整数规划和多目标规划模型
分配问题知识点总结
分配问题知识点总结一、问题引入在日常生活和工作中，分配问题是一个十分常见的问题。
无论是在家庭中分配家务，还是在工作中分配资源和任务，都可能存在分配问题。
在数学中，分配问题也是一个常见的问题，它涉及到如何有效地分配资源或任务给一组个体或单位，以使得整体效益最大化或个体满意度最高。
分配问题常常涉及到资源有限、需求有限、利益最大化等方面的考虑。
二、基本概念1. 分配问题的定义分配问题是指将有限资源或任务分配给若干个个体或单位，使得各个个体或单位获得最大的效益或满意度的问题。
这类问题在生产、经济、管理等领域都有很大的应用。
2. 分配问题的基本性质分配问题通常涉及到资源有限、需求有限、效益最大化等方面的考虑。
基本性质包括资源限制、需求限制、效益目标和分配方式等。
在求解分配问题时，需要考虑到这些基本性质。
三、分配问题的分类根据不同的背景和目标，分配问题可以分为多种类型，主要包括以下几类：1. 资源分配问题资源分配问题主要涉及到如何将有限的资源分配给不同的个体或单位，以满足各方的需求或实现最大的效益。
典型的资源分配问题包括资金分配、人力分配、物资分配等。
2. 任务分配问题任务分配问题主要涉及到如何将一组任务分配给不同的个体或单位，以使得任务完成效率最高或效益最大。
典型的任务分配问题包括项目任务分配、工作任务分配等。
3. 效益最大化问题效益最大化问题主要涉及到如何通过正确的分配方式，使得整体效益最大化。
这类问题通常包括资源有限、需求量有限、成本最小化等因素的考虑。
4. 最优分配问题最优分配问题主要涉及到如何找到最优的分配方案，使得各方的需求得到最大满足。
这类问题通常是在资源分配、任务分配等方面展开讨论。
四、常见的分配问题模型在实际应用中，分配问题通常可以通过数学模型来描述和求解。
常见的分配问题模型包括以下几种：1. 线性规划模型线性规划模型是一种常用的数学模型，可以用来描述资源分配、任务分配、成本最小化等问题。
数学建模分类
数学建模分类
一、基于数学规划的建模方法
1. 线性规划模型
2. 整数规划模型
3. 二次规划模型
4. 非线性规划模型
5. 动态规划模型
6. 最优化问题建模
二、基于统计分析的建模方法
1. 线性回归模型
2. 逻辑回归模型
3. 主成分分析模型
4. 马尔可夫模型
5. 时间序列模型
6. 方差分析模型
三、基于图论的建模方法
1. 最短路径模型
2. 最小生成树模型
3. 拓扑排序模型
4. 最大流模型
5. 最小费用流模型
6. 图着色问题建模
四、基于优化方法的建模方法
1. 遗传算法模型
2. 蚁群算法模型
3. 粒子群优化模型
4. 模拟退火模型
5. 遗传规划模型
6. 蚁群优化模型
五、基于随机过程的建模方法
1. 马尔可夫链模型
2. 随机游走模型
3. 泊松过程模型
4. 随机差分方程模型
5. 随机微分方程模型
6. 随机优化问题建模
六、基于决策分析的建模方法
1. 决策树模型
2. 神经网络模型
3. 支持向量机模型
4. 贝叶斯网络模型
5. 人工智能模型
6. 多目标决策问题建模。
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
数学规划及其应用
目录
• 数学规划概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 整数规划 • 多目标规划 • 动态规划
01
数学规划概述
定义与分类
定义
数学规划是运筹学的一个重要分 支，主要研究在一定约束条件下 ，如何优化一个或多个目标函数 。
分类
根据目标函数和约束条件的不同 ，数学规划可以分为线性规划、 非线性规划、整数规划、动态规 划等。
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逐步逼近原问题的最优解。
割平面法
02
通过添加割平面方程来限制决策变量的取值范围，逐步逼近最
优解。
爬山法
03
通过不断搜索邻近解，逐步寻找最优解，类似于爬山的过程。
整数规划的应用实例
生产计划优化
通过整数规划方法优化生产计划，提高生产效 率和降低成本。
物流配送优化
通过整数规划方法优化物流配送路线和车辆调 度，降低运输成本和提高配送效率。
迭代法求解
从初始状态开始，不断迭代更新状态和决策，直到达到最优解。
动态规划的应用实例
最短路径问题
在给定的图中寻找起点到终点的最短路径。
背包问题
给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值， 求在不超过总重量限制的情况下，使得总价值最大 。
排班问题
给定一组员工和任务，求在满足任务需求的 同时，使得员工的工作时间和休息时间最合 理。
数学规划的基本概念
01
02
03
目标函数
要最大或最小化的函数， 通常表示为决策变量的函 数。
约束条件
限制决策变量取值的条件， 通常表示为决策变量的等 式或不等式。
决策变量
在数学规划中需要选择的 变量，通常表示为x1, x2, ... , xn。
运筹学在物流中心选址规划问题中的应用
运筹学在物流中心选址规划问题中的应用随着全球物流业的快速发展，物流中心的选址规划变得日益重要。
合理的物流中心选址可以有效降低运输成本，提高物流效率，从而增强企业的竞争力。
在这个过程中，运筹学作为一种决策科学方法，发挥着重要的作用。
本文将介绍运筹学在物流中心选址规划问题中的应用，并探讨其优势和局限性。
一、问题描述物流中心选址规划问题的目标是确定最优的物流中心位置，使得总运输成本最小化。
在实际情况中，物流中心的位置不仅仅受到运输成本的影响，还受到市场需求、基础设施、地理环境等多种因素的制约。
因此，该问题是一个复杂的多因素决策问题。
二、运筹学模型为了解决物流中心选址规划问题，可以利用运筹学模型进行建模和求解。
常用的模型包括整数规划模型、线性规划模型和网络模型等。
这些模型都能够根据不同的约束条件和目标函数，给出最优的物流中心选址方案。
三、整数规划模型整数规划模型是一种最常用的运筹学模型，它能够将物流中心选址问题转化为一个离散的决策问题。
在整数规划模型中，物流中心的位置被限制在候选地点集合中，以保证最优解的可行性。
该模型的优点是简单易懂，计算效率高。
然而，整数规划模型的局限性在于无法处理大规模问题，且不能考虑到实际情况中的各种约束条件。
四、线性规划模型线性规划模型是一种优化模型，它能够在给定约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
在物流中心选址规划问题中，线性规划模型可以根据不同的目标函数，如最小化总运输成本、最大化服务覆盖范围等，给出最优的选址方案。
线性规划模型的优点是适用范围广，计算效率高。
然而，线性规划模型的局限性在于无法处理非线性问题，并忽略了一些实际情况中的细节因素。
五、网络模型网络模型是一种图论模型，用于描述不同地点之间的关系和连接。
在物流中心选址规划问题中，网络模型可以将各个地点表示为节点，将运输线路表示为边，从而形成一个有向图。
通过网络模型，可以计算出最短路径、最小生成树等，并据此确定最优的物流中心选址方案。
整数线性规划(ILP)
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
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目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
多目标整数规划数学模型设计
多目标整数规划数学模型设计
池春姬
【期刊名称】《鸡西大学学报》
【年(卷),期】2007(007)003
【摘要】就三维合班问题,建立了多目标整数规划的数学模型,避免了人工排课的随意性和盲目性.
【总页数】2页(P58,49)
【作者】池春姬
【作者单位】鸡西大学,黑龙江·鸡西,158100
【正文语种】中文
【中图分类】G642.42
【相关文献】
1.模糊非线性规划数学模型在多目标综合利用水库规划中的应用 [J], 唐幼林;曾佑澄
2.基于多目标整数规划模型的拍照任务定价 [J], 黄艳华;李莉
3.模糊带权非线性规划数学模型在多目标综合利用水库规划中的应用 [J], 唐幼林;曾佑澄
4.不确定性条件下经济开发区环境规划方法与应用研究(Ⅰ)——不确定性多目标混合整数规划模型及算法研究 [J], 邹锐;郭怀成;刘磊
5.混合整数非线性规划与化学工程系统最优化计设——(Ⅰ)一个用于工程系统最优设计的混合整数非线性规划方法 [J], 袁希钢
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数学建模常用模型及代码
数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。
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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。
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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。
n个人指派n项工作的问题。
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４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。
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５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。
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6.动态规划
运筹学的一个分支。
求解决策过程最优化的过程。
传送门
二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。
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三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。
传送门。
《数学规划模型 》课件
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
资源分配问题模型及其解法研究
资源分配问题模型及其解法研究一、引言在现实生活中，许多资源需要进行分配。
例如，工厂的生产设备、财务部门的资金、医院的医疗设备等，这些资源的分配需要考虑效率和公平性等方面的问题。
资源分配问题是运筹学的重要问题之一，本文将介绍资源分配问题模型及其解法的研究进展。
二、资源分配问题模型资源分配问题的模型有很多，常见的有线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型、多目标规划模型等。
这里重点介绍几种经典的模型。
1. 线性规划模型线性规划模型是一种通过线性关系描述决策变量间关系的数学模型。
常见的线性规划模型有最大化模型和最小化模型。
对于资源分配问题，最常见的是最大化模型，即在满足限制条件的前提下，尽可能多地利用资源、提高效率。
例如，某工厂有3台机器和5个生产任务，每个任务需要用到不同的机器和不同的时间，需要求出如何分配才能使生产任务得到最大化的利用。
2. 整数规划模型整数规划模型是一种在线性规划基础上，增加了决策变量取整限制的模型。
对于资源分配问题，往往需要考虑资源的数量是有限的，此时整数规划模型更加适用。
例如，某医院有6台心电图仪和10个病人需要检查，每个病人需要用到一台仪器，需要求出如何分配才能最大化利用仪器且不超过仪器的数量限制。
3. 非线性规划模型非线性规划模型是一种描述决策变量与目标函数之间的非线性关系的数学模型，它往往更适用于实际问题。
例如，某企业要对产品进行生产和销售，需要考虑到不同市场的需求量，销售价格及生产成本等因素的影响，这种多因素多目标的情况可以用非线性规划模型进行求解。
三、解法研究资源分配问题的解法也非常丰富，下面介绍一些常见的解法。
1. 单纯形法单纯形法是一种常见的线性规划问题求解方法，它是通过不断地在解空间内移动求解目标的角度，并调整决策变量的值来达到极值的目的。
2. 整数规划分支定界法整数规划问题一般不能用单纯形法来求解，因为整数规划问题的解不一定是整数，而单纯形法的进退原则只考虑当前决策变量是否成为最优变量，而不考虑它的整数性。
典型的整数线性规划问题
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
IP可用LINDO直接求解
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 end gin 3
(LP)
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
4
xij 1, i 1,5
j 1
每种泳姿有且只有1人
5
xij 1, j 1,4
i 1
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1
下料问题(含代码程序)
实用下料问题优化模型摘要关键字：整数规划模型多目标决策优化NP问题下料方案分支定界法1.问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<.m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。
其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。
因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。
此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。
因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.就某企业考虑下面两个问题：1． 建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48;要求不迟于6天完成的零件标号(i )为：4，11，24, 29,32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。
第七章整数规划模型
0
1
2
x1
最优解逐步暴露在可行解区域的顶点上。
割平面构造原理涉及到对偶单纯形法，在此不多 加介绍。割平面法有很重要的理论意义，但在实际计 算中没有分支定界效率高，且涉及到对分数的处理， 因此几乎没有给予割平面法的软件。
二、分支定界法
分支定界法的基本思想是根据某种规则将原整数 规划模型的可行域分解为越来越小的子区域，并检查 某各子区域内整数解的情况，直到找到最优的整数解 或证明整数解不存在。根据整数规划模型性质的不同， 存在许多的分支界定法以及分支界定的技巧，在此只 对分支界定的一般原理作一简单的介绍。 在介绍具体算法之前，以下几个重要的实事是容 易理解的：
得到整数规划模型的最优解呢？在上例中整数规划模 T x * ( 3 , 1 ) 型的最优解 ，线性松弛模型的最优解为 1 T 0 T x ( 3 , 2 ) x ( 2.5,2) ，四舍五入得 ， x1 不是不是可行解，自然也不是最优解；若将 x 0 取整得 x 2 ( 2,2 )T ，虽然是可行解，但它不是最优解。 由此可见，刚刚的设想是行不通的，事实上整数规划 模型的求解是难题，至今还没有有效的算法（即多项 式算法）。
用LINDO软件解的程序为：
答案为：最优决策变量 目标函 数最优值为22。 （跳跃式成本模型） 设两种产品A和B每公 斤价格为10元和7元，每公斤需要的加工工时 为6小时和4小时，成本和工时的关系如图7.1所 示，要求建立一整数规划模型，是利润最大。 解 设两种产品的产量分别为 公斤， 设工时在2000以内为第一范围，2000到3000小 时为第二范围，3000到5000小时为第三范围。 再设当工时在第j范围内时， （j=1，2， 3）。则模型为：
x2
3 2
线性规划整数规划0-1规划
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
只要在模型中的产量限制约束（后n 个不等式约束）中引入n个松弛变量 xm+1j j = 1,2,…,n即可，变为：
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
解 令 x i , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（i 1,2,L 7; j 1,2）；ni 为第i 种包装箱需 要装的件数；wi 为第i 种包装箱的重量；ti 为第i 种 包 装 箱 的 厚 度 ； cl j 为 第 j 节 车 的 长 度 （cl j 1020）；cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特 殊限制（s 302.7）。
数学中的混合整数规划与多目标规划
数学中的混合整数规划与多目标规划在数学中，混合整数规划和多目标规划是两个重要的优化问题。
本文将介绍这两个问题的基本概念、解决方法以及在实际问题中的应用。
一、混合整数规划混合整数规划是一类在决策问题中常见的优化模型。
它的特点是既包含了整数变量，又包含了连续变量。
混合整数规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x,y)$$$$\text{ s.t. } g(x,y) \leq b$$$$x \in X , y \in Y$$其中，$f(x,y)$是目标函数，$x$是连续变量，$y$是整数变量，$X$和$Y$分别是$x$和$y$的取值范围，$g(x,y) \leq b$是约束条件。
为了解决混合整数规划问题，可以使用各种优化算法，如分枝定界算法、混合整数线性规划算法等。
这些算法通过不断搜索可行解空间，寻找到最优解或近似最优解。
混合整数规划在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物流领域中，为了降低运输成本，需要确定不仅仅考虑运输距离，还要考虑仓库位置、车辆配送路径等多个因素的决策变量。
混合整数规划可以帮助解决这类问题，提高效益。
二、多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中存在多个决策目标的优化模型。
多目标规划可以表示为如下形式的数学模型：$$\min f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$$$$\text{ s.t. } g(x) \leq b$$$$x \in X$$其中，$f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$是多个目标函数构成的向量，$x$是决策变量，$X$是$x$的取值范围，$g(x) \leq b$是约束条件。
多目标规划的解决方法通常包括帕累托最优、加权和法等。
帕累托最优是指在多个目标中无法同时取得更优结果的情况下，通过权衡各个目标之间的重要性，在目标间取得平衡。
加权和法是指通过给不同目标设置不同的权重，将多目标规划问题转化为单目标规划问题来求解。
数学模型之数学规划模型
多目标规划模型的应用案例
资源分配问题
投资组合优化
在有限的资源条件下，如何分配资源 以达到多个目标的优化，如成本、质 量、时间等。
在风险和收益的权衡下，如何选择投 资组合以达到多个目标的优化，如回 报率、风险分散等。
生产计划问题
在满足市场需求和生产能力限制的条件 下，如何制定生产计划以达到多个目标 的优化，如利润、成本、交货期等。
整数规划模型的应用案例
总结词
整数规划模型在生产计划、资源分配、物流优化等领域有广泛应用。
详细描述
在生产计划领域，整数规划模型可以用于安排生产计划、优化资源配置和提高生产效率。在资源分配 领域，整数规划模型可以用于解决资源分配问题，例如人员分配、物资调度等。在物流优化领域，整 数规划模型可以用于车辆路径规划、货物配载等问题，提高物流效率和降低运输成本。
数学规划模型可以分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态 规划等类型，根据问题的特性选择合适的数学规划模型进行建模 。
数学规划模型的应用领域
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生产计划
数学规划模型可以用于制定生 产计划，优化资源配置，提高 生产效率。
物流运输
通过建立数学规划模型，可以 优化物流运输路线和运输方式 ，降低运输成本。
80%
金融投资组合优化
通过建立线性规划模型，可以优 化投资组合，实现风险和收益的 平衡。
03
非线性规划模型
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型 ，用于解决目标函数和约束条件均为 非线性函数的问题。
它通过寻找一组变量的最优解，使得 目标函数达到最小或最大值，同时满 足一系列约束条件。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适 用范围。
运筹学知识点总结归纳
运筹学知识点总结归纳运筹学知识点总结归纳一、引言运筹学是一门综合运用数学、统计学和优化理论等相关知识解决实际问题的学科。
它的一个核心目标是在给定的约束条件下，使系统达到最佳状态。
本文将对运筹学的一些基本概念、方法和应用进行总结归纳，以便读者对这门学科有更深入的了解。
二、线性规划线性规划是运筹学中最基本、最常见的数学模型之一。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。
通过线性规划，我们可以最小化或最大化一个目标函数来寻找最优解。
常见的线性规划方法有单纯形法、对偶法和内点法等。
三、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式。
在整数规划中，决策变量的取值限制为整数。
这种限制使问题更加复杂，通常需要使用分支定界法、割平面法等算法来求解。
整数规划在许多实际问题中有广泛的应用，如生产调度、路径优化等。
四、网络流问题网络流问题是运筹学中一个重要的研究方向。
在网络流问题中，节点和边表示物理或逻辑上的位置，流量沿边流动，目标是最大化总流量或最小化总成本。
常见的网络流问题有最小费用流问题、最大流问题等。
在实际应用中，网络流问题可以用于交通规划、供应链管理等领域。
五、排队论排队论是研究队列系统的数学理论。
队列是指一组按照某种顺序排列的实体，而排队论则是研究这些实体如何进入和离开队列的过程。
通过排队论，可以估计系统的性能指标，如平均等待时间、系统利用率等。
排队论在交通管理、生产调度等领域有广泛的应用。
六、决策分析决策分析是运筹学中的一个重要分支，旨在通过分析问题的数据和信息，寻找最优的决策方案。
决策分析中常用的工具包括决策树分析、多属性决策等。
通过决策分析，我们可以对风险进行评估，并为决策者提供有力的支持。
七、多目标规划多目标规划是一种同时优化多个目标函数的决策问题。
在多目标规划中，不同的目标可能相互冲突，无法简单地将其转化为单一目标。
解决多目标规划问题的方法有权重法、向量法等。
多目标规划在工程设计、投资组合等领域有广泛的应用。
从不同角度简述最优化问题的分类
最优化问题是数学、工程、经济等领域中常见的一个重要问题。
在实际问题中，我们常常需要寻找最优解来使得某个目标函数达到最小值或最大值。
最优化问题可分为线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等不同类型。
接下来从不同角度简述最优化问题的分类。
一、按照目标函数的性质分类1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
典型的线性规划问题包括资源分配、生产计划等。
2. 非线性规划非线性规划是指目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。
非线性规划在实际中应用广泛，包括工程优化、信号处理、经济学等领域。
3. 整数规划整数规划是指最优化问题中的决策变量是整数的问题。
整数规划常用于制造业的生产调度、运输与物流优化等。
二、按照优化变量的性质分类1. 连续优化问题连续优化问题是指最优化问题中的决策变量可以取任意实数值的问题。
常见的连续优化问题包括线性规划、非线性规划等。
2. 离散优化问题离散优化问题是指最优化问题中的决策变量只能取离散的数值。
典型的离散优化问题包括整数规划、组合优化、图论优化等。
三、按照约束条件的性质分类1. 约束优化问题约束优化问题是指最优化问题中存在一定的约束条件限制的问题。
约束条件可以是线性约束、非线性约束、等式约束、不等式约束等。
2. 无约束优化问题无约束优化问题是指最优化问题中不存在任何约束条件的问题。
无约束优化问题通常比较简单，但在实际中也有着重要的应用，包括函数拟合、参数估计等。
四、按照目标函数的性质分类1. 单目标优化问题单目标优化问题是指最优化问题中只有一个目标函数的问题。
在实际问题中，单目标优化问题是最常见的。
2. 多目标优化问题多目标优化问题是指最优化问题中存在多个目标函数，且这些目标函数可能彼此矛盾的问题。
多目标优化问题的解称为帕累托最优解。
最优化问题的分类可以从不同的角度进行划分，包括目标函数的性质、优化变量的性质、约束条件的性质、目标函数的性质等。
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1 整数规划的MATLAB 求解方法（一） 用MATLAB 求解一般混合整数规划问题由于MATLAB 优化工具箱中并未提供求解纯整数规划和混合整数规划的函数，因而需要自行根据需要和设定相关的算法来实现。
现在有许多用户发布的工具箱可以解决该类问题。
这里我们给出开罗大学的Sherif 和Tawfik 在MATLAB Central 上发布的一个用于求解一般混合整数规划的程序，在此命名为intprog ，在原程序的基础上做了简单的修改，将其选择分枝变量的算法由自然序改造成分枝变量选择原则中的一种，即：选择与整数值相差最大的非整数变量首先进行分枝。
intprog 函数的调用格式如下：[x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger) 该函数解决的整数规划问题为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈=≥≤≤=≤=）取整数（M j x n i x ub x lb b x A b Ax t s x c f j i eq eq T ),,2,1(0..min在上述标准问题中，假设x 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：c 、x 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为2m 维列向量，A 为n m ⨯1维矩阵，eq A 为n m ⨯2维矩阵。
在该函数中，输入参数有c,A,b,A eq ,b eq ,lb,ub,M 和TolXInteger 。
其中c 为目标函数所对应设计变量的系数，A 为不等式约束条件方程组构成的系数矩阵，b 为不等式约束条件方程组右边的值构成的向量。
Aeq 为等式约束方程组构成的系数矩阵，b eq 为等式约束条件方程组右边的值构成的向量。
lb 和ub 为设计变量对应的上界和下界。
M 为具有整数约束条件限制的设计变量的序号，例如问题中设计变量为621,,,x x x ，要求32,x x 和6x 为整数，则M=[2;3;6]；若要求全为整数，则M=1:6，或者M=[1;2;3;4;5;6]。
TolXInteger 为判定整数的误差限，即若某数x 和最邻近整数相差小于该误差限，则认为x 即为该整数。
在该函数中，输出参数有x, fval 和exitflag 。
其中x 为整数规划问题的最优解向量，fval 为整数规划问题的目标函数在最优解向量x 处的函数值，exitflag 为函数计算终止时的状态指示变量。
例1 求解整数规划问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥-+=0,12 1124 124 ..max212212121，且取整数值x x x x x x x t s x x f 算法：c=[-1;-1]; A=[-4 2;4 2;0 -2]; b=[-1;11;-1]; lb=[0;0]; M=[1;2]; %均要求为整数变量 Tol=1e-8;%判断是否整数的误差限[x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],lb,[])%求解原问题松弛线性规划[x1,fval1]=intprog(c,A,b,[],[],lb,[],M,Tol) %求最优解整数解 结果：x =%松弛线性规划问题的最优解1.50002.5000 fval = -4.0000 x1 =%整数规划的最优解2 1 fval2 = -3.0000（二） 用MATLAB 求解0-1规划问题在MATLAB 优化工具箱中，提供了专门用于求解0-1规划问题的函数bintprog ，其算法基础即为分枝界定法，在MATLAB 中调用bintprog 函数求解0-1规划时，需要遵循MATLAB 中对0-1规划标准性的要求。
0-1规划问题的MATLAB 标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=1,0..min x b x A b Ax t s x c f eq eq T在上述模型中，目标函数f 需要极小化，以及需要满足的约束条件，不等式约束一定要化为形式为“≤”。
假设x 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：c 、x 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为2m 维列向量，A 为n m ⨯1维矩阵，eq A 为n m ⨯2维矩阵。
如果不满足标准型的要求，则需要对原问题进行转化，化为标准型之后才能使用相关函数，标准化的方法和线性规划中的类似。
0-1规划问题的MATLAB 求解函数MATLAB 优化工具箱中求解0-1规划问题的命令为bintprog bintprog 的调用格式x = bintprog(f) x = bintprog(f,A,b) x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq) x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0) x = bintprog(f,A,b,Aeq,Beq,x0,options) [x,fval] = bintprog(...) [x,fval,exitflag] = bintprog(...) [x,fval,exitflag,output] = bintprog(...)命令详解1）x = bintprog(f)该函数调用格式求解如下形式的0-1规划问题⎩⎨⎧==1,0..min x t s x c f T2）x = bintprog(c,A,b)该函数调用格式求解如下形式的0-1规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤=1,0..min x b Ax t s x c f T3）x = bintprog (c,A,b,Aeq,beq)该函数调用格式求解如下形式的0-1规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=1,0..min x b x A b Ax t s x c f eq eq T4）x = bintprog (c,A,b,Aeq,beq,x0)该函数调用格式求解如下形式的0-1规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=1,0..min x b x A b Ax t s x c f eq eq T在前一个调用格式的基础上同时设置求解算法的初始解为x0，如果初始解x0不在0-1规划问题的可行域中，算法将采用默认的初始解 5）x = bintprog (c,A,b,Aeq,beq,x0,options)用options 指定的优化参数进行最小化。
可以使用optimset 来设置这些参数上面的函数调用格式仅设置了最优解这一输出参数，如果需要更多的输出参数，则可以参照下面的调用格式：[x,fval] = bintprog(...)在优化计算结束之时返回整数规划问题在解x 处的目标函数值fval[x,fval,exitflag] = bintprog(...)在优化计算结束之时返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。
[x,fval,exitflag,output] = bintprog(...) 在优化计算结束之时返回结构变量output 例2：求解0-1规划问题()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧========∑∑∑∑==== 21;21 4,3,21 10 21 1 21 1 ..max1111,n ,,j ,n ,,i x ,n ,,j x ,n ,,i x t s x E f ij ni ij n j ij n i nj ijij ），（或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23321622243113212329152226331220E 为了程序的可读性，我们用一维下标来表示设计变量，即用41~x x 表示1411~x x ，用85~x x 表示2421~x x ，用129~x x 表示3431~x x ，用1613~x x 表示4441~x x ，于是约束条件和目标函数分别为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++)16,,2,1( 1,0111111111612841511731410621395116151413121110987654321 i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i 1644622521414313212111x E x E x E x E x E x E x E f +++++++=算法：c=[20;12;33;26;22;15;29;23;21;13;31;24;22;16;32;23]; Aeq=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1; 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1;];beq=ones(1,8);[x,fval]=bintprog(c,[],[],Aeq,beq);B=reshape(x,4,4); %由于x是一列元素，为了使结果更加直观，故排成与效率矩阵E相对应的形式B'fval结果：Optimization terminated.ans =0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1fval =85整数规划的应用——组件配套问题某机械产品需要由三个工厂开工一起生产后组装完成。
每件机械需要4个组件1和3个组件2。
生产这两种组件需要消耗两种原材料A和B。
已知这两种原材料的供应量分别为400kg和600kg。
由于三个工厂的生产条件和拥有设备工艺条件不同，每个工厂生产组件的能力和原材料的消耗也不尽相同，且每个工厂开工一次都是配套生产一定数量的组件1和组件2，其具体的数据如表所示。
表11-2 各工厂生产能力和消耗原材料的数据表现在的最优化问题是，这三个工厂应当如何安排生产，才能使该产品的配套数达到最大？（Ⅰ）组件配套问题的建模设21x x 、和3x 是三个工厂分别开工的次数，将其作为该问题的设计变量。
由于每个工厂开工一次都是配套生产，故每次开工消耗的原材料一定，且生产的组件数也是一定的。
在这个假设的前提之下，我们可以得出该问题的目标函数和约束条件。
因为原材料的总量是有限的，根据工厂的开工次数，可得工厂１将消耗A 材料19x ，工厂２将消耗A 材料26x ，工厂３将消耗A 材料34x ，故有约束条件：400469321≤++x x x同理，对于材料B 的总量约束条件可以表达为：6009107321≤++x x x 然后再来分析三个工厂零件生产的情况，三个工厂生产的组件1的数量分别为2178x x 、和39x ，故组件1的总数为：3211978x x x Q ++=同理，组件2的总数为：3212596x x x Q ++=下一步是分析目标函数，该问题要求的不是生产的各种组件总数最多，而是要求产品的配套数量最大，即能组成的机械数目最多。