数学竞赛一元函数积分学(习题)

∫1
∫1
xf 2.x/ dx
f 2.x/ dx
∫0 1
6 ∫0 1
:
xf .x/ dx
f .x/ dx
0
0
37. 设 f .x/ 在 Œa; b 上有连续的导数，且 f .a/ D f .b/ D 0，试证明： max ˇˇf 0.x/ˇˇ >
.b
4 a/2
∫b
a
ˇˇf
.x/ˇˇ
dx.
x2Œa;b
>
0，
函∫
数
a
f .x/
在 区 ∫间a
1 a
;
a
上连续且非负但不恒等于
零， xf .x/ dx D 0. 试证明 x2f .x/ dx < f .x/ dx.
1
1
1
a
a
a
∫b
31. 设 f .x/ 在 Œa; b 上连续非负，且 f .x/ dx D 1. 又设 k 为常数，试证明
a
Â∫ b
Ã2 Â∫ b
的函数 g.x/，都有
∫b
试证明 f .x/ Á 0.
f .x/g.x/ dx D 0 ;
a
47. 设 f .x/ 在 Œ a; a 上具有二阶连续导数∫，a其中常数 a > 0. 并设 f .0/ D 0. 试证明：
在 . a; a/ 内至少存在一点 ，使得 a3f 00. / D 3 f .x/ dx .
f .a/ C f .b/
:
∫
43. 设 f .x/ 在 Œ0; 上连续， f .x/ cos x dx D 0. 试证明：(1) 至少存在两点 1 2
0
.0; /、 2 2 .0; /， 1 ∫¤ 2，使 f . 1/ D f . 2/.
(2) 如果再添条件 f .x/ sin x dx D 0，则至少存在两点 1 2 .0; /、 2 2 .0; /， 1 ¤
0
. 1; C1/ 内 f .x/ Á 0.
40.
设
f .x/
在
Œa; b
上连续且单调增加。试证明
∫b
a
xf .x/ dx
>
a
C 2
b
∫b
a
f .x/ dx
.
41. 设 f .x/ 与 g.x/ 在 Œ0; 1 上具有连续的导数，且 f .0/ D 0，f 0.x/ > 0，g0.x/ > 0. 试
一元函数积分学 习题
一、填空题
∫2
1.
1Cx
1
1
Á exC
1 x
x
dx
D
.
2
2.
∫ C1
设 a > 0、b > 0 均是常数，则
e
ax2
b
x2 dx D
.
0
∫ C1 e a2x2 e b2x2
3. 设 a、b 均是常数，则
0
x2
dx D
.
∫ 1p
4.
1
0
x2 ln ˇˇˇ1
1 x2
ˇˇˇ
dx
D
.
5.
sin6 x C cos6 x .
x ln x
20. 求
.x2
3 dx. 1/ 2
∫1 21. 设 m、n 是正整数，求 xm.1 x/n dx.
0
∫ 22. 设常数 r 2 .0; 1/，求
1 r2 1 2r cos x C r2 dx.
∫1
∫ 2e
23. 设 F .x/ D t jet xj dt ，(1) 求 F .x/ 的分段表达式；(2) 求 F .x/ dx.
f .x/ dx 收 敛 ， 求
lim 1 ∫ y xf .x/ dx .（2010 年全国大学生高数竞赛决赛题）
0
y!C1 y 0
0
35. 设 f .x/ 在 Œa; b 上可导，且 ˇˇf 0.x/ˇˇ 6 M . 对每个 k D 0; 1; : : : ; n，记 xk a C
k n
.b
a/. 证明
ˇˇˇˇ∫ b f .x/ dx
a
b
n
a
Xn
f .xk/ˇˇˇˇ
6
M .b
2n
kD1
a/2 :
36. 设 f .x/ 在 Œ0; 1 上单调减少正值连续。证明
f .xnC1/ D 0.
45.
设
f .x/
在
Œ0; 1
∫1 上连续， f .x/ dx
0
D
1 .
3
试证明：在区间
.0; 1/
内存在
n
个不同的
Pn 点 i （i D 1; 2; : : : ; n），使 f . i /
2 i
D 0.
i D1
46. 设 f .x/ 在 Œa; b 上连续，如果对于任意一个满足 g.a/ D g.b/ D 0 且在 Œa; b 上连续
x!C1
∫ C1 f .ax/ f .bx/
b
0
x
dx D f .0/
k ln : a
∫ 2 sin2 nx
52. 设 In D
0
sin x
dx
，(1)
求
In；(2)
求
lim
n!1
In
.
53. 证 明 广 义 积 分 ∫ C1 ˇˇˇ sin t ˇˇˇ dt 发散。
(1)
∫ C1 cos t
1
t 2 dt
∫
14.
求 ∫0
xjsin x cos x 1 C sin4 x
j
dx.
15. 求 esin 2x 2x sin2 x dx.
16.
∫1 求
arctan x p
dx.
17.
求
0
∫
x1 r
ex ex C
x2 1
dx 1
.
1
2
∫ C1 arctan x
18. 求
0
.1
C
x2
/
5 2
dx.
∫
dx
19.
求 ∫
a
48.
∫2
求
I1
D
lim
n!1
0
sin nx x2 C n2
dx；
49.
∫2
求
I2
D
lim
n!1
0
cos nx dx.
1Cx
50. 设 '.x/ 在 Œ0; 上连续，证明
∫
∫
2
lim jsin nxj'.x/ dx D
'.x/ dx :
n!1 0
0
51. 设 f .x/ 在 Œ0; C1/ 上连续，0 < a < b， lim f .x/ D k. 证明
0
2，使 f . 1/ D f . 2/ D 0.
44. 设 f .x/ 在 Œ0; 1 上连续，且
∫1
∫1
f .x/ dx D xf .x/ dx D
0
0
∫1 D xnf .x/ dx D 0 ;
0
4
试证明：在区间 .0; 1/ 内至少存在 n C 1 个不同的点 x1; x2; : : : ; xnC1 使 f .x1/ D f .x2/ D D
与
(2)
∫ C1 sin t
dt
1
t
Fra Baidu bibliotek
都 收 敛 ；(3)
广义积分
1
t
∫ C1 f .x/
54. 设 f .x/ D Œ2x 2Œx（ 当 x > 1）. (1) 证 明
∫ C1 f .x/
1
x2 dx 收 敛 ；(2) 计 算
1
x2 dx. 这里 Œ 表示不超过 的最大整数。
∫ C1
55. 设 f .x/ 在 区 间 Œ0; C1/ 上 连 续 ， 且 广 义 积 分
设常数
a
满足
0
6
a
6
1，则
∫1
0
.1
C
dx
a2x
2
p /1
x2 D
.
6.
∫ 2
x .1
C sin2 x C cos x/2
dx
D
.
2
∫4
p ln.9 x/
7.
p
p
dx D
.
2 ln.9 x/ C ln.x C 3/
∫
x sin x
8. 0 1 C cos2 x dx D
.
∫ 2
sin2 x
9.
1 C e x dx D
.
2
∫ 2
10.
ln sin x dx D
.
0
∫1
11. 设 f 0.x/ D arctan.x 1/2，f .0/ D 0，则 f .x/ dx D
.
0
12.
设
f
.x/
D
∫x
0
sin t xt
dt ，则
∫
0
f .x/ dx D
.
二、解答题
∫
sin.2n 1/x
13. 设 n 为正整数，求
dx.
0
sin x
证明：对任意的 a 2 Œ0; 1，有
∫a
∫1
g.x/f 0.x/ dx C f .x/g0.x/ dx > f .a/g.1/:
0
0
42. 设 f .x/ 在 Œa; b 上具有二阶导数，且 f 00.x/ > 0. 试用泰勒公式证明
f
aCbÁ < 2
b
1 ∫b f .x/ dx <
aa
1 2
Ã2
f .x/ cos kx dx C f .x/ sin kx dx 6 1:
a
a
32. 设 f .x/ 与 g.x/ 在 Œa; b 上连续且单调，并且两者的单调性相同，证明
∫b
∫b
∫b
f .x/ dx g.x/ dx 6 .b a/ f .x/g.x/ dx:
a
a
a
33.
∫x 设 f .x/ 在 . 1; C1/ 上连续且 F .x/ D
0
0
∫x
∫ C1 p
24. 设 g.x/ D e u2 du，求
0
0
2
Á g.x/ dx.
25.
设
a
为常数，求
∫ C1
0
.1
C
dx x2/.1
C
xa/
.
∫
∫
2 sin x
2 cos x
26. 证明 0 1 C x2 dx < 0 1 C x2 dx.
∫
27.
证明
2
0
esin x C e
sin x
81 dx >
64
.
∫ aC2
28. 证明
esin x sin x dx > 0，其中 a 是常数。
a
Â∫
29.
1
设 Ãf2.x/ 在∫ 1Œ0; 1 上连续，在 .0; 1/ 内可导，且 f .0/ D 0，0 < f 0.x/ < 1. 证明
f .x/ dx > f 3.x/ dx.
0
0
3∫0a.
设常数 a
38. 设 f .x/ 在 . 1; C1/ 上连续，且 ˇˇf .x/ˇˇ 6 k ∫ x f .t / dt ，其中 k > 0 为常数。证明
在 . 1; C1/ 上 f .x/ Á 0.
0
∫x
39. 设 f .x/ 在 . 1; C1/ 上 连 续 ， 且 '.x/ D f .x/ f .t/ dt 单 调 减 少 。 证 明 在
f .t/ dt 收敛， ˇˇF .x/ C f .x/ˇˇ 6 1，试
证明 ˇˇˇˇ∫ x f .t / dt ˇˇˇˇ 6 1.
1
1
3
34. 设 f .x/ 在 Œ0; 1 上有连续的导数。试证明：对于任意 x 2 Œ0; 1，有
ˇˇf .x/ˇˇ 6 ∫ 1 ˇˇf 0.t /ˇˇ C ˇˇf .t /ˇˇÁ dt: