第三章随机变量与随机向量.ppt

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离散型随机变量的概率密度函数和分布函数
K
f (x) pi (x xi ) i 1
pi P X xi
i 1, 2, K
K
F (x) P X x piU (x xi ) k 1

(x)

0
x0 其它

(x)dx 1
V E R r0 R
RV 2.0V ,3.4V ,6.0V ,8.0V
随机变量V取各值的概率，就等于选取相应的 电阻值的概率
PV 2.0V Ps s1 0.3 PV 3.4V Ps s2 0.4 PV 6.0V Ps s3 0.15 PV 8.0V Ps s4 0.15
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二、随机变量的概率分布函数与概率密度函数
1、概率分布函数定义
FX (x) PX (s) x
描述了X(s)小于等于 x这一事件的概率
性质1 区间概率特性（随机变量出现在某区间的概 率）
Pa X b F(b) F(a)
X
F(b) PX b F(a) PX a
概率分布函数为 F(x) 的随机变量 X ，其概率 密度函数是满足
x
的 f (x)
F(x) f (x)dx
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f (x) dF(x) lim PX (x, x x)
dx
x0
x
x0
描述的是 x 点附近单位长度所占有的概率，或者说 是概率在 x 点处的概率的密集程度。
求（1）X的分布函数F(x);
（2） PX 1
解（1）
x
F (x) f ( )d
F (x) x 1e d 1 ex
2
2
x0
F (x) 0 1e d x 1e d 1 1 ex
2
02
2
x0
（2） PX 1 1exdx 1 e1
样本空间
S s1, s2 , s3, s4
基本实验结果出现的概率为
Ps s1 30 100 0.3 Ps s2 40 100 0.4 Ps s3 15 100 0.15 Ps s4 15 100 0.15
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（2）
1 U (x) 0
x0 其它
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例3.3 离散型随机变量X的概率密度函数为
f (x) 0.2 (x x1) 0.3 (x x2 ) 0.1 (x x3) 0.4 (x x4 )
F(x) 0.2U (x x1) 0.3U (x x2 ) 0.1U (x x3) 0.4U (x x4 )
a
b
F(b) F(a) PX b PX a Pa X b 8
性质2 单调递增性。
性质3 极限特性。
F () PX 1
F () PX 0
性质4 右连续性。
性质1 2 3是概率分布 函数必须具备的特性。
2、概率密度函数定义
（1）从盒子中任意选取一电阻器作为R的实验中， 样本空间S及其各基本实验结果出现的概率。
（2）经过分压器变换之后，随机变量V的值域空间
Rv和各基本结果的概率。
阻值（ ） 电阻器个数
500
100
30
200
40
+
12V
r0
R
V
E
_
500
15
1000
15
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解（1）基本可能结果有4个，
s1 (R 100 ), s2 (R 200 ), s3 (R 500 ), s4 (R 1000 )
第三章 随机变量与 随机向量
关键词：随机变量 随机向量 概率分布函数 概率密度函数 随机变量的函数 随机变量的数字特征
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§3.1 随机变量、随机向量及其概率分布 一、随机变量与随机向量
随机变量的定义 进行一个随机实验E ,观察实验结果。我们用s
表示基本可能实验结果，用S表示实验的样本空间。 若有实函数X(s)，将基本可能实验结果s与一个实 数x对应起来，且具有函数关系：X(s)=x，X(s)称 为该随机实验E的随机变量。
Байду номын сангаас
性质1 区间概率特性。
PX A f (x)dx
( A)
Pa X b F(b) F(a) b f (x)dx a f (x)dx


b

b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx

a
a
性质2 非负性。
f (x)
性质3 归一性。

f (x)dx 1
阴影面积
为1
x
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一个很有用的比喻
将“概率”比喻成“质量” 在一条直线上分布总质量为1的物质 概率分布函数
分布在x左边的总质量
概率密度函数
在x处的概率的密度
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例3.2 已知随机变量X的概率密度函数为
f (x) 1 e x , x 2
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随机向量
随机实验的基本可能结果s，经过一个映射， 就是随机变量，那么经过两个或两个以上的实函数 映射，得到两个或两个以上的随机变量，这些随机 变量就组成了随机向量。
X(s) ( X1(s), X 2 (s), X k (s))
注意：随机向 量都定义在同 一样本空间上
例如：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。
中心问题：将实验结果数量化
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2.通过随机变量，基本可能 结果给定的事件及其概率， 变成了随机变量取值给定的
事件及其概率
样本空间 s1
S
随机变量
s2
X (s)

si
x1 随x机2 变量值xi域RV
1.通过随机变量， 样本空间S映射成 了随机变量的值
域Rv
常见的两类随机变量：离散型与连续型
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例3.1 一个盒子里装有电阻器，阻值如下表示。若 随意地选取一个电阻器作为R接入如图所示的分压 器中，试确定：