了解空间向量的概念空间向量的基本定理及其意义掌握教学讲义
02教学课件_1.2 空间向量基本定理(共26张PPT)
解：（1） BC
1
BB1 B1C1 BB1 A1C1 A1 B1 a c b
a b a b cos BAA1 11 cos60
a c b
BC1
2
1
1
a cb c ，
，同理可得
=a,=b,=c,则=
.
1
3
1
答案:2a-2b+2c
1
1
1
1
解析: = 2 ( + )=2(-b+ + )=-2b+2 ( − + −
1
1
1
3
1
)=-2b+2(a+c-2b)=2a-2b+2c.
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正
交分解.
定理辨析
1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可
由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的 , , 叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共
面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底
空间向量的概念空间向量的基本定理及其意义掌握
复 习
·(
a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
数 学
新
(4)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量
课 标
)
版
p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa
＋yb.
专题五 立体几何
2．两个向量的数量积
《
向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
走 向
高
向量的数量积的性质：
复 习
·(
数
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
学 新
课
a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
标 版
)
a⊥b⇔a·b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》
(3)平面的法向量
二 轮
专
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，
考 》
二
①若e是单位向量，则a·e＝|a|cos〈a，e〉；
轮 专
题
②a⊥b⇔a·b＝0；
复 习
·(
数
③|a|2＝a·a＝a2.
学 新
课
标
版
)
专题五 立体几何
向量的数量积满足如下运算律：
《
①(λa)·b＝λ(a·b)；
走 向
高
②a·b＝b·a(交换律)；
考 》
二
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
习 数
学
·(
＋yO→B＋zO→C.
新 课
标
版
)
专题五 立体几何
4．空间向量的坐标运算
《
空间向量及其运算(优质课)教案
空间向量及其运算（优质课）教案教学目标：1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.教学过程：1．空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA→，OB→，OC→表示OG→，MG→等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D''''-.求证:2.AC AB AD AC'''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,,,AC AB AD AB AB AA ''∴=+=+.AD AD AA ''=+∴AC AB AD ''++()()()AB AD AB AA AD AA ''=+++++ 2().AB AD AA '=++又∵,,AA CC AD BC ''==,AB AD AA AB BC CC AC CC AC ''''∴++=++=+=2.AC AB AD AC '''∴++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A 1N →=-a+b+2c练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形. ∵1()2EH EA AH BA AD =+=+=111,(),222BD FG FC CG BC CD BD =+=+=.EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG ,且EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形. 解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+= 11(),22EF EB BF AB BC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF ,且HG =EF .∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN=AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r-p ）， ∴MN·AB =12（q+r-p ）·p =12（q ·p+r ·p-p 2）=12（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN=12（q+r-p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r-p ）2=14［q 2+r 2+p 2+2（q ·r-p ·q-r ·p ）］=14[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）=14×2a 2=22a . ∴|MN|=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p)＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°)＝22a . 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a . ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.【答案】（1）见解析（2）MN a.（3）异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．【答案】设AB =a,AD =b.1AA =cBD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝66.1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)【答案】B 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2 【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++ 8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
2020年高三总复习数学人教旧版--[第15讲 空间向量] 讲义(教师版)
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且平面 ABE 与直线 PD 交于 F , PF f PD ，则（ ）
A.
f
2
B.
f
2 6
C.
f
3 7
D.
f
4 9
第 5页
【答案】A
【解析】分别取 AB、CD 的中点 H、K ，设平面 ABE 与 PK 交于点 G ，在 PHK 中，易
知 O 为线段 HK 的中点，取线段 GH 的中点 M ，连接 OM ，则 GK 2OM ，由
第 1页
空间向量
空间向量的基本 概念与基本定理
空间向量的坐标运 算
空间向量的应用
空间向量的基本概念 空间向量基本定理 空间向量的加减及空间距离问题
空间向量的数量积 利用空间向量证明平行、垂直 利用空间向量求空间角和距离
空间向量的基本概念与基本定理
1．空间向量的有关概念
(1)在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的模，用| a |
A. a 3,b 3 B. a 6,b 1 C. a 3,b 2 D. a 2,b 1
【答案】C
【解析】因为
AC
(a
1, 2,b
4),
AB
(1,
1, 3)
，所以由题设
a
1 1
2 1
b
3
4
,所以
a 3 b 2 ，应选答案 C.
练习 2.
O 为空间任意一点，若 OP
3
OA
而 3 1 1 1 故 P，A，B，C 四点共面，故选 B 48 8
例 2. 如图，空间四边形 OABC 中，点 M , N 分别在 OA, BC 上，
OM 2MA, BN CN ，，则 MN （ ）
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
《空间向量基本定理》参考教案
《空间向量基本定理》参考教案教案一：空间向量基本定理的引入与说明一、教学目标1.理解和掌握空间向量的基本概念和性质。
2.能够运用空间向量基本定理解决相关问题。
3.培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重点与难点1.空间向量的基本概念与运算规则。
2.定义空间向量基本定理和它的推论。
三、教学过程1.导入环节：通过一个生活实例引入空间向量的概念。
T：同学们，有一天小明去买菜，在菜市场碰到了他的好朋友小红。
他们俩热情地互相问候，打招呼之后，小明突然看到小红手上拿着一袋看起来很重的东西，就好奇地问：“小红，你拿的是什么？”小红笑着回答：“这是我买的菜，你要不要帮我一起拿一拆？”小明犹豫了一下，想到自己还有很多事情要做，就婉言谢绝了。
你们有没有碰到过这种情况呢？S1：我碰到过，我帮我妈妈拎东西。
S2：我也帮过我妈妈拎水果。
T：对的，生活中我们常常会遇到这样的情况，一个人无法单独完成一些任务，需要另一个人的帮助。
我们可以把小红拿的菜称为向量，可以把拿菜的人称为向量的起点，可以把这个人被用来拿菜的手称为向量的终点。
所以，向量可以理解为一种既有大小、又有方向的量。
这就是我们所要学习的“向量”概念。
2.讲解向量基本概念T：同学们，向量是有大小和方向的，那我们该如何表示一个向量呢？S3：可以用线段来表示。
T：非常好！向量可以用线段来表示，线段的起点表示向量的起点，线段的终点表示向量的终点。
同时，我们可以给这个线段一个箭头，箭头表示向量的方向。
请大家看下面的图示，看看我们是如何用线段来表示向量的。
T：用这种方法可以表示向量的起点、终点和方向，那我们如何表示向量的大小呢？S4：可以用线段的长度来表示。
T：非常棒！向量的大小可以用线段的长度来表示，长度越大说明向量的大小越大。
同学们，你们还有什么想问的吗？S5：老师，那如果两个向量的长度相等，但是方向不同，它们算不算相等呢？T：非常好的问题！如果两个向量的大小相等但方向不同，我们称它们为反向量。
《空间向量基本定理》课件
万有引力是一个向量，通过向量的运 算可以研究天体之间的相互作用和地 球上的重力现象。
04
向量的运算律与性质
向量的运算律
01
02
03
交换律
$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$
结合律
$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$
《空间向量基本定 理》ppt课件
目 录
• 空间向量的基本概念 • 空间向量的基本定理 • 向量在空间几何中的应用 • 向量的运算律与性质 • 向量在解决实际问题中的应用
01
空间向量的基本概念
向量的表示与性质
向量的表示
向量可以用有向线段来表示，起 点为A，终点为B，记作 $overrightarrow{AB}$。
总结词：推论二
详细描述：推论二：如果三 个向量$mathbf{a}$、 $mathbf{b}$、 $mathbf{c}$共面，那么对 于任意向量$mathbf{p}$， 不存在有序实数组$x, y, z$ ，使得$mathbf{p} = xmathbf{a} + ymathbf{b} + zmathbf{c}$。
力的合成与分解
在物理中，力是一个向量，通过力的 合成与分解，可以分析物体的运动状 态和力的作用效果。
速度和加速度的研究
速度和加速度都是向量，通过向量的 运算可以深入理解速度和加速度的概 念，以及它们在运动学中的作用。
向量在物理中的应用
动量与冲量
动量和冲量都是向量，通过向量的运 算可以研究物体的动量变化和力的作 用效果。
空间向量讲义
空间向量教学讲义教学内容【新授课知识讲解】知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
空间向量基本定理课件(共23张PPT)
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
1.2空间向量基本定理课件(人教版)(1)
（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
解：（1）设 DA i ，DC j ，DD k ，
则{i ，j ，k}构成空间的一个单位正交基底.
所以
EF
DF
DE
1i 2
1 2
j
1 2
(i
j) ，CA
DA
DC
i
j
.
所以 EF 1 CA . 2
所以 EF AC .
a
1 2
b
c
解析： BM
BB1
B1M
c
1 (b a) 2
1a 2
1bc 2
.故选
A.
4.已知e1 ，e2 ，e3 为空间向量的一组基底，若 a e1 e2 e3 ，b e1 e2 e3 ，
c e1 e2 e3 ， d e1 2e2 3e3 ，且 d a b c ，则 ， ， 的值分别
PD 上的点， PM 2MC ， PN ND ，若 MN x AB y AD z AP ，则
x y z _____2_______. 3
解析：因为 MN PN PM 1 PD 2 PC 1 (AD AP) 2 (AB AD AP)
23
2
3
2 AB 1 AD 1 AP ，所以 x y z 2 .
例 1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，
点
P
在线段
AN
上，且 MN
1 ON 2
，
AP
3 4
AN
，用向量OA ，OB
，OC
表
示OP .
解： OP OA AP OA 3 AN 4
OA 3 (ON OA) 4
空间向量课件
目录
• 空间向量基本概念 • 空间坐标系与向量坐标表示 • 空间向量数量积与夹角计算 • 空间向量外积与叉乘运算 • 空间向量混合积及其几何意义 • 空间向量在解决实际问题中应用案例
01
空间向量基本概念
向量定义及表示方法
定义
既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，可用 字母a、b、c等表示，也可用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示。
力学中力、速度、加速度等矢量合成问题
力的合成
多个力作用于同一物体时，可用空间向量表示各个力，通过向量加法求解合力。
速度与加速度的合成
物体在多个方向上有速度和加速度时，可用空间向量表示各方向上的速度和加速度，通过向量加法求 解合速度和合加速度。
电磁学中电场、磁场等矢量分析问题
要点一
电场强度与电势差的计算
向量坐标性质
向量坐标具有唯一性，即空间中任意 一个向量都可以用一个有序实数组 (x,y,z)来表示。同时，向量坐标具有加 法和数乘运算性质。
向量坐标运算性质
加法运算
若有两个向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则它们的和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
数乘运算
性质3
与标量乘法结合律，即 (ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k
为实数。
夹角计算公式推导及应用举例
01
02
03
夹角计算公式
cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)， 其中θ为两向量夹角，||a|| 和||b||分别为两向量的模 长。
应用举例1
计算两个给定向量的夹角 。
应用举例2
要点二
空间向量的概念(解析版)
第44讲空间向量的概念和空间位置关系一、课程标准1、空间向量的线性运算2、共线、共面向量定理的应用3、空间向量数量积的应用4、利用空间向量证明平行或垂直二、基础知识回顾1．空间向量及其有关概念2．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)空间向量的坐标运算：三、自主热身、归纳总结1、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )A. 共线B. 共面C. 不共面D. 无法确定 【答案】 C【解析】 AB →＝(2，0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使AB →＝λAC →成立知，A ，B ，C 不共线，故A ，B ，C ，D 不共线；假设A ，B ，C ，D 共面，则可设AD →＝xAB →＋yAC →(x ，y 为实数)，即⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －2y ，－3＝－3y ，－4＝－4x －5y ，由于该方程组无解，故A ，B ，C ，D 不共面，故选C.2、已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( )A. 32B. －2C. 0D. 32或－2 【答案】B【解析】 当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2. 故选B. 3、在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A . 垂直B . 平行C . 异面D . 相交但不垂直 【答案】B【解析】 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD. 故选B .4、如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则向量C 1M ―→可用a ，b ，c 表示为________．【答案】－12a －12b －c【解析】C 1M ―→＝C 1C ―→＋CM ―→＝－AA 1―→－12AC ―→＝－AA 1―→－12(AB ―→＋AD ―→)＝－12AB ―→－12AD ―→－AA 1―→＝－12a －12b －c .5、如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________． 【答案】垂直【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1，1,0)，N (2，1,2)，所以AM ―→＝(－2,0,1)，ON ―→＝(1,0,2)，AM ―→·ON ―→＝－2＋0＋2＝0，所以AM ⊥ON .6、O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋t OC ―→，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 【答案】18【解析】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以34＋18＋t ＝1，所以t ＝18.四、例题选讲考点一 空间向量的线性运算例1 (1) 向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是________．(填序号)①a ∥b ，a ∥c; ②a ∥b ，a ⊥c ； ③a ∥c ，a ⊥b .(2) 已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P 的坐标是(x ，0，y)，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是____________． 【答案】（1） ③ （2） (－1，0，2)【解析】（1） 因为c ＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .（2） PA →＝(－x ，1，－y)，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)．因为PA ⊥平面ABC ，所以PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，即PA →·AB →＝x ＋y －1＝0，PA →·AC →＝－2x －y ＝0，所以x ＝－1，y ＝2，故点P 的坐标是(－1，0，2)．变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c （2）已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE ―→＝AA 1―→＋x AB ―→＋y AD ―→，则x ，y 的值分别为( )A ．1,1B ．1，12C.12，121 D.12，1 【答案】（1）A （2）C【解析】（1） BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .（2）AE ―→＝AA 1―→＋A 1E ―→＝AA 1―→＋12A 1C 1―→＝AA 1―→＋12()AB ―→＋AD ―→，故x ＝12，y ＝12.变式2、 在三棱锥OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.【解析】 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.变式3、如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点．试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP ―→； (2)A 1N ―→； (3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＋c ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→＝12AD ―→＋AA 1―→＝a ＋12c ，∴MP ―→＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 考点二 共线、共面向量定理的应用例2 如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC → (0≤k≤1). 判断向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面．【解析】 ∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k(C 1A →＋BC →)＋AB →＝k(C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k(AA 1→＋AB →)＝(1－k) AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．变式1、如图所示，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→(0≤k ≤1)．判断向量MN ―→是否与向量AB ―→，AA 1―→共面．【解析】∵AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→，∴MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→＝k C 1A ―→＋AB ―→＋k BC ―→＝k (C 1A ―→＋BC ―→)＋AB ―→＝k (C 1A ―→＋B 1C 1―→)＋AB ―→＝k B 1A ―→＋AB ―→＝AB ―→－k AB 1―→＝AB ―→－k (AA 1―→＋AB ―→)＝(1－k )AB ―→－k AA 1―→，∴由共面向量定理知向量MN ―→与向量AB ―→，AA 1―→共面．变式2、（1）已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D.2,2（2）．若A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，则m ＋n ＝________. 【答案】（1） A （2）－3【解析】（1） ∵a ∥b ，∴b ＝k a (k ∈R )， 即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12，故选A.（2）∵AB ―→＝(3，－1,1)，AC ―→＝(m ＋1，n －2，－2)， 且A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使得AC ―→＝λAB ―→.即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.∴m ＋n ＝－3.方法总结：证明空间三点P ，A ，B 共线的方法有：①PA →＝λPB →(λ∈R)；②对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB → (x ＋y ＝1). 证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法有：①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB → (x ＋y ＋z ＝1)；③PM →∥AB → (或P A →∥MB →或PB →∥AM →). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．考点三 空间向量数量积的应用例3、如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .【解析】(1)设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1. ∵AC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1―→|＝|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝12＋12＋22＋20－1－1＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC 1―→，A 1D ―→〉|＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|.∵AC 1―→＝a ＋b ＋c ，A 1D ―→＝b －c ， ∴AC 1―→·A 1D ―→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2，|A 1D ―→|＝b －c2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2＝12－2×－1＋22＝7.∴cos θ＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1―→＝c ，BD ―→＝b －a ，∴AA 1―→·BD ―→＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0，∴AA 1―→⊥BD ―→，即AA 1⊥BD .变式1、已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．【解析】 (1)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)(方法1)∵k a ＋b ＝(k －1，k ，2). k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.(方法2)由(1)知|a|＝2，|b|＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b)·(k a －2b)＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. ∴当k a ＋b 与k a －2b互相垂直时，实数k 的值为2或－52.变式2、如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求：(1)AC 1―→的长；(2)BD 1―→与AC ―→夹角的余弦值．【解析】(1)记AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1―→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1―→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1―→＝b ＋c －a ，AC ―→＝a ＋b ， ∴|BD 1―→|＝2，|AC ―→|＝3， BD 1―→·AC ―→＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1―→，AC ―→〉＝BD 1―→·AC ―→|BD 1―→||AC ―→|＝66.即BD 1―→与AC ―→夹角的余弦值为66.方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉. (2)坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. 可以通过|a|＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想考点四 利用空间向量证明平行或垂直例4 如图所示的长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．求证：(1) BM ∥平面D 1AC ； (2) D 1O ⊥平面AB 1C.【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)，D 1(0，0，2)，所以OD 1→＝(－1，－1，2)． 又点B(2，2，0)，M(1，1，2)，所以BM →＝(－1，－1，2)， 所以OD 1→＝BM →.又因为OD 1与BM 不共线， 所以OD 1∥BM.又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， 所以BM ∥平面D 1AC.(2) 连结OB 1，点B 1(2，2，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)． 因为OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1，1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2，2，0)＝0， 所以OD 1→⊥OB 1→，OD 1→⊥AC →， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC.又OB 1∩AC ＝O ，OB 1，AC ⊂平面AB 1C ， 所以D 1O ⊥平面AB 1C.变式1、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证： (1) EF ∥平面PAD ； (2) 平面PAB ⊥平面PDC.【证明】 (1) 如图，取AD 的中点O ，连结OP ，OF. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD. 又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB.又四边形ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD.因为PA ＝PD ＝22AD ， 所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面PAD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0. 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0， 所以EF ∥平面PAD.(2) 因为PA →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a ，0)， 所以PA →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a ，0)＝0， 所以PA →⊥CD →，所以PA ⊥CD.又PA ⊥PD ，PD∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PDC.又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC.变式2、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点． 求证：(1)EF ∥平面P AD ；(2)平面P AB ⊥平面PDC .【证明】(1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD .因为P A ＝PD ＝22AD ，所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF ―→＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF ―→·EF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD ―→＝(0，－a,0)， 所以P A ―→·CD ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A ―→⊥CD ―→，所以P A ⊥CD .又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥平面PDC .又P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PDC .方法总结：(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．五、优化提升与真题演练1、已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．2、(多选)已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )A ．AP ⊥ABB ．AP ⊥ADC.AP ―→是平面ABCD 的一个法向量D.AP ―→∥BD ―→【答案】ABC【解析】对于A ，AB ―→·AP ―→＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴AP ―→⊥AB ―→，即AP ⊥AB ，A 正确；对于B ，AP ―→·AD ―→＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ―→⊥AD ―→，即AP ⊥AD ，B 正确；对于C ，由AP ―→⊥AB ―→，且AP ―→⊥AD ―→，得出AP ―→是平面ABCD 的一个法向量，C 正确；对于D ，由AP ―→是平面ABCD 的法向量，得出AP ―→⊥BD ―→，则D 错误．故选A 、B 、C.3、(多选)已知ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是( )A ．(A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→)2＝3(A 1B 1―→)2B.A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0C ．向量AD 1―→与向量A 1B ―→的夹角是60°D ．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|【答案】AB【解析】由向量的加法得到：A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→＝A 1C ―→，∵A 1C 2＝3A 1B 21，∴(A 1C ―→)2＝3(A 1B 1―→)2，所以A 正确；∵A 1B 1―→－A 1A ―→＝AB 1―→，AB 1⊥A 1C ，∴A 1C ―→·AB 1―→＝0，故B 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的角为60°，但是向量AD 1―→与向量A 1B ―→的夹角是120°，故C 不正确；∵AB ⊥AA 1，∴AB ―→·AA 1―→＝0，故|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|＝0，因此D 不正确．故选A 、B.4、如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M.【解析】 (1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.第3题图(2)由题意得A 1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)，∴BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. (3)由题意得C 1(0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1，1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， ∴A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M. 5、【2020年北京卷】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅰ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【解析】Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A BC D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =， 11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ； （Ⅰ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩， 令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 11142cos,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.。
《空间向量的基本定理》公开课课件
4）AQ
B
空间向量的基本性质
习题
主要内容：
• 1、共线向量定理。 对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
•2、共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
3、向量的数量积
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空 间任一向量p，存在一个唯一的有序实数 组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
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空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。 如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。为空间的一 个基底。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
证明
P C
OB
B‘
A
A’
P‘
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点G在 线段MN上，且使MG=2GN，用基向量OA， OB，OC表示向量OG。
O
M
A
G
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 空间向量及其应用
师生共研
例 1 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满 足O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C). (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面；
解 由题知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， 所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， 所以M→A，M→B，M→C共面.
___a_21＋__a_22_＋__a_23__
夹角 余弦值
cos〈a，b〉＝ a·b (a≠0，b≠0) |a||b|
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 __a_21_＋__a_22_＋__a_23·__b__21＋__b_22_＋__b_23 _
5.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表 示的向量，一条直线的方向向量有无数个. (2)平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量.显 然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.
数量积 共线 垂直 模
向量表示 a·b
a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0)
|a|
坐标表示 __a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_ _a_1_＝__λ_b_1_，_a_2_＝__λ_b_2_，__a_3＝__λ_b_3_ __a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_＝__0_
表示 0
a＝b a的相反向量为－a
共线向量 共面向量
表示空间向量的有向线段所在的直 线互相_平__行__或__重__合__的向量
平行于同一个_平__面__的向量
空间向量基本定理ppt课件
定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要
注意到当 xa 与 xb 不共线时，xa，xb，xa+xb 分别是平行四边形的
两条邻边和一条对角线即可．
例 1 如图所示，已知斜三棱柱
= ，
=
1
= ，在
1上和
−
1
1 1 中，
上分别有一点 和 ，且
，其中 0⩽ ⩽1. 求证：
，a，c 共面.
= ，
( x y )e1 ( x 2 y )e2 ( x 2 y )e3 .因为 e1, e2 , e3 是空间的一组基底，所以
5
x
,
2
k x y,
1
x 2 y 3, 解得 y , 故选 D.
4
x 2 y 2,
9
k
AC1 113 .
9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC1 与 B1C 交于点 O，A1 AB A1 AC 60 ，
BAC 90 ， A1 A 4 ， AB AC 2 ， AO xAB yAC z AA1 ，则
xyz _________， | AO | __________.
第一章 空间向量与立体几何
课标要点
核心素养
1.理解共线向量
数学抽象
2.了解共面向量定理
数学运算
3.了解空间向量基本定理
数学运算
共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得
b＝λa．
平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平
空间向量知识点总结讲解
空间向量知识点总结讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义：在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常表示为有向线段。
向量可以用坐标表示，也可以用行向量或列向量表示。
2. 向量的运算：向量的运算包括加法、数量乘法、点乘、叉乘等。
向量之间的加法和数量乘法可以直接进行，而点乘和叉乘需要通过向量的坐标或分量进行计算。
3. 向量的性质：向量具有大小和方向两个基本属性，同时还具有平行四边形法则，向量共线与共面的性质等。
二、空间向量的概念1. 空间向量的定义：在三维空间中，向量的坐标可以用三个实数表示，即(x, y, z)，这就是空间向量。
空间向量通常表示为有向线段，具有大小和方向。
2. 空间向量的运算：空间向量的运算与平面向量相似，可以进行向量的加法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。
叉乘是空间向量特有的一种运算，用来得到垂直于两向量所在平面的向量。
3. 空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示为(x, y, z)，用来描述向量的起始点和终点在三维空间中的位置。
4. 空间向量的性质：空间向量具有大小和方向的性质，同时还具有与平面向量相似的性质，如共线、共面等。
三、空间向量的线性运算1. 空间向量的线性组合：空间向量的线性组合是指将若干个向量以一定的比例相加得到新的向量的过程。
线性组合在向量空间中有重要的应用，可以通过线性组合来表示向量的线性相关性和线性无关性。
2. 空间向量的线性相关性和线性无关性：当一组向量能够用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性相关的；当一组向量不能用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性无关的。
线性相关性和线性无关性是向量空间中的重要概念。
3. 空间向量的线性空间：线性空间是指满足一定条件的向量集合，具有向量加法、数量乘法、满足线性组合封闭性、交换性、结合律等性质。
空间向量是线性空间的一个典型例子。
四、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：在几何学中，空间向量可以用来描述点、直线、面等几何对象的位置和方向关系，还可以用来解决几何问题，如判定点、线、面的位置关系、计算距离、计算面积等。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
第7章 §7.6 空间向量的概念与运算--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第七章§7.6 空间向量的概念与运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有和 的量相等向量方向且模 的向量相反向量方向且模 的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相或 的向量共面向量平行于的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使.(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在 的有序实数对(x ，y )，使p ＝ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝ ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.a ＝λb 唯一x a ＋y b x a ＋y b ＋z c3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝ .(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉向量表示坐标表示数量积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a |______________夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_______________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝04.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)在空间直角坐标系中，在Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c ).( )(4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( )√×××1.若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是A.{a，a＋b，a－b}B.{b，a＋b，a－b}√C.{c，a＋b，a－b}D.{a＋b，a－b，a＋2b}∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面.∴A，B，D不正确.√由题意，根据向量运算的几何运算法则，3.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝____.∵l1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.10T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一空间向量的线性运算D1的中点，∵P是C∵N是BC的中点，∵M是AA1的中点，教师备选√用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.√√题型二空间向量基本定理及其应用(2)判断点M是否在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.教师备选跟踪训练2 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件√√由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，可得P，A，B，C四点共面，故C正确；若P，A，B，C为空间四点，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.属于∴M，A，B，C四点共面.即点M∈平面ABC.例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：题型三空间向量数量积及其应用则|a|＝|b|＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.教师备选√设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，∵MN为球O的直径，又P在正方体表面上移动，由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.跟踪训练3 如图所示，在四棱柱ABCDAB1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)(2)求证：AC1⊥BD；＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0.(3)求BD1与AC夹角的余弦值.。
空间向量知识点总结图
空间向量知识点总结图一、空间向量的概念1.1 空间向量的定义空间中具有大小和方向的量称为空间向量，通常用有向线段表示。
1.2 空间向量的表示空间向量通常用坐标表示，如果空间中有两点A(X1, Y1, Z1)和B(X2, Y2, Z2)，则向量AB 可以表示为AB = (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1)。
1.3 空间向量的运算空间向量之间可以进行加法和数量乘法运算。
1.3.1 加法两个空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的和为A+B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
1.3.2 数量乘法一个空间向量A(x, y, z)和一个实数k的乘积为kA = (kx, ky, kz)。
二、空间向量的性质2.1 零向量的性质零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和都是它自身。
2.2 相等向量的性质如果两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的对应坐标相等，则它们是相等向量。
2.3 空间向量的线性运算性质空间向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。
2.4 向量共线的性质如果两个非零向量A和B共线，则存在一个非零实数k，使得A = kB。
2.5 向量共面的性质如果三个向量A、B、C共线，则它们共面。
三、空间向量的应用3.1 向量的数量积向量的数量积又称为点积，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和B的模，θ为向量A和B的夹角。
数量积的性质有交换律、分配律和数量积的几何意义。
3.2 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为A × B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别为向量A和B 的模，θ为向量A和B的夹角，n为垂直于A和B的单位向量。
向量积的性质有反交换律、分配律和向量积的几何意义。
3.3 应用举例空间向量在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，如力的合成、面积计算、三维坐标系中的投影等。
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专
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a12＋a1ab221＋＋aa223b2b＋21＋a3bb223＋b23.
题 复 习 数
学
(2)距离公式
新 课
标
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
dAB＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
专题五 立体几何
·( )
版《
走
向
高
考
》
(3)平面的法向量
课
a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
标
a⊥b⇔a·b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
专题五 立体几何
·( )
5．模、夹角和距离公式
版《
走
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
向 高 考
》
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23，
二 轮
二 轮
专
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，
题 复 习
则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.
数 学
如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．
新 课 标
专题五 立体几何
·( )
6．空间角的类型与范围
版《 走
向
高
(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；
考 》 二
轮
专
(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；
向
的线性运算及其表示；掌握空间向量的数量积及坐标表示，
高 考
》
能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
二 轮
专
2．理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语
题 复
习
言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方 数 学
法证明有关线面关系的一些定理；能用向量方法解决线线、
新 课
标
线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何
4．空间向量的坐标运算
版《
·( )
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
走 向 高
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
考 》 二
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
轮 专 题
λa＝(λa1，λa2，λa3)；
复 习
数
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
学 新
课 标
p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa
＋yb.
专题五 立体几何
2．两个向量的数量积
·( )
版《
向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
走 向
高
向量的数量积的性质：
考 》
二
①若e是单位向量，则a·e＝|a|cos〈a，e〉；
轮 专
题
②a⊥b⇔a·b＝0；
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，
走 向
高
存在有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.
考 》
二
轮
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任
专 题
复
一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使 O→P ＝xO→A
习 数
学
＋yO→B＋zO→C.
新 课 标
专题五 立体几何
|a·n| |a||n|.
复 习
数
③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ
|＝
|n·m| |n||m|.
学 新 课
标
专题五 立体几何
·( )
(2)求空间距离：直线到平面的距离，两平行平
版《 走
向
面的距离均可转化为点到平面的距离．
高 考
》
点P到平面α的距离：d＝
|P→M·n| |n|
(其中n为α的法
走 向
高
或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量．
考 》
二
(2)平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
轮 专
题
(3) 共 线 向 量 定 理 ： 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a ， b(b≠0) ，
复ห้องสมุดไป่ตู้习
a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
数 学
新
(4)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量
复 习
数
③|a|2＝a·a＝a2.
学 新
课
标
专题五 立体几何
向量的数量积满足如下运算律：
·( )
版《
①(λa)·b＝λ(a·b)；
走 向
高
②a·b＝b·a(交换律)；
考 》
二
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
轮 专
题
复
习
数 学 新 课 标
专题五 立体几何
3．空间向量基本定理
·( )
版《
题 复 习
数
(3)二面角θ：0≤θ≤π.
学 新
课
标
专题五 立体几何
7．向量法求空间角与距离的方法
版《
·( )
(1)求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平
走 向
面α、β的法向量分别为n，m.
高 考
》
①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝
|a·b| |a||b|.
二 轮 专
题
②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝
二 轮 专 题 复
习
向量，M为α内任一点)．
数 学
新 课 标
·( )
专题五 立体几何
版《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标
专题五 立体几何
·( )
版《
走
向
[例1] (2011·扬州大学附中)在正方体ABCD－
高 考
》
A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A→1D1－A→1A)－A→B；
向
一条棱与底面垂直的多面体或者是有一个面与底面垂直的
高 考
》
多面体，尤其是侧重对含有正方体一角的多面体考查．
二 轮
专
题
复
习
数 学 新 课 标
·( )
专题五 立体几何
版《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标
专题五 立体几何
·( )
1．共线向量与共面向量
版《
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
·( )
专题五 立体几何
版《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标
·( )
专题五 立体几何
版《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标
专题五 立体几何
1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意
·( )
版《
义；掌握空间向量的正交分解及坐标表示；掌握空间向量 走
二 轮 专
题
②(B→C＋B→B1)－D→1C1；③(A→D－A→B)－2D→D1；④(B→1D1＋A→1A)
复 习
数
＋D→D1.其中能够化简为向量B→D1的是( )
学 新
课
A．①②
B．②③
标
C．③④
D．①④
专题五 立体几何
[分析] 根据空间向量的运算法则化简即可判定．
问题中的作用．
·( )
专题五 立体几何
版《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标
·( )
专题五 立体几何
版《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标
专题五 立体几何
·( )
3．在新课标的试题中，为了突出对向量工具作用的考
版《
查，试题所考查的多面体一般都是直棱柱、正棱锥，或有 走