高中数学选择填空破题(椭圆的基本性质)：判断方程是否表示椭圆-Word版含答案

今天我们研究方程对应的曲线是否表示椭圆。根据方程中参数的取值情况讨论曲线的形状，利用椭圆的标准方程，进一步判断椭圆的焦点位置。

先看例题：

例：已知方程1352

2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围．

∴满足条件的k 的取值范围是53<

注意：本题易出现如下错解：由⎩

⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 归纳整理： 中心在原点, 焦点分别在x 轴上, y 轴上的椭圆标准方程分别为：

22

22

1(0)x y a b a b +=>> 22

221(0)y x a b a b

+=>> 椭圆方程的一般形式：

221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠ 高中阶段内，可以将椭圆方程整理为上述整式的形式，在某些题目中，可以直接应用，降低运算量。

再看一个例题，加深印象

例： “m >n >0”是“方程mx 2+ny 2

=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

上的椭圆，所以充分

性成立。

必要性：

所以必要性成立。

因此“m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件，选C 。

总结： 1.将已知的方程整理后变形为22

1x y m n +=。

2.与椭圆的标准方程对照，0m n >>表示焦点在x 轴上的椭圆， 0m n <<表示焦点在y 轴上的椭圆。

3.强化对椭圆标准方程形式特点的记忆，除要求22,x y 项的分母都大于0之外，还要求不能相

等． 练习：

1.“2＜k ＜5”是“方程22

125x y k k +=--”表示的曲线是椭圆的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 2.已知

1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 3.已知动点P (x ,y )与两定点M (－1,0), N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).

(1)求动点P 的轨迹C 的方程;

(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状.

答案

1. 解：由方程22125x y k k +=--表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧

k －2＞0，5－k ＞0，

k －2≠5－k ，

所以，“2＜k ＜5”是“方程22

125x y k k +=--”表示椭圆的必要不充分条件．

答案：B

2. 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

解：方程可化为1cos 1

sin 12

2=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以

0sin 1cos 1>>-

αα．

说明： (1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0

cos 1>-α，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ．

(3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．

3.