6.6 子空间的交与和
§5子空间的交与和直和
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12
L ( 1 , 2 , … , r ) W . 2) 设 V 是一个有限维线性空间, W 是 V 的一个 子空间, 则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r是 W 的一组基，就有 W = L ( 1 , 2 , … , r ) .
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6
例5 在线性空间P n中，齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2
次线性方程组的解空间.
a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
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8
( A B) A B A B ( A B)
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16
定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一 个 m 维子空间, 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 ,那么 这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是说在V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n , 使得 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基 . 证 对维数差 n - m 作归纳法, 当 n - m = 0时, 定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立, 我们考虑n - m = k + 1的情形. 既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线
高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
6.6%20%20子空间的交与和
∵ kα + l β ∈ V1 ,
∴ kα + l β ∈ V1 ∩ V2 ,
kα + l β ∈ V2 ,
因此V1 ∩ V2 是V的子空间。 又 ∵ 0 ∈ V1 , 0 ∈ V2 , ∴ 0 = 0 + 0 ∈ V1 ∪ V2 , 故 V1 ∪ V2 非空。 对 ∀α , β ∈ V1 ∪ V2 , 其中 对
L ( α1 , α 2 , ,α r ) + L ( β1 , β 2 , , β s ) = L (α1 , ,α r , β1 , , βs )
证：对
∀x ∈ L ( α 1 , α 2 ,
,α r ) + L ( β1 , β 2 ,
, βs )
x =α + β,
α ∈ L ( α1 ,
+ k rα r ,
∴ V1 ∪ V2 也是V的子空间。
kα + l β = k ( α 1 + α 2 ) + l ( β 1 + β 2 )
要注意的是，两个子空间的交与集合的交的概念是一样 的，但两个子空间的和与两个集合的和的概念是不同的，按 照两个集合和（并）的运算法则，把两个子空间的向量放到 一起，这样形成的集合不一定是V的子空间。 例如，设
,α r ) , β ∈ L ( β1 ,
, βs )
∴ α = k1α1 +
x = k1α1 +
∴ L (α1 ,
β = l1 β 1 +
+ ls β s ,
,α r , β1 ,
, βs )
+ krα r + l1 β 1 +
,α r ) + L ( β1 ,
高等代数§6.6 子空间的交与和
也为V的子空间，称为 V 1 , V 2 , , V s 的交空间.
二、子空间的和
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V 2 { a1 a 2 | a1 V1 , a 2 V 2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
事实上， 0 V 1 , 0 V 2 , 0 0 0 V 1 V 2
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n 0 b x b x b x 0 12 2 1n n 11 1 b t 1 x 1 b t 2 x 2 b tn x n 0
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
一、子空间的交
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V 2 { a | a V1且 a V 2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间. 事实上， 0 V 1 , 0 V 2 , 0 V 1 V 2 任取 , V 1 V 2 , 即 , V 1 , 且 , V 2 , 则有 V 1 , V 2 , V 1 V 2 同时有 k V 1 , k V 2 , k V 1 V 2 , k P 故 V 1 V 2 为V的子空间.
证：设 d im V 1 n 1 , d im V 2 n 2 , d im (V 1 V 2 ) m 取 V 1 V 2 的一组基 1 , 2 , , m 由扩基定理，它可扩充为V1的一组基
子空间的交与和
§6.子空间的交与和类比引入：向量空间V 的子空间12,V V 也是两个集合，集合的运算有交集、并集、差集，那么子空间12,V V 之间有哪些类似的运算？ 定义1 12,V V 是V 子空间，记子空间的“交”：}{1212|V V V V ααα=∈∈ 且； 子空间的“并”：{}2121V V V V ∈∈=ααα或 ；子空间的“和”：}{12121122|,,V V V V αααααα+==+∈∈.思考：12,V V 是V 的非空子集，若对V 中的“加法”“数乘”运算封闭，则它们构成子空间.那么12V V ，21V V ，12V V +显然也是V 的非空子集，它们是子空间吗？ 结论：1. 12V V 是V 的子空间. 分析：i) 120V V ∈≠∅ ii)12112212,,V V V V V V V V αβαβαβαβ∈+∈⎫⎧→→+∈⎬⎨+∈⎩⎭ （）子空间 同理12()a V V α∈ 2. 21V V 不是V 的子空间. 3. 12V V +是V 子空间. 分析：i) 12V V +≠∅1211221212121212()(),()()V V V V a a a V V ααααβαβαβαββββααα=++=+++∈+⎧⎧∈+→→⎨⎨=+=+∈+⎩⎩例：3V 中,1V 表示过原点一条直线，2V 表示过原点且与1V 垂直的平面，那么{}121230,V V V V V =+= 都是V 的子空间，而21V V 不是V 的子空间. 性质：1.⎧⎨⎩加法交换律子空间和运算性质加法结合律12211212212112212112,,,,V V V V V V V V V V V V V V V V αααααα+=+∀=+∈+=+∈++⊆++⊆+则同理2.12,,V V W 是V 子空间1122W V W V V W V ⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭3. 12,,V V W 是V 子空间1122V W V V W V W ⊂⎫⇒+⊂⎬⊂⎭4. 12,V V 是V 子空间12121122V V V V V V V V ⊂⇔=⇔+=5. ￡()12,,S ααα+ ￡()12,,,t βββ= ￡()1212,,,,,,,s t αααβββ 类比集合A,B 元素个数()()card A B cardA cardB card A B +=+-维数公式：121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-Note ：1) 和的维数往往比维数之和小.2) 若n 维线性空间V 中两个子空间12,V V 的维数之和大于n ，则12,V V 必含有非零的公共向量.分析：121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 12,V V 是V 子空间，则12dim()0V V > 则12V V 含非零向量。
子空间的交和和
我们来证明，向量组
1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m
是 V1 + V2 旳一组基. 这么， V1 + V2 旳维数就等于 s + t - m , 因而维数公式成立.
因为
所以
V1 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m ) , V2 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, t - m ) .
解：1) 任取 L(1 ,2 ) L(1 , 2 )
设 x11 x22 y11 y22 ,
则有 x11 x22 y11 y22 0,
x1 x2 2 y1 y2 0
即
2
x1 x2 y1 x1 x2 3 x1 y1 7
y2 y2
y2
0 0
0
(＊)
1) 互换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
推广
多种子空间旳交
V1,V2 , V1 V2
,Vs 为线性空间V旳子空间，则集合
s
Vs Vi | Vi ,i 1,2,3, , s
i 1
也为V旳子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 旳交空间.
证明 设 V1 , V2 旳维数分别是 s , t , V1∩V2
旳维数是 m . 取 V1∩V2 旳一组基
1 , 2 , …, m .
假如 m = 0 ，这个基是空集，下面旳讨论中
1 , 2 , …, m 不出现，但讨论一样能进行. 由
定理
设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间， 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 , 那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就说
6子空间的交与和
§6子空间的交与和定理5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是V 的子空间.由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：1221V V V V =(交换律)，)()(321321V V V V V V =（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的交：si is V V V V 121==,它也是子空间.定义8 设1V ,2V 是线性空间V 的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+,而2211,V V ∈∈αα的向量组成的子集合，记作21V V +.定理6 如果1V ,2V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间.由定义有，子空间的和适合下列运算规律：1221V V V V +=+(交换律)，)()(321321V V V V V V ++=++（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的和∑==+++si is V V V V 121 .它是由所有表示成),,2,1(,21s i V i i s =∈+++αααα的向量组成的子空间.关于子空间的交与和有以下结论：1. 设W V V ,,21都是子空间，那么由1V W ⊂与2V W ⊂可推出21V V W ⊂；而由1V W ⊃与2V W ⊃可推出21V V W +⊃.2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的： 1）;21V V ⊂ 2) 121V V V = ; 3)221V V V =+.例1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是{}0，而1V 与2V 的和是整个空间.例2 在线性空间n P 中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221*********n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221*********n tn t t n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间，那么21V V 就是齐次方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0,0,0,022*******1122111212111n tn t t n n n sn s s n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a 的解空间.例3 在一个线性空间V 中，有),,,,,(),,,(),,,(112121t s t s L L L ββααβββααα =+.关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.定理7（维数公式）如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么维（1V ）+维（2V ）=维（21V V ）+维（21V V ）.从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.推论 如果n 维线性空间V 中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，那么1V ，2V 必含有非零的公共向量.。
第六节 子空间的交与和
可以定义多个子空间的交：
s
V1 V 2 V s
V
i 1
i
,
它也是子空间.
§6.6 子空间的交与和
二、子空间的和
1. 定义
定义 2 间, 称 V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 } 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
的解空间.
§6.6 子空间的交与和
例4
在一个线性空间 V 中，有 L(1 , 2 , …, s ) + L(1 , 2 , …, t )
=L(1 , …, s , 1 , …, t )
§6.6 子空间的交与和
五、子空间的交与和的维数
定理 3 (维数公式) 如果 V1 , V2 是线性空间
+ V1 ， + V2 ， 因此 + V1 ∩V2 .
对数量乘积可以同样地证明. 子空间.
§6.6 子空间的交与和
所以V1 ∩V2 是 V 的
证毕
3. 子空间的交的运算规律
1) 交换律
2) 结合律
V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
(V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
为V1 ，V2 的和.
§6.6 子空间的交与和
2. 性质 定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间. 证明 首先，由 0 V1 ，0 V2 ，可知 0 V1
+ V2 ，因而 V1 + V2 是非空的. 其次 , 如果 ,
W V1 与 W V2 可推出 W V1 ∩ V2 ； 而由 W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 . 性质 2 等价的： 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是
子空间的交并和关系证明题
子空间的交并和关系证明题1. 引言子空间是线性代数中的重要概念，它可以理解为一个向量空间中的子集，并且保持向量加法和标量乘法的性质。
子空间的交并和关系证明题是线性代数中常见的问题，通过证明子空间的性质，可以进一步深入理解向量空间的结构和性质。
本文将介绍子空间的定义、交并运算的性质以及如何进行关系证明题的推导。
2. 子空间的定义向量空间V的一个非空子集W，如果满足以下三个条件，则称W为向量空间V的子空间：•零向量0属于W；•对于任意的向量u、v属于W，其和u+v也属于W；•对于任意的向量u属于W和任意的标量c，其乘积cu也属于W。
满足这些条件的子空间可以理解为向量空间中的闭集，即经过加法和标量乘法运算后，结果仍然在子空间中。
3. 子空间的交运算给定两个子空间W1和W2，它们的交集W1∩W2定义为同时属于W1和W2的向量的集合。
根据子空间的定义，交集W1∩W2也是一个子空间。
为了证明交集W1∩W2是子空间，我们需要验证以下三个条件：•零向量0属于W1∩W2；•对于任意的向量u、v属于W1∩W2，其和u+v也属于W1∩W2；•对于任意的向量u属于W1∩W2和任意的标量c，其乘积cu也属于W1∩W2。
证明：•零向量0属于W1和W2，因此0属于W1∩W2，满足条件1；•对于任意的向量u、v属于W1∩W2，由于u属于W1且v属于W2，根据子空间的定义，u+v也属于W1和W2，因此u+v属于W1∩W2，满足条件2；•对于任意的向量u属于W1∩W2和任意的标量c，由于u属于W1和W2，根据子空间的定义，cu也属于W1和W2，因此cu属于W1∩W2，满足条件3。
综上所述，交集W1∩W2是向量空间V的子空间。
4. 子空间的并运算给定两个子空间W1和W2，它们的并集W1∪W2定义为属于W1或W2的向量的集合。
根据子空间的定义，对于并集W1∪W2，我们需要验证以下三个条件：•零向量0属于W1∪W2；•对于任意的向量u、v属于W1∪W2，其和u+v也属于W1∪W2；•对于任意的向量u属于W1∪W2和任意的标量c，其乘积cu也属于W1∪W2。
高等代数-6.6子空间的交与和
V1,V2 , ,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vi V1 V2 Vs
i 1
1 2 s | i Vi ,i 1,2,3, , s
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的和空间.
§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
§6.6 子空间的交与和
3、 1,2, ,s;1, 2, , t 为线性空间V中两组
向量，则 L(1,2, ,s ) L(1, 2, , t ) L(1,2, ,s , 1, 2, , t )
4、维数公式 （定理7）
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，则 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 或 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
一、子空间的交
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a | a V1且a V2 } 也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
事实上， 0 V1 ,0 V2 , 0 V1 V2
任取 , V1 V2 , 即 , V1, 且 , V2 , 则有 V1, V2 , V1 V2 同时有 k V1, k V2 , k V1 V2 , k P
再求 W1 W2 .
因为，W1
x
10 00
y
0 1
1 0
x, y P
L
1 0
0 0
,
0 1
1 0
W2
x
10 00
y
00 01
x, y P
L
子空间的运算
3)1)任取α∈W1+W2，假设α有两种表法：
α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2
α=β1+β2，β1∈W1，β2∈W2
则α1－β1=β2－α2∈W1∩W2．因为W1∩W2=0，所以α1=β1，α2=β2．因此，和W1+W2是直和．
定理6.5.3设W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则下列陈述彼此等价：
由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则：
1)交换律W1∩W2=W2∩W1；
2)结合律(W1∩W2)∩W3=W1∩(W2∩W3)．
由结合律，我们得到多个子空间的交：
，
且由归纳法易见， 也是V的子空间．
注类似命题6.5.1的证明可得，设I是任一指标集，若i∈I，Wi是V的子空间，则 也是V的子空间．
dim(W1∩W2)=2+2－3=1．
所以α1－4α2=(5，－2，－3，－4)是W1∩W2的一个基．
5.2直和
考察推论6.5.1成立的情形，下面引入
定义1设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间．若和W1+W2中每个向量α都能唯一地表示为
α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2，(10)
则称W1+W2为直和，记作W1W2．
W1+W2=L( ， )+L( ， )
=L( ， ， ) (6)
于是W1+W2是有限维的．若能证明 ， ， 线性无关，则它就是W1+W2的一个基，从而有dim(W1+W2) =m+(n1－m)+(n2－m)=n1+n2－m=dimW1+dimW2－dim(W1∩W2)，即维数公式成立．于是，设
62 子空间
的非空子集。 Mn (F) 的非空子集。又中 Mn (F)的运算是矩阵的加 法及数与矩阵的乘法， 法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵， 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘 积仍是上三角形矩阵，所以， 积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U 一个子空间。 是 Mn (F) 的 一个子空间。 W = {A∈ Mn (F) | | A |≠ 0}不是 Mn (F) 的子空间，因 的子空间， 阶单位矩阵I及 为n阶单位矩阵 及 – I ∈W，但 I + (−I ) = O ∉W 阶单位矩阵 ， 例3 在空间V 在空间 2里，平行于一条固定直线的一切 向量空间作成V 的一个子空间。在间间V 向量空间作成 2的一个子空间。在间间 3里，平 行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别 作成V 的子空间(6.1,例1)。 作成 3的子空间 例 。
所以 X1 + X 2 ∈VA,0 ，对于任何 a ∈ F, X ∈VA,0 ,
有A(aX ) = a( AX ),即aX ∈VA,0 。故 VA,0 对于 F n的两种
运算封闭， 的一个子空间。 运算封闭， VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。
的时候， （2）可以知道，在β≠0 的时候， VA不一定是 F n ）可以知道， 的 ,β 子空间。 都有A 子空间。因为对任何 X ,Y ∈VA，都有 (X + Y) = AX ,β +AY =β+β≠β，故 ，
两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子 空间的情形.设 的子空间.容易证 空间的情形 设W1,W2,…，Wn是V 的子空间 容易证 ， 的向量作为V 的一个子空间, 明,一切形如 ∑αi,αi ∈Wi 的向量作为 的一个子空间 一切形如
§6-6子空间的交与和
§6-6子空间的交与和复习 集合的交、集合的并定理5:如果V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的交21V V ⋂也是V 的子空间.(给出证明)子空间的交满足下列运算规律:(交换律和结合律)1221V V V V ⋂=⋂ ; )()(321321V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂ 定理5可推广到有限个子空间的交的情形.给出子空间的和的概念定义8: 设V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间, V 1和V 2的和是指所有形如221121,;V V ∈∈+αααα的向量组成的子集合,记为21V V +.定理6: 如果V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的和21V V +也是V 的子空间.(给出证明)子空间的和满足下列运算规律:1221V V V V +=+ 交换律)()(321321V V V V V V ++=++结合律多个子空间的和∑==+++si i s V V V V 121 是由形如i i s V ∈+++αααα;21 的元素组成.◎关于子空间的交与和有以下结论:1. 对V 的任意两个子空间V 1,V 2来说，}0{21⊃⋂V V ; V V V ⊂+212. 设V 1,V 2,W 都是V 的子空间,那么由21,V W V W ⊂⊂可推出21V V W ⋂⊂ 而由21,V W V W ⊃⊃可推出21V V W ⋂⊃ 3. 对于子空间V 1和V 2,以下三个论断等价:1)21V V ⊂; 2) 121V V V =⋂; 3) 221V V V =+ 例1:在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求21V V ⋂，和21V V ⋃。
答案：21V V ⋂是原点、21V V ⋃是整个空间R 3。
例2：在线性空间P n中V 1表示齐次线性方程组A m×n X=0的解空间，V 2表示B s×n X=0的解空间，则21V V ⋂是齐次线性方程组0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X B A 的解空间。
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
6.6 子空间的交与和
a11x1 a12 x2
ba1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
bt1x1 bt2 x2
a1n xn 0
asn xn 0 b1n xn 0
btn xn 0
的解空间.
例3 在线性空间V中，有以下公式成立：
例3V1 V2 L(1, 2, , m, 1, , , n1m 1, , n2 m )
V1 β1,···,βn1-m
V1∩V2
V2
α1 ,α2,···,αm γ1, ···, γn2-m
V1 + V2
下面证明： 1, 2 , , m , 1, , n1m , 1, , n2 m 线性无关
设 k11 k 22 k mm p11 p n1m n1m q11 qn2 m n2 m 0
m
n1 m
n2 m
→ kii pjj qt t V1, V2 V1 V2 ，即 可由基
qn2 m n2 m 0 →
qn2m 0 →
m
n1 m
kii pjj 0 由1, 2 ,
i=1
j=1
, m , 1,
, n1m是V1的基可知
k1 k m p1 pn1m 0 ，即 1, 2 , , m , 1, , n1m , 1, , n2 m
证明： 0 0 0 V1 V2 V1 V2 V .
, V1 V2 , 1 2, 1 2, 1, 1 V1, 2, 2 V2 →
(1 2 ) (1 2 ) (1 1) (2 2 ), 1 1 V1, 2 2 V2
子空间的交与和直和PPT文档60页
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶— —爱献 生
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
子空间的交与和
的解空间.
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13
例4 在一个线性空间V中, 有 L(1 , 2 , , s ) L( 1 , 2 , L(1 , 2 , , s , 1 , 2 , , t ).
证 L(1 ,2 ,
, t )
, t )
lt t ) lt t
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10
V1∩V2 是这两个平面的交线， V1 + V2是整 的平面， 个 3 维空间.
z
2 1 3
x o V1 y
V2
V1∩V2
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11
例3 设 V1 , V2 分别是 P 3 中齐次方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2 a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
下证
1 , 2， , m , 1 , 2 ,
, n1 m , 1 , 2 ,
, n2 m
线性无关.设 k11 km m p1 1
q1 1
pn1 m n1 m
qn2 m n2 m 0
令
k11
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4
定理6 如果V1 ,V2是V的两个子空间, 则它们的 和V1 V2也是V的子空间.
证 首先因0 0 0 V1 V2 , 所以V1 V .
其次 , V1 V2 , 有1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 , 使得
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第六章 线性空间 学习单元6： 子空间的交与和
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● 导学 学习目标：
了解子空间的交，子空间的和的构成；理解子空间的交是子空间，子空间的和是子空间；了解子空间的并不一定是子空间；理解维数公式；会求子空间的交空间的维数与基；会求子空间的和空间的维数与基。
学习建议：
本学习单元结论多，建议大家多看书，认真阅读定义、定理，多看相关习题的解答，多做习题。
重点难点：
重点：深刻理解子空间的交与和的概念。
难点：理解子空间的并、子空间的和的区别。
_________________________________________________________
● 学习内容 一、子空间的交
定理 设V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，则12V V V ≤I 。
性质 （1）1221V V V V =I I ； （2）123123()()V V V V V V =I I I I 。
推论 设V 为P 上线性空间，1,,s V V V ≤L ，则1s V V V ≤I L I 。
注 一般当12,V V V ≤时，12V V U 不一定是V 的子空间。
例 设2V P =，12{(,0)|},{(0,)|}V a a P V b b P =∈=∈，则12V V U 不是V 的子空间。
注 12V V I 是同时含在1V 和2V 中的最大的子空间，即若有12,W V W V ≤≤，则22W V V ⊆I 。
二、子空间的和
定义 设V 为P 上线性空间，12,V V V V ≤≤令
12121122{|,}V V V V αααα+=+∈∈，称12V V +为1V 与2V 的和。
定理 设V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，则12V V V +≤。
性质 （1）1221V V V V +=+； （2）123123()()V V V V V V ++=++； （3）122V V V V +++≤L 。
注：12V V +是同时含1V 和2V 的最小的子空间，即若12,,W V W V W V ≤⊇⊇，则12W V V ⊇+。
例 设12,V V 分别为0,0AX BX ==的解空间，则12V V I 是
0A X B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
的解空间。
例 1121(,,),(,,)s t V L V L ααββ==L L ，则
1211(,,,,,)s t V V L ααββ+=L L 。
三、维数公式
定理 设V 为P 上有限维线性空间，12,V V V ≤，则
121212dim()dim dim dim V V V V V V +=+-I 。
推论 设V 为P 上n 维线性空间，12,V V V ≤，若12dim dim V V n +>，则12,V V 必含有公共的非零向量。
例 求由向量i α生成的子空间与由向量i β生成的子空间的交的基与维数。
1122(1,2,1,0)
(2,1,0,1)
,(1,1,1,1)
(1,1,3,7)
αβαβ==-⎧⎧⎨
⎨
=-=-⎩⎩
解 令1122121212(,),(,),(,)(,)V L V L W L L ααββααββ===I 。
对任何W α∈，有12,V V αα∈∈，于是
11221122,k k l l ααααββ=+=+，
所以 112211220k k l l ααββ+--=。
即 1212121212221220
203070
k k l l k k l l k k l k l l ---=⎧⎪+++=⎪
⎨+-=⎪⎪--=⎩
求得一般解为
12
2221
24,3k l k l l l l
=-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩为自由未知数。
于是2122212243l l l l αααββ=-+=-+， 或212212(4)(3)l l αααββ=-+=-+。
令121243(5,2,3,4)γααββ=-+=-+=-，
则12,V V γγ∈I 线性无关，且对任何,W αα∈可由γ线性表示，所以dim 1W =，基为
(5,2,3,4)γ=-。
【教师解读】
子空间的交与和是由已知子空间构造新子空间的一个重要方法，在代数系统的研究中都会用到类似的方法。
_________________________________________________________
拓展资料
1. 两个子空间的并满足什么条件时是子空间？
2. 求由向量i α生成的子空与向量j β生成的子空间的交的基及维数：
1 2(1,1,0,0) (1,0,1,1)
αα=
⎧
⎨
=⎩；1
2
(0,0,1,1)
(0,1,1,0)
β
β
=
⎧
⎨
=
⎩。
_________________________________________________________ 讨论交流
讨论主题：子空间的并与子空间的和有何区别。
教师提示：回顾集合的并运算与子空间的和运算的概念。