(完整版)2.4奇解与包络

于是得到对应关系:
c:l I,
(x, y) c(x, y).
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从而得到二元函数 c c(x, y), (x, y) l 使得
(x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l.
若 l 可用参数形式表示为:
x (t),
y
(t),
t (, )
记
c c((t), (t)) c(t), 则
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2.4 奇解与包络
2.4.1 奇解 1.6节 方程
y ( dy)2 x dy x2 .
dx
dx 2
通解: y c2 cx x2 , c为任常数 , (8)
2
及一个特解: y x2 . 4
y x2 4
特解曲线上的每一点 唯一性被破坏.
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定义2.3: 微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解 的积分曲线上每一点还有方程的另外一个 解存在.
(
y
c)2
2
(x
c)3
0
(1)
3
( y c) ( x c)2 0
(2)
为了消去c,把(2)代入(1)得
(x c)4 2 (x c)3 0 3
即 (x c)3[(x c) 2] 0 3
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从x c 0得 y x (3)
从x c 2 0得 3
y x 2 (4) 9
2.4.2 不存在奇解的判别法 奇解只能存在于不满足解的存在唯一性条件的
区域上----这由解的存在唯一性定理保证.(P103例)
2
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2.4.3 包络线及奇解的求法 1 包络的定义 定义2.4：给定的单参数曲线族：
( x, y,c) 0, (2.10) 其中c是参数, (x, y, c)是x, y, c的连续可微函数 ,
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(x c)3[(x c) 2] 0 3
y
O
x
因此c-判别曲线包括两条曲线(3)和(4),
容易验证y x不是包络, 而直线y x 2 是包络. 9
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奇解的求法 方程 F ( x, y, dy ) 0,
dx
的奇解包含在由方程组
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F(x, y, p) 0 Fp' (x, y, p) 0
中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l *
称为曲线族 lc cI 的c -判别曲线
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定理 2.7
( x, y,c) 0, (2.10)
曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程
( x, y,c) 0
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'c
(
x,
y
,
c
)
0
2.11
消去参数 c而得到的曲线 F(x, y) 0之中,
曲线F ( x, y) 0称为(2.10)的 c 判别曲线.
注: c 判别曲线有时除包络外还有其它曲线.
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例1: 求曲线族 ( y c)2 2 (x c)3 0 的包络. 3
解: 记 (x, y, c) ( y c)2 2 (x c)3 0, 3
则
(2) 对任意的 x0 , y0 l, 存在唯一的 c0 I ,使得
x0 , y0 lc0 且 l 与 lc0在 x0, y0 有相同的切线. 则称 l 为曲线族 lc : (x, y, c) 0的一条包络线,
简称为包络.
定理2.6 一阶微分方程(2.1)的通解的包络一定是奇 解;反之微分方程的奇解(若存在)也是方程的包络.
克莱罗（Clairaut）方程 形如
y
x
dy dx
f
dy dx
的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.
消去参数p而得到的曲线 (x, y) 0之中,
此曲线称为 p 判别曲线.类似于C 判别曲线.
这里F(x, y, p)是x, y, p的连续可微函数 .
注: p 判别曲线是否为方程的奇解,尚需进一步讨论.
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例2: 求微分方程 dy 2 y 2 1 0 的奇解. dx
解:
从
p 2 y 2 1 0,
2 p 0.
消去p(实际上p=0), 得到 p-判别曲线
y 2 1,
即 y 1.
由于方程的通解为: y sin(x c), c为任常数
而y 1也是微分方程的解 ,且正好是通解的包络 .
两曲线y 1和y 1是方程的奇解 .
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dt
y
d
dt
0,
从而
c
dc dt
0.
由于在 l 上不同的点也在不同的 lc上,
即
dc 0, dt
因此 c 0.
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因此,包络线 l 任意一点M 不仅要满足
(x, y,c) 0,
而且还要满足 c (x, y, c) 0.
联立方程组:
(x, y, c) 0 c (x, y, c) 0
如图
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从图形可见, 此曲线族没有包络.
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问题:对于给定的单参数曲线族:
lc : (x, y, c) 0
其中 c I R为参数.
如何判断它是否有包络?
如果有包络, 如何求?
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根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l,则对任意的
x, y l, 存在唯一的 c I ,使得x, y lc .
曲线族(2.10)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(2.10)中,但过这曲线的每一点有(2.10)中的一条 曲线和它在这点相切.
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或定义：对于给定的一个单参数曲线族：
lc : (x, y, c) 0
其中 c I R为参数.若存在一条曲线 l,满足下列条件:
(1) l lc cI ;
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例如 单参数曲线族：
(x c)2 y2 R2
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（其中R是常数，C是参数）表示圆心为（C, 0）而 半径等于R的一族圆. 如图
R
从图形可见,此曲线族的包络显然为:
y R和y R.
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注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
x2 y2 c2
(其中c为参数)表示一族同心圆.
((t), (t),c(t)) 0, t (, )
于是,
x
d
dt
y
d
dt
c
dc dt
0.
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现在 l 任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 lc 上. 由于l 与lc 在M点有相同的切线, 因为 l 与 lc
在M点的切线的斜率分别为
dy dx
与
x , y
所以, 有
x
d