36-二维泊松方程的有限元法

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多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用

ｎｅｗＧＳ在细网格上更新狌即狌这一过程叫狌＝狌ｆ，ｆ．ｆｆ＋Δ
１多重网格方法
多重网格法最初来源于差分方程的迭代求解数值解与差分方程精确解之间的误差与傅立．叶分析中不同频率分量有关，不同的频率分量具有
［４１］
犕狌犾狋犻狉犻犱犳犻狀犻狋犲犲犾犲犿犲狀狋犪狀犪犾狊犻狊犳狅狉２犇犿狅犱犲犾犻狀犳狆狅犻狊狊狅狀犲狌犪狋犻狅狀犵狔犵狅狇
，，ＷＡＮＧＱｉｎｉｎＡＩＷｕｍｉｎｏｎｌｉａｎＢＷＡＮＧＨｇｐｇｇｇｇ
ＧＳＧＳ狉狌ｆ－犃ｆｆ，ｆ＝犫ＧＳ然后，将残差狉）矩阵犚转换到Ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｆ通过限制（ＧＳ即狉而在粗网格上求解犃粗网格上，狉狌ｃ＝犚ｆ．ｃｃ＝
．
多重网格方法通常建立在有限差分方法的基础本文将多重网格方法引入到．有限元方法中，并以二维的泊松方程为例，对单重网
多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用
王青平，白武明，王洪亮
（中国科学院地质与地球物理研究所，北京１）０００２９
摘要本文简要介绍多重网格（算法的基本原理及基本步骤，然后将多重网格算法引入有限单元中，对二维泊ＭＧ）松方程进行求解．单元数尺度从８×８逐次增加至１并与单重网格中高斯赛德尔迭代法（、共轭梯度法０２４×１０２４，ＧＳ）（结果表明ＭＧ在计算速度和迭代次数都明显优于ＧＣＧ）在程序运行时间以及迭代次数方面进行比较．Ｓ、ＣＧ方法．在１比Ｃ而且与理论解的误差更小．０２４×１０２４网格中，ＭＧ不仅比ＧＳ快５００多倍，Ｇ快６０多倍，关键词多重网格，共轭梯度法，高斯赛德尔迭代法，泊松方程，有限元分析：／．ｉｓｓｎ．１００４２９０３．２０１０．０４．０３９中图分类号ＰＤＯＩ１０．３９６９６３１文献标识码Ａｊ

matlaB程序的有限元法解泊松方程

基于matlaB 编程的有限元法一、待求问题：泛定方程：2=x ϕ-∇边界条件：以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域边界上=0ϕ二、编程思路及方法1、给节点和三角形单元编号，并设定节点坐标画出以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域figure1由于积分区域规则，故采用特殊剖分单元，将区域沿水平竖直方向分等份，此时所有单元都是等腰直角三角形，剖分单元个数由自己输入，但竖直方向份数（用Jmax 表示）必须是水平方向份数（Imax ）的两倍，所以用户只需输入水平方向的份数Imax 。

采用上述剖分方法，节点位置也比较规则。

然后利用循环从区域内部（非边界）的节点开始编号，格式为NN(i,j)=n1，i ，j 分别表示节点所在列数与行数，并将节点坐标存入相应矩阵X(n1)，Y(n1)。

由于区域上下两部分形状不同因此，分两个循环分别编号赋值，然后再对边界节点编号赋值。

然后再每个单元的节点进行局部编号，由于求解区域和剖分单元的特殊性，分别对内部节点对应左上角正方形的两个三角形单元，上左，左上，下斜边界节点要对应三个单元，上左，左上，左下，右顶点的左下、左上，右上边界的左上，分别编号以保证覆盖整个区域。

2、求解泊松方程首先一次获得每个单元节点的整体编号，然后根据其坐标求出每个三角形单元的面积。

利用有限元方法的原理，分别求出系数矩阵和右端项，并且由于边界，因此做积分时只需对场域单元积分而不必对边界单元积条件特殊，边界上=0分。

求的两个矩阵后很容易得到节点电位向量，即泊松方程的解。

3、画解函数的平面图和曲面图由节点单位向量得到，j行i列节点的电位，然后调用绘图函数imagesc(NNV)与surf(X1,Y1,NNV')分别得到解函数的平面图figure2和曲面图figure3。

4、将结果输出为文本文件输出节点编号，坐标，电位值三、计算结果1、积分区域：2、f=1，x 方向75份，y 方向150份时，解函数平面图和曲面图20406080100120140102030405060700.0050.010.0150.020.0250.0320.0050.010.0150.020.0250.03对比：当f=1时，界函数平面图20406080100120140102030405060700.010.020.030.040.050.060.073、输出文本文件由于节点多较大，列在本文最末四、结果简析由于三角形区域分布的是正电荷，因此必定电位最高点在区域中部，且沿x 轴对称，三角形边界电位最低等于零。

有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现

(x,y) e 9 0 ,
其中
— ax ay
e i 2(/3), 为 i?2 中的
有界凸区域，区域 / 3 = { ( * ，；K) U2 + y2 < l }.
1 二维 P oisson方程的有限元法
l .i 有限元方法的基本原理和步骤有限元法是基于变分原理和剖分技术的一种数
值计算方法，把微分方法的定解问题转化为求解一
摘要：文章讨论了圆形区域上的三角形单元剖分、有限元空间，通过变分形式离散得到有限元方程 .用 M A T L A B 编程求得数值解，并进行了误差分析. 关键词：Poisson方程；有限元方法；M A T L A B 编程；三角形单元剖分
U e l f +2( n , R m).
定理[7]1 (有限元近似解的炉模估计）假设满足引理的条件，则对 V f/ E 妒+1(/3,i T ) ，存在与 A 无关的常数C , 使得
W u - u . w, ^ chk \ u \ M
定理[7]2 (有限元近似解的 i 2 模估计）假设
1
0
0
0
2
3
0
0
細 !1[8]:
4
560ຫໍສະໝຸດ 中图分类号：0241.8
文献标识码：A
文章编号：1009 - 4 9 7 0 ( 2 0 1 8 ) 0 5 - 0015 - 04
0 引言
热学、流体力学、电磁学、声学等学科中的相
关过程，都可以用椭圆型方程来描述 .最为典型的

泊松方程的解法及应用

泊松方程的解法及应用泊松方程是关于无限大区域内的某个标量势函数的二阶偏微分方程。

它在物理学和工程学中广泛应用，例如在电场、热传导、流体力学和弹性力学等领域。

本文将介绍泊松方程的解法及其在实践中的应用。

一、泊松方程的定义与基本性质泊松方程是具有如下形式的偏微分方程：∇²u = -ρ其中u是标量势函数，ρ是源项，∇²是拉普拉斯算子。

这个方程可以通过库伦定律推导出电力学中的几乎所有问题，是许多物理学领域研究的基础。

泊松方程有一些基本性质。

首先，它是线性的，也就是说，如果两个不同的源项ρ₁和ρ₂产生的标量势函数分别是u₁和u₂，那么对于常数a和b，它们的线性组合a u₁ + b u₂是对应于线性组合aρ₁ + bρ₂的标量势函数。

其次，它是反演对称的，也就是说，如果标量势函数u满足泊松方程，那么-u也满足泊松方程。

二、泊松方程的解法在实际应用中，我们需要求解泊松方程，以便计算出场的分布。

泊松方程的解法通常可以分为两种：1. 分离变量法分离变量法是将u(x, y, z)表示为三个独立变量x, y, z的函数的积的形式，即u(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z)，然后将泊松方程代入并对每个独立变量进行求导，最终得到连个常微分方程和一个初值问题，可由此得到标量势函数u的解析解。

2. 数值解法当求解泊松方程的解析解十分困难或不可能时，可以通过求解离散化的差分方程来得到数值解。

一般使用有限差分法、有限元法或谱方法，这些方法分别将无限大区域内的标量势函数划分为有限数量的子域，并在子域内使用数值技巧求解差分方程。

三、泊松方程在工程学中的应用泊松方程在物理学和工程学中的应用广泛，下面将介绍其中两个重要的应用：电势分布和热传导问题。

1. 电势分布在电场问题中，泊松方程描述了电场中的电势分布。

假设我们有一个电荷分布ρ(x, y, z)，根据库伦定律，它产生了电场。

泊松方程可以帮助我们计算出哪些区域具有高电势、低电势以及电压梯度等性质。

二维泊松方程的差分格式有限差分法

§3.7 有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2
x 2
2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
Kn )
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格, 差分格式为:
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2.边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件合理减小计算场域, 差分格式为
•
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件边界线与网格线相重合的差分格式:
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3

二维泊松方程很基础详细的求解过程

Topic 2: Elliptic Partial Diﬀerential EquationsLecture 2-4: Poisson’s Equation: Multigrid MethodsWednesday, February 3, 2010Contents1 Multigrid Methods2 Multigrid method for Poisson’s equation in 2-D3 Simple V −cycle algorithm4 Restricting the Residual to a Coarser Lattice 2 35 71 MULTIGRID METHODS5 Prolongation of the Correction to the Finer Lattice6 Cell-centered and Vertex-centered Grids and Coarsenings7 Boundary points8 Restriction and Prolongation Operators9 Improvements and More Complicated Multigrid Algorithms8 8 11 11 151 Multigrid MethodsThe multigrid method provides algorithms which can be used to accelerate the rate of convergence of iterative methods, such as Jacobi or Gauss-Seidel, for solving elliptic partial diﬀerential equations.Iterative methods start with an approximate guess for the solution to the diﬀerential equation. In each iteration, the diﬀerence between the approximate solution and the exact solution is made smaller.One can analyze this diﬀerence or error into components of diﬀerent wavelengths, for example by using Fourier analysis. In general the error will have components of many diﬀerent wavelengths: there will beshort wavelength error components and long wavelength error components.Algorithms like Jacobi or Gauss-Seidel are local because the new value for the solution at any lattice site depends only on the value of the previous iterate at neighboring points. Such local algorithms are generally more eﬃcient in reducing short wavelength error components.The basic idea behind multigrid methods is to reduce long wavelength error components by updating blocks of grid points. This strategy is similar to that employed by cluster algorithms in Monte Carlo simulations of the Ising model close to the phase transtion temperature where long range correlations are important. In fact, multigrid algorithms can also be combined with Monte Carlo simulations.2 Multigrid method for Poisson’s equation in 2-DWith a small change in notation, Poisson’s equation in 2-D can be written:∂ 2u ∂x2 +∂ 2u∂y2= −f (x, y) ,where the unknown solution u(x, y) is determined by the given source term f (x, y) in a closed region. Let’s consider a square domain 0 ≤ x, y ≤ 1 with homogeneous Dirichlet boundary conditions u = 0 on the perimeter of the square. The equation is discretized on a grid with L + 2 lattice points, i.e., L interior points and 2 boundary points, in the x and y directions. At any interior point, the exact solution obeysu i,j = 14u i+1,j + u i−1,j + u i,j+1 + u i,j−1 + h2f i,j .The algorithm uses a succession of lattices or grids. The number of diﬀerent grids is called the number of multigrid levels . The number of interior lattice points in the x and y directions is then taken to be 2 , so that L = 2 + 2, and the lattice spacing h = 1/(L − 1). L is chosen in this manner so that the downward multigrid iteration can construct a sequence of coarser lattices with2−1→ 2−2→ . . . → 20 = 1interior points in the x and y directions.Suppose that u(x, y) is the approximate solution at any stage in the calculation, and u exact(x, y) is the exact solution which we are trying to ﬁnd. The multigrid algorithm uses the following deﬁnitions:· The correctionv = u exact− uis the function which must be added to the approximate solution to give the exact solution. · The residual or defect is deﬁned asr = 2 u + f .Notice that the correction and the residual are related by the equation2 v = 2 u exact+ f − 2 u + f = −r .This equation has exactly the same form as Poisson’s equation with v playing the role of unknown function and r playing the role of known source function!3 SIMPLE V −CYCLE ALGORITHM3 Simple V −cycle algorithmThe simplest multigrid algorithm is based on a two-grid improvement scheme. Consider two grids:· a ﬁne grid with L = 2 + 2 points in each direction, and· a coarse grid with L = 2−1 + 2 points.We need to be able to move from one grid to another, i.e., given any function on the lattice, we need to able to· restrict the function from ﬁne → coarse, and· prolongate or interpolate the function from coarse → ﬁne.Given these deﬁnitions, the multigrid V −cycle can be deﬁned recursively as follows:· If = 0 there is only one interior point, so solve exactly foru1,1 = (u0,1 + u2,1 + u1,0 + u1,2 + h2f1,1)/4 .· Otherwise, calculate the current L = 2 + 2.3 SIMPLE V −CYCLE ALGORITHM· Perform a few pre-smoothing iterations using a local algorithm such as Gauss-Seidel. The idea is to damp or reduce the short wavelength errors in the solution.· Estimate the correction v = u exact− u as follows:– Compute the residualr i,j = 1h2 [u i+1,j + u i−1,j + u i,j+1 + u i,j−1− 4u i,j] + f i,j .–Restrict the residual r → R to the coarser grid.– Set the coarser grid correction V = 0 and improve it recursively.–Prolongate the correction V → v onto the ﬁner grid.· Correct u → u + v.· Perform a few post-smoothing Gauss-Seidel interations and return this improved u. How does this recursive algorithm scale with L? The pre-smoothing and post-smoothing Jacobi or Gauss- Seidel iterations are the most time consuming parts of the calculation. Recall that a single Jacobi or Gauss-Seidel iteration scales like O(L2). The operations must be carried out on the sequence of grids with2 → 2−1→ 2−2→ . . . → 20 = 1interior lattice points in each direction. The total number of operations is of orderL2n=0122n≤ L211 .1 − 44 RESTRICTING THE RESIDUAL TO A COARSER LATTICEThus the multigrid V −cycle scales like O(L 2), i.e., linearly with the number of lattice points N!4Restricting the Residual to a Coarser LatticeThe coarser lattice with spacing H = 2h is constructed as shown. A simple algorithm for restricting the residual to the coarser lattice is to set its value to the average of the values on the four surrounding lattice points (cell-centered coarsening):6 CELL-CENTERED AND VERTEX-CENTERED GRIDS AND COARSENINGSR I,J = 14[r i,j + r i+1,j + r i,j+1 + r i+1,j+1] , i = 2I − 1 , j = 2J − 1 .5 Prolongation of the Correction to the Finer LatticeHaving restricted the residual to the coarser lattice with spacing H = 2h, we need to solve the equation2 V = −R(x, y) ,with the initial guess V (x, y) = 0. This is done by two-grid iterationV = twoGrid(H, V, R) .The output must now be i nterpolated or prolongated to the ﬁner lattice. The simplest procedure is to copy the value of V I,J on the coarse lattice to the 4 neighboring cell points on the ﬁner lattice: v i,j = v i+1,j = v i,j+1 = v i+1,j+1 = V I,J , i = 2I − 1, j = 2J − 1 .6 Cell-centered and Vertex-centered Grids and CoarseningsIn the cell-centered prescription, the spatial domain is partitioned into discrete cells. Lattice points are deﬁned at the center of each cell as shown in the ﬁgure:The coarsening operation is deﬁned by doubling the size of a cell in each spatial dimension and placing a coarse lattice point at the center of the doubled cell.Note that the number of lattice points or cells in each dimension must be a power of 2 if the coarsening operation is to terminate with a single cell. In the ﬁgure, the ﬁnest lattice has 23 = 8 cells in each dimension, and 3 coarsening operations reduce the number of cells in each dimension23= 8 → 22= 4 → 21= 2 → 20 = 1 .Note also that with the cell-centered prescription, the spatial location of lattice sites changes with each coarsening: coarse lattice sites are spatially displaced from ﬁne lattice sites.A vertex-centered prescription is deﬁned by partitioning the spatial domain into discrete cells and locating the discrete lattice points at the vertices of the cel ls as shown in the ﬁgure:The coarsening operation is implemented simply by dropping every other lattice site in each spatial dimension. Note that the number of lattice points in each dimension must be one greater than a power of 2 if the coarsening operation is to reduce the number of cells to a single coarsest cell. In the example in the ﬁgure the ﬁnest lattice has 23 + 1 = 9 lattice sites in each dimension, and 2 coarsening operations reduce the number of vertices in each dimension23+ 1 = 9 → 22+ 1 = 5 → 21 + 1 = 3 .The vertex-centered prescription has the property that the spatial locations of the discretization points are not changed by the coarsening operation.8 RESTRICTION AND PROLONGATION OPERATORS7 Boundary pointsLet’s assume that the outermost perimeter points are taken to be the boundary points. The behavior of these boundary points is diﬀerent in the two prescriptions:· Cell-centered Prescription: The boundary points move in space towards the center of the region at each coarsening. This implies that one has to be careful in deﬁning the “boundary values” of the solution.· Vertex-centered Prescription: The boundary points do not move when the lattice is coarsened.This make i t easier in principle to deﬁne the boundary values.These two diﬀerent behaviors of the boundary points make the vertex-centered prescription a little more convenient to use in multigrid applications. However, there is no reason why the cell-centered prescription should not work as well.8 Restriction and Prolongation OperatorsIn the multigrid method it is necessary to move functions from a ﬁne grid to the next coarser grid (Restric- tion), and from a coarse grid to the next ﬁner grid (Prolongation). Many prescriptions for restricting andprolongating functions have been studied. Let’s consider two of the simplest prescriptions appropriate for cell- and vertex-centered coarsening:· Cell-centered Coarsening: In this prescription, a coarse lattice point is naturally associated with 2d neighboring ﬁne lattice points in d-dimensions.· Suppose that f (x) is a function on the ﬁne lattice at spatial position x, and F (X ) is the corresponding function on the coarse lattice, then this diagram suggests a simple prescription for restriction and prolongation.–Restriction: Average the function values at the 4 neighboring ﬁne lattice sites x i:F (X ) = 144i=1f (x i) .– Prolongation: Inject the value of the function at the coarse lattice site to the 4 neighboring ﬁne lattice sites:f (x i) = F (X ) , i = 1 . . . 4· Vertex-centered Coarsening: Consider a coarse lattice point and the 9 neighboring ﬁne lattice points shown in the ﬁgure:2 2 · In this prescription, a coarse lattice point can naturally associated (in 2-D) with · the corresponding ﬁne lattice point, or· the four nearest neighbor ﬁne lattice points, left, right, up, and down, or · with the four diagonally nearest ﬁne lattice points, etc.· It is a little more complicated here to deﬁne transfer operators. The problem is that the ﬁne lattice points are associated with more than one coarse lattice point, unlike the cell-centered case: – The single red ﬁne lattice point in the center coincides with an unique coarse lattice point. – Each of the 4 black ﬁne lattice points however is equidistant from two coarse lattic e points. – Each of the 4 red ﬁne lattice points is equidistant from four coarse lattice points. · This sharing of lattice points suggests the following prescriptions:· Prolongation: use bilinear interpolation in which the value of F at a coarse grid point is copied to 9 neighboring ﬁne -grid points with the following weights:1 1 14 2 1 1 1 1 4 1 1.4 24This matrix is called the stencil for the prolongation.8 8 9 IMPROVEMENTS AND MORE COMPLICATED MULTIGRID ALGORITHMS· Restriction: The restriction operator is taken to be the adjoint of the prolongation operator:1 1 116 1 1 16 8 1 4 1 8 161 1 16.This choice of restriction operator is called full weighting.9Improvements and More Complicated Multigrid AlgorithmsThe algorithm implemented above is the simplest multigrid scheme with a single V-cycle. Section 19.6 of Numerical Recipes discusses various ways of improving this algorithm:· One can repeat the two-grid iteration more than once. If it is repeated twice in each multigrid level one obtains a W-cycle type of algorithm.· The Full Multigrid Algorithm starts with the coarsest grid on which the equation can be solved exactly. It then proceeds to ﬁner grids, performing one or more V -cycles at each level along the way. Numerical Recipes gives a program mglin(u,n,ncycle) which accepts the source function −f in the ﬁrst argument and implements the full multigrid algorithm with = log 2(n − 1) levels, performing ncycle V-cycles at each level, and returning the solution in the array parameter u. Note that this program assumes that the number of lattice points in each dimension L is odd, which leads to vertex centered coarsening:REFERENCESREFERENCESReferences[Recipes-C19-5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W. Vetterling, and B.P. Flannery, “Numerical Recipes in C”,Chapter 19 §6: Multigrid Methods for Boundary Value Problems, /a/bookcpdf/c19-6.pdf.。

二维泊松方程的有限元法

忠
2．单元网格划分
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
具体要求是，三角形顶点连着顶点，
三角形的三条边长尽量接近
或三个内角尽量接近。
图示三角形的三个顶点，
i, j, k 的顺序按逆时针。
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
4
工程电磁场
主讲人：王泽忠
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
7
工程电磁场
主讲人：王泽忠
将 1 、 2 、 3 作为未知数，
求解上述方程组，并令
aaij
x j yk xk yi
xk yj xi yk
a
k
xi y j
x jyi
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华北电力大学电气与电子工程学院
8
工程电磁场
1 xi
11 2
设第k 个节点是第一类边界上的节点，
其电位已知k k 0。
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华北电力大学电气与电子工程学院
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工程电磁场
主讲人：王泽
忠
在总体系数矩阵和右端向量中，做如下处理：
（1） Akk 1；
（2） Ri Ri Aikk 0 （ i 1,2, , n ）；
（3） Rk k 0 ；
（4） Akj 0 （ i 1,2, , n ）；
N j • d N j ( )d N jd
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
ne
Nk • d Nk ( )d Nk d
e1 e
es1 es
e1 e
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二维泊松方程的求解公式

二维泊松方程的求解公式一、二维泊松方程的基本形式。

在二维直角坐标系中，泊松方程的形式为：∇^2u = f(x,y)其中，∇^2=frac{∂^2}{∂ x^2}+frac{∂^2}{∂ y^2}是二维拉普拉斯算子，u = u(x,y)是待求的函数，f(x,y)是已知的源函数。

二、求解方法之分离变量法（在特定边界条件下）1. 假设解的形式。

- 设u(x,y)=X(x)Y(y)，将其代入泊松方程frac{∂^2u}{∂ x^2}+frac{∂^2u}{∂y^2}=f(x,y)，得到：- X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=f(x,y)- 两边同时除以X(x)Y(y)，得到：- (X''(x))/(X(x))+(Y''(y))/(Y(y))=(f(x,y))/(X(x)Y(y))2. 令(X''(x))/(X(x)) = - λ，(Y''(y))/(Y(y))=λ - (f(x,y))/(X(x)Y(y))（这里λ为分离常数）- 对于X(x)，我们得到方程X''(x)+λ X(x) = 0，其解的形式取决于λ的值。

- 当λ>0，设λ = k^2，k>0，则X(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)。

- 当λ = 0，X(x)=Ax + B。

- 当λ<0，设λ=-k^2，k>0，则X(x)=Ae^kx+Be^-kx。

- 对于Y(y)，同样根据λ的值求解相应的二阶常微分方程。

3. 确定系数。

- 根据给定的边界条件（例如，在矩形区域0≤ x≤ a，0≤ y≤ b上的边界条件），确定系数A、B等。

三、格林函数法求解二维泊松方程。

1. 格林函数的定义。

- 对于二维泊松方程∇^2u = f(x,y)在区域Ω内，格林函数G(x,y;x_0,y_0)满足：- ∇^2G(x,y;x_0,y_0)=δ(x - x_0)δ(y - y_0)在Ω内，- G(x,y;x_0,y_0)=0在∂Ω上（∂Ω为区域Ω的边界）。

有限元解二维泊松方程

有限元解二维泊松方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于解决各种物理问题。

在本文中，我们将使用有限元方法来解决二维泊松方程。

泊松方程是一个偏微分方程，常用于描述电势、热传导等问题。

让我们先来了解一下有限元方法的基本原理。

有限元方法将求解区域划分为许多小的子区域，称为单元。

每个单元内的解可以用一组基函数来表示，这些基函数在整个区域上是连续的。

通过在每个单元上建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。

在本文中，我们考虑一个简单的二维泊松方程，如下所示：∇²u = f其中，∇²表示拉普拉斯算子，u表示未知函数，f表示已知函数。

我们的目标是求解未知函数u。

为了使用有限元方法求解这个方程，我们需要首先将求解区域划分为许多小的单元。

然后，在每个单元上选择适当的基函数。

通常，我们会选择一些简单的基函数，如线性函数或二次函数。

接下来，我们需要在每个单元上建立适当的方程。

这些方程通常采用变分法来得到。

变分法是一种数学方法，用于处理泛函的极值问题。

通过对方程进行适当的变分处理，我们可以得到一组代数方程。

然后，我们将这些代数方程组合起来形成一个大型的线性方程组。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到整个区域上的解。

我们需要对解进行后处理，以获得我们感兴趣的物理量。

例如，我们可以计算电场、温度等。

通过使用有限元方法，我们可以有效地求解各种复杂的物理问题。

该方法已经在许多领域得到广泛应用，如结构力学、流体力学、电磁场等。

总结起来，有限元方法是一种强大而灵活的数值计算方法，可以用来解决各种物理问题。

在本文中，我们使用有限元方法来解决二维泊松方程。

通过合理划分求解区域、选择适当的基函数和建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。

通过求解线性方程组和后处理，我们可以计算出感兴趣的物理量。

有限元方法的广泛应用使得我们能够更好地理解和解决实际问题。

工程电磁场第7章二维泊松方程的有限元法

式中 wi 为权函数， w1, w2 , , wk , 为权函数序列，
权函数之间要求线性无关。权函数的不同选择导致不同的近似方法。
2、几种加权余量法
（1）配点法
在求解区域中选取 n 个点 P1, P2 , , Pn ，让方程的余量在这 n 个点上为零。
即选权函数为
K (e) jm

K (e) mm

Kim

ui

bi

K mj

u
j

b
j

Kmm um bm

b(e) i

f (e)
e
N (e) i
即权函数为
wi

R ci
（ i 1,2, , n ）
（4）伽辽金法
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0

m
ui L u jd ui fd

j 1

（ i 1,2, , n ）
在上述几种加权余量法中，伽辽金法应用最广泛。有限元法基于伽辽金法
场域离散
二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。
单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是单一、均匀的。
节点：网格的交点，待求变量的设置点。该步骤需要记录的信息：节点编号、节点坐标节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号单元节点编号单元介质
三角形单元内的基函数设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1, u2, u3。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表示为

泊松方程求解

泊松方程求解
泊松方程求解是数学上一个重要而又有趣的问题。

它是数学家Pierre-SimonLaplace发现的，他在1786年发表了一篇论文，提出了一种方法来求解泊松方程。

泊松方程的求解有多种，其中最基本的形式包括拉普拉斯变换法、微分方程法和解析解法等。

首先，来看拉普拉斯变换法。

这种方法基于拉普拉斯变换，其原理是将原来复杂的某个函数（如泊松方程）变换成一种更加简单的形式，由此来推导出泊松方程的解。

拉普拉斯变换是一种古老的数学技术，它的贡献无可替代，是泊松方程解析求解的基础。

其次，谈到微分方程法。

微分方程法本质上是一种非线性迭代求解方法，它的基本步骤是使用数值分析法将泊松方程转化为一系列微分方程，然后采用数值求解技术来求解泊松方程。

微分方程法适用于非线性问题，以及条件初值问题，常用解法有Runge-Kutta法、Adams-Bashforth-Moulton法等。

此外，泊松方程有其解析解。

解析解是使用精确的数学方法求解泊松方程的解，它可以将原来的复杂问题变成一个简单的求解问题，从而获得一个准确精确的解。

解析解有许多种形式，比如全局逼近解、有限差分法、有限元法和积分变换等。

最后，总结一下。

泊松方程求解是一个复杂而重要的问题，有多种求解方法可供选择，其中包括拉普拉斯变换法、微分方程法和解析解法等。

这些方法在不同的情况中有不同的适用性，但都能够有效地帮助我们解决泊松方程的求解问题。

(有限元法)

有限元法1.有限元法概述实际工程计算中所涉及到的物理元器件本身结构非常复杂，部分材料的属性还存在非线性问题，难以有效地得到问题对应的解析解。

随着计算机技术的发展，一些数值计算方法在攻克科学技术难题时发挥了巨大的作用，其中比较常用的包括有限元法、边界元法、模拟电荷法、有限差分法等。

有限元的核心思想在于能够将复杂场域的计算问题等效为进行简单的方程组求解问题[22]。

有限元法将连续的求解区域进行剖分，得到有限数量的离散性质的单元体，选择较为简单的并且合适的插值函数进行插值，那么问题就转化为数学上求解一个普通的多元函数极值的问题，求解该多元函数方程组，便可以得到求解域的数值解[23-25]。

有限元法得到的单元体集合可以按照不同的方式进行组合，单个单元针对不同方向的计算问题也存在几种不同的单元形状，可有效地使复杂计算几何模型转变为有限元计算模型。

总的来说，有限元法相对于其它电磁场数值方法主要有以下优点：（1）能够处理复杂边界。

有限元法强大的网格划分功能能够合理的划分复杂边界，保证计算的精确度。

（2）异类介质的存在对计算无影响。

有限元法计算分析问题时，模型中可以同时存在不同种的介质材料，仅需要在网格划分前设定好各种介质的材料属性。

（3）场域维数可为三维。

二维计算虽具有一定的适应性，但是如果需要更加贴近实际的进行三维模型计算，就得采用有限元法将计算求解场域离散。

（4）电场计算更简单。

有限元法在处理形状简单的三角形单元或者四面体单元时，可以认为电场强度在单元内部是均匀不变的，计算更加简单。

目前，有限元法作为一种数值计算方法，比其他方法更适用于分析不同介质性质和不同边界形状的复杂问题，已经成为解决电磁场和电磁波工程问题的主流方法。

如电学中的汤姆逊定理，变分原理解释了物理学中的最小作用原理，为数值解的存在与稳定提供了前提条件。

变分原理通过将问题的物理特性离散化，列出相应的公式，简化了编写通用计算程序的难度，使解决问题的计算程序能构成模块化的子程序集合。

有限体积法求解二维泊松方程

有限体积法求解二维泊松方程题目：探索有限体积法求解二维泊松方程在数学和计算科学领域中，求解偏微分方程是一个重要而复杂的问题。

其中，二维泊松方程是一个经典的偏微分方程，它在电磁学、热传导、流体力学等领域都有着重要的应用。

本文将探讨如何利用有限体积法（Finite Volume Method）来求解二维泊松方程，以及该方法的优势和局限性。

一、有限体积法概述有限体积法是一种离散化偏微分方程的方法，它将计算区域分割成有限个体积单元，并在每个单元上建立平衡方程。

在求解二维泊松方程时，我们首先需要将计算区域网格化，然后利用有限体积法建立离散方程，并通过迭代求解得到数值解。

1. 网格生成在利用有限体积法求解二维泊松方程时，首先需要对计算区域进行网格划分。

对于简单的矩形区域，常用的网格生成方法包括结构化网格和非结构化网格。

结构化网格适用于规则几何形状的区域，而非结构化网格则适用于复杂几何形状的区域。

2. 离散化方程在建立离散方程时，我们利用有限体积法将偏微分方程转化为代数方程。

以二维泊松方程为例，离散化方程可以表示为：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -f(x, y) \]3. 求解方程利用有限体积法离散化后的代数方程可以转化为一个线性方程组，通过迭代方法（如迭代法、共轭梯度法等）求解，得到数值解。

二、有限体积法求解二维泊松方程的优势1. 适用于不规则区域由于有限体积法不依赖于网格的规则性，因此适用于不规则几何形状的计算区域。

2. 能量守恒有限体积法在离散化过程中保持了能量守恒的性质，因此在一些物理问题的模拟中具有一定的优势。

3. 数值稳定性好相比有限差分法等其他数值方法，有限体积法的数值稳定性更好，对于一些复杂的偏微分方程求解具有较好的表现。

三、有限体积法求解二维泊松方程的局限性1. 计算效率较低有限体积法需要对整个计算区域进行网格划分，对于大规模问题，网格生成和方程求解的计算成本较高。

用MATLAB实现二维以内Poisson方程的有限元方法求解器

目录第一章绪论 (1)1.1 有限元的应用及本文的意义 (1)1.2 有限元方法的背景知识 (1)1.2.1 有限元方法概述 (1)1.2.2 应用有限元方法求解实际问题的步骤 (2)1.3 本文的主要工作 (3)1.4 本文的组织结构 (4)第二章对物理模型应用有限元方法 (5)2.1 物理模型 (5)2.1.1虚拟功 (5)2.1.2最小势能 (6)2.2 Ritz方法和Galerkin方法 (7)2.2.1 Ritz方法 (8)2.2.2 Galerkin方法 (9)2.3边界条件 (10)2.3.1通过构造限定绝对边界条件 (10)2.3.2在得出结果后限定绝对边界条件 (11)2.4对模型问题应用有限元方法 (12)第三章MATLAB软件工具的使用 (15)3.1 MATLAB概述 (15)3.1.1 Matlab的发展和特点 (15)3.1.2 Matlab的强大功能 (16)3.2 MATLAB系统简介 (19)3.2.1 MATLAB系统组成 (19)3.2.2 MATLAB的语言特点 (20)3.2.3 MATLAB的安装及用户界面 (21)第四章数学问题的提出和求解 (23)4.1 简单的一维常微分方程的有限元方法求解 (23)4.1.1 问题的提出 (23)4.1.2 求解过程 (23)4.2 二维微分方程的有限元求解 (25)4.2.1 问题的提出 (25)4.2.2求解过程 (26)第五章算法的实现、应用及结果 (36)5.1 一维问题的实现及结果 (36)5.1.1 对一维微分方程的实现 (36)5.1.2结果及分析 (36)5.2 二维问题的实现、应用及结果 (38)5.2.1 对二维Poisson方程的实现以及系统结构 (38)5.2.2 对给定函数k和f的应用和结果 (40)5.2.3 对一个具体物理问题的应用及结果 (49)第六章总结与展望 (52)参考文献 (53)摘要 (1)Abstract (2)致谢 (3)第一章绪论1.1 有限元的应用及本文的意义有限元分析技术是最重要的工程分析技术之一。

用Matlab求泊松方程数值解的有限元法

用Matlab求泊松方程数值解的有限元法
李秀英;常迎香;褚衍东;李险峰
【期刊名称】《重庆工学院学报》
【年(卷),期】2007(021)015
【摘要】摘要：Matlab经过多年的发展与完善，已成为科学与工程计算的重要工具，而有限元方法作为近似求解边值问题的一种数值技术，也广泛应用于数学和工程问题．对Matlab和有限元的原理和步骤进行了阐述，并用实例证明了两者的结合使所要研究的偏微分方程的数值解更为有效、精确．
【总页数】3页(P112-114)
【作者】李秀英;常迎香;褚衍东;李险峰
【作者单位】兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州730070
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.对解泊松方程数值生成网格方法的一点改进 [J], 蔡荣泉;陈义根
2.对解泊松方程数值生成网格方法的改进 [J], 蔡荣泉; 陈义根
3.用Matlab求泊松方程数值解的有限元法 [J], 李秀英; 常迎香; 褚衍东; 李险峰
4.金属中氘离子体的库仑屏蔽问题—非线性泊松方程的数值解 [J], 姜松川;杨更亮;王顺金
5.Petrov-Galerkin有限元法求正则化长波方程的数值解 [J], 唐世敏;王唯
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二维泊松方程边值问题有限差分方程的病态结构和最优预条件子

二维泊松方程边值问题有限差分方程的病态结构和最优预条件子张衡;郑汉垣【摘要】基于结构分析的思想,讨论大规模病态稀疏线性方程的病态机理和预处理原理,定义该方程组的病态结构、病态因子、去病因子.针对病态结构,设计去病因子,以去病因子为预条件子,并对预条件子的性能进行定量分析,结果表明去病因子是最优预条件子,该预条件子的使用,几乎不增加迭代的计算量,预处理后方程组的主体保持正定对称,条件数接近常数.【期刊名称】《福建师大福清分校学报》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】6页(P1-6)【关键词】病态机理;病态结构;病态因子;去病因子;预处理【作者】张衡;郑汉垣【作者单位】福建师范大学福清分校无损检测技术福建省高校重点实验室,福建福清350300;福建师范大学福清分校电子与信息工程学院,福建福清350300;龙岩学院传播与设计学院,福建龙岩364012【正文语种】中文偏微分方程大规模数值求解问题，通常转化为大规模病态（高条件数）稀疏线性方程组的求解 [1].该方程组的条件数经常随着问题规模的增加而增加[2]，成为影响求解效率和精度的瓶颈因素.因此，在迭代求解之前，使用预处理方法来减少方程组的病态，成为提高求解效率和精度的必要措施.所谓“预处理技术”是指在求解方程组时，构造简单的可逆矩阵 M 1 , M 2，使得Cond( ) < <Cond(A )（Cond(A)是指矩阵A的条件数），, 容易计算，从而方程组（1）化成等价易解的方程组其中x ′ =M2 x，矩阵 M 1 M 2称为预条件子 [3-4]．如果 C ond( 1)与A的阶数无关，则称M1 M 2为最优预条件子[5]205-209.病态方程组的成功求解，常常以适当的预条件子作为前提.由于缺乏对病态机理和预处理原理的研究，目前关于预处理问题的理论仍然不完善.一是缺乏一般的预处理方法，没有通用的预条件子，只能针对具体问题，根据预条件子的基本要求，设计具体的预条件子[6-8]；二是对预处理的效果（条件数下降的程度，预处理后的条件数，对计算量的影响等）缺少科学的定量分析，多用实验结果说明[9-15].目前关于病态机理和预处理原理的研究鲜见有成果发表.本文讨论病态机理和预处理原理.定义方程组的病态结构、病态因子、去病因子，讨论他们的性质和作用. 使用有限差分方法，大规模求解二维泊松方程边值问题时，基于非均匀网格形成的有限差分方程，是稀疏病态方程组.基于结构分析的思想[16-19]，针对该方程，研究病态结构、病态因子、去病因子.将病态分为由病态因子表达的原发性病态和由具体问题和方法引起的继发性病态，更准确地说明了不同的因素对病态的影响；以去病因子为预条件子，对预处理的效果（条件数下降的程度，对计算量的影响）定量分析，结果说明去病因子是最优预条件子[5]205-209；该预条件子的使用，几乎不增加求解的计算量，预处理后方程组的主体保持正定对称，条件数接近常数（与问题规模无关）.1 矩阵的病态结构与去病因子1.1 矩阵的病态结构定义1 可逆矩阵的如下结构称为病态结构：其中是整数，，Y1C Y2 ,Y1Y2 均可逆，Cond(C )很小，C o nd(Y 1C Y2 )和 C ond(Y 1Y2)很大为A的病态主体，分别称 Y1 , Y2 为左、右病态因子.显然，在定义1中，C o nd(A) ≈Cond(Y 1C Y2)1.2 去病因子如果A有(3)式的病态结构，为减少或者消除病态，可针对病态因子，设计预条件子M1 , M 2，使得) < <Cond(Y 1C Y2 )，从而减少或者消除病态因子 1 2,Y Y 的致病作用.因为 1 2,Y Y 不是方阵，所以即使找到病态因子，也难以用逆矩阵的方法设计预条件子.特别地，有定义2 如果可逆矩阵 1 2,M M 满足：，或者，则称这样的 1 2,M M 为 1 2,Y Y 的去病因子.定义2中可认为去病因子 1 2,M M 消除了病态因子 1 2,Y Y 的致病作用.通常考虑寻找满足=I的可逆矩阵 1 2,M M.特别地，对于正定对称矩阵的情形，有命题 1：设C分别是阶正定对称矩阵，则有2)如果有α阶矩阵M满足则有证明：1)利用Rayleigh-Ritz定理[20]所以，即(4)成立.2)根据条件有 M -1 YYTT M-TT =，I是α α阶单位矩阵，利用结论1)有Cond(M -1 YCYTT M-TT )≤≤Cond(C ) Cond(M -1 YYTT M -TT )=Cond(C)，即(6)成立.根据命题1，如果 Y , 是病态因子，则满足(5)式的矩阵 M , 可以消除 Y , 的作用，因此有定义3 称满足(5)式的矩阵M为属于Y的去病因子.1.3 一个特别的病态因子及其去病因子阶正弦变换矩阵，有命题2：Z Z TT =HHTT命题3：3)对于任意 m ( n + 1 )+ n ( m + 1 )阶正定对称矩阵P，有证明：1)根据命题2 ，Z Z TT 的特征值为，1 ≤ i≤ n，1 ≤ j≤ m.所以即(7)成立.2)记，则容易验证：1 + 2min(x, y) ≥ g ( x, y) ≥ m in(x, y)，所以3)根据(4)可得.证毕.根据命题3和定义1，Z , Z T 是 Z PZT或者 Z Z T 的病态因子；根据命题2和定义3，矩阵H是属于Z的去病因子.2 二维泊松方程边值问题非均匀网格的有限差分方程使用有限差分方法，求解二维泊松方程边值问题[4]100-101其中f =f( x, y) ,(x, y) ∈ D = [ a, b] × [ c, d ] ⊂R2对D做非均匀网格剖分[5]59：在(xi, y j )，使用δ x x u i, j , δ y y u i, j , fi, j 分别代替u x x , u y y,f，得到非均匀差分格式其中0≤≤i≤n+1，0≤≤j≤≤ m +1.记则有命题4：问题(9)有如下的有限差分网格方程证明：容易验证根据上述记号的定义，有根据差分格式(10)，有 - δxx u -δyyu=f，所以(11)式成立.证毕.3 有限差分方程的病态结构与最优预条件子及其预处理效果显然，当 h i , x , h j , y都很小时，根据 P , Q, Z的定义，命题4的(11)式中，ZPZ T >>Q，在系数矩阵A中，Z P Z T是A的大范数部分，即主要部分，Co nd(A) ≈ Cond(Z PZ T )；根据定义1和命题3，有限差分方程(11)的系数A矩阵具有病态结构，Z P Z T是A的病态主体，Z, Z T是病态因子；根据命题2，矩阵H是属于Z的去病因子.根据命题3，A的病态大部分是由病态因子Z表达的，少部分是P表达的，Q对A的病态影响很小.病态因子Z表达的病态来自微分算子，是本质的，离散精度越高，A的阶数越大，Z表达的病态越严重；P表达的病态来自网格大小，几乎不受A的阶数影响，是非本质的，可以随着应用问题的不同而不同，在应用中可以调整. 定义4 称病态因子Z表达的病态为原生病态，P表达的病态为继发病态使用H作为预条件子，则方程(11)化成容易验证：Cond()P 几乎不受 ,m n的影响.根据命题1的结论2),有因此，H H T 是最优预条件子[5]205-209.H, H - 1都是离散傅里叶变换矩阵的直积与对角矩阵的积，有简单、确定的结构，因此预条件子的构造和预处理计算不需要增加大量成本，其中预处理需要的计算是H , H -1与向量的乘积，每次需要的计算操作数是O( m n l og2(n m )) ，即有限次离散快速傅里叶变换的计算量，所以每个迭代步的计算量没有显著增加.预处理后，方程(12)的系数矩阵的主体仍然是正定对称矩阵，所以仍然可以使用经典Krylov子空间方法—共轭梯度法求解，即为预处理共轭梯度法[4]139-151.4 结论1）二维泊松方程边值问题的有限差分网格方程，是稀疏病态方程组，它的结构中，隐藏着包含病态因子的病态结构，这是病态产生的根本原因.2）有限差分方程组的病态分为由病态因子表达的原发性病态和由具体方法引起的继发性病态，原发性病态是主要的、本质的.3）针对病态因子，可找到去病因子，将去病因子作为预条件子，可消除病态因子的致病作用，即消除原发性病态.预处理后，系数矩阵主体（大范数部分）的条件数降为接近常数，几乎不受方程阶数的影响，因此，去病因子是最优预条件子[5]205-209.4）将去病因子作为预条件子，预处理过程基本不增加计算操作数，并且预处理后矩阵主体保持正定对称.5）与经典的不完全LU分解法比较，本文的预条件子针对病态因子设计，有明显的针对性和标准，得到的预条件子与具体的问题的继发性病态没有关系，有一定的通用性.【相关文献】[1] JIA Z X. The convergence of krylov subspace methods for large nonsymmertric linear systems [J]. Acta Mathematical Sinica, 1988, 14(4): 507-518.[2] 吴勃英,王德明,丁效华,等.数值分析原理[M].北京：科学出版社，2003:71-101.[3] 张科.两类线性方程组的预处理技术及数值求解方法[D].上海：上海大学，2014:7-9.[4] 李荣华 . 偏微分方程数值解法 [M]. 2 版 .北京：高等教育出版社 , 2010.[5] 张文生. 科学计算中的偏微分方程有限差分法[M].北京：高等教育出版社，2006.[6] BAI Z Z, LI G Q. Restrictively preconditioned conjugate gradient methods for systemsof linear equations [J]. IMA Journal of Numerical Analysis, 2003 (23): 561–580.[7] WANG Z Q. Restrictively preconditioned chebyshev method for solving systems of linear equations [J]. Eng Math, 2015 (93):61-76.[8] BRU R, MARW J, MAS J, et al. 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Journal on Numerical Methods and Computer Applications, 2011, 32(4): 267-273[16] 张衡. 一维问题一次形函数有限元方程的条件数与预处理[J]. 福建师大福清分校学报,2016(2):1-3.[17] 张衡. 一维问题m次lagrange形函数有限元方程的条件数与预处理[J]. 石河子大学学报（自然科学版）, 2017, 35(4):518-521.[18] 张衡. 两点边值问题2次lagrange形函数有限元方程的条件数和预处理[J]. 福州大学学报（自然科学版）, 2017,45(5): 617-622[19] 张衡. 两点边值问题3次lagrange形函数有限元方程的条件数和预处理[J]. 计算力学学报, 2017,34(5): 672-676。

7.2.4二维泊松方程的有限元法+-+教学案例6-ANSYS软件在工程电磁场教学中的典型应用

ANSYS 软件在工程电磁场教学中的典型应用齐磊1、案例说明导体表面电场计算、多导体系统部分电容参数计算、线圈电感计算是工程电磁场教学中的重要内容。

关于导体表面电场和多导体系统部分电容计算，其本质是静电场边值问题的求解，常用的计算方法包括解析法和数值法两大类：解析法主要有直接积分法、镜像法、分离变量法等，这几类方法只能解决一些特殊的工程问题，教学中也主要侧重于其基本原理的讲解和关键知识点的强化；数值法主要包括有限元法、边界元法、有限差分法、矩量法等，这几种方法各有利弊，实际应用中应结合具体工程问题选择合适的计算方法。

有限元法作为一种经典的数值计算方法，近年来随着计算机技术的发展，在工程实际中得到了广泛应用，并出现了成熟的商业软件如ANSYS可供使用。

本案例的第1部分主要讨论ANSYS软件在导体表面电场计算方面的应用，涉及的关键知识点包括静电场边值问题、恒定电流场计算、电准静态场定义、传导电流密度与位移电流密度、静电场与电流场耦合计算、虚拟媒质法等，通过该部分介绍可以深化对上述知识点的理解和掌握，并熟悉ANSYS软件的一般使用方法。

本案例的第2部分主要讨论ANSYS软件在电容参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括电容、静电独立系统、部分电容、静电屏蔽等，通过该部分介绍除深化相关知识点认识外，还可以拓展学生知识面，了解高压直流输电、换流阀系统、过电压分析与绝缘配合等相关知识。

本案例的第3部分主要讨论ANSYS软件在电感参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括恒定磁场边值问题、自感、互感、媒质磁化、镜像法等，通过该部分可以深化对上述知识点的理解，同时了解空心电抗器制造工艺以及可能存在的绕组发热、振动等相关问题。

2、案例介绍2.1ANSYS 软件在导体表面电场计算中的应用ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换。

ANSYS软件共由前处理模块、分析计算模块及后处理模块三大模块组成，其分析计算电场分布的流程如图1所示。

静电位满足的泊松方程

静电位满足的泊松方程引言静电位是指在没有电流流动的情况下，由电荷分布所产生的电势分布。

静电位的计算是电场分析中的重要问题，它与泊松方程密切相关。

泊松方程是描述电势分布的偏微分方程，它在静电学中具有重要的应用。

本文将详细介绍静电位满足的泊松方程以及其应用。

我们将介绍泊松方程的定义和基本性质。

接下来，我们将讨论如何求解泊松方程，并给出一些常见问题的解析解和数值解。

我们将介绍一些泊松方程在实际应用中的例子。

泊松方程的定义和基本性质在物理学中，泊松方程是描述标量场（如电势）在没有源项（如电荷密度）时满足的偏微分方程。

对于二维情况下的静电位，泊松方程可以写作：∇2ϕ=−ρ/ϵ0其中∇2表示拉普拉斯算子，ϕ表示静电位（即电势），ρ表示电荷密度，ϵ0表示真空介电常数。

泊松方程具有一些基本性质：1.线性性：泊松方程是线性的，即满足叠加原理。

如果ϕ1和ϕ2分别满足泊松方程，则它们的线性组合aϕ1+bϕ2也满足泊松方程。

2.唯一性：给定边界条件和源项，泊松方程的解是唯一的。

这意味着只要我们找到一个满足边界条件的解，就可以确定问题的解。

3.可积性：泊松方程是可积的，即如果ϕ1和ϕ2分别满足泊松方程，则它们的乘积ϕ1ϕ2也满足泊松方程。

求解泊松方程求解泊松方程是静电学中常见的问题。

根据具体情况，我们可以采用不同的方法来求解泊松方程。

解析解对于简单几何形状和边界条件已知的情况，可以使用分离变量法或格林函数法求得泊松方程的解析解。

这些方法通常涉及到将问题转化为一系列常微分方程或积分方程的求解。

对于一个无限长导线上的电势分布问题，可以使用分离变量法将泊松方程化简为一维泊松方程，并通过适当的边界条件求解得到解析解。

数值解对于复杂几何形状或边界条件未知的情况，我们通常需要借助数值方法来求解泊松方程。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。

有限差分法是最简单直观的数值方法之一。

它将区域离散化为网格，通过近似导数和拉普拉斯算子来离散化泊松方程，并通过迭代求解得到数值解。

有限元解二维泊松方程

有限元解二维泊松方程
在科学与工程领域中，泊松方程是一种重要的偏微分方程，描述了许多物理现象，如电势、热传导和流体力学中的压力分布等。

解决这些问题的数值方法之一是有限元法，它能够有效地近似求解泊松方程。

二维泊松方程可以用以下形式表示：
∇^2Φ = -ρ。

其中，Φ是待求解的标量场，ρ是给定的源项，∇^2是拉普拉斯算子。

有限元方法通过将求解域划分为离散的单元，然后在每个单元上建立适当的插值函数来近似解。

通过将单元上的局部方程组装成整体方程，可以得到一个大规模的代数方程组，通过求解这个方程组可以得到泊松方程的数值解。

有限元法的关键步骤包括：
1. 离散化，将求解域划分为有限个单元，并在每个单元上建立插值函数来逼近解的行为。

2. 建立局部方程，在每个单元上，根据插值函数和泊松方程，建立局部有限元方程。

3. 组装全局方程，将所有单元的局部方程组装成整体方程。

4. 施加边界条件，根据具体问题的边界条件，对整体方程施加边界条件。

5. 求解方程，通过数值方法求解得到数值解。

有限元法在解决二维泊松方程时，能够有效地处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地适用于不规则网格。

它在工程领域中得到了广泛的应用，如电路设计、结构力学分析和地下水流模拟等领域。

总之，有限元解二维泊松方程是一种强大的数值方法，能够有效地近似求解复杂的偏微分方程，为科学与工程领域中的问题提供了重要的数值模拟手段。

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