第二次课微分方程模型.第一讲

矿石中的镭-226处于放射性平衡状态的。所以可通
过对不同矿石样品中镭-226的衰变率的测定来得到
白铅中铅-210的衰变数。通过测算可知，白铅中的
铅-210的衰变数应在0.18到140之间变动。因为铅210的衰变数是与当时的量成比例的，这意味着y0的 变化区间太大了。由于我们的任务是区分17世纪的 画与现在的伪造品，为此若一幅画与铅-210的半衰 期22年相比非常旧，那么在该幅画的颜料样品中， 铅-210的放射量就近似等于同一样品中镭-226的放 射量。另一方面，若一幅画是画龄为20年左右的现 代作品，则铅-210的放射量比镭-226的放射量要大 得多。设 t - t0 = 300 ，由模型的解可得
300ln 2
300ln 2
l y0 = 8.5e 22 + 0.8(e 22 - 1) = 98050
此值大得不合实际。因此，这幅画一定是现代的伪
造品。完全类似的可以证明“洗足” “读乐谱的妇 人”
“弹曼陀林的妇人”都是伪造品。而“做花边的女 孩”
和“欢笑的女孩”就不可能是最近的伪造品，因为 这
两幅画的钋-210与镭-226几乎接近到放射平衡，而
=
lN N0
其解为
N (t) =
N e- l (t- t0 ) 0
显然，当 t 时，N(t) ® 0 ，即若无补充机制，
1
该放射性物质将消失。当 N
期为 t -
t0 =
ln 2 l
。即 t -
t0
(t) =
= 1 l
l2nNN0
时，可得半衰 0 ，大多数情
N
况下，衰变常数 是已知的或能够算出，并且易算
时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑
犯之外。
问题 若张某的律师发现受害者在死亡的当天下午 去医院看过病。病例记录：发烧38.3 ℃。假设受 害者死亡时的体温为38.3 ℃，试问张某能够被排 除在嫌疑犯之外吗？注：死者体内没有发现服用 阿司匹林或类似药物的迹象。
此时解得死亡时间大约在下午4:40分，这时张某 正在上班，因此可以排除在嫌疑犯之外。
（指物体标本中碳-14的原子个数与非放射性碳原子 个数之比）。可认为是常值（实测约为 1.2×10-12) 碳-14和其他碳原子在化学性质上毫无区别。它与氧 化合生成放射性二氧化碳，通过光合作用而进入植 物体内。动物吃植物，碳-14又进入动物体内。因而 在活的动植物体中碳-14的含量大致相同。动植物一 死，体内碳-14得不到补充，只是不断地裂变为氮而 减少。已经知道放射性元素的裂变规律遵循：裂变 速率与剩余量成正比。对碳-14来说，其半衰期为 5730年。这样，从动植物死亡体内碳-14的含量就可 以约略推算它的死亡年代。
出N的值。这样若知道 N0 ，就可以确定该物质的年
代了。在某些情况下，我们可以间接的确定 N0 ， 如上题的碳-14断代法，或确定 N0 的某个适当范围 范·梅格伦的伪造品就属于后一种情形。
我们从下面的初等化学的事实开始，地壳中的所 有岩石都会有少量的铀。岩石中铀衰变成一种其它 元素，而这种元素也进一步衰变成另一种元素。如 此衰变下去，形成一个元素序列直到铅,就不再衰变 如下图所示。铀不断地补充序列中的后续元素，所 以这些后面的元素衰变量与产生量就形成一个动态 平衡。
埃 牟斯的信徒们”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此 之前这幅画已经被鉴定为真迹，并以17万美元的高 价被伦布特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答
是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十 分懊恼，他决心绘制这幅画来证明它的水平。当创 造出这样的杰作以后，他的志气消退了。而且当他 看到这幅画这么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪 造品时就不太绘画中都没有观察到这
小鸭吃鱼问题
设河边点O处有条小鱼， O的正对岸点为A，河 宽OA＝h，鸭子从A出发游向点O，设鸭子在静水 中的速度为 a，水流速度为b（a>b），且鸭子游 动方向始终朝着点O。 求鸭子游过的轨迹方程。
人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调 节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影 响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律， 即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。 即
dT dt
=
-
k(T -
21.1)
k是常数，分离变量
dT = T - 21.1
-
kdt
两边同时积分得
蝌T
dT - 21.1
由图1可知，镭的半衰期为1600年，而我们只对 300年左右这一段时间感兴趣，据此假设其每分 钟衰变数为常数r，设y(t)为t时刻每克白铅中存在
铅-210的数量，y0为最初生产时（ 时刻t0)每克白铅 中存在的铅-210的数量。记λ为铅－210的衰变常
数，考虑到镭的衰变数，有如下模型
ìïïïíïïïî
下面让我们了解一下颜料方面的知识。用白铅作 颜料已有2000多年了，而白铅是由铅金属产生的 铅金属是经过熔炼从铅矿石中提取出来的，在这 个过程中，矿石中的铅-210随着铅金属被提取出 来，不过有90％-95％的镭以及其他派生物都随着 炉渣作为废弃物被排出了。所以大多数铅-210的 提供物都被排掉了，而其自身开始迅速衰变，半 衰期为22年。这个过程一直持续到白铅中的铅210再次与现存的少量镭达到放射平衡，即铅－ 210的衰变恰好被镭的衰变所平衡。
这表明长沙汉墓的女尸大约是在公元前128年下 葬的。
注：对碳-14的半衰期说法不一，有人测定为5568年， 也有人测定为5580和5730。
范·梅格伦的艺术伪造品
在第二次世界大战时，当比利时解放以后，荷 兰野战军保安部开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家 曾向纳粹德国出卖艺术品的公司中发现线索，于 1945年5 月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦 此人曾将17世纪荷兰名画家杨·弗米尔的油画“捉奸” 卖给纳粹德国戈林的中间人。可是，范·梅格伦在同 年7月在牢里宣布：他从未把这幅画卖给戈林。而 且他还说，这幅画和众所周知的油画“在埃牟斯的
满意。他们要求完全科学地、确定地来证明“在埃 牟
斯的信徒们”的确是一个伪造品。这一问题一直拖 了
20年，直到1967年，卡内基－梅隆大学的科学家们 才基本上解决了这个问题。
卡内基－梅隆大学的解决方案
由马王堆一号墓年代问题我们已经知道放射性物 质的衰变模型为
ìïïïíïïïî
dN = dt N (t0)
检验了油画中有没有经历岁月的迹象。科学家们终 于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹。 此外，他们还在几幅画中检验出20世纪初才发明的 酚醛类人工树脂。根据这些证据，范·梅格伦于1947 年10月12日被宣告伪造罪，判刑一年。可是他在监 狱中因心脏病发作，于1947年12月30日死去。然而 事情到此并未结束，许多人还不肯相信著名的“在
1972年发掘长沙马王堆一号汉墓时，对其棺椁外 主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-14的量 约为大气中的0.7757倍，据此便可推算出木炭的 年代，它也就可以当作女尸下葬的年代。
以t表示时间（年），t=0对应于木炭烧制的时d刻y ，
以碳故按y-1=4裂y的(t变)增表规长示律速木，率炭我，经们而过有碳t年-1后4的碳裂-14变的速含率量便，是则- dtdd，是yt
首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午 5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将 张某排除。
设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0， 则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时 体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的 时间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某 是否是嫌疑犯。
=
- kdt
T (t) = 21.1+ ae- kt
T(0)=21.1+a=32.6
得a=11.5
T(1)=21.1+ae-k=31.4
得e-k＝115/103，即k=0.11
所以
T(t)=21.1+11.5e-0.11t .
当T=37℃时，有t=-2.95 小时＝-2小时57分
Td＝8小时20分－2小时57分＝5小时23分。即死亡
马王堆一号墓年代的确定
1949年美国芝加哥大学利比建立了碳-14测定年代 的方法是考古工作者重要的断代手段之一。其原 理如下：从星际空间射到地球的射线称为宇宙线。 宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核引起 核反应而生成具有放射性的碳-14。宇宙线的强度 可以认为是不变化的，它经年不息地射到地球上 来，不断地产生着碳-14，而碳-14本身又不断地 放出β射线裂变为氮。这种不断产生、不断裂变 的过程从古到今一直进行着，因此大气中的碳-14 实际上处于动态平衡，大气中碳-14的含量
dy = dt y(t0 )
=
l y+ y0
r
r> 0
其解为
y(t) =
r [1l
e- l (t- t0 ) ] +
y e- l (t- t0 ) 0
y(t), r可通过实际测量得到， 因此，只要知道y0，便
可算出t-t0 ，从而确定画的年龄，可对y0的变化区间
进行估算。铅-210的初始量是与用来提取铅金属的
l y0 = l y(t)e300l - r(e300l - 1)
因几年之后钋-210的衰变率就等于铅-210的衰变率 而钋-210的衰变率容易测得，所以用钋-210的y(t) 值代替铅-210的相应值。又铅-210的半衰期为22年 故l = ln 2，实测得r=0.8。人们测定了“Emmaus 的信
22
徒们”以及其他几种已确认的伪造品的钋-210和镭226的衰变率，结果如下表所示
画名
Emmaus 的信徒
洗
足
读乐谱的妇人
弹曼陀林的妇人
做花边的人
欢笑的女孩
钋-210的衰 变
8.5 12.6 10.3 8.2 1.5 5.2
镭-226的衰变
0.8 0.26 0.3 0.17 1.4
6
利用其中数据得
微分方程模型
第一讲
引言
在很多实际问题的研究中，经常要涉及各变量的 变化律问题。
1.尸体冷却模型
受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20 赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后， 当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室 温在几个小时内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑 犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午 张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开 了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步 行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的 证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。
其中C和C1为任意常数。由第二个条件有
a e- 5730k = a k = ln 2 / 5730
2
假设木炭是T年前烧制的，经过T年，其碳-14的含
量已减少为大气中含量的0.7757倍，故应有
由此算出
0.7757a = a e- kT
T = - ln(0.7757) / k = - 5730ln(0.7757) / ln 2 ? 2100
dy = - ky dt
其中k>0为比例系数。木炭在t=0时的碳-14含量与大
气中的含量α＝1.2×10-12大致相同，而经过5730年
后衰减了一半，y(0故) =函a数, yy(=57y3(t0))还= 应a 满足如下条件
2
为了求满足方程的函数，将方程变形为
dy = - kdt y
积分得 y = e- kt+ c = C1e- kt
图1 铀系列
铀-238
45 亿年
24 天
钍-234
1 1 分钟 5
钋-234
铀-234
25 万年
钍-230
8 万年
镭-226
1600 年
氡-222
34 天 5
钋-218
20 分钟
铋-214
破 3 分钟
27 分钟
铅-214
铅-206
138 天
钋-214
钋-210 破 5天
不到 1 秒 铋-210 铅-210 22 年
信 徒们”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡
斯
（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品。 这件事震惊了全世界。为了证明他自己是一个伪造
者，在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在学者 们
中间”，当这项工作接近完成时，获悉他的通敌罪 可
能被伪造罪所取代。因此，他拒绝将这幅画变陈， 希望不被发现使画老化的秘密，以免留下罪证。为 了审理这个案件，法庭组织了一个由著名化学家、 物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究此 事。他们利用x射线检验画布上是否曾经画过别的 画。此外，他们分析了油画中的拌料（色粉），