2013高考数学一轮复习试题 9-7 理
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:10.2排列、组合应用题(第1课时)

• 4. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ⑤ _________,叫做从n个不同元素中取 并成一组 出m个元素的一个组合. • 5.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ⑥ ______________,叫做从n个不同元 所有组合的个数 素中取出m个元素的组合数,记作⑦ m Cn ____ . m n n 1 n 2 n m 1 A=⑧ ____________________. n • 6. m n n 1 n 2 n m 1 C =⑨ ____________________. • 7. n m m 1 m 2 2 1
14
题型2
• • • • • • • • •
(2)方程要有实根,需Δ=b2-4ac≥0. 当c=0时,a、b可在1、3、5、7 2 中任取2个,有 A 4 个; 当c≠0时,b只能取5、7. 2 b取5时,a、c只能取1、3,有 A 2 个; b取7时,a、c可取1、3或1、5, 2 有2 A 2 个. 故有实数根的一元二次方程共有 2 2 2 A4 A2 2 A2 18 个.
A5 A4
5 4
6
• 2.若2n个学生排成一排的排法数为x,这 2n个学生排成前后两排,每排各n个学生 的排法数为y,则x、y的关系为( ) C • A. x>y B. x<y • C. x=y D. x=2y • 解:第一种排法数为 ,第二种排法数 2n A2 n 为 n n = 2 n ,从而x=y.
25
• 2.元素相邻用“捆绑法”,即将必须相邻的元 素“捆”在一起当作一个元素进行排列. • 3.元素相离用“插空法”,即把可相邻元素每 两个元素留出一个空位,将不能相邻即相离的 元素插入空位中进行排列. • 4.定序元素用“除法”,即n个元素的全排列 中若有m个元素必须按一定顺序排列,这m个 元素相邻或不相邻都可以,
《新高考》理科数学高考大一轮总复习课件:第9章 第7讲 空间向量的应用(一)——证明平行与垂直

间直角坐标系.设正方体的棱长为 1,
则可得 M(0,1,12),N(21,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).
于是
uuuur MN
=(21,0,21),
uuuur DA1
=(1,0,1),
uuuur DB1
=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z).
34
(2)由 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD,
又 AF⊂平面 PAD,所以 CD⊥AF, 又△PAD 为等腰直角三角形,F 为 PD 中点, 所以 AF⊥PD,所以 AF⊥平面 PCD. 由(1)EG∥AF,所以 EG⊥平面 PCD, 又 EG⊂平面 PEC,所以,平面 PCD⊥平面 PEC.
则 λ 等于( B )
2
9
A.3
B.2
C.-29
D.-32
5
解析:因为 a∥b,所以-13=-λ32=-25125,
解得 λ=92,故选 B.
6
3.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,能使
l∥α 的是( D )
A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
26
【温馨提示】 证明线面平行和垂直问题,可以用几何 法,也可以用空间向量法.用向量法的关键在于构造向量, 再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定 理,对于易建立空间直角坐标系的题,这种方法很方便.
27
【跟踪训练 2】 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4, E,F 分别是 BC,CD 上的点,且 BE=CF=3.
河南省武陟一中高三一轮复习月考检测(三)理科数学试题

2013届高三第一轮复习质量检测标准试卷(三)理科数学注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分;答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
考查范围:导数、平面向量、复数、数列、线性规划、基本不等式{选考:选修4—4、选修4—5}(部分知识交汇考查)难度系数:中等试卷模式:依照2012年新课标高考试卷模式,总分:150分;建议时间:120分钟第I卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+b i,其中虚数有A.30个B.42个C.36个D.35个2.函数y=cos x1-x的导数是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!3.已知S n是非零数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则S2011等于A.1-22010B.22011-1 C.22010-1 D.1-220114.下列结论正确的是A.当x〉0且x≠1时,lg x+1lg x≥2B.当x≥2时,x+错误!的最小值为2C.当x〉0时,错误!+错误!≥2D.当0〈x≤2时,x-错误!无最大值5.已知点M(a,b)在由不等式组错误!确定的平面区域内,则点N(a+b,a-b)所在平面区域的面积是A.1 B.2 C.4 D.86.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且错误!=错误!,则错误!=A.错误!B.错误!C.错误!D.错误! 7.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为A.1 B.错误!C.错误!D.错误! 8.已知两个不共线向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则下列说法不正确...的是A.(a+b)⊥(a-b) B.a与b的夹角等于α-βC.|a+b|+|a-b|〉2 D.a与b在a+b方向上的投影相等9.若x,y满足约束条件错误!目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是A.(-1,2) B.(-4,2) C.(-4,0] D.(-2,4)10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,给出以下结论:①f(x)的解析式为f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];②f(x)的极值点有且仅有一个;③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有A.0个B.1个C.2个D.3个11.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足错误!=α错误!+β错误!,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为A.3x+2y-11=0 B.(x+1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0 D.x+2y-5=012.已知数列{a n}的通项a n=错误!(a,b,c∈(0,+∞)),则a n与a n+1的大小关系是A.a n>a n+1B.a n<a n+1 C.a n=a n+1D.不能确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生依据要求作答。
高考数学一轮复习 第7章 不等式及推理与证明 第2课时 一元二次不等式的解法练习 理-人教版高三全册

第2课时 一元二次不等式的解法1.下列不等式中解集为R 的是( ) A .-x 2+2x +1≥0 B .x 2-25x +5>0 C .x 2+6x +10>0 D .2x 2-3x +4<0答案 C解析 在C 项中,Δ=36-40=-4<0,所以不等式解集为R . 2.函数y =ln (x +1)-x 2-3x +4的定义域为( )A .(-4,-1)B .(-4,1)C .(-1,1)D .(-1,1]答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,-x 2-3x +4>0,解得-1<x<1.3.若0<m <1,则不等式(x -m)(x -1m )<0的解集为( )A .{x|1m <x <m}B .{x|x >1m 或x <m}C .{x|x >m 或x <1m }D .{x|m <x <1m}答案 D解析 当0<m<1时,m<1m.4.关于x 的不等式x 2+px -2<0的解集是(q ,1),则p +q 的值为( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2答案 B解析 依题意得q ,1是方程x 2+px -2=0的两根,q +1=-p ,即p +q =-1,选B. 5.不等式(2x -1)(1-|x|)<0成立的充要条件是( ) A .x>1或x<12B .x>1或-1<x<12C .-1<x<12D .x<-1或x>12答案 B解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0,1-|x|<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x -1<0,1-|x|>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x>12,x>1或x<-1或⎩⎪⎨⎪⎧x<12,-1<x<1.∴x>1或-1<x<12,故选B.6.不等式x 2-x -6x -1>0的解集为( )A.{}x|x<-2或x>3B.{}x|x<-2或1<x<3C.{}x|-2<x<1或x>3D.{}x|-2<x<1或1<x<3答案 C解析 x 2-x -6x -1>0⇒(x -3)(x +2)x -1>0⇒(x +2)·(x-1)(x -3)>0,由数轴标根法,得-2<x<1或x>3.7.已知不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx +a<0的解集为( ) A .{x|-1<x<12}B .{x|x<-1或x>12}C .{x|-2<x<1}D .{x|x<-2或x>1}答案 A解析 由题意知x =-1,x =2是方程ax 2+bx +2=0的根.由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧-1+2=-ba ,(-1)×2=2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1.∴不等式2x 2+bx +a<0,即2x 2+x -1<0.可知x =-1,x =12是对应方程的根,∴选A.8.(2013·某某,理)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-1或x>12},则f(10x)>0的解集为( )A .{x|x<-1或x>lg2}B .{x|-1<x<lg2}C .{x|x>-lg2}D .{x|x<-lg2}答案 D解析 方法一:由题意可知f(x)>0的解集为{x|-1<x<12},故f(10x )>0等价于-1<10x <12.由指数函数的值域为(0,+∞),知一定有10x >-1.而10x <12可化为10x<10lg 12,即10x<10-lg2.由指数函数的单调性可知x<-lg2,故选D.方法二:当x =1时,f(10)<0,排除A ,C 选项.当x =-1时,f(110)>0,排除选项B ,选D.9.(2017·某某模拟)若不等式x 2+ax -2>0在区间[1,5]上有解,则a 的取值X 围是( ) A .(-235,+∞)B .[-235,1]C .(1,+∞)D .(-∞,-235]答案 A解析 由Δ=a 2+8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负, 所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解,只需满足f(5)>0, 即a>-235.10.(2017·某某质检)不等式f(x)=ax 2-x -c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y =f(-x)的图像为( )答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0,-2+1=1a ,-2×1=-ca,解得a =-1,c =-2. 则函数y =f(-x)=-x 2+x +2.11.已知a 1>a 2>a 3>0,则使得(1-a i x)2<1(i =1,2,3)都成立的x 的取值X 围是( ) A .(0,1a 1)B .(0,2a 1)C .(0,1a 3)D .(0,2a 3)答案 B12.(2018·某某一模)在关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a<0的解集中恰有两个整数,则a 的取值X 围是( ) A .(3,4) B .(-2,-1)∪(3,4) C .(3,4] D .[-2,-1)∪(3,4]答案 D解析 由题意得,原不等式化为(x -1)(x -a)<0,当a>1时,解得1<x<a ,此时解集中的整数为2,3,则3<a≤4;当a<1时,解得a<x<1,此时解集中的整数为0,-1,则-2≤a<-1,故a∈[-2,-1)∪(3,4].13.(2018·某某某某质检)已知g(x)是R 上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),且f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤0,g (x ),x>0.若f(2-x 2)<f(x),则实数x 的取值X 围是( ) A .(-1,2) B .(1,2) C .(-2,-1) D .(-2,1)答案 D解析 若x>0,则-x<0,因为g(x)是R 上的奇函数,所以g(x)=-g(-x)=ln(x +1),所以f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤0,ln (1+x ),x>0,则函数f(x)是R 上的增函数,所以当f(2-x 2)>f(x)时,2-x 2>x ,解得-2<x<1,故选D.14.不等式2x 2-3|x|-35>0的解集为________. 答案 {x|x<-5或x>5}解析 2x 2-3|x|-35>0⇔2|x|2-3|x|-35>0⇔(|x|-5)(2|x|+7)>0⇔|x|>5或|x|<-72(舍)⇔x>5或x<-5.15.已知-12<1x <2,则实数x 的取值X 围是________.答案 x<-2或x>12解析 当x>0时,x>12;当x<0时,x<-2.所以x 的取值X 围是x<-2或x>12.16.若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R 恒成立,则实数a 的取值X 围是________. 答案 a>14解析 不等式可变形为a>2x-14x =(12)x -(14)x,令(12)x=t ,则t>0. ∴y =(12)x -(14)x =t -t 2=-(t -12)2+14,因此当t =12时,y 取最大值14,故实数a 的取值X 围是a>14.17.(2017·某某毛坦厂中学月考)已知关于x 的不等式kx 2-2x +6k<0(k≠0). (1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k 的值; (2)若不等式的解集为{x|x∈R ,x ≠1k },求k 的值;(3)若不等式的解集为R ,求k 的取值X 围; (4)若不等式的解集为∅,求k 的取值X 围.答案 (1)k =-25 (2)k =-66 (3)k<-66 (4)k≥66解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}, 所以k<0,且-3与-2是方程kx 2-2x +6k =0的两根, 所以(-3)+(-2)=2k ,解得k =-25.(2)因为不等式的解集为{x|x∈R ,x ≠1k},所以⎩⎪⎨⎪⎧k<0,Δ=4-24k 2=0,解得k =-66. (3)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧k<0,Δ=4-24k 2<0,解得k<-66. (4)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧k>0,Δ=4-24k 2≤0,解得k≥66.18.(2017·某某中学调研卷)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0的解集是不等式2x 2-9x +a <0的解集的子集,某某数a 的取值X 围. 答案 (-∞,9]解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0的解集为(2,3),令g(x)=2x 2-9x +a ,其对称轴为x =94,∴只需g(3)=-9+a≤0,∴a ≤9.1.设一元二次不等式ax 2+bx +1>0的解集为(-1,13),则ab 的值为( )A .-6B .-5C .6D .5答案 C解析 方程ax 2+bx +1=0的两根为-1,13,由根与系数的关系,得⎩⎪⎨⎪⎧-1+13=-b a ,-1×13=1a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =-2.∴ab =6,故选C.2.不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0,对一切x∈R 恒成立,则实数a 的取值X 围是( ) A .(-∞,2] B .(-2,2] C .(-2,2) D .(-∞,2)答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,Δ<0,∴-2<a<2,另a =2时,原式化为-4<0,恒成立,∴-2<a≤2.故选B.3.已知x 1,x 2是二次方程f(x)=0的两个不同实根,x 3,x 4是二次方程g(x)=0的两个不同实根,若g(x 1)g(x 2)<0,则( )A .x 1,x 2介于x 3,x 4之间B .x 3,x 4介于x 1,x 2之间C .x 1,x 2相邻,x 3,x 4相邻D .x 1,x 2与x 3,x 4间隔排列答案 D解析 画图知,选D.4.(2017·某某外国语学校月考)已知函数f(x)=x 2+ax +b(a ,b ∈R )的值域为[0,+∞),若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ,m +6),则实数c 的值为________. 答案 9解析 由值域为[0,+∞),当x 2+ax +b =0时有Δ=a 2-4b =0,即b =a 24,∴f(x)=x 2+ax +b =x 2+ax +a 24=(x +a 2)2,∴f(x)=(x +a 2)2<c 解得-c<x +a 2<c ,-c -a 2<x<c -a 2.∵不等式f(x)<c 的解集为(m ,m +6),∴(c -a 2)-(-c -a2)=2c =6,解得c =9.5.已知(ax -1)(x -1)≥0的解集为R ,则实数a 的值为________. 答案 1解析 原不等式为ax 2-(a +1)x +1≥0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0,Δ=(a +1)2-4a≤0⇒a =1. 6.不等式log 2(x +1x +6)≤3的解集为________.答案 (-3-22,-3+22)∪{1}解析 原不等式⇔0<x +1x+6≤8⇔①⎩⎪⎨⎪⎧x>0,x 2+6x +1>0,x 2-2x +1≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧x<0,x 2+6x +1<0,x 2-2x +1≥0.解①得x =1,解②得-3-22<x<-3+2 2. ∴原不等式的解集为(-3-22,-3+22)∪{1}.7.若不等式x 2+ax +1≥0对x∈(0,12]恒成立,求a 的最小值.答案 -52解析 方法一:(1)Δ=a 2-4≤0,即-2≤a≤2成立. (2)a<-2时,-a2>1,只需(12)2+a·12+1≥0,即a≥-52,此时-52≤a<-2.(3)a>2时,-a2<-1恒成立.综上所述,a ≥-52.∴a 的最小值为-52.方法二:由x 2+ax +1≥0,得a≥-x -1x ,x ∈(0,12].令f(x)=-x -1x (x∈(0,12])=-(x +1x ),是增函数.当x =12时,f(12)=-52,∴f(x)max =-52.要使原命题成立,则a≥-52.∴a 的最小值为-52.。
【名师导学】高考数学第一轮总复习 同步测试卷2函数的概念与性质课件 理

(函数的概念与性质) 时间:60分钟 总分:100分
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分. 每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.) 1.集合A={0,1,2,3,4},B={x|0≤x≤2},给出集合 A到集合B的下列对应,其中是A到B上的函数的是 (C )
(2)f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立
⇔-x3+ax<-x3+4x2+1在(0,1]上恒成立,
即a<4x+
1 x
在(0,1]上恒成立.令φ(x)=4x+
1 x
≥2 4=4,当且仅当4x=1x⇔x=12时取等号.
∴x=12时,φ(x)min=4.故a<4.
13.(18分)已知函数h(x)=x(1+x)2. (1)求h(x)的单调区间; (2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)在区间[a,0] 上的值域为[ka,0]?若存在,求出最小的k值及相应的 区间[a,0];若不存在,说明理由.
(2)由(1)可作出h(x)的草图.
1°.当-31≤a<0时, h(x)min=h(a)=ka, ∴k=(1+a)2≥49. 2°.当-34≤a≤-13时, h(x)min=h(-13)=-247=ka, k=-247a,19≤k≤49.
3°.当a≤-43时,h(x)min=h(a)=a(1+a)2=ka, ∴k=(1+a)2≥19,a=-43时取等号. 综上所述:kmin=19,此时[a,0]=[-43,0].
结出下列函数:
①f(x)=0;
②f(x)=x2;
③f(x)=sinx+x cosx; ④f(x)= x 2 x 1 ;
⑤f(x)是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数x1, x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|. 其中是F函数的序号为 ①④⑤ .
2013年高考数学理科一轮复习经典例题——直线与平面的垂直判定和性质

典型例题一例1下列图形中,满足唯一性的是( ).A .过直线外一点作与该直线垂直的直线B .过直线外一点与该直线平行的平面C .过平面外一点与平面平行的直线D .过一点作已知平面的垂线分析:本题考查的是空间线线关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关.解:A .过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面.B .过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平行.C .过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条.D .过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点A 、平面α,过点A 有两条直线AB 、AC 都垂直于α,由于AB 、AC 为相交直线,不妨设AB 、AC 所确定的平面为β,α与β的交线为l ,则必有l AB ⊥,l AC ⊥,又由于AB 、AC 、l 都在平面β内,这样在β内经过A 点就有两条直线和直线l 垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故选D .说明:有关“唯一性”结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明.在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到.典型例题二例2 已知下列命题:(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;(3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直;(4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是( ).A .(1)、(2)B .(2)、(3)C .(3)、(4)D .(2)、(4)分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也平行;(3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性. 故选D .说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直.如在正方体1111D C B A ABCD -中,F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点,G 为棱BC 上的点,且1BB EF ⊥,EG FC ⊥1,求FG D 1∠.典型例题三例3 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 是1BB 的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,求证:⊥OE 平面1ACD .分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明⊥OE 平面1ACD ,只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直.证明:连结D B 1、D A 1、BD ,在△BD B 1中,∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点,∴D B EO 1//.∵⊥11A B 面D D AA 11,∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影.又∵D A AD 11⊥,∴11DB AD ⊥.同理可证,C D D B 11⊥.又∵111D CD AD = ,1AD 、⊂C D 1面1ACD ,∴⊥D B 1平面1ACD .∵EO D B //1,∴⊥EO 平面1ACD .另证:连结CE AE 、,O D 1,设正方体1DB 的棱长为a ,易证CE AE =.又∵OC AO =,∴AC OE ⊥.在正方体1DB 中易求出:a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=,a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=, ()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=. ∵21221E D OE O D =+, ∴OE O D ⊥1.∵O AC O D = 1,O D 1、⊂AC 平面1ACD ,∴⊥OE 平面1ACD .说明:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应用.典型例题四例4 如图,在△ABC 中,90=∠B ,⊥SA 平面ABC ,点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、,求证:SC MN ⊥.分析:本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化思想.欲证MN SC ⊥,可证⊥SC 面AMN ,为此须证AN SC ⊥,进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ,而已知SB AN ⊥,所以只要证BC AN ⊥即可.由于图中线线垂直、线面垂直关系较多,所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直.证明:∵⊥SA 面ABC ,⊂BC 平面ABC ,∴BC SA ⊥.∵ 90=∠B ,即BC AB ⊥,A SA BA = ,∴⊥BC 平面SAB .∵⊂AN 平面SAB .∴AN BC ⊥.又∵SB AN ⊥,B BC SB = ,∴⊥AN 平面SBC .∵⊂SC 平面SBC ,∴SC AN ⊥,又∵SC AM ⊥,A AN AM = ,∴⊥SC 平面AMN .∵⊂MN 平面AMN .∴MN SC ⊥.另证:由上面可证⊥AN 平面SBC .∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影.∵SC AM ⊥,∴SC MN ⊥.说明:在上面的证题过程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明线面垂直,而证明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的.本题若改为下题,想想如何证:已知⊥SA ⊙O 所在平面,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上任意一点(C 与B A 、不重合).过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、,求证:SC AN ⊥.典型例题五例5 如图,AB 为平面α的斜线,B 为斜足,AH 垂直平面α于H 点,BC 为平面α内的直线,θ=∠ABH ,α=∠HBC ,β=∠ABC ,求证:θαβcos cos cos ⋅=.分析:本题考查的是线面角的定义和计算.要证明三个角余弦值之间关系,可考虑构造直角三角形,在直角三角形中求出三个角的余弦值,再代入验证证明,其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理.证明:过H 点作HD 垂直BC 于D 点,连AD .∵α⊥AH ,∴AD 在平面α内射影为HD .∵HD BC ⊥,α⊂BC ,∴AD BC ⊥.在Rt △ABH 中有:BA BH =θcos ①在Rt △BHD 中有:BH BD=αcos ②在Rt △ABD 中有:BA BD=βcos ③ 由①、②、③可得:αθβcos cos cos ⋅=.说明:由此题结论易知:斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.若平面的斜线与平面所成角为θ,则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ,.典型例题六例 6 如图,已知正方形ABCD 边长为4,⊥CG 平面ABCD ,2=CG ,F E 、分别是AD AB 、中点,求点B 到平面GEF 的距离.分析:此题是1991年高考题,考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力.本题是求平面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离.为此要寻找过点B 与平面GEF平行的直线,因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等.证明:连结AC BD 、,EF 和BD 分别交AC 于O H 、,连GH ,作GH OK ⊥于K .∵ABCD 为正方形,F E 、分别为AD AB 、的中点,∴BD EF //,H 为AO 中点.∵EF BD //,⊄BD 平面GFE ,∴//BD 平面GFE .∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离.∵AC BD ⊥,∴AC EF ⊥.∵⊥GC 面ABCD ,∴EF GC ⊥.∵C AC GC = ,∴⊥EF 平面GCH .∵⊂OK 平面GCH ,∴OK EF ⊥.又∵GH OK ⊥,H EF GH = ,∴⊥OK 平面GEF .即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离.∵正方形边长为4,2=CG , ∴24=AC ,2=HO ,23=HC .在Rt △HCG 中,2222=+=CG HC HG .在Rt △GCH 中,11112=⋅=HG GC HO OK .说明:求点到平面的距离常用三种方法:一是直接法.由该点向平面引垂线,直接计算垂线段的长.用此法的关键在于准确找到垂足位置.如本题可用下列证法:延长CB 交FE 的延长线于M ,连结GM ,作ME BP ⊥于P ,作CG BN //交MG 于N ,连结PN ,再作PN BH ⊥于H ,可得⊥BH 平面GFE ,BH 长即为B 点到平面EFG 的距离.二是转移法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离,可逆用体积公式.典型例题七例7 如图所示,直角ABC ∆所在平面外一点S ,且SC SB SA ==.(1)求证:点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ;(2)若直角边BC BA =,求证:BD ⊥面SAC .分析:由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直,从而得到线面垂直.证明:(1)在等腰SAC ∆中,D 为AC 中点,∴AC SD ⊥.取AB 中点E ,连DE 、SE .∵BC ED //,AB BC ⊥,∴AB DE ⊥.又AB SE ⊥,∴AB ⊥面SED ,∴SD AB ⊥.∴SD ⊥面ABC (AB 、AC 是面ABC 内两相交直线).(2)∵BC BA =,∴AC BD ⊥.又∵SD ⊥面ABC ,∴BD SD ⊥.∵D AC SD = ,∴BD ⊥面SAC .说明:证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直.寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直,可由勾股定理进行计算,可由线面垂直得线线垂直等. 典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 已知:b a //,α⊥a .求证:α⊥b .分析:由线面垂直的判定定理知,只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可.证明:如图所示,在平面α内作两条相交直线m 、n .∵α⊥a ,∴m a ⊥,n a ⊥.又∵a b //,从而有m b ⊥,n b ⊥.由作图知m 、n 为α内两条相交直线.∴α⊥b .说明:本题的结论可以作为判定线面垂直的依据,即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时,可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直.典型例题九例9 如图所示,已知平面α 平面β=EF ,A 为α、β外一点,α⊥AB 于B ,β⊥AC 于C ,α⊥CD 于D .证明:EF BD ⊥.分析:先证A 、B 、C 、D 四点共面,再证明EF ⊥平面ABCD ,从而得到EF BD ⊥. 证明:∵α⊥AB ,α⊥CD ,∴CD AB //.∴A 、B 、C 、D 四点共面.∵α⊥AB ,β⊥AC ,EF =βα ,∴EF AB ⊥,EF AC ⊥.又A AC AB = ,∴EF ⊥平面ABCD .∴BD EF ⊥.说明:与线面平行和线线平行交替使用一样,线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论.即要证线面垂直,先找线线垂直;要证线线垂直,先找线面垂直.本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要,仅由EF ⊥平面ABC ,就断定BD EF ⊥,则证明是无效的. 典型例题十例10 平面α内有一半圆,直径AB ,过A 作SA ⊥平面α,在半圆上任取一点M ,连SM 、SB ,且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影.(1)求证:SB NH ⊥;(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?分析:注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断.(1)证明:连AM 、BM .如上图所示,∵AB 为已知圆的直径,∴BM AM ⊥.∵SA ⊥平面α,α⊂BM ,∴MB SA ⊥.∵A SA AM = ,∴BM ⊥平面SAM .∵AN ⊂平面SAM ,∴AN BM ⊥.∵SM AN ⊥于N ,M SM BM = ,∴AN ⊥平面SMB .∵SB AH ⊥于H ,且NH 是AH 在平面SMB 的射影,∴SB NH ⊥.解(2):由(1)知,SA ⊥平面AMB ,BM ⊥平面SAM ,AN ⊥平面SMB .∵AH SB ⊥且HN SB ⊥,∴SB ⊥平面ANH ,∴图中共有4个线面垂直关系.(3)∵SA ⊥平面AMB ,∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形.∵BM ⊥平面SAM ,∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形.∵AN ⊥平面SMB ,∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形.∵SB ⊥平面ANH ,∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形.综上,图中共有11个直角三角形.(4)由SA ⊥平面AMB 知,AM SA ⊥,AB SA ⊥,BM SA ⊥.由BM ⊥平面SAM 知,AM BM ⊥,SM BM ⊥,AN BM ⊥.由AN ⊥平面SMB 知,SM AN ⊥,SB AN ⊥,NH AN ⊥.由SB ⊥平面ANH 知,AH SB ⊥,HN SB ⊥.综上,图中共有11对互相垂直的直线.说明:为了保证(2)(3)(4)答案不出错,首先应找准(2)的答案,由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”,当“线⊥面内线”且相交时,可得到直角三角形;当“线⊥面内线”且不相交时,可得到异面且垂直的一对直线.典型例题十一例11 如图所示,︒=∠90BAC .在平面α内,PA 是α的斜线,︒=∠=∠60PAC PAB .求PA 与平面α所成的角.分析:求PA 与平面α所成角,关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置.由PAC PAB ∠=∠,可考虑通过构造直角三角形,通过全等三角形来确定AO 位置,构造直角三角形则需用三垂线定理.解:如图所示,过P 作α⊥PO 于O .连结AO ,则AO 为AP 在面α上的射影,PAO ∠为PA 与平面α所成的角.作AC OM ⊥,由三重线定理可得AC PM ⊥.作AB ON ⊥,同理可得AB PN ⊥.由PAC PAB ∠=∠,︒=∠=∠90PNA PMA ,PA PA =,可得PMA ∆≌PNA ∆,∴PN PM =.∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影,∴ON OM =.所以点O 在BAC ∠的平分线上.设a PA =,又︒=∠60PAM ,∴a AM 21=,︒=∠45OAM , ∴a AM AO 222==.在POA ∆中,22cos ==∠PA AO PAO , ∴︒=∠45PAO ,即PA 与α所成角为︒45.说明:(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后,可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角,此时︒==∠60θPAC ,α=∠PAO ,︒==∠45βCAO .(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论:四面体ABC P -中,若PAC PAB ∠=∠,PBC PBA ∠=∠,则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心. 典型例题十二例12 如图所示,在平面β内有ABC ∆,在平面β外有点S ,斜线AC SA ⊥,BC SB ⊥,且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等,设点S 与平面β的距离为cm 4,BC AC ⊥,且cm AB 6=.求点S 与直线AB 的距离.分析:由点S 向平面β引垂线,考查垂足D 的位置,连DB 、DA ,推得AC DA ⊥,BC DB ⊥,又︒=∠90ACB ,故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点.解:作SD ⊥平面β,垂足为D ,连DA 、DB .∵AC SA ⊥,BC DB ⊥,∴由三垂线定理的逆定理,有:AC DA ⊥,BC DB ⊥,又BC AC ⊥,∴ACBD 为矩形.又∵SB SA =,∴DB DA =,∴ACBD 为正方形,∴AB 、CD 互相垂直平分.设O 为AB 、CD 的交点,连结SO ,根据三垂线定理,有AB SO ⊥,则SO 为S 到AB 的距离.在SOD Rt ∆中,cm SD 4=,cm AB DO 321==,∴cm SO 5=. 因此,点S 到AB 的距离为cm 5.说明:由本例可得到点到直线距离的作法:(1)若点、直线在确定平面内,可直接由点向直线引垂线,这点和垂足的距离即为所求.(2)若点在直线所在平面外,可由三垂线定理确定:由这点向平面引垂线得垂足,由垂足引直线的垂线得斜足,则这点与斜足的距离为点到直线的距离.(3)处理距离问题的基本步骤是:作、证、算,即作出符合要求的辅助线,然后证明所作距离符合定义,再通过解直角三角形进行计算.典型例题十三例13 如图,ABCD 是正方形,SA 垂直于平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ,求证:SB AE ⊥,SD AG ⊥.分析:本题考查线面垂直的判定与性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想.由于图形的对称性,所以两个结论只需证一个即可.欲证SB AE ⊥,可证⊥AE 平面SBC ,为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥,进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG . 证明:∵SA ⊥平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,∴BC SA ⊥.又∵ABCD 为正方形,∴AB BC ⊥.∴⊥BC 平面ASB .∵⊂AE 平面ASB ,∴AE BC ⊥.又∵⊥SC 平面AEFG ,∴AE SC ⊥.∴⊥AE 平面SBC .又∵⊂SB 平面SBC ,∴SB AE ⊥,同理可证SD AG ⊥.说明:(1)证明线线垂直,常用的方法有:同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理,三垂线定理与它的逆定理,以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直.(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系,充分体现了数学化思想的优越性. 典型例题十四例14 如图,求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.已知:BAC ∠在平面α内,点α∉P ,AB PE ⊥,AC PF ⊥,α⊥PO ,垂足分别是E 、F 、O ,PF PE =.求证:CAO BAO ∠=∠.证明:∵α⊥PO ,∴OE 为PE 在α内的射影.∵PE AB ⊥,α平面⊂AB ,∴OE AB ⊥.同理可证:OF AC ⊥.又∵α⊥PO ,PF PE =,OF OE =,∴CAO BAO ∠=∠.说明:本题是一个较为典型的题目,与此题类似的有下面命题:从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角两边的夹角相等,则斜射线在平面内的射影,是这个角的平分线所在的直线.由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题:已知︒=∠90ACB ,S 为平面ACB 外一点,︒=∠=∠60SCB SCA ,求SC 与平面ACB 所成角.典型例题十五例15 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号.(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行.( )(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.( )(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.( )(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内.( )(5)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.( ) 解:(1)直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面,因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.①若为平行,则该命题应打“×”号;若为相交,则该命题应打“√”,正是因为这两种情况可能同时具备,因此,不说明面内无这数条线的位置关系,则该命题应打“×”号.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则该直线必垂直于三角形的第三边,∴该命题应打“√”.(4)前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点A 垂直于直线a 的平面惟一,因此,过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内,∴该命题应打“√”号.(5)三条共点直线两两垂直,设为a ,b ,c 且a ,b ,c 共点于O ,∵b a ⊥,c a ⊥,0=c b ,且b ,c 确定一平面,设为α,则α⊥a ,同理可知b 垂直于由a ,c 确定的平面,c 垂直于由了确定的平面,∴该命题应打“√”号.说明:本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题.解答此类问题必须作到:概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用.典型例题十六例16 如图,已知空间四边形ABCD 的边AC BC =,BD AD =,引CD BE ⊥,E 为垂足,作BE AH ⊥于H ,求证:BCD AH 平面⊥.分析:若证BCD AH 平面⊥,只须利用直线和平面垂直的判定定理,证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可.证明:取AB 中点F ,连CF 、DF ,∵BC AC =,∴AB CF ⊥.又∵BD AD =,∴AB DF ⊥,∴CDF AB 平面⊥,又CDF CD 平面⊂,∴AB CD ⊥又BE CD ⊥,∴ABE CD 平面⊥,AH CD ⊥,又BE AH ⊥,∴BCD AH 平面⊥.典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ,那么α//a .已知:直线α⊄a ,b a 直线⊥,α⊥b .求证:α//a .分析:若证线面平行,只须设法在平面α内找到一条直线'a ,使得'//a a ,由线面平行判定定理得证.证明:(1)如图,若a 与b 相交,则由a 、b 确定平面β,设'a =αβ .αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵. (2)如图,若a 与b 不相交,则在a 上任取一点A ,过A 作b b //',a 、'b 确定平面β,设'a =αβ .αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵.典型例题十八例18 如图,已知在ABC ∆中,︒=∠60BAC ,线段ABC AD 平面⊥,DBC AH 平面⊥,H 为垂足.求证:H 不可能是DBC ∆的垂心.分析:根据本题所证结论,可采用反证法予以证明.证明:如图所示,假设H 是DBC ∆的垂心,则DC BH ⊥.∵DBC AH 平面⊥,∴AH DC ⊥,∴ABH DC 平面⊥,∴DC AB ⊥.又∵ABC DA 平面⊥,∴DA AB ⊥,∴DAC AB 平面⊥,∴AC AB ⊥,这与已知︒=∠60BAC 矛盾,∴假设不成立,故H 不可能是DBC ∆的垂心.说明:本题只要满足︒≠∠90BAC ,此题的结论总成立.不妨给予证明.典型例题十九例19 在空间,下列哪些命题是正确的( ).①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A .仅②不正确B .仅①、④正确C .仅①正确D .四个命题都正确分析:①该命题就是平行公理,即课本中的公理4,因此该命题是正确的;②如图,直线a ⊥平面α,α⊂b ,α⊂c ,且A c b = ,则b a ⊥,c a ⊥,即平面α内两条直交直线b ,c 都垂直于同一条直线a ,但b ,c 的位置关系并不是平行.另外,b ,c 的位置关系也可以是异面,如果把直线b 平移到平面α外,此时与a 的位置关系仍是垂直,但此时,b ,c 的位置关系是异面.③如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,易知ABCD B A 平面//11,ABCD D A 平面//11,但11111A D A B A = ,因此该命题是错误的.④该命题是线面垂直的性质定理,因此是正确的.综上可知①、④正确.∴应选B .典型例题二十例20 设a ,b 为异面直线,AB 为它们的公垂线(1)若a ,b 都平行于平面α,则α⊥AB ;(2)若a ,b 分别垂直于平面α、β,且c =βα ,则c AB //.分析:依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ;证明线与线的平行,由于此时垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //.图1 图2 证明:(1)如图1,在α内任取一点P ,设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a , 设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b ∵α//a ,α//b ,∴'//a a ,'//b b又∵a AB ⊥,b AB ⊥,∴'a AB ⊥,'b AB ⊥,∴.(2)如图2,过B 作α⊥'BB ,则a BB //',则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥,∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面. ∵β⊥b ,∴c b ⊥,α⊥'BB ,∴c BB ⊥'. ∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面. 故AB c //.说明:由第(2)问的证明可以看出:利用线面垂直的性质证明线与线的平行,其关键是构造出平面,使所证线皆与该平面垂直.如题中,通过作出辅助线'BB ,构造出平面,即由相交直线b 与'BB 确定的平面.然后借助于题目中的其他垂直关系证得. 典型例题二十一例21 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线,求证:1//BD EF .分析:证明1//BD EF ,构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键.由于EF 是AC 和D A 1的公垂线,这一条件对构造线面垂直十分有用.证明:连结11C A ,由于11//C A AC ,AC EF ⊥,∴11C A EF ⊥.又D A EF 1⊥,1111A C A D A = ,∴D C A EF 11平面⊥. ①∵11111D C B A BB 平面⊥,111111D C B A C A 平面⊂,∴111.∵四边形1111D C B A 为正方形,∴1111D B C A ⊥,1111B BB D B = ,∴D D BB C A 1111平面⊥,而D D BB BD 111平面⊂,∴111BD C A ⊥.同理11BD DC ⊥,1111C C A DC = ,∴D C A BD 111平面⊥. ②由①、②可知:1//BD EF .典型例题二十二例22 如图,已知P 为ABC ∆外一点,PA 、PB 、PC 两两垂直,a PC PB PA ===,求P 点到平面ABC 的距离.分析:欲求点到平面的距离,可先过点作平面的垂线,进一步求出垂线段的长.解:过P 作ABC PO 平面⊥于O 点,连AO 、BO 、CO ,∴AO PO ⊥,BO PO ⊥,CO PO ⊥∵a PC PB PA ===,∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆,∴OC OB OA ==,∴O 为ABC ∆的外心.∵PA 、PB 、PC 两两垂直, ∴a CA BC AB 2===,ABC ∆为正三角形,∴a AB AO 3633==,∴a AO PA PO 3322=-=.因此点P 到平面ABC 的距离a 33.说明:(1)求点到平面距离的基本程序是:首先找到或作出要求的距离;然后使所求距离在某一个三角形中;最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识.(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容,高考命题中出现较多,应充分注意,除了上面提到方法之外,还有其他一些方法,比如以后学习的等积法,希望同学们在学习过程不断总结.典型例题二十三例23 如图,已知在长方体1111D C B A ABCD -中,棱51=AA ,12=AB ,求直线11C B 和平面11BCD A 的距离.分析:求线面距离,其基本方法是在线上选一点,作出点面距,距离然后根据求点面距的有关方法求解.解:如图,∵BC C B //11,且1111BCD A C B 平面⊄,11BCD A BC 平面⊂,∴1111//BCD A C B 平面.从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求.过点1B 作B A E B 11⊥于E ,∵11ABB A BC 平面⊥,且B B AA E B 111平面⊂,∴E B BC 1⊥.又B B A BC =1 ,∴111BCD A E B 平面⊥.即线段E B 1的长即为所求,在B B A Rt 11∆中,13601251252211111=+⨯=⋅=B A BB B A E B ,∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为1360.说明:本题考查长方体的性质,线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想,解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离,进而转化为点线距离,再通过解三角形求解,这种转化的思想非常重要,数学解题的过程就是将复杂转化为简单,将未知转化为已知,从而求解.典型例题二十四例24 AD 、BC 分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为︒30,cm AD 8=,BC AB ⊥,BC DC ⊥.求线段BC 的长.分析:首先依据题意,画出图形,利用平移,将异面直线AD 、BC 所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内,应用平面几何有关知识计算出BC 之长.解:如图,在平面α内,过A 作BC AE //,过C 作AB CE //,两线交于E .∵BC AE //,∴DAE ∠就是AD 、BC 所成的角,︒=∠30DAE .∵BC AB ⊥,∴四边形ABCE 是矩形.连DE ,∵CD BC ⊥,CE BC ⊥,且C CE CD = ,∴CDE BC 平面⊥.∵BC AE //,∴CDE AE 平面⊥.∵CDE DE 平面⊂,∴DE AE ⊥.在AED Rt ∆中,得34=AE ,∴)(34cm AE BC ==.说明:解决空间问题,常常将空间关系转化一个或几个平面上来,只有将空间问题归化到平面上来,才能应用平面几何知识解题,而平移变换是转化的重要手段.。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第七章 第七节 立体几何中的向量方法 理

第七章 第七节 立体几何中的向量方法一、选择题1.若平面α,β的法向量分别为a =(-1,2,4),b =(x ,-1,-2),并且α⊥β,则x 的值为( )A .10B .-10 C.12D .-12解析:∵α⊥β,∴a ²b =0 ∴x =-10. 答案:B2.已知AB =(1,5,-2), BC =(3,1,z ),若 AB ⊥ BC , BP=(x -1,y ,-3),且BP ⊥平面ABC ,则实数x ,y ,z 分别为 ( )A.337,-157,4 B.407,-157,4 C.407,-2,4D .4,407,-15解析: AB ⊥ BC ⇒ AB² BC =3+5-2z =0,∴z =4.又BP ⊥平面ABC ,∴BP ²AB=x -1+5y +6=0,①BP ²BC=3x -3+y -3z =0,②由①②得x =407,y =-157.答案:B3.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为A 1C 1的中点,则异面直线CE 与BD 所成的角为 ( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:以D 点为原点,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则相关点的坐标为C (0,1,0),E (12,12,1),B (1,1,0),D (0,0,0),∴ CE =(12,-12,1), BD =(-1,-1,0).∴ CE ² BD =-12+12+0=0.∴ CE ⊥ BD,即CE ⊥BD .答案:D4.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =2a3,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( )A .相交B .平行C .垂直D .不能确定解析:分别以C 1B 1,C 1D 1,C 1C 所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系.∵A 1M =AN =23a , ∴M (a ,23a ,a 3),N (23a ,23a ,a ).∴ MN =(-a 3,0,23a ).又C 1(0,0,0),D 1(0,a,0),∴ 11C D=(0,a,0).∴ MN ² 11C D =0,∴MN⊥ 11C D .∵ 11C D是平面BB 1C 1C 的法向量,且MN ⊄平面BB 1C 1C , ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案:B5.如图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是( )A .45°B .60°C .90°D .120°解析:以B 点为坐标原点,以BC 、BA 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设AB =BC =AA 1=2,则B (0,0,0),C 1(2,0,2),E (0,1,0),F (0,0,1),∴ EF =(0,-1,1),1BC=(2,0,2)∴cos 〈 EF , 1BC 〉= EF ²1BC| EF||1BC |=22²8=12.∴EF 与BC 1所成角为60°. 答案:B6.如图,平面ABCD ⊥平面ABEF ,四边形ABCD 是正方形,四边形ABEF 是矩形,且AF =12AD =a ,G 是EF 的中点,则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A.66B.33C.63D.23解析:如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (0,2a,0),C (0,2a,2a ),G (a ,a,0),F (a,0,0), AG =(a ,a,0), AC=(0,2a,2a ),BG =(a ,-a,0),BC=(0,0,2a ),设平面AGC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,1),由⎩⎨⎧BG²n 1=0 BG²n 1=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ax 1+ay 1=02ay 1+2a =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1=1y 1=-1⇒n 1=(1,-1,1).sin θ=| BG²n 1|| BG ||n 1|=2a 2a ³3=63.答案:C 二、填空题7.已知 AB=(2,2,1), AC =(4,5,3),则平面ABC 的单位法向量是________.解析:设平面ABC 的法向量n =(x ,y,1),则n ⊥ AB且n ⊥ AC ,即n ² AB=0,且n ²AC =0.即⎩⎪⎨⎪⎧2x +2y +1=0,4x +5y +3=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =-1,∴n =(12,-1,1),单位法向量为±n |n |=±(13,-23,23). 答案:(13,-23,23)或(-13,23,-23)8.在如右图所示的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,E 是C 1D 1的中点,正方体的棱长为2,则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为________.解析:分别以DA ,DC ,DD 1为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则C (0,2,0),E (0,1,2),A (2,0,0),AC =(-2,2,0),DE=(0,1,2), ∴cos 〈 AC , DE 〉=1010.答案:10109.正四棱锥S -ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱SD 的中点,且SO =OD ,则直线BC 与平面PAC 所成的角是________.解析:如图,以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .设OD =SO =OA =OB =OC =a ,则A (a,0,0),B (0,a,0),C (-a,0,0),P (0,-a 2,a2),则 CA =(2a,0,0) AP =(-a ,-a 2,a2), CB =(a ,a,0),设平面PAC 的法向量为n ,可求得n =(0,1,1),则cos 〈 CB ,n 〉= CB²n | CB |²|n |=a 2a 2²2=12,∴〈 CB,n 〉=60°.∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°-60°=30°.答案:30° 三、解答题10.如图,在△ABC 中,∠ABC =60°,∠BAC =90°,AD 是BC 上的高,沿AD 把△ABD 折起,使∠BDC =90°.(1)证明:平面ADB ⊥平面BDC ;(2)设E 为BC 的中点,求 AE 与 DB夹角的余弦值.解:(1)证明:∵折起前AD 是BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD ⊥DC ,AD ⊥DB . 又DB ∩DC =D , ∴AD ⊥平面BDC . ∵AD ⊂平面ABD , ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由∠BDC =90°及(1)知DA ,DB ,DC 两两垂直,不妨设|DB |=1,以D 为坐标原点,以 DB , DC , DA所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得D (0,0,0),B (1,0,0),C (0,3,0),A (0,0,3),E (12,32,0),∴ AE =(12,32,-3), DB =(1,0,0),∴ AE 与 DB夹角的余弦值为cos 〈AE ,DB 〉=AE ²DB| AE|²| DB |=12224³1=2222. 11.(2012²温州模拟)已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,∠DAB =90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA =AD =DC =12,AB =1,M 是PB 的中点.(1)证明:平面PAD ⊥平面PCD ; (2)求AC 与PB 所成的角;(3)求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的余弦值.解:以A 为坐标原点,AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A (0,0,0),B (0,2,0),C (1,1,0),D (1,0,0),P (0,0,1),M (0,1,12).(1)证明:因 AP =(0,0,1), DC =(0,1,0),故 AP² DC =0,所以AP ⊥DC .由题设知AD ⊥DC ,且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥平面PAD . 又DC 在平面PCD 上,故面PAD ⊥面PCD .(2)因 AC =(1,1,0), PB=(0,2,-1),故| AC |=2,| PB |=5, AC ² PB=2,所以cos< AC , PB >=AC ² PB| AC |²| PB |=105.(3)在MC 上取一点N (x ,y ,z ),则存在λ∈R ,使 NC =λ MC, NC =(1-x,1-y ,-z ), MC =(1,0,-12),∴x =1-λ,y =1,z =12λ.要使AN ⊥MC ,只需 AN ² MC =0即x -12z =0,解得λ=45.可知当λ=45时,N 点坐标为(15,1,25),能使 AN² MC =0.此时,AN =(15,1,25), BN =(15,-1,25),有 BN² MC =0由 AN ² MC =0, BN² MC =0得AN ⊥MC ,BN ⊥MC .所以∠ANB 为所求二面角的平面角.∵| AN |=305,| BN |=305, AN ² BN =-45.∴cos 〈AN , BN 〉=AN ² BN | AN |²| BN |=-23.∴平面AMC 与平面BMC 所成角的余弦值为-23.12.(2011²福建高考)如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 中,AB⊥AD ,AB +AD =4,CD =2,∠CDA =45°.(1)求证:平面PAB ⊥平面PAD ; (2)设AB =AP .(ⅰ)若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°,求线段AB 的长;(ⅱ)在线段AD 上是否存在一个点G ,使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等?说明理由.解:(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥AB .又AB ⊥AD ,PA ∩AD =A , 所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A -xyz (如图).在平面ABCD 内,作CE ∥AB 交AD 于点E , 则CE ⊥AD .在Rt△CDE 中,DE =CD ²cos 45°=1,CE =CD ²sin 45°=1.设AB =AP =t ,则B (t,0,0),P (0,0,t ). 由AB +AD =4得AD =4-t ,所以E (0,3-t,0),C (1,3-t,0),D (0,4-t,0),CD =(-1,1,0), PD=(0,4-t ,-t ).(ⅰ)设平面PCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由n ⊥ CD ,n ⊥ PD ,得⎩⎪⎨⎪⎧-x +y =0,4-t y -tz =0.取x =t ,得平面PCD 的一个法向量n =(t ,t,4-t ).又 PB=(t,0,-t ),故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得cos 60°=|n ² PB|n |²| PB ||, 即|2t 2-4t |t 2+t 2+4-t 2²2t 2=12, 解得t =45或t =4(舍去,因为AD =4-t >0),所以AB =45.(ⅱ)假设在线段AD 上存在一个点G ,使得点G 到P ,B ,C ,D的距离都相等,设G (0,m,0)(其中0≤m ≤4-t ),则 GC=(1,3-t -m,0), GD=(0,4-t -m,0), GP=(0,-m ,t ).由| GC |=| GD |得12+(3-t -m )2=(4-t -m )2, 即t =3-m ;(1)由| GD |=| GP |得(4-t -m )2=m 2+t 2.(2)由(1)、(2)消去t ,化简得m 2-3m +4=0.(3)由于方程(3)没有实数根,所以在线段AD 上不存在一个点G ,使得点G 到点P 、C 、D 的距离都相等.从而,在线段AD 上不存在一个点G ,使得点G 到点P 、B 、C 、D 的距离都相等。
2013届高考理科数学第一轮复习测试题03

A级基础达标演练(时间:40分钟满分:60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2012·宝鸡联考)为了了解所加工一批零件的长度,抽测了其中200个零件的长度,在这个问题中,200个零件的长度是().A.总体B.个体是每一个零件C.总体的一个样本D.样本容量解析200个零件的长度是总体的一个样本.答案 C2.用随机数表法从100名学生(其中男生25人)中抽取20人进行评教,某男学生被抽到的概率是().A.1100 B.125 C.15 D.14解析从容量N=100的总体中抽取一个容量为n=20的样本,每个个体被抽到的概率都是nN=1 5.答案 C3.(2012·濮阳调研)甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生.为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为90的样本,应该在这三校分别抽取的学生人数是().A.30,30,30 B.30,45,15C.20,30,10 D.30,50,10解析抽取比例是903 600+5 400+1 800=1120,故三校分别抽取的学生人数为 3600×1120=30,5 400×1120=45,1 800×1120=15.答案 B4.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为3∶4∶7,现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,样本中A型产品有15件,那么样本容量n为().A.50 B.60 C.70 D.80解析n×33+4+7=15,解得n=70.答案 C5.(2011·青岛二模)(1)某学校为了了解2010年高考数学科的考试成绩,在高考后对1 200名学生进行抽样调查,其中文科400名考生,理科600名考生,艺术和体育类考生共200名,从中抽取120名考生作为样本.(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会.Ⅰ.简单随机抽样法;Ⅱ.系统抽样法;Ⅲ.分层抽样法.问题与方法配对正确的是().A.(1)Ⅲ,(2)ⅠB.(1)Ⅰ,(2)ⅡC.(1)Ⅱ,(2)ⅢD.(1)Ⅲ,(2)Ⅱ解析通过分析可知,对于(1),应采用分层抽样法,对于(2),应采用简单随机抽样法.答案 A二、填空题(每小题4分,共12分)6.(2012·太原模拟)体育彩票000001~100000编号中,凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖,采用的抽样方法是________.解析系统抽样的步骤可概括为:总体编号,确定间隔,总体分段,在第一段内确定起始个体编号,每段内规则取样等几步.该抽样符合系统抽样的特点.答案系统抽样7.(2011·上海)课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4,12,8,若用分层抽样抽取6个城市,则丙组中应抽取的城市数为________.解析由已知得抽样比为624=14,∴丙组中应抽取的城市数为8×14=2.答案 28.商场共有某品牌的奶粉240件,全部为三个批次的产品,其中A,B,C三个批次的产品数量成等差数列,现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本,则应从B批次产品中抽取的数量为________件.解析A,B,C三个批次的产品数量成等差数列,其中B批次的产品数量是240 3=80(件),由抽取比例是60240=14,故B 批次的产品应该抽取80×14=20(件). 答案 20三、解答题(共23分)9.(11分)(2012·重庆模拟)某企业共有3 200名职工,其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2,从所有职工中抽取一个容量为400的样本,应采用哪种抽样方法更合理?中、青、老年职工应分别抽取多少人? 解 由于中、青、老年职工有明显的差异, 采用分层抽样更合理.按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为: 510×400=200,310×400=120,210×400=80,因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人.10.(12分)一个城市有210家百货商店,其中大型商店有20家,中型商店有40家,小型商店有150家.为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为21的样本,按分层抽样方法抽取样本时,各类百货商店要分别抽取多少家?写出抽样过程.解 ∵21∶210=1∶10, ∴2010=2,4010=4,15010=15.∴应从大型商店中抽取2家,从中型商店中抽取4家,从小型商店中抽取15家. 抽样过程:(1)计算抽样比21210=110;(2)计算各类百货商店抽取的个数: 2010=2,4010=4,15010=15;(3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家; (4)将抽取的个体合在一起,就构成所要抽取的一个样本.B 级 综合创新备选 (时间:30分钟 满分:40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.某校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为().A.24 B.18 C.解析设二年级女生的人数为x,则由x2 000=0.19,得x=380,即二年级的女生有380人,那么三年级的学生的人数应该是2 000-373-377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比例为3∶3∶2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28=16.答案 C2.(2012·成都月考)为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是().A.5,10,15,20,25 B.2,4,8,16,32C.1,2,3,4,5 D.7,17,27,37,47解析利用系统抽样,把编号分为5段,每段10个,每段抽取一个,号码间隔为10,故选D.答案 D二、填空题(每小题4分,共8分)3.(2011·舟山模拟)为了了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查,已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名,若高三学生共抽取25名,则高一年级每一位学生被抽到的概率是________.解析无论高几,每一位学生被抽到的概率都相同,故高一年级每一位学生被抽到的概率为25500=1 20.答案1 204.某单位200名职工的年龄分布情况如右图,现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人.解析∵间距为5,第5组抽22号,∴第8组抽出的号码为22+5(8-5)=37,40岁以下职工人数为100人,应抽取40200×100=20(人).答案3720三、解答题(共22分)5.(10分)(2012·开封模拟)某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n.解总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为36n,分层抽样的比例是n36,抽取的工程师人数为n36×6=n6,技术员人数为n36×12=n3,技工人数为n36×18=n2,所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18.当样本容量为(n+1)时,总体容量是35人,系统抽样的间隔为35n+1,因为35n+1必须是整数,所以n只能取6.即样本容量n=6.6.(12分)(2010·广东)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?(3)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.解(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目,而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目,所以,经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的.(2)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5=35×5=3(名).(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中,20至40岁有2名(记为Y1,Y2),大于40岁有3名(记为A1,A2,A3).5名观众中任取2名,共有10种不同取法:Y1Y2,Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3,A1A2,A1A3,A2A3.设A表示随机事件“5名观众中任取2名,恰有1名观众年龄为20至40岁”,则A中的基本事件有6种:Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3,故所求概率为P(A)=610=35.。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 理

第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1.已知过点A (-2,m )和B (m,4)的直线与直线2x +y -1=0平行,则m 的值为 ( ) A .0 B .-8 C .2D .10解析:由k =4-m m +2=-2,得m =-8.答案:B2.(2012·宜宾模拟)直线x sin α+y +2=0的倾斜角的取值范围是 ( )A .[0,π)B .[0,π4]∪[3π4,π)C .[0,π4]D .[0,π4]∪(π2,π)解析:设题中直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α,其中sin α∈[-1,1].又θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π 答案:B3.直线2x -y -2=0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是 ( )A .x -2y +4=0B .x +2y -4=0C .x -2y -4=0D .x +2y +4=0解析:直线2x -y -2=0与y 轴的交点为A (0,-2), 所求直线过A 且斜率为-12,∴所求直线方程:y +2=-12(x -0),即x +2y +4=0.答案:D4.设点A (-2,3),B (3,2),若直线ax +y +2=0与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是( )A .(-∞,-52]∪[43,+∞)B .(-43,52)C .[-52,43]D .(-∞,-43]∪[52,+∞)解析:直线ax +y +2=0恒过点M (0,-2),且斜率为-a , ∵k MA =3--2-2-0=-52,k MB =2--23-0=43,由图可知:-a >-52且-a <43,∴a ∈(-43,52).答案:B5.(2012·皖南八校联考)已知直线a 2x +y +2=0与直线bx -(a 2+1)y -1=0互相垂直,则|ab |的最小值为 ( )A .5B .4C .2D .1解析:由题意知,a 2b -(a 2+1)=0且a ≠0,∴a 2b =a 2+1,∴ab =a 2+1a =a +1a,∴|ab |=|a +1a |=|a |+1|a |≥2.(当且仅当a =±1时取“=”).答案:C6.直线Ax +By -1=0在y 轴上的截距是-1,而且它的倾斜角是直线3x -y =33的倾斜角的2倍,则 ( )A .A =3,B =1B .A =-3,B =-1C .A =3,B =-1D .A =-3,B =1解析:将直线Ax +By -1=0化成斜截式y =-A Bx +1B.∵1B=-1,∴B =-1,故排除A 、D.又直线3x -y =33的倾斜角α=π3,∴直线Ax +By -1=0的倾斜角为2α=2π3,∴斜率-A B =tan 2π3=-3,∴A =- 3. 答案:B 二、填空题7.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m ,n )重合,则m +n =________.解析:由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y =2x -3,它也是点(7,3)与点(m ,n )连线的中垂线,于是⎩⎪⎨⎪⎧3+n 2=2×7+m2-3n -3m -7=-12,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =35n =315.故m +n =345.答案:3458.(2012·长沙模拟)已知A (3,0),B (0,4),直线AB 上一动点P (x ,y ),则xy 的最大值是________.解析:直线AB 的方程为x 3+y 4=1,P (x ,y ),则x =3-34y ,∴xy =3y -34y 2=34(-y 2+4y )=34[-(y -2)2+4]≤3. 答案:39.与直线3x +4y +12=0平行,且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l 的方程是____________________.解析:先由“平行”这个条件设出直线方程为3x +4y +m =0,再用“面积”条件求m .因为直线l 交x 轴于A (-m 3,0),交y 轴于B (0,-m 4),由12·|-m 3|·|-m4|=24,可得m =±24.所以,所求直线的方程为:3x +4y ±24=0.答案:3x +4y +24=0或3x +4y -24=0 三、解答题10.在△ABC 中,已知A (5,-2)、B (7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上,求:(1)顶点C 的坐标; (2)直线MN 的方程.解:(1)设点C 的坐标为(x ,y ),则有x +52=0,3+y2=0, ∴x =-5,y =-3.即点C 的坐标为(-5,-3).(2)由题意知,M (0,-52),N (1,0),∴直线MN 的方程为x -y52=1,即5x -2y -5=0.11.已知两点A (-1,2),B (m,3). (1)求直线AB 的方程; (2)已知实数m ∈[-33-1,3-1],求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解:(1)当m =-1时,直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时,直线AB 的方程为y -2=1m +1(x +1). (2)①当m =-1时,α=π2;②当m ≠-1时,m +1∈[-33,0)∪(0,3], ∴k =1m +1∈(-∞,-3]∪[33,+∞), ∴α∈[π6,π2)∪(π2,2π3].综合①②知,直线AB 的倾斜角α的取值范围为[π6,23π].12.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图所示),另外,△AEF 内部有一文物保护区不能占用,经测量AB =100 m ,BC =80 m ,AE =30 m ,AF =20 m ,应如何设计才能使草坪面积最大?解:建立如图所示直角坐标系,则E (30,0),F (0,20),于是,线段EF 的方程是x 30+y20=1(0≤x ≤30),在线段EF 上取点P (m ,n ),作PQ ⊥BC 于点Q ,PR ⊥CD 于点R ,设矩形PQCR 的面积为S ,则:S =|PQ |·|PR |=(100-m )(80-n ),因为m 30+n 20=1,所以n =20(1-m30),所以S =(100-m )(80-20+23m )=-23(m -5)2+18 0503(0≤m ≤30),于是,当m =5时,S 有最大值,这时|EP ||PF |=51.答:当草坪矩形的两边在BC ,CD 上,一个顶点在线段EF 上,且这个顶点分EF 成5∶1时,草坪面积最大。
高考数学一轮总复习 9.71 定点、定值、最值和参变量范围问题课件 理

所以
kPA1=-4k3PA2∈
3,3 .
8 4 第五页,共46页。
4.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0) 到其焦点的距离为 5,双曲线xa2-y2=1 的左顶点为 A, 若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值
1 是__9___.
【解析】根据抛物线定义可得,抛物线准线方程为
A.12,14 B.(1,1) C.32,94 D.(2,4)
【解析】方法一:设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线
的距离得
d = |2x-y-4| = |2x-x2-4| =|(x-1)2+ 3|= ( x- 1)2+ 3
5
5
5
5
≥3. 5 当 x=1 时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1).
(2)∵点 A(1,t)(t>0)在轨迹 M 上, ∴14+t32=1,解得 t=32,
即点
A
的
坐标为1,
3 2 .第十四页,共46页。
设 kAE=k,则直线 AE 方程为:y=k(x-1)+32,代入x42+y32= 1 并整理得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+432-k2-12=0. 设 E(xE,yE),F(xF,yF),∵点 A1,32在轨迹 M 上, ∴xE=4(32-3+k)4k22-12,③ yE= kxE+32- k,④ 又 kAE+kAF=0 得 kAF=-k,将③④式中的 k 代换成-k,可 得 xF=4(233++k)4k22-12,yF=-kxF+23+k,
A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1) 【解析】由原曲线方程可得(x-1)+λ(y-x2)=0 过 定点,则yx-=x12=0,求得xy==11,即定点 P 的坐标为(1, 1).
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第6课时 空间向量及运算

y2-y1,z2-z1). _________________
6.向量 a 与 b 的夹角 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
Cos<a,b>=
a1b1+a2b2+a3b3 2 2 a2+a2+a2· b1+b2+b2 1 3 2 3
.
第八章
第6课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
高三数学(新课标版· 理)
→ 1→ 1 → → 解析 FG= AC= (BC-BA), 2 2 → → 1 → → → ∴FG· = (BC-BA)· BA BA 2 1 → → →2 1 1 1 = (BC· -BA )= ×( -1)=- . BA 2 2 2 4
第八章
第6课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
第八章
第6课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
5.空间向量的直角坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)则 ①a+b= ; (a1-b1,a2-b2,a3-b3) ②a-b= ;
2 a1b1+a2b2+a3b3 , a2+a2+a2 ; 3 ③a· b= 特殊地 a· a= 1 a1 ④a∥b⇔ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)或b1
|a|cos<a,e>,e 为单位向量
;
b=0 ; ②a⊥b⇔ a·
a ③|a|2= a· .
第八章
第6课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
向量的数量积满足如下运算律:
b) ①(λ· b= λ(a· ; a)·
②a· b= b· a ③a· (b+c)=
(交换律);
2013届高考数学一轮复习课时检测 第二节 不等式证明的基本方法 理

选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法1.已知a 、b 、x 、y 均为正实数,且1a >1b,x >y .求证:xx +a yy +b.证明:∵xx +a -yy +b =bx -ayx +a y +b又1a >1b,且a 、b 均为正实数,∴b >a >0. 又x >y >0, ∴bx >ay . ∴bx -ay x +a y +b >0,即x x +a >yy +b.2.已知a ,b ,c 均为正数,证明:a 2+b 2+c 2+(1a +1b +1c)2≥63,并确定a ,b ,c 为何值时,等号成立.证明:法一:因为a ,b ,c 均为正数,由平均值不等式得a 2+b 2+c 2≥3(abc )23,①1a +1b +1c≥3(abc )13-,②所以(1a +1b +1c)2≥9(abc ) 23-.故a 2+b 2+c 2+(1a +1b +1c)2≥3(abc ) 23+9(abc )23-.又3(abc ) 23+9(abc ) 23-≥227=63,③所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc ) 23=9(abc )23-时,③式等号成立.即当且仅当a =b =c =314时,原式等号成立. 法二:因为a ,b ,c 均为正数,由基本不等式得a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac .所以a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac ,① 同理1a 2+1b 2+1c 2≥1ab +1bc +1ac,②故a 2+b 2+c 2+(1a +1b +1c)2≥ab +bc +ac +31ab+31bc+31ac≥6 3.③所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立.即当且仅当a =b =c =314时,原式等号成立.3.(2012·豫南九校联考)已知x ,y 均为正数,且x >y ,求证:2x +1x 2-2xy +y 2≥2y+3.解:因为x >0,y >0,x -y >0, 2x +1x 2-2xy +y 2-2y =2(x -y )+1x -y 2=(x -y )+(x -y )+1x -y 2≥33x -y 21x -y 2=3,所以2x +1x 2-2xy +y 2≥2y +3.4.已知正实数a ,b ,c 满足1a +2b +3c =1,求证:a +b 2+c3≥9.证明:因为a ,b ,c 均为正实数, 所以1a +2b +3c ≥331a ·2b ·3c.同理可证:a +b 2+c3≥33a ·b 2·c 3.所以(a +b 2+c 3)(1a +2b +3c)≥33a ·b 2·c3·331a ·2b ·3c=9.因为1a +2b +3c =1,所以a +b 2+c3≥9,当且仅当a =3,b =6,c =9时,等号成立.5.已知x 、y 、z ∈R, 且2x +3y +3z =1,求x 2+y 2+z 2的最小值. 解:由柯西不等式得,(2x +3y +3z )2≤(22+32+32)(x 2+y 2+z 2). ∵2x +3y +3z =1,∴x 2+y 2+z 2≥122,当且仅当x 2=y 3=z 3,即x =111,y =z =322时,等号成立,∴x 2+y 2+z 2的最小值为122.6.设f (x )=2x 2-2x +2 010,若实数a 满足|x -a |<1 ,求证:|f (x )-f (a )|<4(|a |+1).证明:∵f (x )=2x 2-2x +2 010, ∴|f (x )-f (a )|=2|x 2-x -a 2+a | =2|x -a |·|x +a -1|<2|x +a -1|, 又∵2|x +a -1|=2|(x -a )+2a -1| ≤2(|x -a |+|2a -1|) <2(1+|2a |+1)=4(|a |+1). 7.求证:1n +1+1n +2+…+13n >12(n ≥2,n ∈N *). 证明:法一:利用数学归纳法:(1)当n =2时,左边=13+14+15+16>12,不等式成立.(2)假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时不等式成立. 即1k +1+1k +2+…+13k >12. 则当n =k +1时, 1k +1+1+1k +1+2+…+13k +13k +1+13k +2+13k +3=1k +1+1k +2+ (13)+(13k +1+13k +2+13k +3-1k +1)>12+(3×13k +3-1k +1)=12. 所以当n =k +1时不等式也成立,由(1),(2)知原不等式对一切n ≥2,n ∈N *均成立. 法二:利用放缩法: ∵n ≥2,∴1n +1+1n +213n >13n +13n +…+13n =23>12.即1n +1+1n +2+…+13n >12(n ≥2,n ∈N *).8.已知a ,b ,c 为实数,且a +b +c +2-2m =0,a 2+14b 2+19c 2+m -1=0.(1)求证:a 2+14b 2+19c 2≥a +b +c 214;(2)求实数m 的取值范围.解:(1)由柯西不等式得[a 2+(12b )2+(13c )2]()12+22+32≥(a +b +c )2,即(a 2+14b 2+19c 2)×14≥(a +b +c )2.∴a 2+142+19c 2≥a +b +c 214.当且仅当|a |=14|b |=19|c |取得等号.(2)由已知得a +b +c =2m -2,a 2+14b 2+19c 2=1-m ,∴14(1-m )≥(2m -2)2. 即2m 2+3m -5≤0.∴-52≤m ≤1.又∵a 2+14b 2+19c 2=1-m ≥0,∴m ≤1, ∴-52≤m ≤1.。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第三章 第七节 解三角形应用举例 理

2
15 解析:轴截面如图,则光源高度 h= =5 3(m). tan60°
答案:5 3 π 8.在△ABC 中,BC=1,∠B= ,当△ABC 的面积等于 3时,tan C=________. 3 1 解析:S△ABC= acsin B= 3,∴c=4. 2 由余弦定理:b =a +c -2accos B=13, ∴cos C=
AB
AC
由正弦定理得: = , sin∠ACB sin∠BAC 15 6+ 2 解得 BC= 米. 2 由勾股定理可得 BD= BC +CD =15 5+ 3米, 综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为 30 米,15 5+ 3米. 12.某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮 船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶,假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时, 试设计航行方案(即确定航行方向 和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解:1)设小艇与轮船在 B 处相遇,相遇时小艇航行的距离为 S 海 里,如图所示. 在△AOB 中,A=90°-30°=60°
1
BS
AB
sin 30°=3 2. sin 45°
AB
角为 120°,轮船 A 的航行速度是 25 海里/小时,轮船 B 的航行速度是 15 海里/小时,下午 2 时两船之间的距离是( A.35 海里 C.35 3 海里 ) B.35 2 海里 D.70 海里
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 知识梳理1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号.(3)其中a +b 2叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式(1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ).(2)b a +a b≥2(a ,b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22 (a ,b ∈R ).(4)a 2+b 22≥⎝⎛⎭⎫a +b 22 (a ,b ∈R ).以上不等式等号成立的条件均为a =b .3.利用基本不等式求最值(1)已知x ,y 都是正数,如果积xy 等于定值P ,那么当x =y 时,和x +y 有最小值2P .(2)已知x ,y 都是正数,如果和x +y 等于定值S ,那么当x =y 时,积xy 有最大值14S 2. 注意:利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22与ab ≤a +b 2等号成立的条件是相同的.( × ) (2)y =x +1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0,y >0且x +y =xy ,则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y =sin x +4sin x,x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1.已知x >2,则x +1x -2的最小值是( ) A .1 B .2 C .2 2 D .4答案 D解析 ∵x >2,∴x +1x -2=x -2+1x -2+2≥2x -21x -2+2=4, 当且仅当x -2=1x -2,即x =3时,等号成立. 2.函数y =4-x -1x(x <0)( ) A .有最小值2B .有最小值6C .有最大值2D .有最大值6答案 B解析 y =4+(-x )+1-x ≥4+2-x ·⎝⎛⎭⎫-1x =6. 当且仅当-x =1-x,即x =-1时取等号. 3.若a ,b ∈R ,下列不等式成立的是________.①b a +a b ≥2; ②ab ≤a 2+b 22; ③a 2+b 22≥⎝⎛⎭⎫a +b 22;④2ab a +b≤ab . 答案 ②③ 解析 当b a为负时,①不成立. 当ab <0时,④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32,则函数y =4x (3-2x )的最大值为( ) A.94 B .4 C.92D .9 答案 C解析 y =4x (3-2x )=2·2x ·(3-2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x +3-2x 22=92. 当且仅当2x =3-2x ,即x =34时取等号, ∴当x =34时,y max =92. (2)若x <23,则f (x )=3x +1+93x -2有( ) A .最大值0B .最小值9C .最大值-3D .最小值-3解析 ∵x <23, ∴3x -2<0, f (x )=3x -2+93x -2+3=-⎣⎡⎦⎤2-3x +92-3x +3≤-22-3x ·92-3x +3=-3.当且仅当2-3x =92-3x ,即x =-13时取“=”.(3)(2022·绍兴模拟)若-1<x <1,则y =x 2-2x +22x -2的最大值为________.答案 -1解析 因为-1<x <1,则0<1-x <2,于是得y =-12·1-x 2+11-x=-12⎣⎡⎦⎤1-x +11-x≤-12·21-x ·11-x =-1,当且仅当1-x =11-x ,即x =0时取“=”,所以当x =0时,y =x 2-2x +22x -2有最大值-1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0,b >0,且a +b =2,则2a +12b 的最小值是() A .1 B .2C.94 D.92解析 因为a >0,b >0,且a +b =2,所以a +b 2=1, 所以2a +12b =12(a +b )⎝⎛⎭⎫2a +12b =12⎝⎛⎭⎫2b a +a 2b +52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2+52=94, 当且仅当a =43,b =23时,等号成立.命题点3 消元法例3 已知x >0,y >0且x +y +xy =3,则x +y 的最小值为________.答案 2解析 方法一 (换元消元法)∵x +y +xy =3,则3-(x +y )=xy ≤⎝⎛⎭⎫x +y 22,即(x +y )2+4(x +y )-12≥0,令t =x +y ,则t >0,∴t 2+4t -12≥0,解得t ≥2,∴x +y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x +y +xy =3得y =3-x x +1, ∵x >0,y >0,∴0<x <3,∴x +y =x +3-x x +1=x +4x +1-1=x +1+4x +1-2≥2x +1·4x +1-2=2,当且仅当x +1=4x +1,即x =1时取等号,∴x +y 的最小值为2.延伸探究 本例条件不变,求xy 的最大值.解 ∵x +y +xy =3,∴3-xy =x +y ≥2xy ,当且仅当x =y 时取等号,令t =xy ,则t >0,∴3-t 2≥2t ,即t 2+2t -3≤0, 即0<t ≤1,∴当x =y =1时,xy 最大值为1.教师备选1.(2022·哈尔滨模拟)已知x >0,y >0,且2x +8y -xy =0,则当x +y 取得最小值时,y 等于() A .16 B .6 C .18 D .12答案 B解析 因为x >0,y >0,2x +8y =xy ,所以2y +8x =1,所以x +y =(x +y )⎝⎛⎭⎫2y +8x =10+2xy +8yx≥10+22xy ·8yx =10+2×4=18,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y =8y x ,2x +8y -xy =0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x =12,y =6时取等号,所以当x +y 取得最小值时,y =6.2.已知函数f (x )=-x 2x +1(x <-1),则( ) A .f (x )有最小值4B .f (x )有最小值-4C .f (x )有最大值4D .f (x )有最大值-4 答案 A解析 f (x )=-x 2x +1=-x 2-1+1x +1=-⎝⎛⎭⎫x -1+1x +1=-⎝⎛⎭⎫x +1+1x +1-2 =-(x +1)+1-x +1+2. 因为x <-1,所以x +1<0,-(x +1)>0,所以f (x )≥21+2=4,当且仅当-(x +1)=1-x +1,即x =-2时,等号成立. 故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提:“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法:一是配凑法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;三是消元法.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )=22x -1+x (2x >1),则f (x )的最小值为________. 答案 52解析 ∵2x >1,∴x -12>0, f (x )=22x -1+x =1x -12+x -12+12 ≥21x -12·⎝⎛⎭⎫x -12+12=2+12=52, 当且仅当1x -12=x -12,即x =32时取“=”. ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0,y >0且x +y =5,则1x +1+1y +2的最小值为________. 答案 12解析 令x +1=m ,y +2=n ,∵x >0,y >0,∴m >0,n >0,则m +n =x +1+y +2=8,∴1x +1+1y +2=1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n ×18(m +n )=18⎝⎛⎭⎫n m +m n +2≥18×(21+2)=12. 当且仅当n m =m n,即m =n =4时等号成立. ∴1x +1+1y +2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F 在半圆O 上,点C 在直径AB 上,且OF ⊥AB ,设AC =a ,BC =b ,则该图形可以完成的无字证明为( )A.a +b 2≥ab (a >0,b >0) B .a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0)C.2ab a +b ≤ab (a >0,b >0)D.a +b 2≤a 2+b 22(a >0,b >0)答案 D解析 由图形可知,OF =12AB =12(a +b ),OC =12(a +b )-b =12(a -b ),在Rt △OCF 中,由勾股定理可得,CF =⎝⎛⎭⎫a +b 22+⎝⎛⎭⎫a -b 22=12a 2+b 2,∵CF ≥OF ,∴12a 2+b 2≥12(a +b )(a >0,b >0).(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1,b >1,则下列不等式中成立的是() A .a +b <4aba +bB.ab <2aba +bC.2a 2+2b 2<2abD .a +b <2a 2+2b 2答案 D解析 对于选项A ,因为0<a <1,b >1,所以(a +b )2=a 2+2ab +b 2>4ab ,故选项A 错误;对于选项B ,ab >21a +1b=2aba +b,故选项B 错误;对于选项C ,2a 2+b 2>2×2ab =2ab ,故选项C 错误;对于选项D,2a 2+2b 2>a 2+2ab +b 2=(a +b )2,所以a +b <2a 2+2b 2,故选项D 正确.教师备选若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )A .a 2+b 2>2abB .a +b ≥2ab C.1a +1b >2abD.b a +a b≥2 答案 D解析 a 2+b 2≥2ab ,所以A 错误;ab >0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a <0,b <0时,B 错误;同时C 错误;a b 或b a都是正数,根据基本不等式求最值, a b +b a ≥2a b ×b a =2,故D 正确. 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22≤a 2+b 22. (2)21a +1b ≤ab ≤a +b 2≤a 2+b 22(a >0,b >0). 跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p :a >b >0,命题q :a 2+b 22>⎝⎛⎭⎫a +b 22,则p是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0,则a 2+b 2>2ab ,∴2(a 2+b 2)>a 2+b 2+2ab ,∴2(a 2+b 2)>(a +b )2, ∴a 2+b 22>⎝⎛⎭⎫a +b 22, ∴由p 可推出q ,当a <0,b <0时,命题q 成立,如a =-1,b =-3时,a 2+b 22=5>⎝⎛⎭⎫a +b 22=4,∴由q 推不出p ,∴p 是q 成立的充分不必要条件.(2)(2022·漳州质检)已知a ,b 为互不相等的正实数,则下列四个式子中最大的是( )A.2a +bB.1a +1bC.2abD.2a 2+b 2答案 B解析 ∵a ,b 为互不相等的正实数,∴1a +1b >2ab, 2a +b <22ab =1ab <2ab, 2a 2+b 2<22ab =1ab <2ab, ∴最大的是1a +1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789-1857)发现的,故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.1.(柯西不等式的代数形式)设a ,b ,c ,d 均为实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时,等号成立.推广一般情形:设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n ∈R ,则(a 21+a 22+…+a 2n )(b 21+b 22+…+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2(当且仅当b i=0(i =1,2,…,n )或存在一个实数k ,使得a i =kb i (i =1,2,…,n )时,等号成立).2.(柯西不等式的向量形式)设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,其中当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使α=k β时等号成立.3.(柯西不等式的三角不等式)设x 1,y 1,x 2,y 2,x 3,y 3为任意实数,则: x 1-x 22+y 1-y 22+x 2-x 32+y 2-y 32 ≥x 1-x 32+y 1-y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ,y 满足x +3y =4,则4x 2+y 2的最小值为________.答案 6437 解析 (x +3y )2≤(4x 2+y 2)⎝⎛⎭⎫14+9,所以4x 2+y 2≥16×437=6437, 当且仅当y =12x 时,等号成立,所以4x 2+y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ,y ,z 满足x 2+y 2+z 2=1,正实数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2=9,则ax +by +cz 的最大值为________.答案 3解析 (ax +by +cz )2≤(a 2+b 2+c 2)·(x 2+y 2+z 2)=9,∴ax +by +cz ≤3,当且仅当a =3x ,b =3y ,c =3z 时取“=”,∴ax +by +cz 的最大值为3.例3 函数y =5x -1+10-2x 的最大值为________. 答案 6 3 解析 y 2=(5x -1+10-2x )2=(5x -1+2·5-x )2≤(52+2)(x -1+5-x )=108,当且仅当x =12727时等号成立,∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1,a 2,b 1,b 2为正实数,求证:(a 1b 1+a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1+a 2b 2≥(a 1+a 2)2. 证明 (a 1b 1+a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1+a 2b 2=[(a 1b 1)2+(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12+⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1+a 2b 2·a 2b 22 =(a 1+a 2)2.当且仅当b 1=b 2时,等号成立.例5 已知a 1,a 2,…,a n 都是实数,求证:1n(a 1+a 2+…+a n )2≤a 21+a 22+…+a 2n . 证明 根据柯西不等式,有()12+12+…+12n 个 (a 21+a 22+…+a 2n )≥(1×a 1+1×a 2+…+1×a n )2, 所以1n(a 1+a 2+…+a n )2≤a 21+a 22+…+a 2n . 课时精练1.下列函数中,最小值为2的是( )A .y =x +2xB .y =x 2+3x 2+2C .y =e x +e -xD .y =log 3x +log x 3(0<x <1)答案 C解析 当x <0时,y =x +2x<0,故A 错误; y =x 2+3x 2+2=x 2+2+1x 2+2≥2, 当且仅当x 2+2=1x 2+2, 即x 2=-1时取等号,∵x 2≠-1,故B 错误;y =e x +e -x ≥2e x ·e -x =2,当且仅当e x =e -x ,即x =0时取等号,故C 正确;当x ∈(0,1)时,y =log 3x <0,故D 错误.2.(2022·汉中模拟)若a >0,b >0且2a +b =4,则ab 的最大值为( )A .2 B.12 C .4 D.14答案 A解析 4=2a +b ≥22ab ,即2≥2ab ,平方得ab ≤2,当且仅当2a =b ,即a =1,b =2时等号成立,∴ab 的最大值为2.3.(2022·苏州模拟)若a ,b 是正常数,a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞),则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ,当且仅当a x =b y 时取等号.利用以上结论,函数f (x )=2x +91-2x ,x ∈⎝⎛⎭⎫0,12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )=2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+322x +1-2x =25,当且仅当22x =31-2x ,即x =15时等号成立.4.(2022·重庆模拟)已知x >2,y >1,(x -2)(y -1)=4,则x +y 的最小值是() A .1 B .4C .7D .3+17答案 C解析 ∵x >2,y >1,(x -2)(y -1)=4,∴x +y =(x -2)+(y -1)+3≥2x -2y -1+3=7,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =3时等号成立. 5.已知函数f (x )=14x +9x -1(x <1),下列结论正确的是( )A .f (x )有最大值114B .f (x )有最大值-114C .f (x )有最小值132D .f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )=x -14+9x -1+14=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 4+91-x +14≤-21-x 4·91-x+14=-114,当且仅当x =-5时等号成立.6.已知函数f (x )=xx 2-x +4(x >0),则( )A .f (x )有最大值3B .f (x )有最小值3C .f (x )有最小值13 D .f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )=xx 2-x +4=1x +4x -1≤124-1=13,当且仅当x =4x ,即x =2时等号成立,∴f (x )的最大值为13.7.(2022·济宁模拟)已知a ,b 为正实数,则“aba +b ≤2”是“ab ≤16”的() A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ,b 为正实数,∴a +b ≥2ab ,当且仅当a =b 时等号成立,若ab ≤16,可得aba +b ≤ab2ab =ab2≤162=2,故必要性成立;当a =2,b =10,此时aba +b ≤2,但ab =20>16,故充分性不成立,因此“ab a +b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件. 8.已知正实数a ,b 满足a >0,b >0,且a +b =1,则下列不等式恒成立的有( ) ①2a +2b ≥22;②a 2+b 2<1; ③1a +1b<4; ④a +1a >2. A .①②B .①③C .①②④D .②③④答案 C解析 ∵2a +2b ≥22a ·2b =22a +b =22,当且仅当a =b 时取等号,∴①正确; ∵a 2+b 2<a 2+b 2+2ab =(a +b )2=1,∴②正确;∵1a +1b =(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+b a +a b≥2+2b a ×a b =4, 当且仅当a =b 时取等号,∴③错误;∵a >0,b >0,a +b =1,∴0<a <1,∵a +1a ≥2a ·1a=2,当且仅当a =1时取等号, ∴a +1a>2,④正确. 9.若0<x <2,则x 4-x 2的最大值为________.答案 2解析 ∵0<x <2,∴x 4-x 2=x 24-x 2≤x 2+4-x 22=2, 当且仅当x 2=4-x 2,即x =2时取“=”.10.若a >0,b >0,lg a +lg b =lg(a +b ),则a +b 的最小值为________. 答案 4解析 依题意ab =a +b ,∴a +b =ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22, 即a +b ≤a +b 24,∴a +b ≥4,当且仅当a =b 时取等号,∴a +b 的最小值为4.11.已知x >0,y >0且3x +4y -xy =0,则3x +y 的最小值为________. 答案 27解析 因为x >0,y >0,3x +4y =xy ,所以3y +4x=1, 所以3x +y =(3x +y )⎝⎛⎭⎫3y +4x =15+9x y +4y x ≥15+29x y ·4y x=27, 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y =4y x ,3x +4y -xy =0即⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =9时取等号, 所以3x +y 的最小值为27.12.(2021·天津)若a >0,b >0,则1a +a b2+b 的最小值为________. 答案 2 2解析 ∵a >0,b >0,∴1a +a b 2+b ≥21a ·a b 2+b =2b +b ≥22b·b =22, 当且仅当1a =a b 2且2b=b ,即a =b =2时等号成立, ∴1a +a b2+b 的最小值为2 2.13.(2022·南京模拟)若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤-233,233 B.⎝⎛⎭⎫-233,233 C.⎣⎡⎦⎤-223,223 D.⎝⎛⎭⎫-223,223 答案 A解析 ∵x 2+y 2+xy =1⇔xy =(x +y )2-1,又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x +y 22,∴(x +y )2-1≤⎝⎛⎭⎫x +y 22,令x +y =t , 则4t 2-4≤t 2,∴-233≤t ≤233, 即-233≤x +y ≤233,当且仅当x =y 时,取等号, ∴x +y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-233,233. 14.设a >0,b >0,则下列不等式中一定成立的是________.(填序号)①a +b +1ab ≥22; ②2ab a +b >ab ; ③a 2+b 2ab≥a +b ; ④(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4.答案 ①③④解析 因为a >0,b >0,所以a +b +1ab ≥2ab +1ab≥22, 当且仅当a =b 且2ab =1ab ,即a =b =22时取等号,故①正确; 因为a +b ≥2ab >0, 所以2ab a +b ≤2ab 2ab=ab ,当且仅当a =b 时取等号, 故②错误;因为2ab a +b ≤2ab 2ab=ab ,当且仅当a =b 时取等号, 所以a 2+b 2a +b =a +b 2-2ab a +b =a +b -2ab a +b≥ 2ab -ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以a 2+b 2a +b ≥ab ,即a 2+b 2ab≥a +b ,故③正确; 因为(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+b a +a b≥ 2+2b a ·a b=4,当且仅当a =b 时取等号,故④正确.15.已知a >0,b >0,且a +b =1,则1a +1b+ab 的最小值为____________. 答案 174解析 因为a >0,b >0,且a +b =1,所以1=a +b ≥2ab ,即0<ab ≤14,当且仅当a =b 时取等号, 令t =ab ,则1a +1b +ab =1ab +ab =1t+t ,t ∈⎝⎛⎦⎤0,14, 因为函数y =1t+t 在⎝⎛⎦⎤0,14上为减函数,所以当t =14时,函数y =1t +t 取得最小值,即y min =14+4=174. 16.(2022·沙坪坝模拟)若x >0,y >0且x +y =xy ,则x x -1+2y y -1的最小值为________. 答案 3+2 2解析 因为x >0,y >0且x +y =xy ,则xy =x +y >y ,即有x >1,同理y >1,由x +y =xy 得,(x -1)(y -1)=1,于是得x x -1+2y y -1=1+1x -1+2+2y -1=3+⎝⎛⎭⎫1x -1+2y -1 ≥3+21x -1·2y -1=3+22, 当且仅当1x -1=2y -1, 即x =1+22,y =1+2时取“=”, 所以x x -1+2y y -1的最小值为3+2 2.。
2013届高考数学(理科)第一轮复习课件 9[1].8 抛物线
![2013届高考数学(理科)第一轮复习课件 9[1].8 抛物线](https://img.taocdn.com/s3/m/6c71ff19866fb84ae45c8d17.png)
3.抛物线 y2=2px(p>0)的几何性质 (1)离心率:e= 1 .
焦点到准线的距离 (2)p 的几何意义: . p (3)焦半径:|MF|= 2+x0 ,其中 M(x0,y0).
10
金太阳新课标资源网 老师都说好!
(4)焦点弦 AB 长: ①设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= p+x1+x2 ; 2p ②设直线 AB 倾斜角为 α,则|AB|= sin2α ,特别 地:当 α=90° 时,AB 为抛物线的 通径 ,且|AB|= 2p .
14
金太阳新课标资源网 老师都说好!
解析
根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段
1 1 3 1 5 AB 中点到 y 轴的距离为:2(|AF|+|BF|)-4=2-4=4.
15
金太阳新课标资源网 老师都说好!
3.(2011· 湖北理)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0) 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n, 则( ) A.n=0 C.n=2
(p>0)
焦点坐标
p (2,0)
准线方程
p x=-2
y2=-2px
(p>0)
p (-2,0)
p x=2
8
金太阳新课标资源网 老师都说好!
图形
标准方程 x2=2py (p>0)
焦点坐标
p (0,2)
准线方程
p y=-2
x2=-2py
(p>0)
p (0,-2)
p y=2
9
金太阳新课标资源网 老师都说好!
解析
p 设抛物线方程为 y =2px,则焦点坐标为( , 2
2
p 0),将 x=2代入 y2=2px 可得 y2=p2,|AB|=12,即 2p= 12,∴p=6.点 P 在准线上,到 AB 的距离为 p=6,所以 1 △PAB 面积为2×6×12=36.
高考数学人教版(理科)一轮复习课件:第9章第1讲随机抽样课后作业2

2.(2018·河北衡水模拟)在高三某次数学测试中,40 名学生的成绩如图 所示.若将成绩由低到高编为 1~40 号,再用系统抽样的方法从中抽取 8 人, 则其中成绩在区间[123,134]上的学生人数为________.
答案 3
答案
解析 根据题中茎叶图,成绩在区间[123,134]上的数据有 15 个, 所以用系统抽样的方法从所有的 40 人中抽取 8 人, 成绩在区间[123,134]上的学生人数为 8×4105=3.
解析
8.某商场有四类食品,食品类别和种数见下表:
植物油 动物性食品
类别 粮食类
类
类
果蔬类
种类 40
10
30
20
现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测,若采用分层抽样
方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________.
答案 6
答案
解析 因为总体的个数为 40+10+30+20=100,所以根据分层抽样的 定义可知,抽取的植物油类食品种数为11000×20=2,抽取的果蔬类食品种数 为12000×20=4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为 2+4=6.
∴从初中生中抽取的男生人数是:50×15200000=12.
解析
6.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为 3∶5∶7, 现用分层抽样的方法抽取容量为 n 的样本,其中甲种产品有 18 件,则样本 容量 n=________.
答案 90
答案
解析 依题意得3+35+7×n=18,解得 n=90,即样本容量为 90.
A.样本容量为 70 B.样本中三居室住户共抽取了 25 户 C.根据样本可估计对四居室满意的住 户有 70 户 D.样本中对三居室满意的有 15 户数量及样本容量,再根据分层抽样及题 图 2 确定样本中三居室户数及满意人数.
2013届高考数学一轮复习课时检测 第二章 第五节 函数的图象 理

第二章 第五节 函数的图象一、选择题1.y =x +cos x 的大致图象是( )解析:当x =0时,y =1;当x =π2时,y =π2;当x =-π2时,y =-π2,观察各选项可知B 正确.答案:B2.(2011·陕西高考)方程|x |=cos x 在(-∞,+∞)内( ) A .没有根 B .有且仅有一个根 C .有且仅有两个根D .有无穷多个根解析:如图所示,由图象可得两函数图象有两个交点,故方程有且仅有两个根答案:C3.若对任意x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .a <-1 B .|a |≤1 C .|a |<1D .a ≥1解析:如图所示,由图可知,当-1≤a ≤1,即|a |≤1时不等式恒成立. 答案:B4.给出四个函数,分别满足①f (x +y )=f (x )+f (y ), ②g (x +y )=g (x )·g (y ),③h (x ·y )=h (x )+h (y ),④m (x ·y )=m (x )·m (y ).又给出四个函数的图象,那么正确的匹配方案可以是( )A .①甲,②乙,③丙,④丁B .①乙,②丙,③甲,④丁C .①丙,②甲,③乙,④丁D .①丁,②甲,③乙,④丙解析:图象甲是一个指数函数的图象,它应满足②;图象乙是一个对数函数的图象,它应满足③;图象丁是y =x 的图象,满足①.答案:D 5.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ∈[-1,0]x 2+1,x ∈0,1],则如图中函数的图象错误的是( )解析:因f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ∈[-1,0],x 2+1,x ∈0,1],其图象如图,验证知f (x -1),f (-x ),f (|x |)的图象均正确,只有|f (x )|的图象错误.答案:D6.(2012·烟台模拟)f (x )的定义域为R ,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x-1x ≤0f x -1x >0,若方程f (x )=x +a 有两不同实根,则a 的取值范围为( )A .(-∞,1)B .(-∞,1]C .(0,1)D .(-∞,+∞)解析:x ≤0时,f (x )=2-x -1,0<x ≤1时,-1≤x -1≤0,f (x )=f (x -1)=2-(x -1)-1,故x >0时,f (x )是周期函数.如图:欲使方程f (x )=x +a 有两个不同的实数解,即函数f (x )的图象与直线y =x +a 有两个不同的交点,故a <1.答案:A 二、填空题7.已知y =f (x )是R 上的增函数,A (0,-1)、B (3,1)是其图象上两个点,则不等式|f (x +1)|<1的解集是________.解析:|f (x +1)|<1⇔-1<f (x +1)<1⇔f (0)<f (x +1)<f (3),又y =f (x )是R 上的增函数,∴0<x +1<3.∴-1<x <2. 答案:{x |-1<x <2}8.已知a >0,且a ≠1,f (x )=x 2-a x ,当x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12,则实数a 的取值范围是________.解析:由题知,当x ∈(-1,1)时,f (x )=x 2-a x <12,即x 2-12a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y =x 2-12,指数函数y =a x的图象,如图,当x ∈(-1,1)时,要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方,需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a <1或1<a ≤2. 答案:[12,1)∪(1,2]9.已知函数y =f (x )和y =g (x )在[-2,2]的图象如下图所示:则方程f [g (x )]=0有且仅有________个根,方程f [f (x )]=0有且仅有________个根. 解析:由图可知f (x )=0有三个根,设为x 1,x 2,x 3,-2<x 1<-1,x 2=0,1<x 3<2. 令g (x )=x 1,由g (x )图象可知方程g (x )=x 1有两个根,令g (x )=0得两个根, 令g (x )=x 3得两个根,∴f [g (x )]=0有6个根,同理可看出f [f (x )]=0有5个根. 答案:6 5 三、解答题10.若方程2a =|a x -1|(a >0,a ≠1)有两个实数解,求实数a 的取值范围.解:当a >1时,函数y =|a x -1|的图象如图①所示,显然直线y =2a 与该图象只有一个交点,故a >1不合适;当0<a <1时,函数y =|a x -1|的图象如图②所示,要使直线y =2a 与该图象有两个交点,则0<2a <1, 即0<a <12.综上所述,实数a 的取值范围为(0,12).11.(1)已知函数y =f (x )的定义域为R ,且当x ∈R 时,f (m +x )=f (m -x )恒成立,求证y =f (x )的图象关于直线x =m 对称;(2)若函数y =log 2|ax -1|的图象的对称轴是x =2,求非零实数a 的值. 解:(1)设P (x 0,y 0)是y =f (x )图象上任意一点, 则y 0=f (x 0).又P 点关于x =m 的对称点为P ′, 则P ′的坐标为(2m -x 0,y 0). 由已知f (x +m )=f (m -x ), 得f (2m -x 0)=f [m +(m -x 0)] =f [m -(m -x 0)]=f (x 0)=y 0.即P ′(2m -x 0,y 0)在y =f (x )的图象上. ∴y =f (x )的图象关于直线x =m 对称. (2)对定义域内的任意x , 有f (2-x )=f (2+x )恒成立.∴|a (2-x )-1|=|a (2+x )-1|恒成立, 即|-ax +(2a -1)|=|ax +(2a -1)|恒成立. 又∵a ≠0,∴2a -1=0,得a =12.12.当x ∈(1,2)时,不等式(x -1)2<log a x 恒成立,求a 的取值范围. 解:设f1(x )=(x -1)2,f 2(x )=log a x ,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x -1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=(x -1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )=log a x 的下方即可.当0<a <1时,综合函数图象知显然不成立.当a >1时,如图,要使在(1,2)上,f 1(x )=(x -1)2的图象在f 2(x )=log a x 的下方, 只需f 1(2)≤f 2(2),即(2-1)2≤log a 2,log a 2≥1, ∴1<a ≤2. ∴a 的取值范围是(1,2]。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第2课时 排列、组合

第十一章
第2课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
解法一 直接法,可以从 4 台甲型电视机中取 2 台, 再从 5 台乙型电视机中取 1 台, 或者从 4 台甲型电视机中 取 1 台, 再从 5 台乙型电视机中取 2 台, 所以共有 C2· 1+ 4 C5 C1· 2=70 种选法. 4 C5 解法二 间接法,从 9 台电视机中取 3 台有 C3种取 9 法,从甲型电视机中取 3 台有 C3种取法,从乙型电视机 4 中取 3 台有 C3种取法,这两种取法不符合条件,所以符 5 合条件的取法为 C3-C3-C3=70 种. 9 4 5
第2课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
1.两个概念 (1)排列 从 n 个不同元素中取出 m 个元素(m≤n),按照 一定顺
序排成一列
,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
一个排列.
第十一章
第2课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
(2)组合 从 n 个元素中取出 m 个元素 并成一组 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. ,叫做从 n
解析 据题意知 4 个不同的商业广告可排在中间的 4 个位置上共有 A4种方法,再将 2 个公益广告排在首末 2 4 个不同的位置共有 2 种方法, 根据分步计数原理可得不同 的播放方式共有 2A4=48 种. 4
第十一章
第2课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
3.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班, 每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日.不同的安排方法共有________种.(用数字作答)
第十一章 第2课时
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质 考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用. 知识梳理1.两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a -b >0⇔a >b ,a -b =0⇔a =b ,a -b <0⇔a <b . (a ,b ∈R )2.等式的性质性质1 对称性:如果a =b ,那么b =a ;性质2 传递性:如果a =b ,b =c ,那么a =c ;性质3 可加(减)性:如果a =b ,那么a ±c =b ±c ;性质4 可乘性:如果a =b ,那么ac =bc ;性质5 可除性:如果a =b ,c ≠0,那么a c =b c. 3.不等式的性质性质1 对称性:a >b ⇔b <a ;性质2 传递性:a >b ,b >c ⇒a >c ;性质3 可加性:a >b ⇔a +c >b +c ;性质4 可乘性:a >b ,c >0⇒ac >bc ;a >b ,c <0⇒ac <bc ;性质5 同向可加性:a >b ,c >d ⇒a +c >b +d ;性质6 同向同正可乘性:a >b >0,c >d >0⇒ac >bd ;性质7 同正可乘方性:a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ,n ≥2).常用结论1.若ab >0,且a >b ⇔1a <1b . 2.若a >b >0,m >0⇒b a <b +ma +m ; 若b >a >0,m >0⇒b a >b +ma +m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a <b 三种关系中的一种.(√ )(2)若ba >1,则b >a .( × )(3)若x >y ,则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ,则b <a .( × )教材改编题1.设b >a >0,c ∈R ,则下列不等式不正确的是( )A .12a <12b B.1a >1bC.a +2b +2>ab D .ac 3<bc 3答案 D解析 因为y =12x 在(0,+∞)上单调递增,所以12a <12b ,A 正确;因为y =1x 在(0,+∞)上单调递减,所以1a >1b ,B 正确;因为a +2b +2-a b =2b -ab +2b >0,所以a +2b +2>ab ,C 正确;当c =0时,ac 3=bc 3,所以D 不正确.2.已知M =x 2-3x ,N =-3x 2+x -3,则M ,N 的大小关系是________.答案 M >N解析 M -N =(x 2-3x )-(-3x 2+x -3)=4x 2-4x +3=(2x -1)2+2>0,∴M >N .3.已知-1<a <2,-3<b <5,则a +2b 的取值范围是______.答案 (-7,12)解析 ∵-3<b <5,∴-6<2b <10,又-1<a <2,∴-7<a +2b <12.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0,b <0,则p =b 2a +a 2b与q =a +b 的大小关系为( ) A .p <q B .p ≤q C .p >q D .p ≥q答案 B解析 p -q =b 2a +a 2b-a -b =b 2-a 2a +a 2-b 2b=(b 2-a 2)·⎝⎛⎭⎫1a -1b =b 2-a 2b -a ab =b -a 2b +aab ,因为a <0,b <0,所以a +b <0,ab >0.若a =b ,则p -q =0,故p =q ;若a ≠b ,则p -q <0,故p <q .综上,p ≤q .(2)若a =ln 33,b =ln 44,c =ln 55,则( ) A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c 答案 B解析 令函数f (x )=ln x x ,则f ′(x )=1-ln x x 2, 易知当x >e 时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,因为e<3<4<5,所以f (3)>f (4)>f (5),即c <b <a .教师备选已知M =e 2 021+1e 2 022+1,N =e 2 022+1e 2 023+1,则M ,N 的大小关系为________. 答案 M >N解析 方法一 M -N =e 2 021+1e 2 022+1-e 2 022+1e 2 023+1=e 2 021+1e 2 023+1-e 2 022+12e 2 022+1e 2 023+1=e 2 021+e 2 023-2e 2 022e 2 022+1e 2 023+1=e 2 021e -12e 2 022+1e 2 023+1>0. ∴M >N .方法二 令f (x )=e x +1e x +1+1=1e e x +1+1+1-1e e x +1+1=1e +1-1e e x +1+1, 显然f (x )是R 上的减函数,∴f (2 021)>f (2 022),即M >N .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ,且M =11+a +11+b,N =a 1+a +b 1+b ,则M ,N 的大小关系是( ) A .M >N B .M <NC .M =ND .不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ,∴1+a >0,1+b >0,1-ab >0. ∴M -N =1-a 1+a +1-b 1+b =21-ab1+a 1+b >0,∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________.答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ=e π-eππ-e =⎝⎛⎭⎫eππ-e ,又0<eπ<1,0<π-e<1,∴⎝⎛⎭⎫eππ-e <1,即e π·πee e ·ππ<1,即e π·πe <e e ·ππ.题型二 不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A .若a >b ,则ac 2>bc 2B .若a <b <0,则a 2<ab <b 2C .若c >a >b >0,则a c -a <bc -bD .若a >b >c >0,则a b >a +c b +c 答案 D 解析 对于A 选项,当c =0时,显然不成立,故A 选项为假命题; 对于B 选项,当a =-3,b =-2时,满足a <b <0,但不满足a 2<ab <b 2,故B 选项为假命题;对于C 选项,当c =3,a =2,b =1时,a c -a =23-2>b c -b =12,故C 选项为假命题; 对于D 选项,由于a >b >c >0,所以a b -a +c b +c=a b +c -b a +c b b +c =ac -bc b b +c=a -b c b b +c>0,即a b >a +c b +c ,故D 选项为真命题. (2)若1a <1b<0,则下列不等式正确的是________.(填序号) ①1a +b <1ab ; ②|a |+b >0; ③a -1a >b -1b; ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析 由1a <1b <0,可知b <a <0. ①中,因为a +b <0,ab >0,所以1a +b <0,1ab >0.故有1a +b <1ab,即①正确; ②中,因为b <a <0,所以-b >-a >0.故-b >|a |,即|a |+b <0,故②错误;③中,因为b <a <0,又1a <1b<0, 则-1a >-1b >0,所以a -1a >b -1b,故③正确; ④中,因为b <a <0,根据y =x 2在(-∞,0)上单调递减,可得b 2>a 2>0,而y =ln x 在定义域 (0,+∞)上单调递增,所以ln b 2>ln a 2,故④错误.教师备选若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B .a 2>b 2C .a |c |>b |c | D.a c 2+1>bc 2+1答案 D解析 对于A ,若a >0>b ,则1a >1b ,故A 错误;对于B ,取a =1,b =-2,则a 2<b 2,故B 错误;对于C ,若c =0,a |c |=b |c |,故C 错误;对于D ,因为c 2+1≥1,所以1c 2+1>0,又a >b ,所以a c 2+1>bc 2+1,故D 正确.思维升华 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数,利用函数的单调性.跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ,b ∈R ,满足ab <0,a +b >0,a >b ,则() A.1a <1b B.b a +a b >0C .a 2>b 2D .a <|b |答案 C解析 因为ab <0,a >b ,则a >0,b <0,1a >0,1b <0,A 不正确;b a <0,a b <0,则b a +a b <0,B 不正确;又a+b>0,即a>-b>0,则a2>(-b)2,a2>b2,C正确;由a>-b>0得a>|b|,D不正确.(2)设a>b>1>c>0,下列四个结论正确的是________.(填序号)①1ac>1bc;②ba c>ab c;③(1-c)a<(1-c)b;④log b(a+c)>log a(b+c).答案③④解析由题意知,a>b>1>c>0,所以对于①,ac>bc>0,故1ac<1bc,所以①错误;对于②,取a=3,b=2,c=1 2,则ba c=23,ab c=32,所以ba c<ab c,故②错误;对于③,因为0<1-c<1,且a>b,所以(1-c)a<(1-c)b,故③正确;对于④,a+c>b+c>1,所以log b(a+c)>log b(b+c)>log a(b+c),故④正确.题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.答案(-4,2)(1,18)解析∵-1<x<4,2<y<3,∴-3<-y <-2,∴-4<x -y <2.由-1<x <4,2<y <3,得-3<3x <12,4<2y <6,∴1<3x +2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9,则a b的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫13,2解析 ∵4<b <9,∴19<1b <14, 又3<a <8,∴19×3<a b <14×8, 即13<a b<2. 延伸探究 若将本例(1)中条件改为-1<x +y <4,2<x -y <3,求3x +2y 的取值范围. 解 设3x +2y =m (x +y )+n (x -y ),则⎩⎪⎨⎪⎧ m +n =3,m -n =2,∴⎩⎨⎧ m =52,n =12.即3x +2y =52(x +y )+12(x -y ), 又∵-1<x +y <4,2<x -y <3,∴-52<52(x +y )<10,1<12(x -y )<32, ∴-32<52(x +y )+12(x -y )<232, 即-32<3x +2y <232,∴3x +2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-32,232. 教师备选已知0<β<α<π2,则α-β的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0,π2 解析 ∵0<β<π2,∴-π2<-β<0, 又0<α<π2,∴-π2<α-β<π2, 又β<α,∴α-β>0,即0<α-β<π2. 思维升华 求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a +b +c =0,则c a的取值范围是( ) A .-3<c a<-1 B .-1<c a <-13 C .-2<c a<-1 D .-1<c a <-12 答案 A解析 因为a >b >c ,2a +b +c =0,所以a >0,c <0,b =-2a -c ,因为a >b >c ,所以-2a -c <a ,即3a >-c ,解得c a>-3, 将b =-2a -c 代入b >c 中,得-2a -c >c ,即a <-c ,得c a <-1,所以-3<c a <-1. (2)已知1<a <b <3,则a -b 的取值范围是________,a b的取值范围是________. 答案 (-2,0) ⎝⎛⎭⎫13,1解析 ∵1<b <3,∴-3<-b <-1,又1<a <3,∴-2<a -b <2,又a <b ,∴a -b <0,∴-2<a -b <0,又13<1b <1a ,∴a3<ab <1,又a3>13,∴13<ab <1.综上所述,a -b 的取值范围为(-2,0);a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13,1.课时精练1.已知a >0,b >0,M =a +b ,N =a +b ,则M 与N 的大小关系为() A .M >NB .M <NC .M ≤ND .M ,N 大小关系不确定答案 B解析 M 2-N 2=(a +b )-(a +b +2ab )=-2ab <0,∴M <N .2.已知非零实数a ,b 满足a <b ,则下列命题成立的是( )A .a 2<b 2B .ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 若a <b <0,则a 2>b 2,故A 不成立;若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0,a <b ,则a 2b <ab 2,故B 不成立;若a =1,b =2,则b a =2,a b =12,b a >a b ,故D 不成立,由不等式的性质知,C 正确.3.已知-3<a <-2,3<b <4,则a 2b 的取值范围为( )A .(1,3) B.⎝⎛⎭⎫43,94C.⎝⎛⎭⎫23,34D.⎝⎛⎭⎫12,1答案 A解析 因为-3<a <-2,所以a 2∈(4,9),而3<b <4,故a 2b 的取值范围为(1,3).4.若a >1,m =log a (a 2+1),n =log a (a +1),p =log a (2a ),则m ,n ,p 的大小关系是() A .n >m >p B .m >p >nC .m >n >pD .p >m >n答案 B解析 由a >1知,a 2+1-2a =(a -1)2>0,即a 2+1>2a ,而2a -(a +1)=a -1>0,即2a >a +1,∴a 2+1>2a >a +1,而y =log a x 在定义域上单调递增,∴m >p >n .5.已知a ,b ∈R ,则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 不妨令a =1,b =0,故|a |>|b |不能推出a b >1,若a b >1,故a ,b 同号,若a ,b 都大于0,则a >b >0,从而|a |>|b |;若a ,b 都小于0,则a <b <0,从而|a |>|b |,故a b >1能推出|a |>|b |,从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件.6.(2022·济宁模拟)已知x >y >z ,x +y +z =0,则下列不等式恒成立的是() A .xy >yz B .xy >xzC .xz >yzD .x |y |>|y |z答案 B解析 因为x >y >z ,x +y +z =0,所以x >0,z <0,y 的符号无法确定,对于A ,因为x >0>z ,若y <0,则xy <0<yz ,故A 错误;对于B ,因为y >z ,x >0,所以xy >xz ,故B 正确;对于C ,因为x >y ,z <0,所以xz <yz ,故C 错误;对于D ,因为x >z ,当|y |=0时,x |y |=|y |z ,故D 错误.7.设a ,b ,c ,d 为实数,且a >b >0>c >d ,则下列不等式正确的是( )A .c 2>cdB .a -c <b -dC .ac <bdD.c a -d b >0 答案 D解析 因为a >b >0>c >d ,所以a >b >0,0>c >d ,对于A ,因为0>c >d ,由不等式的性质可得c 2<cd ,故选项A 错误;对于B ,取a =2,b =1,c =-1,d =-2,则a -c =3,b -d =3,所以a -c =b -d ,故选项B 错误;对于C ,取a =2,b =1,c =-1,d =-2,则ac =-2,bd =-2,所以ac =bd ,故选项C 错误;对于D ,因为a >b >0,d <c <0,则ad <bc ,所以c a >d b, 故c a -d b>0,故选项D 正确. 8.若0<a <1,b >c >1,则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c -a b -a >c b C .c a -1<b a -1D .log c a <log b a答案 D解析 对于A ,∵b >c >1,∴b c>1. ∵0<a <1,则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0=1,故选项A 错误;对于B ,若c -a b -a >c b, 则bc -ab >bc -ac ,即a (c -b )>0,这与0<a <1,b >c >1矛盾,故选项B 错误;对于C ,∵0<a <1,∴a -1<0.∵b >c >1,∴c a -1>b a -1,故选项C 错误;对于D ,∵0<a <1,b >c >1,∴log c a <log b a ,故选项D 正确.9.已知M =x 2+y 2+z 2,N =2x +2y +2z -π,则M ________N .(填“>”“<”或“=”) 答案 >解析 M -N =x 2+y 2+z 2-2x -2y -2z +π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3≥π-3>0,故M >N .10.(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0,已知下列不等式:①a +b <ab ;②|a |>|b |;③a <b ;④b a +a b>2.其中正确的不等式的序号为________.答案 ①④解析 因为1a <1b<0, 所以b <a <0,故③错误;所以a +b <0<ab ,故①正确;所以|a |<|b |,故②错误;所以b a >0,a b >0且均不为1,b a +a b ≥2b a ·a b =2,当且仅当b a =a b =1时,等号成立,所以b a +a b>2,故④正确. 11.若0<a <b ,且a +b =1,则将a ,b ,12,2ab ,a 2+b 2从小到大排列为________________. 答案 a <2ab <12<a 2+b 2<b 解析 方法一 令a =13,b =23, 则2ab =49,a 2+b 2=19+49=59, 故a <2ab <12<a 2+b 2<b . 方法二 ∵0<a <b 且a +b =1,∴a <12<b <1,∴2b >1且2a <1, ∴a <2b ·a =2a (1-a )=-2a 2+2a=-2⎝⎛⎭⎫a -122+12<12, 即a <2ab <12. 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab >1-12=12, 即a 2+b 2>12.∵12<b <1, ∴(a 2+b 2)-b =[(1-b )2+b 2]-b =2b 2-3b +1=(2b -1)(b -1)<0,即a 2+b 2<b ,综上可知a <2ab <12<a 2+b 2<b . 12.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫-3π2,π2 解析 ∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.∵-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2, ∴-3π2<2α-β<3π2. 又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2. 故-3π2<2α-β<π2.13.(2022·长沙模拟)设实数a ,b ,c 满足b +c =6-4a +3a 2,c -b =4-4a +a 2,则下列不等式恒成立的是( )A .c <bB .b ≤1C .b ≤aD .a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b +c =6-4a +3a 2,c -b =4-4a +a 2, 两式相减得2b =2a 2+2,即b =a 2+1,∴b ≥1.又b -a =a 2+1-a =⎝⎛⎭⎫a -122+34>0, ∴b >a .而c -b =4-4a +a 2=(a -2)2≥0,∴c ≥b ,从而c ≥b >a .14.实数a ,b ,c ,d 满足下列三个条件:①d >c ;②a +b =c +d ;③a +d <b +c .那么a ,b ,c ,d 的大小关系是________.答案 b >d >c >a解析 由题意知d >c ①,②+③得2a +b +d <2c +b +d ,化简得a <c ④,由②式a +b =c +d及a <c 可得到,要使②成立,必须b >d ⑤成立,综合①④⑤式得到b >d >c >a .15.已知函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (1)=0,且a >b >c ,则c a的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫-2,-12 解析 因为f (1)=0,所以a +b +c =0,所以b =-(a +c ).又a >b >c ,所以a >-(a +c )>c ,且a >0,c <0,所以1>-a +c a >c a ,即1>-1-c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <-1,c a >-2,解得-2<c a <-12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫-2,-12. 16.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(1)男学生人数多于女学生人数;(2)女学生人数多于教师人数;(3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ,女学生人数为y ,教师人数为z ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ,y >z ,2z >x ,且x ,y ,z均为正整数.①当z =4时,8>x >y >4,∴x 的最大值为7,y 的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2,当x =3时,条件不成立,当x =4时,条件不成立,当x =5时,5>y >z >52,此时z =3,y =4.∴该小组人数的最小值为12.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+By+C>0 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax+By+C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.( √ ) (2)不等式Ax +By +C >0表示的平面区域一定在直线Ax +By +C =0的上方.( × ) (3)点(x 1,y 1),(x 2,y 2)在直线Ax +By +C =0同侧的充要条件是(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )>0,在异侧的充要条件是(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )<0.( √ )(4)目标函数z =ax +by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax +by -z =0在y 轴上的截距.( × )教材改编题1.某校对高三美术生划定录取分数线,专业成绩x 不低于95分,文化课总分y 高于380分,体育成绩z 超过45分,用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95,y ≥380,z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95,y >380,z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95,y >380,z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95,y >380,z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”, ∴x ≥95,y >380,z >45.2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1<0,x +y -3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析 将点(0,0)代入x -y +1<0不成立,则点(0,0)不在不等式x -y +1<0所表示的平面区域内, 将点(0,0)代入x +y -3≥0不成立,则点(0,0)不在不等式x +y -3≥0所表示的平面区域内, 所以表示的平面区域不包括原点,排除A ,C ;x -y +1<0不包括边界,用虚线表示,x +y -3≥0包括边界,用实线表示,故选D. 3.设变量x ,y 满足约束条件:⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≤0,x -y ≥0,y ≥0,则目标函数z =x +2y 的最大值为________.答案 92解析 根据不等式组作出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,当目标函数z =x +2y 经过点⎝⎛⎭⎫32,32时,z 取最大值为92.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤2,2x -y ≥1,y +1≥0表示的平面区域的面积为______.答案 3解析 画出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,联立⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2,2x -y =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,即A (1,1), 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x -y =1,y =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =-1,即B (0,-1), 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2,y =-1, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-1,即C (3,-1), S △ABC =12×|3-0|×|1-(-1)|=3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≥0,2x -y -2≤0,x >m 表示的平面区域为三角形,则实数m 的取值范围为____________. 答案 (-∞,3)解析 根据题意,先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≥0,2x -y -2≤0表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -2,y =x +1,可得A (3,4), 要使不等式组表示的平面区域为三角形,只需m <3, 所以m 的取值范围为(-∞,3).教师备选已知点A (3,0),B (-3,2),若直线ax -y -1=0与线段AB 总有公共点,则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤-1,13 B .(-∞,-1]∪⎣⎡⎭⎫13,+∞ C.⎣⎡⎦⎤-13,1 D.⎝⎛⎦⎤-∞,-13∪[1,+∞) 答案 B解析 因为直线ax -y -1=0与线段AB 总有公共点, 所以点A 和点B 不同在直线的一侧, 所以(3a -0-1)(-3a -2-1)≤0, 解得a ≤-1或a ≥13.即a 的取值范围是(-∞,-1]∪⎣⎡⎭⎫13,+∞. 思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状,求解时先作出满足条件的平面区域,然后判断其形状.(2)根据平面区域的形状求解参数问题,求解时通常先作出满足条件的平面区域,但要注意对参数进行必要的讨论.跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x +y ≥2,3x +y ≤5所表示的平面区域被直线y =kx +2分成面积相等的两个部分,则实数k 的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分(含边界)所示,B (0,5),因为直线y =kx +2过定点C (0,2), 所以C 点在可行域内,要使直线y =kx +2将可行域分成面积相等的两部分, 则直线y =kx +2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2,3x +y =5,解得⎝⎛⎭⎫32,12,即A ⎝⎛⎭⎫32,12, 所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34,114,将D 的坐标代入直线y =kx +2,得114=34k +2,解得k =1.题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,x -y ≤0,2x +3y -1≤0,则z =x -12y 的最小值是( )A .-2B .-32C .-12 D.110答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示,作出直线y =2x 并平移,数形结合可知,当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +3y -1=0,x +1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =1, 所以A (-1,1),z min =-1-12=-32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ,y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2≥0,x -2y +1≤0,x +y -2≤0上,则y +1x -2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤-2,-13 B.⎣⎡⎦⎤-2,-32 C.⎣⎡⎦⎤-2,13 D.⎣⎡⎦⎤-13,2 答案 A解析 作出点P (x ,y )所在的平面区域,如图中阴影部分(含边界)所示,y +1x -2表示动点P 与定点Q (2,-1)连线的斜率. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y +1=0,x +y -2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1.于是k QE =1+11-2=-2,k QF =0+1-1-2=-13.因此-2≤y +1x -2≤-13.(2)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x -y ≤0,x +y -3≤0,x ≥0,则(x -1)2+y 2的最小值为( )A .1 B.45 C.255 D .2答案 B解析 结合题意作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分(含边界)所示,而(x -1)2+y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方, 又(1,0)到直线2x -y =0的距离为25, 故(x -1)2+y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0,x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -2≥0,x +y -3≤0,y ≥k x -3,若z =2x +y 的最小值为1,则k 等于( )A .3B .5 C.12 D.14答案 A解析 由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示,作直线l :2x +y =0,平移直线l ,只有当l 过点B 时,z =2x +y 取得最小值, 易知B (2,-k ), ∴4-k =1,解得k =3. 教师备选1.(2022·六安模拟)已知实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,y -2≥0,x +y -5≤0,则z =2x +y 的最大值为( )A .4B .5C .8D .10 答案 C解析 不等式组表示的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,由z =2x +y ,得y =-2x +z , 作出直线y =-2x ,向上平移过点C 时,z =2x +y 取得最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧ y -2=0,x +y -5=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =2,即C (3,2), 所以z =2x +y 的最大值为2×3+2=8. 2.已知实数x ,y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0,2x +y -5≤0,y ≥1,则z =x 2+y 2的最大值为________.答案 10解析 根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0,2x +y -5≤0,y ≥1,画出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,z =x 2+y 2是指可行域内的动点(x ,y )与定点(0,0)之间的距离的平方, 由图可知,点P 到原点O 的距离的平方最大,又因为⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2=0,2x +y -5=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =3,所以P (1,3), 故z max =12+32=10.3.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥a ,x -y ≤-1,且z =x +ay 的最小值为7,则a =________.答案 3解析 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分(含边界)所示,联立⎩⎪⎨⎪⎧x -y =-1,x +y =a ,解得⎩⎨⎧x =a -12,y =a +12,∴A ⎝⎛⎭⎫a -12,a +12.①当a =0时,A ⎝⎛⎭⎫-12,12,x =z 无最小值,不满足题意; ②当a <0时,由z =x +ay 得y =-1a x +za,要使z 最小,则直线y =-1a x +za 在y 轴上的截距最大,满足条件的最优解不存在;③当a >0时,由z =x +ay 得y =-1a x +za,由图可知,当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小,z 最小,此时,-1a ≥-1,即a ≥1,此时z =a -12+a ·a +12=a 2+2a -12=7.即a 2+2a -15=0, 解得a =3或a =-5(舍). 思维升华 常见的三类目标函数 (1)截距型:形如z =ax +by . (2)距离型:形如z =(x -a )2+(y -b )2. (3)斜率型:形如z =y -bx -a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2),点B (x ,y )的坐标x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤3,2x -y -2≤0,x ≥1,则OA →·OB →的取值范围是________. 答案 [1,5]解析 作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤3,2x -y -2≤0,x ≥1的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示.设z =OA →·OB →,则z =x +2y , 将z =x +2y 化为y =-12x +z 2,由图象可得,当直线y =-12x +z2过点A (1,2)时,z 取最大值,最大值为5.当直线y =-12x +z2过点C (1,0)时,z 取最小值,最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5].(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -5≤0,y -2≥0,x -1≥0,则z =x +2y +3x +1的最小值是______. 答案 52解析 作出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,z =x +2y +3x +1=1+2y +1x +1,其中k =y +1x +1表示可行域内点P (x ,y )与定点Q (-1,-1)连线的斜率,由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -5=0,y =2得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =2,即C (3,2), 由图可得k min =k CQ =2+13+1=34, 所以z min =1+2×34=52.(3)(2022·金华模拟)已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0,若z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则a 的值为________. 答案 -1或2解析 作出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,作直线l :y -ax =0,在z =y -ax 中,y =ax +z ,a 是斜率,z 是纵截距,直线向上平移,z 增大,因此要使最大值的最优解不唯一,则直线l 与AB 或AC 平行, 所以a =-1或a =2.题型三 实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求,也提供了大量的就业岗位,出现了大批快递员.某快递公司接到甲、乙两批快件,基本数据如下表:体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务,小马的送货车载货的最大容积为350立方分米,最大载重量为250千克,小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A .150元 B .170元 C .180元 D .200元答案 B解析 设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件,则x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x +10y ≤350,10x +20y ≤250,x ≥0,y ≥0,x ,y ∈N ,即⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≤35,x +2y ≤25,x ≥0,y ≥0,x ,y ∈N ,小马派送完毕获得的工资z =8x +10y (元), 画出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =35,x +2y =25,解得x =15,y =5, 所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值, 故z max =8×15+10×5=170(元).所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元. 教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A .180 000元 B .216 000元 C .189 000元 D .256 000元答案 B解析 设生产产品A 为x 件,产品B 为y 件,获利z 元. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ∈N ,y ∈N ,目标函数z =2 100x +900y ,作出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示.将z =2 100x +900y 化为y =-73x +z900,由图象可得,当直线y =-73x +z900过点M 时,在y 轴上的截距最大,即z 最大.联立⎩⎪⎨⎪⎧x +0.3y =90,5x +3y =600,得M (60,100),∴z max =2 100×60+900×100=216 000(元), ∴利润最大为216 000元.思维升华 解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题; (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题;(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案.跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆,运送这批水果的费用最少为( ) A .2 400元 B .2 560元 C .2 816元 D .4 576元答案 B解析 设甲型车x 辆,乙型车y 辆,运送这批水果的费用为z 元, 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8,0≤y ≤4,24x +30y ≥180,x ∈N ,y ∈N目标函数z =320x +504y , 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ,y ∈N ,0≤x ≤8,0≤y ≤4,24x +30y ≥180所表示的平面区域,如图所示的阴影部分(含边界).作直线320x +504y =0,并平移,结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时,z 取得最小值, 即z min =8×320+0×504=2 560(元).课时精练1.将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +2≥0,x +y <0表示的平面区域记为F ,则属于F 的点是( )A .(1,1)B .(-1,1)C .(-1,-1)D .(1,-1)答案 C解析 将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0,2>0,故不在区域F 内,将点(-1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧-1<0,0=0,故不在区域F 内,将点(-1,-1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0,-2<0,故在区域F 内,将点(1,-1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0,0=0,故不在区域F 内.2.(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -3≤0,x +y ≥0,x -y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A .12B .6C .9D .15 答案 C解析 作出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,由⎩⎪⎨⎪⎧ x -3=0,x -y =0得A (3,3), 由⎩⎪⎨⎪⎧x -3=0,x +y =0得B (3,-3), 所以可行域的面积为12×3×6=9.3.(2021·全国乙卷)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥4,x -y ≤2,y ≤3,则z =3x +y 的最小值为( )A .18B .10C .6D .4 答案 C解析 方法一 (数形结合法)作出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,作出直线y =-3x ,并平移,数形结合可知,当平移后的直线经过点A 时,直线y =-3x +z 在y 轴上的截距最小,即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =4,y =3得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =3,即点A 的坐标为(1,3).从而z =3x +y 的最小值为3×1+3=6.方法二 (代点比较法)画图易知,题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域,所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可.易知直线x +y =4与y =3的交点坐标为(1,3),直线x +y =4与x -y =2的交点坐标为(3,1),直线x -y =2与y =3的交点坐标为(5,3),将这三个顶点的坐标分别代入z =3x +y 可得z 的值分别为6,10,18,所以比较可知z min =6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x +y ≥4,所以3x +3y ≥12. ① 因为y ≤3,所以-2y ≥-6.②于是,由①+②可得3x +3y +(-2y )≥12+(-6),即3x +y ≥6,当且仅当x +y =4且y =3,即x =1,y =3时不等式取等号,易知此时不等式x -y ≤2成立. 4.不等式(x -2y +1)(x +y -3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )答案 C解析 (x -2y +1)(x +y -3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y +1≥0,x +y -3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +1≤0,x +y -3≥0,即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分,只有选项C 符合题意.5.(2022·长沙模拟)若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥0,x -y ≥0,x ≤1,则z =2x -y 的取值范围是( )A .[0,3]B .[1,3]C .[-3,0]D .[-3,-1]答案 A解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥0,x -y ≥0,x ≤1表示的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,联立⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,x +y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-1,即B (1,-1),化目标函数z =2x -y 为y =2x -z ,由图可知,当直线y =2x -z 过原点时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最小值,为2×0-0=0;当直线y =2x -z 过点B 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最大值,为2×1-(-1)=3, ∴z =2x -y 的取值范围是[0,3].6.一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价4元,乙每件进价7元,甲商品每卖出去1件可赚1元,乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A .甲7件,乙3件 B .甲9件,乙2件 C .甲4件,乙5件 D .甲2件,乙6件答案 D解析 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ,y 件,利润为z 元,由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x +7y ≤50,x ,y ∈N ,z =x +1.8y ,画出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,结合实际情况,显然当y =-59x +59z 经过整点A (2,6)时,z 最大.7.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -6≤0,x +y -1≥0,2x -y +1≥0,则z =y -1x +1的最大值是( )A.127 B.12 C .1 D .2答案 A解析 作出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,z =y -1x +1表示可行域中的点(x ,y )与点P (-1,1)的连线的斜率, 由图可知z =y -1x +1的最大值在A 点取得,由⎩⎪⎨⎪⎧x -6=0,2x -y +1=0, 得A (6,13), 所以z max =13-16+1=127.8.在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13,且获得一等奖的人数不能少于2人,那么下列说法中错误的是( )A .最多可以购买4份一等奖奖品B .最多可以购买16份二等奖奖品C .购买奖品至少要花费100元D .共有20种不同的购买奖品方案 答案 D解析 设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ,y (x ,y ∈N *),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x +10y ≤200,3x ≤y ,x ≥2,作出该不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分(含边界)所示,由图可知,2≤x ≤4,6≤y ≤16,故x 可取2,3,4,故最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品, 购买奖品至少要花费2×20+6×10=100(元),故A ,B ,C 正确; 当x =2时,y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,共有11种, 当x =3时,y 可取9,10,11,12,13,14,共6种, 当x =4时,y 可取12,共1种, 故共有11+6+1=18(种),故D 不正确.9.已知点(1,1)在直线x +2y +b =0的下方,则实数b 的取值范围是________. 答案 (-∞,-3)解析 因为点(1,1)在直线x +2y +b =0的下方,所以1+2+b <0,解得b <-3. 10.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≤0,x +y -2≥0,x -3y +6≥0,则2y4x 的最小值为________. 答案 18解析 画出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,2y 4x =2y -2x,若使2y -2x 最小,需y -2x 最小. 令z =y -2x ,则y =2x +z , z 表示直线在y 轴上的截距,根据平移知,当x =3,y =3时,z =y -2x 有最小值为-3, 则2y 4x 的最小值为2-3=18. 11.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +4≥0,x +y -1≥0,x ≤1,若直线y =k (x -1)将可行域分成面积相等的两部分,则实数k 的值为________. 答案 -4解析 画出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,其中A (1,6),B (1,0),C (-1,2).由于直线y =k (x -1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分,所以当直线y =k (x -1)过线段AC 的中点D (0,4)时,△ABD 和△BCD 的面积相等, 此时k =k BD =4-00-1=-4.12.现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名,杂工15名,有7台电脑机,每台电脑机每天可给12件衣服锁边;有5台普通机,每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有100件衣服需要锁边,用电脑机每台需配锁边工1名,杂工2名,用普通机每台需要配锁边工1名,杂工1名,用电脑机给一件衣服锁边可获利8元,用普通机给一件衣服锁边可获利6元,则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元. 答案 780解析 设每天安排电脑机和普通机各x ,y 台, 则一天可获利z =12×8x +10×6y =96x +60y , 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤10,2x +y ≤15,12x +10y ≥100,0<x ≤7,0<y ≤5,画出可行域(图略),可知当目标函数经过(5,5)时,z max =780.13.(2022·郑州模拟)已知M (x ,y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y -2≤0,x +y +2≥0,y ≤1所表示的平面区域内的任意一点,且M (x ,y )满足x 2+y 2≤a ,则a 的最小值为( ) A .3 B .4 C .9 D .10 答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y -2≤0,x +y +2≥0,y ≤1所表示的可行域,如图中的阴影部分(含边界)所示,联立⎩⎪⎨⎪⎧x +y +2=0,y =1,可得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3,y =1,即点A (-3,1),同理可得B (3,1),C (0,-2), 且OA =OB =10,OC =2,x 2+y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ,y )的距离的平方,由图可知,当点M 与点A 或点B 重合时,OM 取最大值,故x 2+y 2的最大值为10, ∴a ≥10,即a 的最小值为10.14.已知实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≤0,x ≥a ,x ≤y ,且z =2x -y 的最大值是最小值的2倍,则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析 根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,作出直线l :y =2x ,平移直线l ,由图可知,当直线经过点D 时,直线在y 轴上的截距最小, 此时z =2x -y 取得最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2=0,x =y ,可得D (1,1), 所以z =2x -y 的最大值是1;当直线经过点B 时,直线在y 轴上的截距最大, 此时z =2x -y 取得最小值,由⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2=0,x =a ,可得B (a ,2-a ), 所以z =2x -y 的最小值是3a -2, 因为z =2x -y 的最大值是最小值的2倍, 所以6a -4=1,解得a =56.15.实数对(x ,y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y -2≤0,x +2y -5≥0,y -2≤0,且目标函数z =kx -y 当且仅当x =3,y =1时取最大值,则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫-12,+∞ B.⎣⎡⎭⎫-12,1 C.⎝⎛⎭⎫-12,1 D .(-∞,1]答案 C解析 作出可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,其中A (1,2),B (4,2),C (3,1),由z =kx -y ,将直线l :y =kx -z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为-z , 因此直线在y 轴上截距最小时,目标函数z 达到最大值. 因为当且仅当l 经过点C (3,1)时,目标函数z 达到最大值, 所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间, k AC =1-23-1=-12,k BC =2-14-3=1,所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-12,1. 16.(2022·宜春模拟)设实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -6≥0,x +2y -6≤0,y ≥0,则2y 2-xy x 2的最小值是________. 答案 -18解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示,k =yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率, 由图象可知,OA 的斜率最大,由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -6=0,x +2y -6=0得A (2,2), ∴0≤k ≤1,∴2y 2-xy x 2=2⎝⎛⎭⎫y x 2-y x=2k 2-k =2⎝⎛⎭⎫k -142-18≥-18⎝⎛⎭⎫当且仅当k =14时,取到最小值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2013高考数学一轮复习试题 9-7 理A 级 基础达标演练 (时间:40分钟 满分:60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( ). A.18 B .-18C .8D .-8 解析 抛物线的标准方程为x 2=1a y ,由条件得2=-14a ,a =-18.答案 B2.(2011·惠州调研)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 26+y 22=1的右焦点重合,则p 的值为( ).A .-2B .2C .-4D .4解析 因为椭圆x 26+y 22=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y 2=2px 的焦点为(2,0),则p =4.答案 D3.(2012·合肥月考)已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,则p 的值为( ).A.12B .1C .2D .4 解析 抛物线y 2=2px (p >0)的准线为x =-p2,圆x 2+y 2-6x -7=0,即(x -3)2+y 2=16,则圆心为(3,0),半径为4;又因抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,所以3+p2=4,解得p =2. 答案 C4.(2011·全国新课标)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ).A .18B .24C .36D .48 解析 如图,设抛物线方程为y 2=2px (p >0).∵当x =p2时,|y |=p ,∴p =|AB |2=122=6.又P 到AB 的距离始终为p , ∴S △ABP =12×12×6=36.答案 C5.(2011·广州调研)从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为( ). A .5 B .10 C .20 D.15解析 由抛物线方程y 2=4x 易得抛物线的准线l 的方程为x =-1,又由|PM |=5可得点P 的横坐标为4,代入y 2=4x ,可求得其纵坐标为±4,故S △MPF =12×5×4=10.答案 B二、填空题(每小题4分,共12分)6.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点,|AF |=2,则|BF |=________. 解析 ∵y 2=4x ,∴p =2,F (1,0),又∵|AF |=2,∴x A +p2=2,∴x A +1=2,∴x A =1.即AB⊥x 轴,F 为AB 的中点. ∴|BF |=|AF |=2. 答案 27.(2012·菏泽调研)已知动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.解析 设动圆的圆心坐标为(x ,y ),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x =-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x . 答案 y 2=4x8.(2011·河南洛阳、安阳统考)点P 在抛物线x 2=4y 的图象上,F 为其焦点,点A (-1,3),若使|PF |+|PA |最小,则相应P 的坐标为________.解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离,所以过点A 作抛物线准线的垂线,与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,14即为所求点P 的坐标,此时|PF |+|PA |最小. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,14三、解答题(共23分)9.(11分)已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点M (-3,m )到焦点的距离为5,求抛物线的方程和m 的值.解 法一 根据已知条件,抛物线方程可设为y 2=-2px (p >0),则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,0.∵点M (-3,m )在抛物线上,且|MF |=5,故⎩⎪⎨⎪⎧m 2=6p , ⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+p 22+m 2=5,解得⎩⎨⎧p =4,m =26或⎩⎨⎧p =4,m =-2 6.∴抛物线方程为y 2=-8x ,m =±2 6.法二 设抛物线方程为y 2=-2px (p >0),则准线方程为x =p2,由抛物线定义,M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离,所以有p2-(-3)=5,∴p =4.∴所求抛物线方程为y 2=-8x ,又∵点M (-3,m )在抛物线上,故m 2=(-8)×(-3),∴m =±2 6.10.(★)(12分)抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求该抛物线的方程. 解 依题意,设抛物线方程为y 2=2px (p >0), 则直线方程为y =-x +12p .设直线交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点, 过A 、B 分别作准线的垂线,垂足分别为C 、D , 则由抛物线定义得|AB |=|AF |+|FB |=|AC |+|BD | =x 1+p 2+x 2+p2,即x 1+x 2+p =8.①又A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是抛物线和直线的交点, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +12p ,y 2=2px ,消去y ,得x 2-3px +p 24=0,所以x 1+x 2=3p .将其代入①得p =2,所以所求抛物线方程为y 2=4x . 当抛物线方程设为y 2=-2px (p >0)时, 同理可求得抛物线方程为y 2=-4x .综上,所求抛物线方程为y 2=4x 或y 2=-4x .【点评】 1根据问题的条件,抛物线方程可能是y 2=2px p >0,也可能是y 2=-2px p >0,任何一种情况都不要漏掉.2要由定“性”和“量”两个方面来确定抛物线的方程.定“性”,即确定开口方向,便于设抛物线的方程.定“量”,即求所设方程中的参数p .B 级 综合创新备选 (时间:30分钟 满分:40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y 2=2px (p >0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ,则( ). A .n =0 B .n =1 C .n =2 D .n ≥3解析 结合图象可知,过焦点斜率为33和-33的直线与抛物线各有两个交点,所以能够构成两组正三角形.本题也可以利用代数的方法求解,但显得有些麻烦. 答案 C2.(2011·台州模拟)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,F 关于原点的对称点为P ,过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点,有下列四个命题:①△PMN 必为直角三角形;②△PMN 不一定为直角三角形;③直线PM 必与抛物线相切;④直线PM 不一定与抛物线相切. 其中正确的命题是( ).A .①③B .①④C .②③D .②④解析 因为|PF |=|MF |=|NF |,故∠FPM =∠FMP ,∠FPN =∠FNP ,从而可知∠MPN =90°,故①正确,②错误:令直线PM 的方程为y =x +p2,代入抛物线方程可得y 2-2py +p 2=0,Δ=0,所以直线PM 与抛物线相切,故③正确,④错误.答案 A二、填空题(每小题4分,共8分)3.(2011·重庆)设圆C 位于抛物线y 2=2x 与直线x =3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C 的半径能取到的最大值为________.解析 依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆心位于x 轴上时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0<a <3),则由条件知圆的方程是(x -a )2+y 2=(3-a )2.由⎩⎪⎨⎪⎧x -a 2+y 2=3-a2y 2=2x 消去y 得x 2+2(1-a )x +6a -9=0,结合图形分析可知,当Δ=[2(1-a )]2-4(6a -9)=0且0<a <3,即a =4-6时,相应的圆满足题目约束条件,因此所求圆的最大半径是3-a =6-1.答案 6-14.(2011·济南模拟)抛物线y =-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是________. 解析 如图,设与直线4x +3y -8=0平行 且与抛物线y =-x 2相切的直线为4x +3y +b =0,联立方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y =-x 2,4x +3y +b =0.即3x 2-4x -b =0,则Δ=16+12b =0,求得b =-43,所以切线方程为4x +3y -43=0,则切点到直线4x +3y -8=0的距离也就是所求的最小值,此最小值也即为两直线间的距离,为⎪⎪⎪⎪⎪⎪-8+435=43.答案 43三、解答题(共22分)5.(10分)设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,Q 是抛物线上除顶点外的任意一点,直线QO 交准线于P 点,过Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R 点,求证:PF →·RF →=0.证明 y 2=2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0准线为x =-p2.设Q (x 0,y 0)(x 0≠0),则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p2,y 0,直线OQ 的方程为y =y 0x 0x ,此直线交准线x =-p2于P 点, 易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,-py 02x 0.∴y 20=2px 0,∴PF →·RF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫p ,py 02x 0·(p ,-y 0)=p 2-py 202x 0=p 2-p 2=0.6.(12分)(2012·厦门模拟)如图所示,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P (1,2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率.解 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px (p >0). ∵点P (1,2)在抛物线上,∴22=2p ×1,解得p =2. 故所求抛物线的方程是y 2=4x ,准线方程是x =-1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , 则k PA =y 1-2x 1-1(x 1≠1),k PB =y 2-2x 2-1(x 2≠1), ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴k PA =-k PB . 由A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)均在抛物线上,得y 21=4x 1,① y 22=4x 2,②∴y 1-214y 21-1=-y 2-214y 22-1,∴y 1+2=-(y 2+2). ∴y 1+y 2=-4.由①-②得,y 21-y 22=4(x 1-x 2), ∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2=-1(x 1≠x 2).。