谈数学概念联系在数学概念学习中的作用.

谈数学概念联系在数学概念学习中的作用数学教育研究者已逐渐认识到，数学概念之间具有联系性，任一数学概念都由若干数学概念联系而成；只有建立数学概念之间的联系，建立数学概念的不同表征之间的联系，才能透彻理解数学概念。

概念学习实际上就是通过建立概念之间内在的以及概念的不同表征之间的各种联系，使之形成概念网络。

一、概念联系的含义“概念联系”可分为两种：（1）不同概念之间的联系；（2）同一概念的各种联系。

1、不同概念之间的联系。

因为学生大多接触的不是一个独立的概念，而是以某概念为中心的一个概念群，所以，建立概念之间的逻辑联系就十分重要。

这些联系包括数学中各种关系（运算、逻辑连接、变换等）以及各种抽象（强抽象、弱抽象、广义抽象等）。

从心理学角度看，这些不同概念之间的联系，表现为数学概念的意义是从多种情境中提取出来的，但是，要分析每一种情境又不能只用一种概念，而要用到好几种概念。

这就是“概念域”的思想。

因此，“学习概念不是学习一个个孤立的概念，而同时是建立众多概念之间的联系”，“每一概念都具有一定的复杂程度，特别是，只有在与其他概念所形成的网络中才能全面理解它”。

2、同一概念的相关联系。

在数学上表现为同一概念的内部逻辑结构、同一概念和各种等价表示之间的联系以及与具体模型相联系的外部表征之间的抽象。

在心理学上表现为三种联系，即所谓的外部联系、内部联系、内外联系。

外部联系指同一概念的不同表示（图形的、符号的、语言的、实物的）之间的联系。

内部联系指内部表征将表象进行相连的内容，包括不同心理表征之间的转换并进而整合出概念意象。

这种联系也是对外部概念表象进行辨认、识别、加工的过程。

它是一种动态的、变化的、活跃的、没有结构的、不牢固的过程，具有场性、弥散性、歪曲性。

内外联系的三种理解：（1）内外联系指外部的学习内容与内部的认知结构之间的联系，它一直是数学教育的研究课题，也是教育心理学研究的重要内容，皮亚杰、奥苏贝尔、布鲁纳、建构主义学说已有很多理论与假设。

但这一切都是建立在假设“学生内在已有一个认知结构”基础上的。

内外联系实际上是思维的转换，包括监控、调节、组合、评价、决策等，指从内部网络中排出序状的联系提供给外部，同时把外部的内容转换给内部，激活内部相应的网络。

这是对概念内外联系的一种理解。

（2）概念的内外联系还表现为外部表示形式与内部的表示之间的转换上。

这就是Gerard Vergnaud提到的被表示物（思维对象）和表示物（外部表示）之间的联系。

这些联系尤其表现在外部语言、书写记号所构成的外部表示系统与学生个人的内部表征形式之间的联系上。

“书写的记号必须在内部表示为数学的对象而不是在纸上代表了别的东西的记号”。

（3）概念内外联系的第三种理解是社会建构主义的思想。

鉴于过去研究只是对概念的“客观意义”（教材中的标准定义）的把握，这种理论提出对概念的理解要从“主观”的角度进行，“理解一件事物表示把这件事物同化入一个适当的schema之中”，从而获得该事物的确切的意义。

究竟如何才能使“外化”了的数学对象重新转化成思维的内在成分呢？“显然，这并非是在头脑中机械地重复有关对象的形式定义，而主要是一个意义赋予的过程，也即应当把新的概念纳入到主体已有的认知框架之中，从而成为可以理解的和有意义的”。

[1](94)实际上，所谓的内外联系就是个体对外部的解释过程，使外部内容变成个体的内部网络的一部分。

（二）概念联系的方式由于对概念的联系的理解有多层意义，因而有关概念联系的方式也是多样的：1、在不同概念之间：从数学角度看，联系的方式有抽象，包括强抽象、弱抽象、广义抽象等。

从心理学角度看，不同概念之间的联系还包括描述、类比、比喻等。

2、对于同一数学概念：从数学角度考察，外部不同表示之间的联系方式有变换，系统内为等价变换，系统之间为同构变换，非系统之间有拟同构变换（含比喻、类比等）。

从心理学角度考察：“同一概念的不同表示形式之间的联系通常是基于相似关系和判别关系”，在建成概念内部网络时，其内部联系包括包含关系与归类关系等。

（三）概念联系的特征概念联系的特征与联系的含义紧密相连。

反映数学概念形式化、结构化方面的联系实际上是数学的关系与抽象，这些联系是稳定的。

而反映数学概念的各种表象之间的联系，又多与变换紧密相连，它反映数学概念心理表征的特征，这些联系是活跃的、变化的、不稳定的。

这里只讨论后一种概念联系的特征。

1.概念联系的灵活性数学概念的内部联系并不是呆板的、机械的、固定的，而是灵活的、变化的。

这种灵活性表现为对“熟悉”概念能迅速建立联系，对“陌生”概念采取“回避”的态度。

在学习运用中，常常自觉地与距离较远的熟悉概念建立联系，而不愿与较近的陌生概念建立联系。

因此，在内部表征中，每个学生的概念网络也不相同，在理解概念与运用概念时，各个学生启用的“联系”也有很大的差别。

2.概念联系的稳定性概念联系的稳定性指概念之间的联系程度有强弱之分。

相对来说，每一概念都由一批与之有较强联系的概念支持着。

对于不同学生来说，这些概念是不同的。

然而，联系程度较强的概念愈丰富，所建立的概念就愈容易理解。

在数学概念学习中，有一些概念容易发生理解困难，究其原因，可能与同这个概念联系密切的概念太少有关。

研究表明，建立一个概念的稳定网络有利于概念的学习与理解，但也会造成理解的障碍。

这是由于联系较强，网络相对稳定，定势不易打破，会带来发展变化上的阻碍，影响新的概念学习。

3.概念联系的变化性概念联系几乎随概念与背景的改变而发生变化。

同样，一种联系在不同的两组概念中的作用差异很大。

当概念本身的内容发生变化时，概念之间的联系也发生变化，包括联系的强弱程度、距离长短的选择等。

当新的联系建立后，原有的联系会自动地改变或消失，但在建立新的联系时，旧有的联系在起促进作用的同时，也阻碍着新的联系的建立。

4.概念联系的整合性概念之间联系的灵活性、变化性、稳定性，并非是自由散乱的，而是有目标的，它们时刻保持系统的整合性。

调查表明，当学生接触一个数学概念时，即使他只建立极少的联系，也会由这些联系整合出概念的一个表象来，尽管这个表象是不完整的、扭曲的、错误的。

在概念表征调查中，有大量的事例可以说明这一点。

这种自觉的整合有利于整个概念的获得，随着新的联系的建立、不断整合，概念便不断获得新的理解，进而达到完善。

然而，这种整合，也会造成过早的不恰当的表象建立，造成学生理解上的滞停或错误。

5.概念联系的生长性学生学习是主动建构的，而非被动接受已经形式化的内容。

这种建构是通过和外部的表象的不断联系来完成的，“学生创造出自己的内部表示和建立自己的表示网络，学生在构造过程中关键的一面是他们的创造发明”。

实际上，学生在学习过程中，会不断地发明出许多方法，这些方法“聪明”地建立与外界的联系，并“巧妙”地建立自己的内部联系与网络。

在概念表征的调查中，我们见到学生很少论述概念的形式定义，他们创造出各种巧妙的表征概念的方式，建立概念之间的联系。

这种发明对学生学习概念具有积极作用，发明使得概念联系具有生长力或繁殖性。

然而，联系的生长性、理解的创造性发明，也有其消极的一面，学生会根据已有的经验，盲目地进行发明创造，建立不恰当的联系。

例如将实数概念推广到复数中去，在｜x｜的调查中，学生把实数中的性质推广到了复数中。

在差生的概念表征中，许多错误就在于建立这种错误的发明，使联系错误地不恰当地生长着。

6.概念联系的相依性概念只有在概念网络中才能获得意义，单独一个概念是无法理解的。

概念联系也是这样，它们必须在与概念相连的网络中才能存在。

概念之间的联系、概念内部表象与外部表示之间的联系都依赖于整个网络的丰富与灵活程度。

单独的或少量的联系是无法存在的，而且容易发生改变，这时与之相联的信息也容易变质。

相反，当一个信息与一个较大的网络建立丰富的联系时，联系可得以存在，与之相联的信息才容易得到恢复。

概念是靠概念间联系建立的，而联系又同样依存于它所联系的概念之间。

二、概念网络（一）概念网络的含义关于概念网络（concept network）的理解也是在多种意义下进行的。

第一类是关于知识逻辑建构的系统，这是相对稳定的。

第二类是心理内部表征的系统，是比较灵活的、变化的，是一种过程。

本文只讨论后一类。

这一类又含有两种意义。

一种是思想，即概念是与各种概念或其他事物、背景相联系的整体。

概念不是孤立的，而是处于一个复杂的联系的系统中。

谈及概念时，不仅指一个词，一个对象，也指激活有关这个概念所在的一个网络系统。

皮亚杰的认知图式、认知结构理论也含有这种思想。

另一种是具体建立的各种内部表征的网络模型（network model），用以解释概念内部表征。

现代认知心理学中广泛使用的是语义网络或符号网络模型。

“符号—网络模型中的概念通常用节点（nodes）来表示，这里所显示的节点通过箭头与另一个节点联结。

这个简单的规定表明概念之间所有可能的联系”。

如下页图就是符号—网络模型的一小部分，“为了表示记忆中的概念，图形给出两种东西：框面和箭头，框面表示概念”，箭头有两个重要的特性：“第一，它们是有方向的”，方向不同，理论意义不同；“第二，它们是有名称的，至今有三类名称──特性、例子和类别”。

现代研究者反复提醒，概念内部的网络不同于外部知识的形式网络，尽管他们不得已用语词或符号来描述这种网络，“虽然我（们）所看到的所有模型好像都由词和箭头组成，但是节点被认为是表象概念而不是词……心理事件的表象（不是复制），一定比单词本身复杂得多”。

现代认知心理学通过大量研究证实：“在几乎每一个从永久记忆的提取活动中都包括情景记忆和语义记忆”。

将概念的相关性信息用上面的图逐级相连，便形成记忆或内部表征中有意义（语义）的各成分之间相互联结的网，这就构成概念网络。

语义网络是通过指示符或关系把节点彼此相联结而成的。

（二）概念网络的形式概念网络的模型有多种，如TLC层次模型，激活—扩散模型等。

TLC网络模型认为，“贮存在知识系统里的信息是由单位、特征和指向联结所组成的，并以分层形式构成网络”。

语义知识便可以表征为一种由相互联结的概念组成的网络。

而这个网络又是具有层次性的。

层次网络模型对语句的加工，主要通过搜寻，即将语句中所涉及的主项概念与宾项概念放入记忆网络，寻找这两个节点联结起来的通道，看与语句中的论断是否相符。

针对TLC的缺点，激活—扩散网络模型认为，“第一，联结两个概念的直线长度具有理论意义，直线越短，概念联系越紧密。

第二，类似于TLC，激活扩散模型假设上级关系以‘是一种’联结来表示，……然而这个模型比TLC先进在于它也包括一些‘不是一种’的联结”。

这种理论表明，在回答某问题时，首先进入有关语义网络中，使一个节点得以激活，激活的节点又向外激活其他概念节点。