式并解得：b′=mk′+2k′，则直线AM 的表达式为y =k′x +mk′+2k′③，则OP =−k′(m +2)，同理可得：x M =k′+1，故k −m −2=k′+1，解得：m =k −k′−3，而OC =m +2=k −k′−1，将x M =k′+1代入y =kx −k =k(k′+1)−k =kk′，故ON =−kk′，则OP CO =−k′(m+2)m+2=−k′=54，则ON OQ =−kk′k =−k′=54．(1)①令y =x 2+2x −3=0，解得x =−3或1，令x =0，则y =−3，即可求解；②当点D在x轴上方时，证明△COB≌△AOH(AAS)，则OH=OB=1，进而求解；当点D在x轴下方时，同理可得点D′(23,−119)；(2)确定直线BM的表达式为y=kx−k②，则OQ=k，进而求出x M=k−m−2，同理可得ON=−kk′，进而求解．本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、根与系数关系的运用、三角形全等等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．。

2020-2021学年上海市嘉定区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年上海市嘉定区九年级（上）期中数学试卷1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. 2x+y=0C. x2+1=0D. x2+y= 32.下列各组线段中，成比例线段的一组是( )A. 1，2，3，4B. 2，3，4，6C. 1，3，5，7D. 2，4，6，83.下列命题中正确的是( )A. 有一组邻边相等的四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的平行四边形是正方形D. 一组对边平行的四边形是平行四边形4.根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c−0.06−0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是( )A. 3<x<3.23B. 3.23<x<3.24C. 3.24<x<3.25D. 3.25<x<3.265.某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是( )A. 12B. 13C. 16D. 196.一元二次方程3x2−x=0的解是( )A. x=0B. x1=0，x2=3C. x1=0，x2=13D. x=137.如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD 于E，则△ABE的周长为( )A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm8.如图，在△ABC中，DE//BC，若ADDB =23，则AEEC=( )A. 13 B. 25 C. 23 D. 359. 某城市2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是( )A. 300(1+x)=363B. 300(1+x)2=363C. 300(1+2x)=363D. 363(1−x)2=30010. 如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且△AEF 是等边三角形，则BE 的长为( )A. 2−√3B. 2+√3C. 2+√5D. √5−211. 如果关于x 的方程mx 2+(m −2)x +5=0是一元二次方程，那么m ______ ．12. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED =3BE ，则∠AOB 的度数为______．13. 一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是______ ． 14. 若ab=c d=23，则2a−3c+42b−3d+6的值为______．15. 菱形的两条对角线的长为6和8，则菱形面积为______，周长为______．16. 关于x 的一元二次方程x 2−3x −m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围______． 17. 把方程2x(x −3)=3x +2化成一元二次方程的一般式是：______．18. 对于实数a ，b ，定义运算“∗”：{a ∗b =a 2−ab(a ≥b)a ∗b =ab −b 2(a <b)，例如：4∗2，因为4>2，所以4∗2=42−4×2=8.若x 1、x 2是一元二次方程x 2−5x +6=0的两个根，则x 1∗x 2的值是______．19.解方程：(1)4(x−1)2=9；(2)x2+8x+15=0；(3)3x2−5x+1=0；(4)x(x−2)+x−2=0．20.已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连接EC、FC．求证：EC=FC．21.已知方程x2−ax−3a=0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根．22.一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？(2)从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格．23.先阅读材料，然后按照要求答题：阅读材料：为了解方程(x2−1)2−5(x2−1)+4=0，我们可以将x2−1将视为一个整体，然后设x2−1=y，(x2−1)2=y2，则原方程可化为y2−5y+4=0．①解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2−1=1，x2=2.∴x=±√2．当y=4时，x2−1=4，x2=5.∴x=±√5．∴原方程的解为：x1=√2，x2=−√2，x3=√5，x4=−√5．仿照上题解方程：x4−6x2+8=0．24.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH.求证：四边形EBFC是菱形．25.某超市销售一批羽绒服，平均每天可售20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，如果超市要保证平均每天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？26.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．27.已知：关于x的方程x2−4mx+4m2−1=0．(1)不解方程：判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．28.如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合)，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).运动时间设为t秒．(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=______cm；QC=______cm.(用含t的代数式表示)(2)若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使△DPQ 为等腰三角形？(3)若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？29.如果a：b=3：5，那么下列四个选项中一定正确的是( )A. 3a=5bB. b−a=2C. (a+3)：(b+5)=3：5D. b−ab =2530.如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，且DE//BC，EF//AB，下列4个式子中，不正确的是( )A. ADAB =AEACB. BDAD =BFFCC. AEEC =BFFCD. ADAB =BFBC31.下列四个命题中，真命题是( )A. 有一个角是60°的两个等腰三角形相似B. 对应边成比例的两个多边形相似C. 有两条边成比例的两个直角三角形相似D. 有一边相等的两个相似三角形全等32.已知a⃗是非零向量，与a⃗同方向的单位向量记作e⃗⃗，下列式子中，正确的是( )A. |e⃗⃗|⋅a⃗⃗=|a⃗⃗|B. |a⃗⃗|⋅e⃗⃗=a⃗⃗C. 1|a⃗⃗|⋅a⃗⃗=1 D. |a⃗⃗||e⃗⃗|=a⃗⃗33.如图，△ABC的顶点在5×6网格图的格点上，cosB的值为( )A. 45B. 35C. 34D. 4334.在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，点A(1,0)，B(0,2)，C(3,0)，点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有个．( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个35.如果a2=b3，且a+b=25，那么a=______．36.已知某一地图的比例尺为1：20000，如果A、B两地的图上距离为5cm，那么A、B的实际距离为______km37.已知线段AB=6cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则BC=______cm．38.已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，BE、B1E1分别是它们的对应中线，如果BE=6，AB：A1B1=3：2，那么B1E1的长是______．39.已知|a⃗|=2，|b⃗⃗|=1，如果向量b⃗⃗与向量a⃗方向相反，那么用向量b⃗⃗表示向量a⃗为：a⃗=______．40.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E、F分别在边AB、DC上，且满足EF//BC，如果CF=2，BE：EA=1：2，那么DC=______．41.如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠B，如果AD=4，BD=AE=6，那么AC的长为______．42.如图5，在△ABC中，点G是△ABC的重心，如果EG//BC，那么△AEG与△ABC的面积之比是______．43.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果AD=1，BD=2，那么ACBC的值为______．44. 如图，将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC 及含30°角的直角三角板DCB)按图示方式叠放，斜边交点为O ，则△AOB 与△COD 的面积之比等于______ ．45. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果AD DB=m ，AE EC=n.那么m 与n满足的关系式是：m = ______ (用含n 的代数式表示m)．46. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，tanA =34，点M ，N 分别在AC ，BC 边上，将△ABC 沿直线MN 翻折，点C 恰好落在边AB 上，记为点C 1，如果△C 1MN 与△ABC 相似，那么折痕MN 的长为______．47. 计算：9sin30°⋅cos60°−tan45°⋅cos30°． 48. 已知：如图，△ABC 中，点D 是边AC 的中点．(1)设BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗.先化简，再求作：(3a⃗⃗⃗⃗⃗−b ⃗⃗)−2(a ⃗⃗−14b ⃗⃗)； (2)用a ⃗、b⃗⃗的线性组合表示向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．49. 如图，已知AB//CD//EF ，直线AF 与BE 相交于点O ，点C 、D 分别在线段OE 、OF 上，且AF =9，BO =2，OC =1，CE =4． (1)求S△ABO S △EFO的值．(2)求DF 的长．50.如图，矩形EFGD的边EF在等腰△ABC的底边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知AB=AC=10，BC=12，设BE=x，矩形EFGD的面积为y．(1)求BC边上的高．(2)试求y关于x的函数关系式及定义域．51.已知：在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD一个动点，联结AM、AN、AC．(1)如图1，如果AM⊥BC，AN⊥CD，求证：△AMN∽△DCA；(2)如图2，如果∠MAN=∠D，试问△AMN∽△DCA是否成立，如果成立，请证明，如果不成立，请简述理由．52.已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是(1,0)，联结BC．(1)求△ABC的面积．(2)求sin∠ABC的值；(3)如果动点P在直线y=x+3上，且△ABC与△POB相似，求点P的坐标．53.如图1，已知正方形ABCD的边长为2，点E是边AB的动点，将三角板的直角顶点与点E重合，直角边分别与线段BC交于点F，与射线AD相交于点G，联结FG．(1)求证：△AEG∽△BFE．(2)点E为线段AB的中点．①如图2，当点G在线段AD上运动时，(点G不与点D重合)，设BF=x，四边形CDGF的周长是否随x的变化而变化？如果变化，试用含有x的代数式表示四边形CDGF的周长，如果不发生变化，请说明理由．②如图3，联结AC，交GE于点P，交FG于点Q，当△AEG与△PQG相似时，求tan∠EGF的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是一元二次方程，故本选项错误；B、不是一元二次方程，故本选项错误；C、是一元二次方程，故本选项正确；D、不是一元二次方程，故本选项错误；故选C．根据一元二次方程的定义判断即可．本题考查了对一元二次方程的定义的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．2.【答案】B【解析】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、2×6=3×4，故本选项正确；C、1×7≠3×5，故本选项错误；D、2×8≠4×6，故本选项错误．故选：B．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3.【答案】B【解析】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c=0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24<x<3.25．【解答】解：∵x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.03，∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24<x<3.25．故选：C．5.【答案】B【解析】解：画树状图为：(数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用A、B、C表示)共有9种可能的结果数，其中小波和小睿选到同一课程的结果数为3，所以小波和小睿选到同一课程的概率=39=13．故选：B．先画树状图(数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用A、B、C表示)展示所有9种可能的结果数，再找出小波和小睿选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法，6.【答案】C【解析】解：3x2−x=0x(3x−1)=0∴x=0或3x−1=0解得：x1=0，x2=13．故选C．本题可对方程提取公因式x，得到两个因式的积的形式，则这两个因式至少有一个为0，由此可以解出x的值．本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．7.【答案】D【解析】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，∵EO⊥BD，∴EO为BD的垂直平分线，根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=12×20=10cm．故选：D．根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．此题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，还利用了中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．8.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，∴AE EC =ADDB=23，故选：C．直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．9.【答案】B【解析】【分析】一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程．本题为增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【解答】设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程300(1+x)2=363．故选：B．10.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中{AE=AFAB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1−x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，在Rt△CEF中，FE2=CF2+CE2，∴AB2+BE2=CF2+CE2，∴x2+1=2(1−x)2，∴x2−4x+1=0，∴x=2±√3，而x<1，∴x=2−√3，即BE的长为=2−√3．故选：A．由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1−x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．11.【答案】≠0【解析】解：因为关于x的方程mx2+(m−2)x+5=0是一元二次方程，所以二次项系数m≠0．本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)只含有一个未知数．本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12.【答案】60°【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．由矩形的性质和已知条件证得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵ED=3BE，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为60°．13.【答案】14【解析】解：画树状图：共有4种等可能的结果数，其中两个都是女孩的结果数为1，所以两个都是女孩的概率=14．故答案为14．画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两个都是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．14.【答案】23【解析】解：∵ab =cd=23，∴2a 2b =−3c−3d=46=23，∴2a−3c+4 2b−3d+6=23．故答案为23．先由ab =cd=23，根据分式的基本性质得出2a2b=−3c−3d=46=23，再根据等比性质即可求解．本题主要考查了分式的基本性质与比例的性质，难度适中．熟练掌握性质是解题的关键．15.【答案】2420【解析】解：菱形面积为6×8÷2=24；由两条对角线的长为6和8，可求得菱形的边长为√32+42=5，则周长为20．故答案为24，20．根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可求得其面积，根据勾股定理求得菱形的边长，从而可求得其周长．主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．16.【答案】m>−94【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−3，c=−m∴△=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−m)>0，，解得m>−94．故答案为：m>−94若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．17.【答案】2x2−9x−2=0【解析】解：2x(x−3)=3x+22x2−6x=3x+2，则2x2−9x−2=0．故答案为：2x2−9x−2=0．首先去括号，进而移项合并同类项进而得出答案．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．18.【答案】±3【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2−5x +6=0的两个根，∴(x −3)(x −2)=0，解得：x =3或2，①当x 1=3，x 2=2时，x 1∗x 2=32−3×2=3；②当x 1=2，x 2=3时，x 1∗x 2=3×2−32=−3．故答案为：±3．首先解方程x 2−5x +6=0，再根据运算“∗”：{a ∗b =a 2−ab(a ≥b)a ∗b =ab −b 2(a <b)，求出x 1∗x 2的值即可．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．19.【答案】解：(1)∵4(x −1)2=9，∴(x −1)2=94，∴x −1=±32，∴x 1=52，x 2=−12；(2)∵x 2+8x +15=0，∴(x +3)(x +5)=0，则x +3=0或x +5=0，解得x 1=−3，x 2=−5；(3)∵3x 2−5x +1=0，∴a =3，b =−5，c =1，则Δ=(−5)2−4×3×1=13>0，∴x =5±√136， ∴x 1=5+√136，x 2=5−√136； (4)∵x(x −2)+x −2=0，∴(x −2)(x +1)=0，则x −2=0或x +1=0，解得x 1=2，x 2=−1．【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；(3)利用公式法求解即可；(4)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20.【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =DC ，∠ABC =∠ADC ，∴∠EBC =∠FDC ．在△EBC 和△FDC 中，{BE =DF∠EBC =∠FDC BC =DC，∴△EBC≌△FDC(SAS)，∴EC =FC ．【解析】要证EC =FC ，只要证明三角形BCE 和DCF 全等即可，两三角形中已知的条件有BE =DF ，CB =CD ，那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论，根据四边形ABCD 是菱形我们可得出∠ABC =∠ADC ，因此∠EBC =∠FDC.这样就构成了三角形全等的条件．因此两个三角形就全等了．本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定，求简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，如等角的补角相等．21.【答案】解：根据题意，得62−6a −3a =0，即36−9a =0，解得，a =4；设方程x 2−ax −3a =0的另一个根为x ，则6+x =a =4，解得，x =−2，即方程的另一根是−2．【解析】将x =6代入已知方程列出关于a 的新方程，通过解新方程即可求得a 的值；然后利用根与系数的关系来求原方程的另一根．本题主要考查了方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．22.【答案】解：(1)因为箱子里共3个球，其中2个白球，所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是23；(2)画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2，所以两次摸出的球都是白球的概率=26=13．【解析】(1)直接利用概率公式求解；(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n ，再从中选出符合事件A 的结果数m ，然后利用概率公式计算事件A 的概率为m n ．23.【答案】解：设x 2=y ，x 4=y 2，则原方程可化为y 2−6y +8=0，解得y 1=2，y 2=4．当y =2时，x 2=2，解得，x =±√2，当y =4时，x 2=4，解得，x =±2．∴原方程的解为：x 1=√2，x 2=−√2，x 3=2，x 4=−2．【解析】设x2=y，x4=y2.则方程即可变形为y2−6y+8=0，解方程即可求得y即x2的值，进而即可求得x的值．本题考查了换元法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24.【答案】证明：∵AB=AC，AH⊥CB，∴BH=HC，∵FH=EH，∴四边形EBFC是平行四边形，又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．【解析】根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH=HC，从而得出四边形EBFC 是菱形．本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．25.【答案】解：设每件羽绒服应降价x元，依题意得：(40−x)(20+2x)=1200，整理得：x2−30x+200=0，解得：x1=10；x2=20；为了使顾客多得实惠，所以要尽量多降价，故x取20元．答：每件羽绒服应降价20元．【解析】本题可设每件羽绒服应降价x元，因为每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，所以降价后每件可盈利(40−x)元，每天可售(20+2x)件，又因平均每天要盈利1200元，所以可列方程(40−x)(20+2x)=1200，即可求解．本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题，但应注意所求的解要适合实际的需要．26.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC，AB=DE，AE=BD．∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD//AE，CD=AE．∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．【解析】已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证．此题主要考查了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法．27.【答案】解：(1)∵Δ=(−4m)2−4(4m2−1)=4>0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)∵Δ>0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2−4mx+4m2−1=0的根．将x=5代入原方程，得：25−20m+4m2−1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2−8x+15=0，解得：x1=3，x2=5，∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2−12x+35=0，解得：x1=5，x2=7，∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．【解析】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)代入x=5求出m值．(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=4>0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)根据等腰三角形的性质及Δ>0，可得出5是方程x2−4mx+4m2−1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．28.【答案】3t3t【解析】解：(1)∵AP=3t，CQ=3t．故答案为3t，3t；(2)过点P作PE⊥CD于点E，∴∠PED=90°，∵PD=PQ，DQ∴DE=12在矩形ABCD中，∠A=∠ADE=90°，CD=AB=16cm∴四边形PEDA是矩形，∴DE=AP=3t，又∵CQ=2t，∴DQ=16−2t∴由DE=1DQ，2∴3t=1×(16−2t)，2∴t=2∴当t=2时，PD=PQ，△DPQ为等腰三角形(3)在矩形ABCD中，AB=CD，AB//CD，AD=BC，依题知AP=CQ=3t∴PB=DQ，∴四边形BPDQ是平行四边形，当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，∴PB=AB−AP=16−3t在Rt△APD中，PD=√AP2+AD2=√9t2+36，由PD=PB，∴16−3t=√9t2+36，∴(16−3t)2=9t2+36，解得：t=5524∴当t=5524时，四边形BPDQ是菱形．(1)根据路程=速度×时间，即可解决问题．(2)过点P作PE⊥CD于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，DE=12DQ，列出方程即可解决问题．(3)当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，列出方程即可解决问题．本题考查四边形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．29.【答案】D【解析】解：∵a：b=3：5，即ab =35，∴5a=3b，b−ab =5−35=25．故选：D．根据内项之积等于外项之积、合比和分比性质进行判断．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．30.【答案】B【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =AEAC，故A正确，不符合题意；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =AEAC，即BDAD=CEAE，∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴CE CA =CFCB，∴CE AE =CFBF，∴BD AD =CFBF，故B错误，符合题意；∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴CE CA =CFCB，即AEEC=BFFC，故C正确，不符合题意；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =DEBC，∵DE//BC，EF//AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，∴AD AB =BFBC，故D正确，不符合题意．故选：B．由DE//BC证明△ADE∽△ABC，得ADAB =AEAC，可判断A；由DE//BC证明△ADE∽△ABC，得ADAB =AEAC，即BDAD=CEAE，由EF//AB证明△CEF∽△CAB，得CECA=CFCB，即CEAE =CFBF，可判断B；由EF//AB证明△CEF∽△CAB，得CECA =CFCB，即AEEC=BFFC，可判断C；由DE//BC证明△ADE∽△ABC，得ADAB =DEBC，由四边形BDEF是平行四边形得DE=BF，可判断D．此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，正确理解和掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．31.【答案】A【解析】解：A 、有一个角是60°的两个等腰三角形相似，正确，是真命题，符合题意； B 、对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C 、两条直角边成比例的两个直角三角形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D 、有一对应边相等的两个相似三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：A ．利用相似多边形的判定方法、全等三角形的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．本题考查命题，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．32.【答案】B【解析】解：A 、|e⃗⃗|⋅a ⃗⃗=a ⃗⃗，原式计算错误，故本选项不符合题意； B 、|a ⃗⃗|⋅e ⃗⃗=a ⃗⃗，原式计算正确，故本选项符合题意；C 、1|a|⃗⃗⃗⃗⃗⋅a⃗⃗=e ⃗⃗，原式计算错误，故本选项不符合题意； D 、|a|⃗⃗⃗⃗⃗|e|⃗⃗⃗⃗=|a ⃗⃗|，原式计算错误，故本选项不符合题意．故选：B ．单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向．一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．33.【答案】A【解析】解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，则点D 在格点上，在Rt △ABD 中，AD =3，BD =4，∴AB =√AD 2+BD 2=√32+42=5，∴cosB =BD AB =45，故选：A ．由网格构造直角三角形，利用勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．34.【答案】C【解析】解：设点D(m,n)(m >0,n >0)，∵A(1,0)，B(0,2)，C(3,0)，∴OA =1，OB =2，OC =3，AB =√5，OD =√m 2+n 2，CD =√(m −3)2+n 2，∵∠AOB =90°，∴△AOB 是直角三角形，∵点D 在第一象限内，∴∠COD <90°，∵以点D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，∴∠COD =∠OAB 或∠COD =∠OBA ，①当∠COD =∠OAB 时，△COD∽△OAB 或△COD∽△BAO ，Ⅰ、当△COD∽△OAB 时，OC OA =OD AB =CD OB ， ∴31=√m 2+n 2√5=√(m−3)2+n 22，∴m =3，n =6或n =−6(舍去)，∴D(3,6)； Ⅱ、当△COD∽△BAO 时，OC AB =OD OA =CD OB ， ∴√5=√m 2+n 21=√(m−3)2+n 22， ∴m =35，n =0(舍去)，②当∠COD =∠OBA 时，△COD∽△OBA 或△COD∽△ABO ， Ⅰ、当△COD∽△OBA 时，OC OB =OD AB =CD OA ， ∴32=√m 2+n 2√5=√(m−3)2+n 21， ∴m =3，n =32或n =−32(舍去)， ∴D(3,32)；Ⅱ、当△COD∽△ABO 时，OC AB =OD OB =CD OA ， ∴√5=√m 2+n 22=√(m−3)2+n 21， ∴m =125，n =65或n =−65(舍去)， ∴D(125,65)； ∴D(3,6)或(3,32)或(125,65)共三个，故选：C ．设点D(m,n)(m >0,n >0)，进而得出OA =1，OB =2，OC =3，AB =√5，OD =√m 2+n 2，CD =√(m −3)2+n 2，再判断出∠COD <90°，进而得出∠COD =∠OAB 或∠COD =∠OBA ，最后分情况，利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解，即可求出答案．此题主要考查了相似三角形性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．35.【答案】10 【解析】解：设a 2=b 3=k ，则a =2k ，b =3k ，∵a +b =25，∴2k +3k =25，解得k =5，∴a =2k =10．故答案为：10．设a 2=b 3=k ，利用比例性质得到a =2k ，b =3k ，则2k +3k =25，然后求出k ，从而得到a 的值．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．36.【答案】1【解析】解：根据题意： 5÷120000=100000(厘米)100000厘米=1千米．即A 、B 两地的实际距离是1千米．。

2020-2021学年山东省烟台市芝罘区九年级(上)期中数学试卷(五四学制)(附答案详解)

2020-2021学年山东省烟台市芝罘区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在Rt△ABC，∠C=90°，sinB=35，则sin A的值是()A. 35B. 45C. 53D. 542.若抛物线y=ax2+c(a≠0)过点P(−2,3)，则该抛物线必过下列点()A. (0,3)B. (−2,−3)C. (3,−2)D. (2,3)3.若sin(70°−α)=cos50°，则α的度数是()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°4.将抛物线y=x2−6x+10向左平移2个单位后，得到新抛物线解析式为()A. y=(x−5)2+1B. y=(x−1)2+1C. y=(x−3)2+3D. y=(x−3)2−15.已知sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)，按下的第一个键是()A. B. C. D.6.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为()A. (1.5+150tanα)米B. (1.5+150tanα)米C. (1.5+150sinα)米D. (1.5+150sinα)米7.已知(−3,y1)，(−2,y2)，(1,y3)是抛物线y=−3x2−12x+m上的点，则()A. y3<y2<y1B. y3<y1<y2C. y2<y3<y1D. y1<y3<y28.如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶40海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离(即BC的长)为()A. 40√3海里B. (20√3+20)海里C. 80海里D. (20√3+20√2)海里9.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D，则AD的长为()是AC上一点，若tan∠DBA=15A. 2B. √3C. √2D. 110.如图，函数y=ax2−2x+1和y=ax−a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是()A. B.C. D.11.如图①，Rt△ABC的边BC与矩形DEFG的边DE都在直线l上，且点C与点D重合，AB=DG，将△ABC沿着射线DE方向移动至点B与点E重合时停止，设△ABC 与矩形DEFG重叠部分的面积是y，CD的长度为x，y与x之间的关系图象如图②所示，则矩形DEFG的周长为()A. 14B. 12C. 10D. 712.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，下列结论()3①abc>0；②a−b+c>0；③b+2c<0；④a+4c>2b，其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.函数y=√x+3中，自变量x的取值范围是______．x−114.如图，将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AC=14cm，则阴影部分的面积是______ cm2．15.已知关于x的二次函数y=(a−1)x2−2x+3的图象与坐标轴有两个交点，则a的取值范围是______ ．16.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．17.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是______ ．18.当1≤x≤2时，二次函数y=(x−ℎ)2+3有最小值4，则h的取值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.计算：|1−sin30°|+tan30°⋅cos30°−1．cos45∘x2+bx+c的图象经过A(0,−8)，B(−2,−20)两点．20.已知二次函数y=−12(1)求b，c的值；x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐(2)二次函数y=−12标；若没有，请说明理由．21.如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠ADB=30°，AE⊥BD于点E，连接CE．(1)求线段AE的长度；(2)求tan∠CED的值．22.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．(1)建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；(2)一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m.如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？23.在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图①是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，图②是平面示意图.研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上(AE//CD)，且望向显示器屏幕中心形成一个18°俯角(即点P是AB中点，∠AEP=18°)时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD= 30°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽AB为32cm.(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，√2≈1.41，√3≈1.73)(1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；(结果精确到0.1cm)(2)求显示屏顶端A与底座C的距离AC.(结果精确到0.1cm)24.某商场试销一种成本为每件60元的T恤，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数图象如图所示：(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)若商场销售这种T恤获得利润为W(元)，求出利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？25.如图①，抛物线y=ax2+bx+3交x轴点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC=1，tan∠BAC=3．(1)求抛物线关系式；(2)点D是第一象限抛物线上的点，连接CD、BD，若点D的横坐标为t，△DBC的面积是S.当t为何值时，△DBC的面积最大？最大面积是多少？(3)如图②，设点M是抛物线上一点，点N是直线BC上一点，是否存在点M、N的位置，使以点O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出相对应的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵在Rt △ABC ，∠C =90°，∴∠A +∠B =90°，∴sin 2A +sin 2B =1，sinA >0，∵sinB =35， ∴sinA =√1−(35)2=45．故选B ．根据互余两角三角函数的关系：sin 2A +sin 2B =1解答．本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握sin 2A +sin 2B =1是解题的关键． 2.【答案】D【解析】解：∵抛物线y =ax 2+c 的对称轴是y 轴，又∵点P(−2,3)是抛物线y =ax 2+c 上一点，∴点P(−2,3)关于y 轴的对称点(2,3)一定在抛物线图象上，故选：D ．根据解析式求出对称轴是y 轴，然后由对称的性质求的点P(−2,3)关于y 轴的对称点(2,3)．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．抛物线的对称性是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵sin(70°−α)=cos50°，∴70°−α+50°=90°，解得α=30°．故选：B ．一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，依此可得70°−α+50°=90°，解方程即可求解．考查了互余两角三角函数的关系，关键是根据互余两角三角函数的关系得到关于α的方程．4.【答案】B【解析】解：∵y=x2−6x+10=(x−3)2+1，∴顶点为(3,1)，向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为(1,1)，所以，平移后的抛物线的解析式为y=(x−1)2+1，故选：B．先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点解析式写出即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．5.【答案】D【解析】解：∵已知sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．根据计算器求锐角的方法即可得结论．本题考查了计算器−三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．6.【答案】A【解析】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE=150，∴CE=AD=1.5，在△ABE中，∵tanα=BEAE =BE150，∴BE=150tanα，∴BC=CE+BE=(1.5+150tanα)(m)，故选：A．过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC=CE+BE 即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7.【答案】B【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)=−2，∵a=−3<0，∴x=−2时，函数值最大，又∵−3到−2的距离比1到−2的距离小，∴y3<y1<y2．故选：B．求出抛物线的对称轴为直线x=−2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．过A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=40，∴AD=12AB=20，BD=√32AB=20√3，在Rt△ACD中，∵∠C=45°，∴CD=AD=20，∴BC=BD+CD=(20√3+20)海里，故选：B．9.【答案】A【解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=√2AC=6√2，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=√2x，在Rt△BED中，tan∠DBE=DEBE =15，∴BE=5x，∴x+5x=6√2，解得x=√2，∴AD=√2×√2=2．故选：A．作DE⊥AB于E，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=√2AC=6√2，∠A=45°，设AE=x，则DE=x，AD=√2x，在Rt△BED中，利用∠DBE的正切得到BE=5x，然后由AE+BE=AB可计算出x=√2，再利用AD=√2x进行计算．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax−a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正【解答】解：A、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=−−22a>0，故选项正确；C、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=−−22a>0，故选项错误；D、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．11.【答案】A【解析】解：从图②看，△ABD向右平移2个单位时，两个图形完全重合，故BD=2，由图②知，点B运动到点D时，S=12BD⋅AB=12×2×AB=2，∴AB=2，△ABD再向右平移3个单位时，点E、D重合，故DE=5，故矩形DEFG的周长为2(2+5)=14，故选：A．从图②看，△ABD向右平移2个单位时，两个图形完全重合，故BD=2=AB，△ABD 再向右平移3个单位时，点E、D重合，故DE=5，即可求解．本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．12.【答案】C【解析】解：①∵抛物线的对称轴为直线x=−13，∴−b2a<0，∴a、b同号，即ab>0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴abc >0，①正确；②∵当x =−1时，y >0，∴a −b +c >0，②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x =−13，∴−b 2a =−13，∴a =32b. ∵a −b +c >0，即32b −b +c >0，∴b +2c >0，③错误；④∵当x =−12时，y >0，∴14a −12b +c >0，∴a −2b +4c >0，即a +4c >2b ，④正确．故选：C ．①由抛物线的对称轴为负可得出a 、b 同号，由抛物线交y 轴的正坐标可得出c >0，进而可得出abc >0；②由当x =−1时y >0，可得出a −b +c >0；③根据抛物线的对称轴为直线x =−13，可得出a =b 2b ，结合a −b +c >0，可得出32b −b +c >0，即b +2c >0；④由当x =−12时y >0，可得出14a −12b +c >0，即a +4c >2b ，综上即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．13.【答案】x ≥−3且x ≠1【解析】解：根据题意得：x +3≥0且x −1≠0，解得：x ≥−3且x ≠1．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x +3≥且x −1≠0，解得自变量x 的取值范围．本题考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14.【答案】98【解析】解：∵△ABC与△ADE是直角三角形，∴∠ACF=∠AED=90°，∴BC//DE，∴∠AFC=∠D=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC=CF=14，×14×14=98cm2．∴阴影部分的面积是=12故答案为：98．根据BC//DE得出△ACF是等腰直角三角形解答即可．此题考查等腰直角三角形问题，关键是根据等腰直角三角形的性质解答．15.【答案】a=43【解析】解：∵x=0时，y=3，∴二次函数的图象与y轴的交点为(0,3)，根据题意二次函数y=(a−1)x2−2x+3的图象与x轴有一个交点，∴a−1≠0，△=(−2)2−4(a−1)×3=0，．解得a=43．故答案为a=43利用二次函数的定义和判别式的意义得到a−1≠0且△=(−2)2−4(a−1)×3=0，然后解得即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△=b2−4ac决定抛物线与x 轴的交点个数．16.【答案】12 【解析】解：连接CG ，在正方形ACDE 、BCFG 中， ∠ECA =∠GCB =45°， ∴∠ECG =90°，设AC =2，BC =1，∴CE =2√2，CG =√2，∴tan∠GEC =CG EC =12，故答案为：12．根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．17.【答案】23【解析】解：如图取格点K ，连接BK ，过点K 作KH ⊥AB于H ，如图所示：∵DB =CK =2，DB//CK ，∴四边形CDBK 是平行四边形，∴CD//BK ，∴∠AOC =∠ABK ，过点K 作KH ⊥AB 于H ．∵AB =√42+72=√65，S △ABK =12⋅AK ⋅4=12⋅AB ⋅KH =20，∴HK =20√65=4√6513， ∵BK =√22+42=2√5，∴BH =√BK 2−HK 2=√(2√5)2−(4√6513)2=6√6513， ∴tan∠AOC =tan∠ABK =HK BH =4√65136√6513=23，故答案为：23．取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，先证四边形CDBK是平行四边形，则CD//BK，得∠AOC=∠ABK，再利用面积法求出HK，然后利用勾股定理求出BH的长，即可解决问题．本题考查了解直角三角形，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18.【答案】0或3【解析】解：∵当x>ℎ时，y随x的增大而增大，当x<ℎ时，y随x的增大而减小，∴①若ℎ<1≤x≤2，x=1时，y取得最小值4，可得：(1−ℎ)2+3=4，解得：ℎ=0或ℎ=2(舍)；②若1≤x≤2<ℎ，当x=2时，y取得最小值4，可得：(2−ℎ)2+3=4，解得：ℎ=3或ℎ=1(舍)；③若1<ℎ<3时，当x=ℎ时，y取得最小值为3，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为0或3，故答案为：0或3．由解析式可知该函数在x=ℎ时取得最小值3，x>ℎ时，y随x的增大而增大；当x<ℎ时，y随x的增大而减小；根据1≤x≤2时，函数的最小值为4可分如下两种情况：①若ℎ< 1≤x≤2，x=1时，y取得最小值4；②若1≤x≤2<ℎ，当x=2时，y取得最小值4，分别列出关于h的方程求解即可．本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．19.【答案】解：原式=1−12+√33×√32−√22=1−12+12−√2=1−√2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入函数表达式得：{c =−8−20=−12×4−2b +c ，解得{b =5c =−8；(2)有，理由：由(1)知，抛物线的表达式为y =−12x 2+5x −8，则△=52−4×(−12)×(−8)=9>0，故抛物线与x 轴有两个公共点，令y =−12x 2+5x −8=0，解得x =2或8，故公共点坐标为(2,0)和(8,0)．【解析】(1)将点A 、B 的坐标代入函数表达式，即可求解；(2)△=52−4×(−12)×(−8)=9>0，故抛物线与x 轴有两个公共点，令y =−12x 2+5x −8=0，解得x =2或8，即可求解．本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 21.【答案】解：(1)∵在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∴∠BAE +∠ABD =∠ADB +∠ABD =90°，∴∠BAE =∠ADB =30°，∵AB =4，∴BE =12AB =2，∴AE =√AB 2−BE 2=√42−22=2√3；(2)如图，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，在△ABE 与△CDF 中，{∠AEB =∠CFD ∠ABE =∠CDF AB =CD ，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF=2√3，BE=FD=2，∵∠BAD=90°，∠ADB=30°，∴BD=2AB=8，∴EF=BD−BE−DF=8−2−2=4，∴tan∠DEC=CFEF =2√34=√32．【解析】(1)依据含30°角直角三角形的性质，即可得到BE的长，再根据勾股定理即可得到AE的长；(2)过点C作CF⊥BD于点F，依据全等三角形的性质，即可得到DF，CF的长，再根据EF的长，即可得出tan∠CED的值．本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．22.【答案】解：(1)如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得A(−8,0)，B(−8,6)，C(0,8)，设抛物线的解析式为y=ax2+8，把B(−8,6)代入，得：64a+8=6，解得：a=−132．∴抛物线的解析式为y=−132x2+8．(2)根据题意，把x=±4代入解析式y=−132x2+8，得y=7.5m．∵7.5m>7m，∴货运卡车能通过．【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，恰当地建立平面直角坐标系、利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．(1)根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y=ax2+8，再把B(−8,6)代入，求出a的值即可；(2)隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．23.【答案】解：(1)由已知得AP=BP=12AB=16cm，在Rt△APE中，∵sin∠AEP=APAE，∴AE=APsin∠AEP =16sin18∘≈160.31≈51.6cm，答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53.3cm；(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F，∵∠EAB+∠BAF=90°，∠EAB+∠AEP=90°，∴∠BAF=∠AEP=18°，在Rt△ABF中，AF=AB⋅cos∠BAF=32×cos18°≈32×0.95≈30.4，BF=AB⋅sin∠BAF=32×sin18°≈32×0.31≈9.92，∵BF//CD，∴∠CBF=∠BCD=30°，∴CF=BF⋅tan∠CBF=9.92×tan30°=9.92×√33≈5.72，∴AC=AF+CF=30.4+5.72≈36.1(cm)．答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为36.1cm．【解析】(1)由已知得AP =BP =12AB =16cm ，根据锐角三角函数即可求出眼睛E 与显示屏顶端A 的水平距离AE ；(2)如图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，根据锐角三角函数求出AF 和BF 的长，进而求出显示屏顶端A 与底座C 的距离AC ．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 24.【答案】解：(1)由题意得：{63k +b =5770k +b =50，解得：{k =−1b =120，故y 与x 之间的函数关系式为：y =−x +120，∵成本为每件60元的T 恤，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%， ∴60≤x ≤84；(2)w =(x −60)(−x +120)=−x 2+180x −7200=−(x −90)2+900，∵抛物线开口向下，∴当x <90时，w 随x 的增大而增大，而60≤x ≤84，故当x =84时，w =(84−60)×(120−84)=864．答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．【解析】(1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式，再利用试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%得出x 的取值范围即可；(2)根据利润=销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．本题考查了一次函数的应用以及用待定系数法求一次函数的综合应用和主要结合一次函数的性质，求出二次函数的最值问题；在本题中，还需注意的是自变量的取值范围，否则容易按照“顶点式”的做法，求出误解．25.【答案】解：(1)由抛物线的表达式知，c =3=CO ，在Rt △BOC 中，OC =3，tan∠ABC =1，则OB =3，在Rt △AOC 中，OC =3，tan∠ABC =1，则OA =1，故点A 、B 、C 的坐标分别为(−1,0)、(3,0)、(0,3)，将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{0=a −b +30=9a +3b +3，解得{a =−1b =2，故抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)过点D 作y 轴的平行线交BC 于点H ，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为y =−x +3，设点D(t,−t 2+2t +3)，则点H(t,−t +3)，则S =S △DHC +S △DHB =12×DH ×OB =12×3×(−t 2+2t +3+t −3)=−32t 2+92t ， ∵−32<0，故S 有最大值，当t =32时，S 的最大值为278；(3)设点M 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，①当OC 是边时，∵OC//MN ，OC =MN ，则N(m,−m +3)．∴|−m 2+2m +3+m −3|=3，解得m =3−√212或3+√212， ∴M(3−√212,−3+√212)或(3+√212,−3+√212)，②当OC 是对角线时，OM//BC ，由{y =−x y =−x 2+2x +3，解得{x =3−√212y =−3+√212或{x =3+√212y =−3−√212(舍弃)， ∴M(3−√212,−3−√212)或(3+√212,−3−√212) 综上所述，点M 的坐标为(3−√212,−3+√212)或(3+√212,−3+√212)或(3−√212,−3−√212)或(3+√212,−3−√212)，点N 的坐标为(−√21+32,9+√212)或(√21−32,9−√212)或(3+√212,3−√212)或(3−√212,3+√212).【解析】(1)在Rt△BOC中，OC=3，tan∠ABC=1，则OB=3，在Rt△AOC中，OC=3，tan∠ABC=1，则OA=1，故点A、B、C的坐标分别为(−1,0)、(3,0)、(0,3)，将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)由S=S△DHC+S△DHB=12×DH×OB，即可求解；(3)分OC是边、OC是对角线两种情况，分别即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、解直角三角形、图形的平移、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。

扶余市2020—2021学年九年级上期中教学质量数学试题及答案

扶余市2020—2021学年九年级上期中教学质量数学试题及答案九年级数学试卷（满分：120分答题时刻：120分钟）一、选择题(每小题2分，共12分） 1.一元二次方程()()5252-=-x x 的根是（）A.7B.5C.5或3D.7或52.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（） A.09922=--x x化为()10012=-x B.0982=++x x 化为()2542=+xC.04722=--t t化为1681472=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t D.02432=--y y 化为910322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y 3.某经济开发区2020年1月份的工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问：2，3月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x ，依照题意得方程（） A.()1751502=+x B.()175150502=++xC.()()1751501502=+++x x D.()()175150150502=++++x x4.在抛物线442--=x x y 上的一个点是（） A.（4，4） B.（3，-1） C.（-2，-8） D.（21-，47-） 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为 ()k h x y +--=22，则下列结论正确的是（）A.h ＞0，k ＞0B.h ＜0，k ＞0C.h ＜0，k ＜0D.h ＞0，k ＜0题号一二三四五六总分得分得分第5题6.如图所示，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距离地面4m高各有一个挂校名横匾用的铁环P.两铁环的水平距离为6m，则校门的高为（精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计）（） A.9.2m B.9.1m C.9m D.5.1m二、填空题(每小题3分，共24分）7.若方程02=-xx的两个根为1x，2x(1x＜2x)，则2x-1x＝ .8.在平面直角坐标系中，点A(-1，2)关于原点对称的点为B(a，-2)，则a＝ .9.将抛物线232+=xy先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 .10.抛物线322--=xxy与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 .11.如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9，则△AED的周长是 .12.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-6,0)，(0,8).以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 .13.如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB.若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数能够是°（写出一个即可）14.如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠.若AB和BC都通过圆心O，则阴影部分的面积是（结果保留π）得分第6题第11题B三、解答题(每小题5分，共20分） 15.解方程：（1）()()03232=-+-x x x （2）012=--x x16.“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅行时不慎感染了“埃博拉”病毒，通过两轮传染后，共有361人受到感染，问每轮传染中平均一个人传染了几个人？17.已知二次函数c bx x y ++=2的图象通过点(-3,4),(-1,0).求其函数的解析式.18.如图，在半径为50mm 的⊙O 中，弦AB 长50mm ，求：（1）∠AOB 的度数；（2）点O 到AB 的距离.得分第18题九年级数学试卷第2页（共8页）四、解答题(每小题7分，共28分）19.图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点.点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点动身，按图②的程序移动.（1）请在图①中用圆规画出光点P通过的路径；（2）在图①中，所画图形是图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是（结果保留π）.20.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 得分第20题21.如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m，现打算安装玻璃，请帮工程师求出AE所在⊙O的半径r.第21题22.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为s(m2).（1）写出s与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范畴；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出那个费用.五、解答题(每小题8分，共16分）23.如图，四边形OABC是平行四边形.以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点 E，连接CD、CE.若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积.24.如图，抛物线nxxy++-=42通过点A(1,0)，与y轴交于点B.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若P是x轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标.(直截了当写出答案)得分第24题得分六、解答题(每小题10分，共20分）25.如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向左运动，最终点A与点M重合.（1）求重叠部分面积（即图中阴影面积）y(cm2)与时刻t(s)之间的函数关系式.（2）通过几秒钟重叠部分面积等于8cm2?第25题26.如图①，直线 :y＝mx+n(m＜0，n＞0)与x，y轴分别交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD.过点A，B，D的抛物线P叫做的关联抛物线，叫做P的关联直线. （1）若 :y＝-2x+2，则P表示的函数解析式为，若P:y＝-x2-3x+4，则表示的函数解析式为；（2）求P的对称轴（用含m,n的代数式表示）；（3）如图②，若 :y＝-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在上，点Q在P的对称轴上.当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若 :y＝mx-4m，G为AB中点.H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM.若OM＝10，直截了当写出，P表示的函数解析式.九年级数学答案一、1.D 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B二、7.1 8.1 9.()243-=x y 10. 4 11. 19 12.(4,0) 13. 答案不唯60°～75°即可14. 3π15.解：（1）()()0133=--x x 31=x ,1=x (2)251±=x 16.解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，依照题意得：()36112=+x ∴191±=+x 181=x 202=x （舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了18人 17.122++=x x y18.（1）∠AOB=60° （2）点O 到AB 的距离为325mm.19.解：（1）（2）轴对称 4π评分说明：（1）不用圆规，画图正确，可不扣分；（2）每答对一空得2分20.解：如图连接OD. ∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt △ABC 中， ()cm AC AB BC 86102222=-=-=∵CD 平分∠ACB ， ∴∠ACD=∠BCD ， ∴∠AOD=∠BOD ∴AD=BD.又在Rt △ABD 中，222AB BD AD =+，∴()cm AB BD AD 25102222=⨯=== 21.解：∵弓形的跨度AB=3m ，EF 为弓形的高， ∴OE ⊥AB ， ∴AF=21AB=23m. ∵设所在的⊙O 的半径为r ，弓形的高EF=1m ， ∴AO=r ，OF=r-1，在Rt △AOF 中，222OF AF AO += 即()222123-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r ，解得m r 813=.22.（1）设矩形一边长为x ，则另一边长为(6-x). ∴()x x x x S 662+-=-=，其中0＜x ＜6.（2）()93622+--=+-=x x x S 当矩形的一边长为3m 时，矩形面积最大，最大为9m 2. 眼时设计费为900010009=⨯（元）. 因此，当该广告牌为边长为3m 的正方形时，设计费最多. 23. 解：（1）连接OD ，则OD=OA=OE ，∴∠ODA=∠A. ∵AB ∥OC ， ∴∠A=∠EOC ，∠ODA=∠DOC. ∴∠DOC=∠EOC ，∵CO=CO.∴ △CEO ≌△CDO. ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠CDO=∠CEO=90°. ∵CD 为⊙O 的切线. （2）在 OABC 中，OA=BC=3，∵CE ⊥OA ，CE=CD=4， ∴S OABC=OA ·CE=3×4=12.评分说明：辅助线画成实线，可不扣分.24.解：（1）342-+-=x x y .顶点坐标为(2,1). （2）(-1,0) (110+,0）（101-，0）25.(1)()222021t y -=(2)当y=8时，即()8220212=-t ，解得81=t ，122=t （舍去） = 2(t-10)226.（1）22+--=x x y 44+-=x y （2）如图①，∵直线 :y=mx+n ，当x=0时，y=n ，∴B(o,n). 当y=0时，mnx -= ∴A(m n -,o).由题意得D(-m,0).设抛物线对称轴与x 轴交点为N(x,o)， ∵DN=AN ∴m n --x=x-(-n). ∴2x=-n-mn-. ∴P 的对称轴mnmn x 2+-=. （3）∵ :y=-2x+4， ∴2-=m ，4=n . 由(2)可知，P 的对称轴122482-=⨯-+--=+-=m n mn x . 如图②，当点Q 1在直线下方时，∵直线42+-=x y 与x ，y 轴交点分别为A(2,0),B(0,4).由题意得C(0,2),D(-4,0).设直线CD:y=kx+2, 则-4k+2=0.解得k=21，∴221+=x y 过B 作BQ 1∥CE. ∴BQ 1的函数解析式为 421+=x y . 当x=-1时，()274121=+-⨯=y . ∴Q 1(-1，27)综上所述点Q 的坐标为(-1,217)或(-1,27).（4） :y=-2x+8. P:y=-8412+-x x .评分说明：不画草图或画划图不正确，可不扣分.。

青岛版2020九年级数学上册期中综合复习能力达标练习题(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册期中综合复习能力达标练习题（附答案详解）1．下列命题：①无理数都是无限小数②16的平方根是±4 ③等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线④三角形三边垂直平分线的交点一定在这个三角形的内部,正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（）A．x（x﹣10）=375 B．x（x+10）=375 C．2x（2x﹣10）=375D．2x（2x+10）=3753．已知一元二次方程（m-2）mx+3x-4=0，那么m的值是（）A．2 B．±2 C．-2 D．14．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）A．1 B．3C．﹣3D．±35．下列方程中，无实数根的方程是（）．A．210x+=B．20x x+=C．210x x+-=D．20x x-=6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E 是⊙O上一点，且弧CE=弧CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°7．某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4 100元利润，售价应定为( )A．45元B．14元C．45元或14元D．50元8．若关于x的方程x2＋2x－3＝0与213x x a=+-有一个解相同，则a的值为( )9．如图，在高楼前D点测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进60 m到达C点，又测得楼顶A的仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )A．82 m B．160 m C．52 m D．30 m10．下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°11．已知，则的值为．12．如果是关于x的方程20++=的根是-1和3，那么2x mx nx mx n++可分解因式为______________.13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数是_____．14．如图：⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，24∠=︒，则B等于__________.BAC15．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN 上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．16．在△ABC中，已知D、E分别为边AB、AC的中点，若△ADE的周长为3 cm，则△ABC的周长为___________cm．17．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．18．一包洽洽瓜子售价8元，商家为了促销，顾客每买一包洽洽瓜子获一张奖券，每4张奖券可兑换一包洽洽瓜子，则每张奖券相当于______元.19．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______.20．如图，矩形纸片ABCD中，AD= 1,AB一2.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E 重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F,AE与FG交于点仪当触ED的外接圆与BC相切于BC的中点N.则折痕FG的长为________21．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.(1)求证：△ABF∽△DFE；(2)如果AB=12, BC=15, 求tan∠FBE的值；22．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC 上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．23．生产某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元。

2020-2021学年山东省菏泽市牡丹区九年级上期中数学试卷及答案解析

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2020-2021学年山东省菏泽市牡丹区九年级上期中数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）已知b a =59，则a−b a
的值是（） A ．23 B ．32 C ．94 D ．49 2．（3分）一元二次方程2x 2﹣7x +k ＝0的一个根是x 1＝2，则另一个根和k 的值是（）
A ．x 2＝1，k ＝4
B ．x 2＝﹣1，k ＝﹣4
C ．x 2=32，k ＝6
D ．x 2=−32，k ＝﹣6 3．（3分）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）
A ．对角线互相垂直
B ．对边平行
C ．对边相等
D ．对角线互相平分
4．（3分）春节期间，《中国诗词大会）节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古
诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光，甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在了纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为（）
A ．16
B ．14
C ．13
D ．12 5．（3分）已知x ＝2是一元二次方程x 2﹣ax +6＝0的解，则a 的值为（）
A ．﹣5
B ．﹣4
C ．4
D ．5
6．（3分）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这
两年平均每年绿地面积的增长率是（）
A ．20%
B ．11%
C ．22%
D ．44% 7．（3分）如图，函数y ＝kx +b （k ≠0）与y =m x （m ≠0）的图象相交于点A （﹣2，3），B
（1，﹣6）两点，则不等式kx +b ＞m x 的解集为（）。

2020-2021学年江苏省苏州市相城区九年级(上)学期期中考试数学试卷(含答案)

（2）在中，，若，且AP把分成两个三角形，其中一个与相似，求的度数；
（3）如图②，在中，，，，点Q为EF上一点，点F关于直线DQ的对称点恰好落在线段DE上，求线段DE的长．
28．如图，已知，OT是的平分线，A是射线OM上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为，其中．
【详解】
∵ ，
∴∠AHC=90°，
∵ ，即：，
又∵∠A=∠A，
∴ ，
∴∠ACB=∠AHC=90°．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形是相似三角形”，是解题的关键．
21．
【分析】
由题意易得，则由圆内接四边形的性质可得，进而可得，然后可得，则，然后问题可求解．
∴PA=2t，PC= ，
∵ ，
∴2t= ，解得：t1=4- ，t2=4+ （舍去），
故答案是：4- ．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键．
17．1.7
【分析】
由，，得，进而即可求解．
【详解】
由题意得：OP=5.1，AB=2，，，
A． B．
C． D．
8．正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是（）
A． B． C． D．1
9．定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（）
A．0B． C．2D．2m
10．如图，⊙O的半径为3，是⊙O的内接三角形，过点A作AD垂直BC于点D．若，，则长是（）

2020-2021学年上海市金山区九年级(上)期中数学试卷-附答案详解

2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数中，属于二次函数的是()A. y=2x−3B. y=(x+1)2−x2C. y=2x2−7xD. y=−2x22.对于线段a，b，如果ab =23，那么下列四个选项一定正确的是()A. 2a=3bB. b−aa =12C. b−a=1D. a+bb=523.抛物线y=−2(x−m)2−n(m,n是常数)的顶点坐标是()A. (m,−n)B. (−m,n)C. (m,n)D. (−m,−n)4.已知一个单位向量e⃗，设a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式中正确的是()A. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ B. |e⃗|a⃗=a⃗ C. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗ D. |b⃗ |e⃗=b⃗5.下列对二次函数y=−(x+2)2+4的图象的描述，正确的是()A. 开口向上B. 对称轴是y轴C. 经过原点D. 与y轴的交点坐标为(0,4)6.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，那么下列结论错误的是()A. CA2=AD⋅ABB. AB⋅CD=AC⋅BCC. CB2=BD⋅BAD. CD2=CA⋅CB二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2(a⃗−b⃗ )−3b⃗ =______．8.将抛物线y=x2+x向下平移8个单位，所得的新抛物线的解析式为______．9.已知线段a=3，c=6，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段b的长度是______．10.实际距离为3千米的两地，在比例尺为1：100000的地图上的距离为______厘米．11.已知点M是线段AB的黄金分割点(AM>BM)，如果BM=(√5−1)cm，那么AM=______cm．12.如图，直线a//b//c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，如果AB：AC=1：3，DE=2，那么DF的长为______．13.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且满足∠ACD=∠ABC，若AC=3，AD=2，则DB=______．14.某商品的原价为200元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是x(x>0)，那么该商品现在的价格是为y元，那么y关于x的函数解析式是______.(不必写出定义域)15.如果点P1(−1,y1)，P2(3,y2)在二次函数y=−2x2+2x+c的图象上，那么y1，y2的大小关系是y1______y2(填“>”“<”或“=”)．16.在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED=∠B，如果AE=5，△ADE的面积为9，四边形BCED的面积为16，那么边AB的长为______．17.如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶，点G、F分别在边AB、AC上，如果BC=4，正方形的边长是43那么△ABC的面积是______．18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点G为△ABC的重心，把△ABC绕点A旋转得到△ADE(点D、E分别与点B、C对应)，如果△ADE的重心G1落在边AC上，那么GG1的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 如图，平行四边形ABCD 中，点F 是CD 的中点，BF 和AC 相交于点E ． (1)求CEAE 的值；(2)如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，请用a ⃗ 、b ⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．20. 已知：如图，点D 、E 分别在线段AB 和AC 上，AD ⋅AB =AE ⋅AC ，点F 是BE 与CD 的交点．求证：△FDB∽△FEC ．21. 如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作DE//BC 交AB 于点D ． (1)求证：AE ⋅BC =BD ⋅AC ；(2)如果S △ADE =3，S △BDE =2，DE =6，求BC 的长．22.某班“数学兴趣小组”对函数y=ax2+bx+c的解析式和性质进行了探究，探究过程如下，自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表：x…−4−3−2−101234…y…2415m30−1038…(1)m的值为______；(2)根据上表数据，求出该二次函数解析式；(3)写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况．23.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE、BC于点F、G，且ADDF =ACCG．(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)求证：DF⋅BG=EF⋅CG．24.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)如果点P在x轴负半轴上，且△BCP是等腰三角形，求点P的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，设点Q的横坐标为a，当∠OCQ<∠OCA时，试确定a的取值范围．25.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AB=4、AD=3、BC=6，P是边CD上一动点(点P与点C、D不重合)．(1)求CD的长；(2)一块直角三角板的直角顶点M在边AB上移动，三角板一条直角边始终经过点D，另一条直角边与边BC交于点N，且BN=1，当P是CD中点时，求PM的长；(3)在线段BC上取点Q，PC=PQ(Q与C不重合)，联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求PC的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、函数y=2x−3是一次函数，故本选项错误；B、由原方程，得y=2x+1，属于一次函数，故本选项错误；C、函数y=2x2−7x符合二次函数的定义；故本选项正确；D、y=−2x2不是整式；故本选项错误．故选：C．二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为y=ax2+ bx+c(a不为0)．本题考查了二次函数的定义．二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．2.【答案】B【解析】解：∵ab =23，∴3a=2b，ba =32，A.不一定正确，故本选项不符合题意；B.b−aa =ba−aa=32−1=12，故本选项符合题意；C.设a=2k，b=3k，则b−a=3k−2k=k，不一定等于1，故本选项不符合题意；D.a+bb =ab+bb=23+1=53，故本选项不符合题意；故选：B．根据比例的性质求出3a=2b，ba =32，再逐个判断即可．本题考查了比例的性质和分式的除法，能根据比例的性质求出3a=2b和ba =32是解此题的关键．3.【答案】C【解析】解：由y=−2(x−m)2+n，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(m,n)，故选：C．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．考查将解析式化为顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是直线x=ℎ．4.【答案】B【解析】解：A、1|a⃗ |a⃗与e⃗的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．B、|e⃗|a⃗=a⃗计算正确，故本选项符合题意．C、1|a⃗ |a⃗与1|b⃗|b⃗ 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、|b⃗ |e⃗与b⃗ 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．故选：B．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】C【解析】解：∵二次函数y=−(x+2)2+4，a=−1，∴该函数图象开口向下，故选项A错误；对称轴值直线x=−2，故选项B错误；当x=0时，y=0，即该函数图象过原点，故选项C正确，选项D错误；故选：C．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6.【答案】D【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，由射影定理得：CA2=AD⋅AB，A选项说法正确，不符合题意；由三角形的面积公式可知：12AB⋅CD=12AC⋅BC，∴AB⋅CD=AC⋅BC，B选项说法正确，不符合题意；由射影定理得：CB2=BD⋅BA，C选项说法正确，不符合题意；由射影定理得：CD2=DA⋅DB，D选项说法错误，符合题意；故选：D．根据射影定理、三角形的面积公式计算，判断即可．本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，数据射影定理是解题的关键．7.【答案】2a⃗−5b⃗【解析】解：原式=2a⃗−2b⃗ −3b⃗ =2a⃗−5b⃗ ．故答案是：2a⃗−5b⃗ ．先去括号，然后计算加减法．本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，中考常考题．8.【答案】y=x2+x−8【解析】解：将抛物线y=x2+x向下平移8个单位，所得的新抛物线的解析式为y=x2+ x−8，故答案为：y=x2+x−8．直接利用平移规律求新抛物线的解析式．主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．9.【答案】3√2【解析】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac=3×6=18.则b=√18=3√2(负值舍去)．故答案为：3√2．根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac.即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．10.【答案】3【解析】解：根据比例尺=图上距离：实际距离．3千米=300000厘米得，A，B两地的图上距离为300000÷100000=3cm．故答案为：3．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意由实际距离乘以比例尺即可得出图上距离．本题考查了比例线段，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一．11.【答案】2【解析】解：∵点M是线段AB的黄金分割点(AM>BM)，BM=(√5−1)cm，∴BMAM =AMAB=√5−12，∴AM=2(cm)，故答案为：2．由黄金分割点的定义得BMAM =AMAB=√5−12，即可求解．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即BC：AC=AC：AB)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=√5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．12.【答案】6【解析】解：∵直线a//b//c，∴ABAC =DEDF=13，∵DE=2，∴2DF =13∴DF=6，故答案为：6．由直线a//b//c，推出ABAC =DEDF=13，由DE=2，即可推出DF=6．本题考查平行线分线段成比例定理等知识，熟记“两条直线被一组平行线所截，所截的对应线段成比例”是解决问题的关键．13.【答案】52【解析】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，即3AB =23，∴AB=92，∴BD=AB−AD=52．故答案为：52．根据∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，得出△ACD∽△ABC，再根据三边相似比求出AB的长度，最后通过AB−AD即可求出BD的长度．本题主要考查三角形相似的运用，解题的关键在于根据相似比求出AB的长度．14.【答案】y=200(1−x)2【解析】解：由题意可得：y=200(1−x)2．故答案为：y=200(1−x)2．根据现在的价格=第一次降价后的价格×(1−降价的百分率)2，得出答案即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为200元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是x，那么该商品现在的价格是200(1−x)2．15.【答案】>【解析】解：∵抛物线y=−2x2+2x+c的开口向下，对称轴是直线x=−22×(−2)=12，∴当x>12时，y随x的增大减小，P1(−1,y1)关于称轴是直线x=12的对称点是(2,y1)，∵12<2<3，∴y1>y2，故答案为：>．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．16.【答案】253【解析】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∵△ADE的面积为9，四边形BCED的面积为16，∴△ACB的面积为25，即S△ADE：S△ACB=9：25，∴AEAB =35，∵AE=5，∴AB=253．故答案为：253．先根据∠AED=∠B，∠A=∠A，即可证出△ADE∽△ACB，再根据面积求出两三角形的相似比，最后根据对应边比值求解即可．本题主要考查三角形相似的性质及运用，解题的关键在于根据面积之比求出三角形的相似比．17.【答案】4【解析】解：如图所示，过A作AH⊥BC，交GF于点M，交BC于点N，∴MN=DE=43，∵GF//BC，∴△AGF∽△ABC，AM⊥GF，∴GFBC =AMAN，设AM=x，则AN=x+43，∴434=x43+x，解得x=23，∴AN=2，∴S△ABC=12×2×4=4．故答案为：4．根据△AGF∽△ABC，求出△ABC的高，再根据三角形面积公式进行计算即可．本题主要考查三角形相似的运用，解题的关键在于根据相似求出三角形的高，再代入公式运算即可．18.【答案】45√5【解析】解：由题意可得图形如下：延长AG交BC于点H，∵AB=AC，G是△ABC的重心，∴BH=CH=4，AH⊥BC，∴AH =√AC 2−CH 2=√25−16=3，∴AG =2，作GM ⊥AG 1于点M ，则△AGM∽△ACH ，∴AM AG =AH AC=35，GM AG =HC AC =45， ∴AM =65，GM =85，∴G 1M =AG 1−AM =2−65=45，∴GG 1=√GM 2+MG 12=45√5，故答案为：45√5．由等腰三角形三线合一，先求出BC 的中线AH ，再由重心的性质可得AG ，然后作GM ⊥AG 1，构造△AGM∽△ACH ，根据相似三角形对应边成比例，可求GM ，AM ，最后利用勾股定理可求GG 1，本题考查了三角形的重心的性质和图形的旋转的性质及相似三角形的判定和性质，关键是作MG ⊥AG 1构造△AMG∽△ACH ．19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∵点F 是CD 的中点，∴CF =12CD =12AB ， ∵CD//AB ，∴△CEF∽△AEB ，∴CE AE =CF AB =12， (2)∵CE AE =12，∴AE AC =23， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a ⃗ +b ⃗ ).【解析】(1)根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可；(2)根据平面向量的概念及其运算法则求解即可．本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质及平面向量的知识，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度适中．20.【答案】证明：∵AD⋅AB=AE⋅AC，∴ADAE =ACAB，∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ACD．∴∠B=∠C，∵∠DFB=∠EFC，∴△DFB∽△EFC．【解析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可证明△ABE∽△ACD.利用相似三角形的性质推出∠B=∠C即可证明△FDB∽△FEC．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．∵DE//BC，∴∠DEB=∠CBE，∴∠ABE=∠DEB．∴BD=DE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC =DEBC，∴AEAC =BDBC，∴AE⋅BC=BD⋅AC；(2)解：设△ABE中边AB上的高为ℎ．∴S △ADE S △BDE =12AD⋅ℎ12BDℎ=AD BD =32， ∴AD AB =35， ∵DE//BC ，∴DE BC =AD AB ，∴6BC =35，∴BC =10．【解析】(1)由BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，ED//BC ，可证得BD =DE ，△ADE∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE ⋅BC =BD ⋅AC ；(2)根据三角形面积公式与S △ADE =3，S △BDE =2，可得AD ：BD =3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC 的长．此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22.【答案】8【解析】解：(1)∵x =0和x =2时，函数值相同，都是0，∴对称轴为直线x =0+22=1，∴(−2,m)与(4,8)关于直线x =1对称，∴m =8．故答案为：8；(2)把(0,0)，(1,−1)，(2,0)分别代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)中，得{c =0a +b +c =−14a +2b +c =0．解得{a =1b =−2c =0．则该二次函数的解析式为：y =x 2−2x ；(3)由表格数据可知，抛物线的开口向上、顶点为(1,−1)、对称轴为直线x =1．(1)由抛物线的对称性质解答；(2)利用待定系数法确定函数关系式；(3)根据表格数据即可得到结论．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．23.【答案】证明：(1)∵∠AED=∠B，∠BAC=∠BAC，∴∠ADE=∠C，∵ADDF =ACCG，∴ADAC =DFCG，∴△ADF～ACG；(2)由(1)知：△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAG，DFCG =AFAG，∵∠AED=∠B，∴△AEF∽△ABG，∴EFBG =AFAG，∴DFCG =EFBG，∴DF⋅BG=EF⋅CG．【解析】(1)根据题意可得∠AED=∠B，∠BAC=∠BAC，根据内角和定理，可知∠ADE=∠C，且ADAC =DFCG，所以△ADF～ACG；(2)由(1)知：△ADF∽△ACG，由两对应角相等证明△AEF∽△ABG，根据相似三角形的性质得EFBG =AFAG，DFCG=AFAG，再根据等式的性质求出EF⋅CG=DF⋅BG．本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．24.【答案】解：(1)将点A、B代入抛物线得，{−1−b+c=0−9+3b+c=0，解得{b =2c =3， ∴抛物线表达式为y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴抛物线顶点坐标为(1,4)；(2)由抛物线表达式：y =−x 2+2x +3，可知点C 坐标为(0,3)，∴BC =√32+32=3√2，点P 在x 轴负半轴上，且△BCP 是等腰三角形，可分情况讨论：①当BP =CP 时，点P 在x 轴正半轴上不满足题意；②当BC =BP 时，BP =3√2，此时点P 坐标为(3−3√2,0)；③当CB =CP 时，点P 与点B 关于y 轴对称，此时点P 坐标为(−3,0)；综上所述，点P 坐标(3−3√2,0)或(−3,0)；(3)如图，当∠OCQ =∠OCA 时，点A 与点D 关于y 轴对称，∴点D 坐标为(1,0)，设直线CD 的表达式为y =kx +b ，将点C(0,3)、D(1,0)代入得，{k +b =0b =3，解得{k =−3b =3， ∴直线CD 表达式：y =−3x +3，联立直线与抛物线得，−3x +3=−x 2+2x +3，解得x1=0，x2=5，此时点Q的横坐标a=5，∴当∠OCQ<∠OCA时，a>5．【解析】(1)利用待定系数法，将点A、B代入抛物线解析式进行求解；(2)首先利用抛物线求出点C的坐标，求出BC的长度，再分情况讨论△BCP为等腰三角形时，点P的坐标；(3)首先利用∠OCQ=∠OCA时，点Q所在的直线方程，联立抛物线求解点Q的横坐标，进而得到答案．本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解二次函数解析式，等腰三角形的判定，一次函数与二次函数的交点问题，第三问解题关键是利用临界值法，求出∠OCQ=∠OCA时，点Q所在的直线方程，联立抛物线求解点Q的横坐标，进而得到答案．25.【答案】解：(1)如图1，过点D作DH⊥BC于H，∵AD//BC，AB⊥BC，DH⊥BC，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=4，BH=AD=3，∴CH=BC−BH=3，在Rt△DHC中，CD=√DH2+CH2=√42+32=5；(2)如图2，过点P作PE⊥AB于E，则AD//PE//BC，∵P是CD中点，∴AE=EB=2，PE=12×(AD+BC)=92，∵∠DMN=90°，∴∠AMD+∠BMN=90°，∵∠B=90°，∴∠BNM+∠BMN=90°，∴∠AMD=∠BNM，∵∠A=∠B=90°，∴△AMD∽△BNM，∴ADBM =AMBN，即3BM=4−BM1，解得：BM 1=1，BM 2=3，当BM =1时，EM =1，由勾股定理得：PM =√PE 2+EM 2=√(92)2+12=√852，当BM =3时，根据等腰三角形的性质可知：PM =√852； (3)如图3，设PC =x ，则DP =5−x ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，则PF//DH ，∴CF CH =CP CD ，即CF 3=x5，解得：CF =35x ，∵PQ =PC ，PF ⊥BC ，∴CQ =2CF =65x ，∴BQ =6−65x ，当△ADP∽△BQP 时，AD BQ =DP PQ ，即36−65x =5−x x ，解得：x 1=25+√3854>5(不合题意)，x 2=25−√3854，当△ADP∽△PQB 时，AD PQ =DP BQ ，即3x =5−x6−65x ，解得：x 1=185，x 2=5(不合题意)，综上所述：当△ADP 和△BQP 相似时，PC 的长为25−√3854或185．【解析】(1)过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据勾股定理计算即可；(2)过点P 作PE ⊥AB 于E ，根据梯形中位线定理求出PE ，证明△AMD∽△BNM ，根据相似三角形的性质求出BM ，进而出去EM ，根据勾股定理计算，得到答案；(3)过点D 作DH ⊥BC 于H ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，分△ADP∽△BQP 、△ADP∽△PQB 两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助性、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。

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2020年九年级数学上期中试题(及答案)一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3 2．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70° 3．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°4．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．随时打开电视机，正在播新闻B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形5．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定6．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（）A ．43B ．45C ．35D ．347．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A．①③B．②③C．②④D．②③④8．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为（）A．1B．22C．2D．29．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）A．49B．13C．29D．1910．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（）A．①B．②C．③D．④12．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18B．x2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）=18D．x2+3x+16=0二、填空题13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中不正确的有_____．14．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为_____．15．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是________cm．16．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm17．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA 中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．18．如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，若3080BAC CBD ∠︒∠︒＝，＝，则BCD ∠的度数为______．19．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．20．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．三、解答题21．解方程（1）2250x x --= （2） x （3－2x ）= 4 x －622．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．某中学对本校初2018届500名学生中中考参加体育加试测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图，(图①，图②)，根据统计图提供的信息，回答问题：(1)该校毕业生中男生有_______人；扇形统计图中a ______；(2)扇形统计图中，成绩为10分的所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；(3)若500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是多少？24．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？25．已知关于x的方程220++-=.x ax a（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理4．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．故选D．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．5．C解析：C【解析】【分析】把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．【详解】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N＜0，∴M＜N．故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．6．D解析：D【解析】过B 作⊙O 的直径BM ，连接AM ，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C ，∴∠MBA=∠CBD ，过O 作OE ⊥AB 于E ，Rt △OEB 中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan ∠MBA=OE BE =34，因此tan ∠CBD=tan ∠MBA=34，故选D ．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．8．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =．故选D ．【点睛】本题考查圆周角定理；勾股定理．9．A解析：A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．10．B解析：B【解析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).故选B..11．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．C解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．二、填空题13．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 14．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．故答案为：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．15．【解析】【分析】先画图根据题意求出∠OAB=60°再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果【详解】解：∵∠CAD=60°∴∠CAB=120°∵AB 和AC 与⊙O 相切∴∠OAB=∠OAC=∠CAB=【解析】【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果．【详解】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC=∠12CAB=60°，∴∠AOB=30°，∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴2233cmOB OA AB=-=所以直径为2OB=63cm故答案为：63．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．16．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．17．（42）【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°得到△CBD′则BD′=OD=2∴点D坐标为（46）；当将点C与点O重合时点C向下平移4个单位得到△解析：（4，2）．【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果.【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′=OD=2，∴点D坐标为（4，6）；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为（4，2）．【点睛】平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.18．70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出的度数再由圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】∵四边形ABCD是内接四边形故答案为：70°【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质熟知圆内接四边形的对角互补解析：70°【解析】【分析】∠的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．先根据圆周角定理求出BAD【详解】∠︒Q＝，CBD80∴∠∠︒＝＝．．CAD CBD80Q＝∠︒BAC30∴∠︒+︒︒＝＝．3080110BADe内接四边形，∵四边形ABCD是O＝﹣＝﹣＝．∴∠︒∠︒︒︒BCD BAD180********故答案为：70°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 19．（60532）【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律从而得解【详解】第一次P1（52）第二次P2（81）第三次P3（101）第四次P4（131）第五次P5（172）…发现点P 的位置4次一个循环解析：（6053，2）．【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.【详解】第一次P 1（5，2），第二次P 2（8，1），第三次P 3（10，1），第四次P 4（13，1），第五次P 5（17，2），…发现点P 的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1， P 2017的纵坐标与P 1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，∴P 2017（6053，2），故答案为（6053，2）．考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．20．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-. 三、解答题21．(1) 1211x x ==；(2) 123,22x x ==-. 【解析】【分析】(1)将方程2250x x --=移项得225x x -=，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，即可得出结论；(2)将方程()3246x x x =-－移项得32640x x x +-=－，提公因式后，即可得出结论.【详解】解：(1)2250x x --=，移项，得：225x x -=，等式两边同时加1，得：2216x x -+=，即：()216x -=，解得：11x =21x =，(2)()3246x x x =-－，移项，得：32640x x x +-=－，提公因式，得：3220xx +=－，解得:13 2x =，22x =-，故答案为：(1)11x =21x =；(2)132x =，22x =-. 【点睛】本题考查配方法、因式分解法解一元二次方程.配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.因式分解法的一般步骤：(1)移项，将方程右边化为0；(2)再把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积；(3)分别令每个因式等于零，得到一元一次方程组；(4)分别解这两个一元一次方程，得到方程的解.22．60个，6n 个；（1）61；3n 2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n 中黑点个数是6n 个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1；（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．【详解】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n 中黑点个数是6n 个，故答案为60个，6n 个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=61个， …第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1，故答案为61，3n 2﹣3n+1；（2）3n 2﹣3n+1=271，n 2﹣n ﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【点睛】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．23．（1）300，12；（2）补图见解析；（3）11 50【解析】【分析】（1）求出各个分数段的男生人数和，根据百分比=所占人数总人数计算即可；（2）求出8分以下的女生人数，10分的女生人数画出条形图即可，根据圆心角=百分比×360°计算即可；（3）根据概率公式计算即可；【详解】（1）校毕业生中男生有：20+40+60+180=300人．∵60500×100%=12%，∴a=12．故答案为300，12．（2）由题意b=1﹣10%﹣12%﹣16%=62%，∴成绩为10分的所在扇形的圆心角是360°×62%=223.2°．500×62%﹣180=130人，∵500×10%=50，∴女生人数=50﹣20=30人．条形图如图所示：（3）这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是11011= 50050．【点睛】本题考查概率公式、扇形统计图、条形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，所以中考常考题型．24．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得806010050k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：k2b200=-⎧⎨=⎩∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2 +2000）（3）W =－2（x－65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．25．（1）12，32-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.。