(完整版)函数解析式求法总结及练习题,推荐文档

解：令 t x 1 ，则 t 1 ， x (t 1)2 ．
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得
函数解析式．
例 5 设 f (x)满足f (x) 2 f ( 1 ) x, 求 f (x) ． x
解 f (x) 2 f (1) x ① x
显然 x 0, 将 x 换成 1 ，得： f ( 1 ) 2 f (x) 1 ②
x
x
x
解① ②联立的方程组，得： f (x) x 2 ． 3 3x
例 6 设 f (x) 为偶函数， g(x) 为奇函数，又 f (x) g(x) 1 , 试求 f (x)和g(x) 的解析式 x 1
解
f (x)
求 f（x）的解析式．
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例 8 设 f (x) 是定义在 N 上的函数，满足 f (1) 1 ，对任意的 N a, b 都有 f (a) f (b) f (a b) ab ，
x
求 f (x)
解
f (a) f (b) f (a b) ab，a,b N ，不妨令 a x,b 1 ，得：
f (x) f (1) f (x 1) x ，
f (x) 的解析式.
体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 求得函数解析式．
8．（1）若 f (x) f ( x 1) 1 x ,求 f (x) . （2）若 f(x)+f(1-x)=1+x,求 f(x).
f (x) x 2 1 (x 1) ， f (x 1) (x 1)2 1 x 2 2x (x 0) ．
解对于任意实数 x、y，等式 f (x y) f (x) y(2x y 1) 恒成立，
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．
不妨令 x 0 ，则有 f ( y) f (0) y( y 1) 1 y( y 1) y 2 y 1．
变式 1．已知 f (x)是二次函数，且 f x 1 f x 1 2x2 4x 4 ，求 f (x)．
例 4．设对任意数 x，y 均有 f x y 2 f y x2 2xy y2 3x 3y ，
求 f（x）的解析式． （ 赋值法 / 特殊值法）
变式 1．已知对一切 x，y∈R， f x y f x 2x y 1 y 都成立，且 f（0）=1，
2
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例 1 设 f (x) 是一次函数，且 f [ f (x)] 4x 3 ，求 f (x) ．
把
x x 4
y
6
y
代入得：
6
源自文库
y
(x
4) 2
(x
4)
．
解：设 f (x) ax b (a 0) ，则 f [ f (x)] af (x) b a(ax b) b a2 x ab b
时，常用配凑法．但要注意所求函数 f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g(x) 的值域．
例2
已知 f (x 1 ) x 2 1
x
x2
(x 0) ，求
f (x) 的解析式．
解： f (x 1 ) (x 1 )2 2 ， x 1 2 ， f (x) x 2 2
x
x
f (0) 的值；(2)求 f (x) 的解析式。
6．设二次函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x 2) ,且图象在 y 轴上截距为 1,在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求
f (x) 的表达式.
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（五）．特殊值代入法 9．若 f (x y) f (x) f ( y) ,且 f (1) 2 ，求值
f (2)
f (3)
f (4)
f (2005)
.
f (1) f (2) f (3)
f (2004)
又 f (1) 1,故f (x 1) f (x) x 1 ①
令①式中的 x＝1，2，…，n－1 得： f (2) f (1) 2，， f (3，) f (2) 3 f (n) f (n 1) n
f (x), g(x) g(x) ，又
f (x)
g(x)
1 x 1
①
，用 x 替换 x 得：
f (x) g(x) 1 ，即 f (x) g(x) 1 ②
x 1
x 1
，解①
②联立的方程组，得 f (x) 1 ， x2 1
g(x) 1 x2 x
1 小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、 f ( ) ；互为相反数，如 f(x)、f(-x)，通过对称代换
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练习
例 3．已知 f (x) 2 f (－x)＝x ，求函数 f (x)的解析式． （ 消去法/ 方程组法 ）
求函数的解析式
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 例 1．已知 f (x)= x2 2x ，求 f ( x 1)的解析式． （ 代入法 / 拼凑法 ）
变式 1．已知 2 f (x) f ( x)＝x＋1 ，求函数 f (x)的解析式．
（二）．配变量法 3．已知 f (x 1 ) x 2 1 , 求 f (x) 的解析式. 4．若 f ( x 1) x 2
x
x2
x ,求 f (x) .
（三）．待定系数法 5．设 f (x) 是一元二次函数, g(x) 2 x f (x) ,且 g(x 1) g(x) 2 x1 x 2 , 求 f (x) 与 g(x) .
整理得 y x 2 7x 6 ， g(x) x 2 7x 6 ．
a2
ab
b
4
3
，
a
b
2 1
a 2 或 b 3
．
f (x) 2x 1 或 f (x) 2x 3 ．
二、配凑法：已知复合函数 f [g(x)] 的表达式，求 f (x) 的解析式， f [g(x)] 的表达式容易配成 g(x) 的运算形式
x
构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题
具体化、简单化，从而求得解析式．
f ( x 1) x 2 x ， f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1,
例 7 已知： f (0) 1，对于任意实数 x、y，等式 f (x y) f (x) y(2x y 1) 恒成立，求 f (x) ．
10．已知： f (0) 1，对于任意实数 x、y，等式 f (x y) f (x) y(2x y 1) 恒成立，求 f (x)
（六）．利用给定的特性求解析式.
11．设 f (x) 是偶函数,当 x＞0 时, f (x) e x 2 e x ,求当 x＜0 时， f (x) 的表达式.
12．对 x∈R, f (x) 满足 f (x) f (x 1) ,且当 x∈[－1,0]时, f (x) x 2 2x 求当 x∈[9,10]时 f (x) 的
表达式.
例 6、已知函数 f (x) 对于一切实数 x, y 都有 f (x y) f ( y) (x 2 y 1)x 成立，且 f (1) 0 。(1)求
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同例 5意：已知调f (剖0) 沙1, f龙(a 课b) 反f (a倒) b是(2a龙 b 卷1),风求 f 前(x) 。一天我分页符ZNBX吃噶十
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解析：令 a 0, 则 f (b) f (0) b(1 b) b2 b 1
令 b x 则 f (x) x2 x 1
将上述各式相加得： f (n) f (1) 2 3 n ， f (n) 1 2 3 n n(n 1) ， 2
f
(x)
1 2
x2
1 2
x,
x
N
三、练习
（一）换元法 1．已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式.
2．若 f ( 1 ) x ,求 f (x) . x 1 x
x
(x 2) ．
三、换元法：已知复合函数 f [g(x)] 的表达式时，还可以用换元法求 f (x) 的解析式．用来处理不知道所求函数的
类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新 元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例 3 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x 1) ．
函数解析式的七种求法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
则
x y
x 2 2 y 3
，解得：
x
y
x 4 6 y
，点 M (x, y) 在 y g(x) 上
，
y x2 x ．
（四）．解方程组法 7．设函数 f (x) 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 3 f (x) 2 f ( 1 ) 4x ,求 x
小结：①所给函数方程含有 2 个变量时，可对这 2 个变量交替用特殊值代入，或使这 2 个变量相等代入，再用已知条 件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具
变式 1．已知 f (x)= 2x 1， 求 f ( x2 )的解析式．
变式 2．已知 2 f (x) f
1 x ＝3x
，求函数 f (x)的解析式．
变式 2．已知 f (x+1)＝ x2 2x 3 ，求 f (x)的解析式．
例 2．若 f [ f (x)]＝4x＋3，求一次函数 f (x)的解析式． （ 待定系数法 ）
例 4 已知：函数 y x 2 x与y g(x) 的图象关于点 (2,3) 对称，求 g(x) 的解析式．
再令 y x 得函数解析式为： f (x) x 2 x 1 ．
解：设 M (x, y) 为 y g(x) 上任一点，且 M (x, y) 为 M (x, y) 关于点 (2,3) 的对称点．