谈数学概念联系在数学概念学习中的作用.

谈数学概念联系在数学概念学习中的作用

数学教育研究者已逐渐认识到，数学概念之间具有联系性，任一数学概念都由若干数学概念联系而成；只有建立数学概念之间的联系，建立数学概念的不同表征之间的联系，才能透彻理解数学概念。概念学习实际上就是通过建立概念之间内在的以及概念的不同表征之间的各种联系，使之形成概念网络。

一、概念联系的含义

“概念联系”可分为两种：（1）不同概念之间的联系；（2）同一概念的各种联系。

1、不同概念之间的联系。

因为学生大多接触的不是一个独立的概念，而是以某概念为中心的一个概念群，所以，建立概念之间的逻辑联系就十分重要。这些联系包括数学中各种关系（运算、逻辑连接、变换等）以及各种抽象（强抽象、弱抽象、广义抽象等）。从心理学角度看，这些不同概念之间的联系，表现为数学概念的意义是从多种情境中提取出来的，但是，要分析每一种情境又不能只用一种概念，而要用到好几种概念。这就是“概念域”的思想。因此，“学习概念不是学习一个个孤立的概念，而同时是建立众多概念之间的联系”，“每一概念都具有一定的复杂程度，特别是，只有在与其他概念所形成的网络中才能全面理解它”。

2、同一概念的相关联系。在数学上表现为同一概念的内部逻辑结构、同一概念和各种等价表示之间的联系以及与具体模型相联系的外部表征之间的抽象。在心理学上表现为三种联系，即所谓的外部联系、内部联系、内外联系。

外部联系指同一概念的不同表示（图形的、符号的、语言的、实物的）之间的联系。

内部联系指内部表征将表象进行相连的内容，包括不同心理表征之间的转换并进而整合出概念意象。这种联系也是对外部概念表象进行辨认、识别、加工的过程。它是一种动态的、变化的、活跃的、没有结构的、不牢固的过程，具有场性、弥散性、歪曲性。

内外联系的三种理解：

（1）内外联系指外部的学习内容与内部的认知结构之间的联系，它一直是数学教育的研

究课题，也是教育心理学研究的重要内容，皮亚杰、奥苏贝尔、布鲁纳、建构主义学说已有很多理论与假设。但这一切都是建立在假设“学生内在已有一个认知结构”基础上的。内外联系实际上是思维的转换，包括监控、调节、组合、评价、决策等，指从内部网络中排出序状的联系提供给外部，同时把外部的内容转换给内部，激活内部相应的网络。这是对概念内外联系的一种理解。

（2）概念的内外联系还表现为外部表示形式与内部的表示之间的转换上。这就是Gerard Vergnaud提到的被表示物（思维对象）和表示物（外部表示）之间的联系。这些联系尤其表现在外部语言、书写记号所构成的外部表示系统与学生个人的内部表征形式之间的联系上。“书写的记号必须在内部表示为数学的对象而不是在纸上代表了别的东西的记号”。

（3）概念内外联系的第三种理解是社会建构主义的思想。鉴于过去研究只是对概念的“客观意义”（教材中的标准定义）的把握，这种理论提出对概念的理解要从“主观”的角度进行，“理解一件事物表示把这件事物同化入一个适当的schema之中”，从而获得该事物的确切的意义。究竟如何才能使“外化”了的数学对象重新转化成思维的内在成分呢？“显然，这并非是在头脑中机械地重复有关对象的形式定义，而主要是一个意义赋予的过程，也即应当把新的概念纳入到主体已有的认知框架之中，从而成为可以理解的和有意义的”。[1](94)实际上，所谓的内外联系就是个体对外部的解释过程，使外部内容变成个体的内部网络的一部分。

（二）概念联系的方式

由于对概念的联系的理解有多层意义，因而有关概念联系的方式也是多样的：

1、在不同概念之间：从数学角度看，联系的方式有抽象，包括强抽象、弱抽象、广义抽象等。从心理学角度看，不同概念之间的联系还包括描述、类比、比喻等。

2、对于同一数学概念：从数学角度考察，外部不同表示之间的联系方式有变换，系统内为等价变换，系统之间为同构变换，非系统之间有拟同构变换（含比喻、类比等）。从心理学角度考察：“同一概念的不同表示形式之间的联系通常是基于相似关系和判别关系”，在建成概念内部网络时，其内部联系包括包含关系与归类关系等。

（三）概念联系的特征

概念联系的特征与联系的含义紧密相连。反映数学概念形式化、结构化方面的联系实际上是数学的关系与抽象，这些联系是稳定的。而反映数学概念的各种表象之间的联系，又多与变换紧密相连，它反映数学概念心理表征的特征，这些联系是活跃的、变化的、不稳定的。这里只讨论后一种概念联系的特征。

1.概念联系的灵活性

数学概念的内部联系并不是呆板的、机械的、固定的，而是灵活的、变化的。这种灵活性表现为对“熟悉”概念能迅速建立联系，对“陌生”概念采取“回避”的态度。在学习运用中，常常自觉地与距离较远的熟悉概念建立联系，而不愿与较近的陌生概念建立联系。因此，在内部表征中，每个学生的概念网络也不相同，在理解概念与运用概念时，各个学生启用的“联系”也有很大的差别。

2.概念联系的稳定性

概念联系的稳定性指概念之间的联系程度有强弱之分。相对来说，每一概念都由一批与之有较强联系的概念支持着。对于不同学生来说，这些概念是不同的。然而，联系程度较强的概念愈丰富，所建立的概念就愈容易理解。在数学概念学习中，有一些概念容易发生理解困难，究其原因，可能与同这个概念联系密切的概念太少有关。研究表明，建立一个概念的稳定网络有利于概念的学习与理解，但也会造成理解的障碍。这是由于联系较强，网络相对稳定，定势不易打破，会带来发展变化上的阻碍，影响新的概念学习。

3.概念联系的变化性

概念联系几乎随概念与背景的改变而发生变化。同样，一种联系在不同的两组概念中的作用差异很大。当概念本身的内容发生变化时，概念之间的联系也发生变化，包括联系的强弱程度、距离长短的选择等。当新的联系建立后，原有的联系会自动地改变或消失，但在建立新的联系时，旧有的联系在起促进作用的同时，也阻碍着新的联系的建立。

4.概念联系的整合性

概念之间联系的灵活性、变化性、稳定性，并非是自由散乱的，而是有目标的，它们时刻保持系统的整合性。调查表明，当学生接触一个数学概念时，即使他只建立极少的联系，也会由这些联系整合出概念的一个表象来，尽管这个表象是不完整的、扭曲的、错误的。在