最新重点中学高一数学3月份月考试题及答案
北京市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．四边形ABCD 中，设＝，＝，＝，则＝( )ABa ADb BCc DCA ．－＋B ．－(＋) a b c b a cC ．＋＋D ．－＋a b c b a c 【答案】A【分析】在四边形ABCD 中, 观察图形知,由此能可得答案.+DC +=b a c 【详解】解：在四边形ABCD 中,＝，＝，＝, AB a ADb BCc ,∴+DC +=b a c =, ∴DC+-a b c 故选A.【点睛】本题主要考查向量的加减混合运算及其几何意义，得出,是解题的关键.+DC +=b a c2．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12πA ．B ．5212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先将函数中x 换为x-后化简即可.24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12π【详解】化解为2(124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换. 3．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD E BC F AE DF =A ．B ．1324AB AD -+1223AB AD +C ．D ． 1132AB AD - 1324AB AD - 【答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，DF AF AD =- 1=2AF AE=AE AB BE+ ，，，即可得出答案.1=2BE BC =BC AD【详解】利用向量的三角形法则，可得，， DF AF AD =- =AE AB BE +为的中点，为的中点，则，E BCF AE 1=2AF AE 1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又 =BC AD .1324DF AB AD ∴=- 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．4．若 θA ． B ． C ． D ．2tan θ2tan θ2tan θ-2tan θ-【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系化简可求出. 【详解】为第二象限角，，θsin 0θ∴>==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=-. 1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-故选：D.5．如果函数是定义在上的奇函数，当时，函数的图象如图所示，那么不等()f x ()3,3-03x <<()f x 式的解集是()cos 0f x x <A ．B ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ． D ． (3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃(3,(0,1)(1,3)2π--⋃⋃【答案】B【详解】试题分析：图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx 图象，要求得的解集，只需转化为()cos 0f x x <在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当(3,3)-()0()0{{cos 0cos 0f x f x x x ><<>或(,1)2x π∈--时，，当时，，当时，，故选B.()0,cos 0f x x (0,1)x ∈()0,cos 0f x x (,3)2x π∈()0,cos 0f x x ><【解析】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.6．已知函数，若，，则的最小值为（ ）()()2sin()06f x x ωωπ=->R x ∀∈()()3f x f π≤ωA ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】由题意可得函数在时取最大值，再利用正弦型函数的性质列式求解作答.()f x 3x π=【详解】因，则有，即， ()R,()3x f x f π∀∈≤max ()(23f x f π==()2Z 362k k ωππππ-=+∈解得，而，则，即当时，， ()26Z k k ω=+∈0ω>N k ∈0k =min 2ω=所以的最小值为2 ω故选：A7．一般地，设函数的定义域为A ，区间，如果对任意的，，当()y f x =I A ⊆12,x x I ∈()0,1t ∈时，都有，则称在区间I 上是“函数”下列函数12x x <()()()()121211f t x tx t f x tf x ⎡⎤-+>-+⎣⎦()y f x =n -中是区间上是“函数”的是（ ） ()0,2πn -A ．B ． sin 2y x =cos 2y x =C ．D ．sin 2xy =cos 2xy =【答案】C 【分析】当时，如果对任意的，当时，都有，12t =()12,0,2πx x ∈12x x <()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭故函数为凸函数，进而分析各选项即可得答案. 【详解】解：由题知，当时，如果对任意的，当时，都有12t =()12,0,2πx x ∈12x x <，故函数为凸函数；()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭对于A 选项，的最小正周期为，由于正弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数sin 2y x =π性质，所以在不具有始终为凸函数的性质，故错误；sin 2y x =()0,2π对于B 选项，的最小正周期为，由于余弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数cos 2y x =π性质，所以在不具有始终为凸函数的性质，故错误；cos 2y x =()0,2π对于C 选项，的最小正周期为，其函数图像在始终具有为凸函数的性质，故正sin 2xy =4π()0,2π确；对于D 选项，的最小正周期为，其函数图像在上即具有凸函数性质，又有凹函cos 2xy =4π()0,2π数性质，故错误； 故选：C8．如图，A ，B ，C 三点在半径为l 的圆O 上运动，M 是圆O 外一点，且，，则AC BC ⊥2OM =的最大值为（ ）MA MB MC ++A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】连接，结合题意得到为的中点，再利用向量的运算即可求解. AB O AB 【详解】连接，AB由题意可知为圆的直径，所以为的中点，AB O O AB 则，当且仅当同向时取等号， 2247MA MB MC MO MC MO MC MC ++=+≤+≤+= ,MO OC 故选：D.二、填空题9．已知扇形的面积为9，圆心角为2rad ，则扇形的弧长为______． 【答案】6【分析】联立公式和，即可得到本题答案.12S lr =l r α=⋅【详解】设半径为，弧长为，r l 由题得，，，192S lr ==①2l r =②②代入①得，，所以，则. 29r =3r =26l r ==故答案为：6三、双空题10．设向量，，. ()3,1OA =- ()1,2OB =- ()3,OC t =-（1）若A ，B ，C 三点共线，则________；t =（2），则_______.2OB OC AB +=t =【答案】##3.5 724-【分析】（1）若A ，B ，C 三点共线，则，由平行向量的坐标表示即可得出答案；//AB AC（2）由向量的模长公式可求出，，解方程2OB OC += 5AB = 5=即可得出答案.【详解】（1），， ()4,3AB OB OA =-=- ()6,1AC OC OA t =-=-+ 若A ，B ，C 三点共线，则，//AB AC，解得：.()()41360t -⨯+-⨯-=72t =（2），()()()221,23,5,4OB OC t t +=-+-=-+ ()4,3AB OB OA =-=-因为，则，， 2OB OC AB += 2OB OC +=5AB =，解得：.5=4t =-11．的最小正周期为_______，对称轴为_______.πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】πππ,62k x k =-+∈Z 【分析】根据题意，由余弦型函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数，则其最小正周期为，πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==令，解得，π2π,3x k k +=∈Z ππ,62k x k =-+∈Z 所以其对称轴为: ππ,62k x k =-+∈Z 故答案为:; πππ,62k x k =-+∈Z四、填空题12．已知是两个平面向量，，恒有，则的最,a b||b = t R ∈||||b ta b a -- …||||a b a -+ 大值是__________． 【答案】4【分析】根据平面向量数量积的运算律及不等式恒成立，得到恒成立，即222220t a tb a b a a -⋅+⋅-≥可得到，从而得到，设，，则，再利用基本不()2240b a a ⋅-≤ ()a b a ⊥-||a x = ||b a y -= 228x y +=等式计算可得．【详解】解：对任意，恒有，t R ∈||||b ta b a --…所以，即()()22b ta b a -- …2222222b tb a t a b b a a -⋅+-⋅+ …即恒成立，所以，即222220t a tb a b a a -⋅+⋅-≥()()2222420b a a b a a -⋅-⋅-≤()2240b a a ⋅-≤所以，即20b a a ⋅-= ()0b a a -⋅= ．∴()a b a ⊥-设，，则，||a x =||b a y -=2228x y +==，∴||||4a b a x y -+=+==当且仅当“”时“”成立．的最大值为4．x y ==∴||||a b a -+故答案为：4．13．已知函数的图象关于直线对称，且在上单()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦调，则的最大值为_____. m 【答案】3π5【分析】根据函数的对称性求出，即可求出函数解析式，再根据的取值范围，求出的取ϕx 2π5x -值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭11π10x =所以，，即，， 11π210k ϕπ⨯+=Z k ∈511πk ϕπ=-Z k ∈又，所以，从而.2πϕ<π5ϕ=-()2π5cos f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，所以，因为函数在上单调递减，在上π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22π2ππ,5155x m ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦cos y x =[]0,π[],2ππ单调递增， 所以，即，故的最大值为. 2ππ2155m π<-≤π3π65m <≤m 3π5故答案为：3π514．已知，若∈，使得，若的最大π()2sin(23f x x =+123,,x x x ∃3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦123()()()f x f x f x ==123x x x ++值为M ，最小值为N ，则___________. M N +=【答案】23π6【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y =m 交点的横坐标，()f x 3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦123,,x x x ()f x 利用数形结合思想即可求得M 和N ﹒ 【详解】作出在上的图象（如图所示） π()2sin(2)3f x x =+3π[0,]2因为 π(0)2sin3f ==3ππ(2sin(π23f =+=所以当的图象与直线 ()f x y =设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N ，1x 2x 3x由，π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，，；10x =2π6x =3πx =7π6N =当的图象与直线相交时，()f x y =设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为， 1x 2x 3x M由π2sin(23x +=πsin(23x +=则，，；127π6x x +=33π2x =8π3M =所以. 23π6M N +=故答案为：. 23π6五、解答题 15．化简求值. (1)计算：14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)化简：()()()3sin 2πcos 3πcos π21sin πsin π2ααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-++⎪⎝⎭【答案】 (2) sin α-【分析】（1）（2）根据诱导公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】（1）14π29π53π19πsin cos tan sin cos 25π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()14π29π53π19πsin 4πcos tan 8πsin 8πcos 25π24π3662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π29π5π3πsin cos 4πtan sin cos π=13662⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()()()()()()31sin 2πcos 3πcos πsin cos πcos πsin cos sin 22sin 11sin cos sin πsin πsin πsin π22αααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫-++-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．某港口的水深y （单位：m ）是时间t （，单位：h ）的函数，下面是该港口的水深024t ≤≤表： t （单位：h ）…3… 9 … 15 …h （单位：m） 10 … 13 … 7 … 13 …经过长时间的观察，描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象.()sin y A x B ωϕ=++(1)试根据数据表和曲线，求出函数的表达式；()sin y A x B ωϕ=++(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的.如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多少小时?（忽略离港所用的时间） 【答案】(1) π3sin 106y t =+(2)16【分析】（1）由图象求出函数的最大值和最小值以及周期进行求解即可． （2）根据条件解不等式，然后进行求解即可．7 4.5y -≥【详解】（1）由图象知最大值，最小值，得，， 13A B +=7A B -+=3A =10B =得，即，得，此时，又当时，15312T =-=2π12ω=π6ω=π3sin 106y t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3t =,πππ3sin 310132π,Z 2π,Z 622y k k k k ϕϕϕ⎛⎫=⨯++=⇒+=+∈⇒=∈ ⎪⎝⎭故．π3sin 106y t =+（2）由，得，即，得，7 4.5y -≥11.5y ≥π3sin 1011.56t +≥π1sin 62t ≥得，，解得，， ππ5π2π+2π+666k t k ≤≤Z k ∈121125k t k +≤≤+Z k ∈，时，，时，，024t ≤≤ 0k ∴=15t ≤≤1k =13317t ≤≤故当1时至5时，或13时至17时，能够安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间为小时．17116-=17．如图所示，L ，M ，N 分别为的边，，上的点，且，，ABC ∆BC CA AB BLl BC =CM m CA=，若．求证：． ANn AB=0AL BM CN ++= l m n ==【答案】证明见解析【解析】令，为一组基底，根据已知有，．根据向量的三角形法则以BC a = CA b =BL la = CM mb = 及平面向量的基本定理把用向量表示出来即可。
2023-2024学年河南省南阳市邓州第一高级中学高一(下)月考数学试卷(3月份)(B卷)+答案解析
2023-2024学年河南省南阳市邓州第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（B 卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，是非零向量，“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系中，若角a 的终边经过点，则()A.B.C.D.3.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为()A.2B.4C.6D.84.已知，则的值是()A.B.C.D.5.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为单位：在水面下则d 为负数，若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间单位：之间的关系可以表示为()A. B.C.D.6.已知函数的图象如图，轴，轴，四边形BCDE 的面积为4，，则()A.，，B.，，C.，，D.，，7.设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为()A. B. C. D.8.已知函数，则下列结论中正确的个数为()①为偶函数；②的一个周期为；③在上单调递减；④的值域为A.1B.2C.3D.4二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是()A. B. C. D.10.下列命题中错误的有()A.的充要条件是且B.若，，则C.若，则存在实数，使得D.若与是共线向量，则A，B，C三点共线11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.在区间上是增函数B.点是图象的一个对称中心C.若，则的值域为D.的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到12.下列说法正确的是()A.函数的最小正周期为，则B.已知函数，其中，且函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若函数的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数C.已知函数和的图象的对称轴完全相同，若，则的取值范围是D.将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市重点高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．函数y _____． 【答案】{}|1x x ≥【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x 即可． 【详解】解：若函数有意义，则， 10x -≥解得，1x ≥故函数的定义域为． {}|1x x ≥故答案为：．{}|1x x ≥2．已知，，则______．3sin 5α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos α=【答案】##0.8 45【分析】利用同角三角函数关系式已知正弦求余弦值即可.【详解】因为，，3sin 5α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以，4cos 5α===故答案为：. 453．在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为 ，则扇形的弧长为______； 60︒【答案】## π31π3【分析】将角度化为弧度，根据扇形的弧长公式，即可求得答案. 【详解】在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为,即弧度， 60︒π3故扇形的弧长为，ππ133⨯=故答案为：π34．函数（且）的图象恒过定点______． log 2a y x =+0a >1a ≠【答案】()1,2【分析】根据对数函数过定点求解. 【详解】解：由， log 2a y x =+令，得，1x =2y =所以函数（且）的图象恒过定点， log 2a y x =+0a >1a ≠()1,2故答案为：()1,25．是2的倍数，是6的倍数，则是的______条件． :x α:x βαβ【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当时，满足是2的倍数,但不满足是6的倍数，充分性不成立； 4x =x x ∴若是6的倍数，则一定是2的倍数，必要性成立. x x ∴则是的必要非充分条件. αβ故答案为：必要非充分. 6．当时，的最小值为______． 1x >41x x +-【答案】5【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解. 441111x x x x +=-++--【详解】解：因为，所以， 1x >10x ->所以， 44111511x x x x +=-++≥=--当且仅当，即时等号成立，411x x -=-3x =所以的最小值为. 41x x +-5故答案为：.57．一元二次方程的两个实根为，则______． 230x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】3【分析】利用韦达定理即可求解. 【详解】依题意，因为一元二次方程的两个实根为，230x x +-=12,x x 所以由韦达定理得：，， 12111x x +=-=-12331x x -==-所以.()()2212211212133x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：3.8．函数是偶函数，且定义域是，则______．()21f x ax bx =++[]6,2a a -a b +=【答案】2【分析】根据函数的奇偶性与定义域，列出方程组即可确定的值，进一步即可得到的值.,a b a b +【详解】是偶函数，且定义域是，()21f x ax bx =++ []6,2a a -且，则，()()f x f x ∴-=620a a -+=2a =又，()22()()11f x a x b x ax bx -=-+-+=++，故，2211ax bx ax bx ∴-+=++0b =.2a b ∴+=故答案为：2.9．定义在R 上的奇函数，当时，（k 为常数），则______．()f x 0x ≥()32xf x x k =++()1f -=【答案】-4【分析】由奇函数的性质，代入解析式求出的值，利用函数的奇偶性将转换成()00f =k ()1f -，然后直接代入解析式即可.()1f -【详解】是定义在R 上的奇函数，()f x ，解得，()100f k ∴=+=1k =-则当时，，0x ≥()321xf x x =+-.()()(321)411f f ∴--+-===--故答案为：-4.10．在锐角△ABC 中，角B 所对的边长b =6，△ABC 的面积为15，外接圆半径R =5，则△ABC 的周长为______.【答案】)61【分析】先由正弦定理得,进而得,由的面积可得，再由余弦定理求得，即sin B cos B ABC A ac a c +得周长.【详解】因为，外接圆半径，所以，6b =5R =63sin 2105b B R ===4cos 5B =因为的面积为15，所以，ABC A 1sin 152ac B =50ac =因为，22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--所以 224()22cos 361001002165a cb ac ac B +=++=++⨯=即)61a b c ++=故答案为：)61+11．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例x ∈R []x x []y x =如：，.已知，则函数的值域为______.[]3.74-=-[]2.32=()12121x x f x +-=+()y f x ⎡⎤=⎣⎦【答案】{}1,0,1-【分析】先把函数分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求()12121x x f x +-=+解.()y f x ⎡⎤=⎣⎦【详解】 ()()122132122233221212121x x x x x x x f x ++--⨯+-====-++++ 又， 133202110130122212121x xx x x >∴+>∴<<∴-<-<∴-<-<+++ 当时，所以的值域里有 312021x -<-<+32121x ⎡⎤∴-=-⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦1-当时，所以的值域里有 302121x ≤-<+32021x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦0当时，所以的值域里有 312221x ≤-<+32121x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦1所以的值域为 ()y f x ⎡⎤=⎣⎦{}1,0,1-故答案为：{}1,0,1-二、单选题12．已知是第四象限的角，则点在（ ）． α()tan ,cos P ααA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得 ，可得答案． αtan 0,cos 0αα<>【详解】根据题意， 是第四象限角，则， αtan 0,cos 0αα<>则点在第二象限, ()tan ,cos P αα故选：．B 13．若，则等于 18log 9185b a ，==36log 45A ．B ． 2a ba ++2a ba+-C ．D ．2a ba+2a ba +【答案】B【分析】先化为，化再利用换底公式化简，解得185b =5531823log log 2log b ==+9318233log 2log 2log a ==+，最后利用换底公式求结果. 3322log 22log 5a ab a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【详解】∵18b =5，∴，又，联立解得． 5531823log log 2log b ==+9318233log 2log 2log a ==+3322log 22log 5a a b a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴．故选B ．9554533364923322log 2log log 22log22log 222ba b a a a a⨯⨯+++====-+-+⨯【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力. 14．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定经过和 (0,0)(1,1)B ．幂函数的图象一定关于y 轴或原点对称 C ．幂函数的图象一定不经过第四象限D ．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点 【答案】C【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，函数的图象不经过点，所以A 不正确； 1y x=()0,0对于B ，是非奇非偶函数，所以B 不正确； 12y x =对于C ，对于幂函数，当时，一定成立， y x α=0x >0y >所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C 正确；对于D ，，则令，解得：或或， 3,y x y x ==3x x =0x =1x ==1x -所以幂函数和有三个交点，所以D 不正确. 3y x =y x =故选：C.15．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅则.以下选项表述不正确的是（ ）x y ≠()()f x f y ≠A ．在上是严格增函数 B ．若，则()y f x =R (3)10f =(6)100f =C ．若，则 D ．函数的最小值为2(6)100f =1(3)10f -=()()()F x f x f x =+-【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不()f x 等式求解判断D 作答.【详解】任意，恒成立，,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅且，假设，则有，R a ∈0a ≠()0f a =(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，， 2a a ≠x y ≠()()f x f y ≠R a ∈0a ≠()0f a ≠取，有，则，于是得，，0,0x a y =≠=()()(0)f a f a f =⋅(0)1f =R x ∀∈()0f x ≠，，，R x ∀∈2()([()]0222x x x f x f f =+=>()()(0)1f x f x f ⋅-==对于A ，函数，，，1()()2xf x =,x y ∀∈R 111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，x y ≠()()f x f y ≠1()()2xf x =R A 不正确；对于B ，，则，B 正确；(3)10f =(6)(3)(3)100f f f =⋅=对于C ，，则，而，有，又，因此(6)100f =(3)(3)100f f ⋅=(3)0f >(3)10f =(3)(3)1f f ×-=，C 正确； 1(3)10f -=对于D ，，，则有，()()1f x f x ⋅-=()0f x >()()()1F x f x f x =+-³=当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D 正确. ()()1f x f x =-=0x =()()()F x f x f x =+-故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.三、解答题16．已知全集为，集合. R {}|342=->A x x (1)求；A (2)已知集合，且，求实数的取值范围. {}01B xx m =≤≤+∣A B = R m【答案】(1)2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x (2) {}|1≥m m【分析】（1）根据补集的运算可得答案；（2）利用结合图形可得实数的取值范围.A B = R m 【详解】（1）因为或，{}{342|2=->=>A x x x x 23⎫<⎬⎭x 所以.2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x （2）因为，所以，解得. AB = R 12m +≥m 1≥实数的取值范围是.m {}|1≥mm17．已知为第二象限角，且求的值. αsin αsin()4sin2cos 21πααα+++【答案】【详解】试题分析：先对sin()4sin 2cos 21πααα+++根据为第二象限角，且，可计算出，然后代入代数式计算即可．试题解析：因为sin()4sin 2cos 21πααα+=++，又当为第二象限角，且时，所以，，所以sin()4sin 2cos 21πααα+++【解析】两角和差的正弦公式，二倍角公式．18．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知Ox α()0ββαπ<<<,P Q 点的坐标为.P 34(,55-（1）求的值； 113sin()5sin()2tan()72cos()cos()2ππααπαπαα-+--+--+（2）若，求的值.2παβ=+2sin cos 2cos βββ-【答案】（1）；（2）.49301625-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式及诱导公式即可计算求解；（2）由题得，利用诱导公式可求，的值，即可求解．2πβα=-sin βcos β【详解】（1）由题得，，，3cos 5α=-4sin 5α=4tan 3α=-∴113sin()5sin()3sin 5cos 2tan()tan 72cos sin 2cos()cos()2ππααααπααπαααα-+-+-+=----+.43354495534330255⎛⎫⨯+⨯- ⎪⎝⎭=+=⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭（2）由题得，∴，，2πβα=-cos sin αβ-=sin cos αβ=∴，，3sin 5β=4cos 5β=∴.344162sin cos 2cos 2255525βββ-=⨯⨯-⨯=-19．某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研．调研发现，销售量（单位：斤）与定价x （单位：元/斤）满足如下函数关系：()t x 4500()10500,1550t x x x x=-++≤≤(1)为使销售量不小于150斤，求定价x 的取值范围；(2)试写出总销售额）y （单位：元）关于定价x 的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价x 的值．【答案】(1){}|1545x x ≤≤(2)定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.【分析】（1）由题意销售量不小于150斤，即解不等式即得定价x 的取值范围； ()150t x ≥（2）由总销售额=定价销售量可得函数关系式，化简利用二次函数求最值即可得到总销售额的最⨯大值及此时定价x 的值.【详解】（1）因为量不小于150斤，所以， 4500()10500150t x x x=-++≥即，解得， 21035045000x x -++≥1045x -≤≤又因为，则， 1550x ≤≤{}|1545x x ≤≤故定价x 的取值范围. {}|1545x x ≤≤（2）总销售额=定价销售量 ⨯ 4500(10500),1550y x x x x=-++≤≤∴210(25)10750x =--+当时取得最大值，此时25x =y 210(2525)1075010750y =--+=即定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.20．若两个函数和对任意都有，则称函数和()y f x =()y g x =[,]x a b ∈|()()|1f x g x -≤()y f x =在上是“密切”的．()y g x =[],a b (1)已知命题“函数和在上是“密切”的”，判断该命题的真假．若211()22f x x x =--+()1g x x =-+[]1,2该命题为真命题，请给予证明;若为假命题，请说明理由;(2)若函数和在上是“密切”的，求实数的取值范围；211()22f x x x =--+()1g x x =-+[,1]a a +a (3)已知常数，若函数与在上是“密切”的，求实数的取1m >()1()3xx F x m m -=-2()3x G x m =[]1,2m值范围．【答案】(1)假命题，理由见解析； (2)[1,0]-(3)【分析】（1）由题意可知，由一元二次函数的图像结合函数“密切”的定义判211()()22f xg x x -=+断即可；（2）由解出的取值范围，根据集合间的关系求解即可； |()()|1f x g x -≤x （3）由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】（1）由可得211(),()122f x x xg x x =--+=-+，222111111()()(1)222222f xg x x x x x x -=-+--+=--=+由一元二次函数的图像可知，21151,222x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，即， 21151222x ≤+≤51()()2f xg x ≤-≤故命题“函数和在上是“密切”的”是假命题.211()22f x x x =--+()1g x x =-+[]1,2（2）由（1）知，即，所以， 22111|()()|1222x f x g x x +-=+=≤21x ≤11x -≤≤所以，解得，故实数a 的取值范围为.111aa -≤⎧⎨+≤⎩10a -≤≤[1,0]-（3）因与在上是“密切”的， ()1()3xx F x m m -=-2()3x G x m =[1,2]所以在上恒成立，()12133x xx m m m ---≤[1,2]所以，即， ()113xx m m -+≤13x x m m+≤因为，，所以，且单调递增，只需即可， 1m >[1,2]x ∈1x m >x m 13xxm m +≤又因为对勾函数在上为增函数，所以当时，取最大值，1y t t =+[1,)+∞2x =1xx m m+所以，即， 2213m m+≤42310m m -+≤所以，解得， 223524m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭232m ≤-≤2m ≤≤所以222m ≤≤m ≤≤。
江苏省重点高一下学期3月月考数学试题(解析版)
高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ） 2010x x ∀>->，A ． B ． 2010x x ∀≤->，2010x x ∃>->，C ． D ．2010x x ∃≤-≤，2010x x ∃>-≤，【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是, 2010x x ∀>->，2010x x ∃>-≤，故选：D2．求值：（ ） sin105=A B C D 【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式求得结果.【详解】()16045sin 60cos 45cos 60sin 4sin1505sin 2⎫+=+==⎪⎪=⎭故选：B.3．一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（ ） 120 3πA ． B ． C ． D ．π2π3π4π【答案】B【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， l r 2π1203α==3πS =由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去），212S r α=212π3π23r =⨯⨯3r =由弧长公式， 2π32π3l r α==⨯=故选：B4．已知角的终边经过点，则的值等于（ ） α()2,4P -sin cos αα-A ．BC ．D ．15【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出、，再代入计算可得. sin αcos α【详解】因为角的终边经过点，所以，α()2,4P -sin α=-，cos α=所以sin cos αα-==故选：A5．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）()f x ()f xA ．B ．C ．D ． ||()e x f x x =()e e x xxf x -=-()e xx f x =||3()e x x f x =【答案】D【分析】观察函数的图像，根据函数的性质，利用排除法可得选项.【详解】对于A ，由函数图像可知，时，，而，当时，x →+∞()0f x →||()e x f x x =x →+∞，故A 错误；()f x →+∞对于B ，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定0x =()f x ()e e x xxf x -=-0x =义，故B 错误；对于C ，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C 错误； ()e xxf x =对于D ，是一个奇函数，时，，符合图象，故D 正确. ||3()ex xf x =x →+∞()0f x →故选：D. 6．已知，，，则（ ） 21log 3a =0.5e b =ln 2c =A ． B ． C ． D ．a b c >>b a c >>b c a >>c b a >>【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，，，33323110log 2log 31log 3log 3log 2a <===<=0ln 2ln e 1c <=<=0.50e e 1b =>=又，所以，即. 3ln 2ln 2ln 3ln 2ln 3ln e 1ln 2log 2ln 2ln 3==⨯=>=3ln 2log 2>b c a >>故选：C7．已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值π()2sin(2)13f x x =+-[]a b ，x b a -是（ ） A ． B ．C ．D ．3035π31011π1012π【答案】A【分析】求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可.()0f x =b a -【详解】由得，π()2sin(2)103=+-=f x x π1sin(2)32x +=解得或， ππ22π36+=+x k π5π22π,36x k k +=+∈Z 所以或，ππ12x k =-+ππ,4x k k =+∈Z 令,,,,,1π12=-x 2π4x =3π11ππ1212=-+=x 4π5ππ=44=+x ⋅⋅⋅,,当,时，2023π1011π12=-+x 2024π1011π4=+x 2023π1011π12==-+b x 1π12==-a x 取最小值，最小值为. b a -20241ππ103034π311π412⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭x x 故选：A.8．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是()e 1x f x x =-a ()(ln 1)e g x x x =--b （ ） A ． B ． C ． D ．2eba +=2eb a +>2e ab =2e ab >【答案】B【分析】变换得到，，构造，确定函数单调递增得到ln 0a a +=e eln 0b b+=()ln g x x x =+，确定，根据均值不等式计算得到答案.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ab =【详解】，则，，即，即；()e 1a f a a =-1e aa =0a >1ln ln a a a==-ln 0a a +=，，则，即.()()ln 1e 0g b b b =--=0b >e e lnln e b b b==-e eln 0b b +=设，则函数在上单调递增，，()ln g x x x =+()0,∞+()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，即，ea b=e ab =，当时，不成立，故， 12e b a a a +=+≥=1a =ln 0a a +=1a ≠等号不成立，故，ACD 错误B 正确.12e b a a a +=+>故选：B【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，对数运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，变换得到是解题的关键.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．已知∈R ，则下列结论正确的是（ ） a b c ，，A ．若，则 B ．若，则 22ac bc >a b >0a b <<2a ab >C ．若，则 D ．若，则 0c a b >>>a b c a c b<--1a b >>11a b b a->-【答案】ABD【分析】对于ABC 项：根据不等式的性质逐项判断.对于D 项，使用作差法比大小. 【详解】对于A ：因为，所以，所以，故A 正确；22ac bc >20c >a b >对于B ：因为，所以，两边同乘以得，故B 正确； 0a b <<0a b ->->a -2a ab >对于C ：因为，所以，所以，又，两式相乘0c a b >>>0c a c b <-<-110c a c b>>--0a b >>得，故C 错误； a bc a c b>--对于D ：,()()()11111a b ab a b a b a b a b b a b a ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以,所以，所以，故D 正确. 1a b >>1ab >()10ab a b ab -⎛⎫-> ⎪⎝⎭11a b b a ->-故选：ABD10．将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数π()2sin(2)3f x x =-的图像，则下列结论正确的是（ ）()g x A ．π()2sin()6g x x =-B ．函数在上单调递增()g x (0π2，C ．点是函数图像的一个对称中心 4π(0)3()g x D ．当时，函数的最大值为2π[π]2x ∈-，()g x 【答案】BC【分析】先根据伸缩得出新函数判断A 选项，再根据单调性判断B 选项，代入法验证对称中心判断C 选项，根据值域判断D 选项.【详解】函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，,A 选π()2sin(23f x x =-π()2si 3n()g x x =-项错误;,函数在上单调递增,B 选项正确;(0),ππππ,2336x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝∈⎭，()g x (0π2，当,点是函数图像的一个对称中心,C 选项正确; 4π,3x =4π4ππ(2sin()2sin π0333g =-==4π(0)3，()g x 当,,选项错误.π[π]2x ∈-，π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-max 4π()(π)2sin(3g x g =-=-=故选:BC.11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A ．若，，则1,3)a = （(24)b =-，()a b a +⊥ B ．点，与向量同方向的单位向量为()()1132M N --，，，MN 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．若，则与的夹角为20a b a b a +=-=≠ a b + a b -60 D ．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 (12)a = ，(26)b =- ，a b 14b -【答案】ABD【分析】对于A ，利用向量垂直的坐标表示进行判断；对于B ，与向量同方向的单位向量为MN；对于C ，利用两向量夹角的余弦坐标公式求解即可；对于D ，利用投影向量公式求解即可. MN MN【详解】对于A ，，，，1,3)a = （(24)b =-，()3,1+=- a b 因为，则，故A 正确； ()()=31+13=0a b a +⋅⨯-⨯ ()a b a +⊥对于B ，已知点，，()()1132M N --，，，()4,3MN =- 5=与向量同方向的单位向量为，故B 正确； MN4355MN MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于C ，若，由得. 20a b a b a +=-=≠ 22a b a b +=- 0a b ⋅=由，得，224a b a += 223b a = ，，2a a +== 2a a +==则， ()()222222241cos ,2a b a b a b a b a b a b a b a a a a+⋅-+-===-+---=⋅则与的夹角为，故C 错误；a b + a b -120 对于D ，若向量，，， (12)a = ，(26)b =-，()122610a b ⋅=⨯+⨯-=- ，则向量在向量上的投影向量为，故D 正确.=a b 14a b b b b bb ⋅⋅==-故选：ABD.12．已知函数，则（ ） 2()441x x xf x x =+--A ．是奇函数 B ．的图象关于点对称()f x ()f x ()1,1C ．有唯一一个零点 D ．不等式的解集为()f x ()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 【答案】BCD【分析】求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A 错误；根据解析式验证可知()f x ，则知B 正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递()()112f x f x ++-=1x >()f x ()1,+∞减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在()1f x >()f x (),1-∞定理可说明在有且仅有一个零点，知C 正确；结合C 的结论可说明时，()f x (),1-∞1x >()1f x >时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的1x <()1f x <23x +2x 情况，解不等式组可求得结果.【详解】对于A ，由得：，即定义域为，不关于原点对称，44010x x ⎧-≠⎨-≠⎩1x ≠()f x {}1x x ≠为非奇非偶函数，A 错误；()f x \对于B ，，()112121144242x x x xx xf x x x+++++=+=+-⨯- ， ()()1122112412121444224244444xx x x x x x x xx x x x f x x x x x ----⋅---=-=-=-=---⨯-⨯-，图象关于点对称，B 正确；()()112f x f x ∴++-=()f x \()1,1对于C ，当时，； 1x >()1141212x xf x x=+--在上单调递增，在上单调递增， 2x t = ()1,+∞4y t t=-()2,+∞在上单调递增，在上单调递减；422xx y ∴=-()1,+∞1422x x y ∴=-()1,+∞在上单调递增，在上单调递减；11y x=- ()1,+∞111y x ∴=-()1,+∞在上单调递减；()f x \()1,+∞由B 知：图象关于对称，在上单调递减；()f x ()1,1()f x \(),1-∞当时，，，，在上无零点； 1x >2044xx >-11111x x x =+>--()1f x ∴>()f x \()1,+∞当时，，， 1x <()11000143f =+=-<-()1111210123044f -=+=>-，使得，则在上有唯一零点；()01,0x ∴∃∈-()00f x =()f x (),1-∞0x x =综上所述：有唯一一个零点，C 正确；()f x 对于D ，由C 知：在和上单调递减， ()f x (),1-∞()1,+∞又时，；1x >()1f x >时，；1x ∴<()1f x <①当，即时，由得，解得，即；22311x x +>⎧⎨>⎩1x >()()223f x f x +<223x x +>13x -<<13x <<②当时，不等式组无解，不合题意；22311x x +<⎧⎨<⎩③当，即时，，，不合题意；22311x x +>⎧⎨<⎩11x -<<()231f x +>()21f x <④当，即时，，，符合题意；22311x x +<⎧⎨>⎩1x <-()231f x +<()21f x >综上所述：的解集为：，D 正确.()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 故选：BCD.三、填空题13．请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减()f x ()f x ()f x ()0,∞+函数．则________． ()f x =【答案】(答案不唯一)2x -【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故()f x x α=α()f x ()0,∞+0α< ，故可取， 2()f x x -=故答案为：（答案不唯一）2x -14．已知函数则________．()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩(ln3)f =【答案】3e【分析】由及可得：，即可求得：，ln31>()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()ln3ln31f f =-()3ln31e f -=问题得解.【详解】因为，所以， ln31>()()ln3ln31f f =-因为，所以，所以.ln311-<()ln3ln31e 3l 31ee n ef -=-==()3ln3e f =故答案为：3e15．点P 是正方形外接圆圆O 上的动点，正方形的边长为2，则的取值ABCD 2OP OB OP OC ⋅+⋅范围是________．【答案】 [-【分析】根据题意求出圆的半径，建立如图平面直角坐标系，设，xOy )P θθ，利用平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，[]0,2πθ∈2OP OB OP OC ⋅+⋅=)ϕθ-结合三角函数的有界性即可求解.【详解】由题意知，圆O =建立如图平面直角坐标系，，xOy (1,1),(1,1)C B -得，(1,1),(1,1)OC OB ==-设，，则， )P θθ[]0,2πθ∈)OP θθ=所以2)OP OB OP OC θθθθ⋅+⋅=，其中， )θθϕθ==-tan 3ϕ=又，所以，02πϕθ≤-≤1sin()1ϕθ-≤-≤则，2OP OB OP OC ⋅+⋅=)[ϕθ-∈-即的取值范围为.2OP OB OP OC ⋅+⋅[-故答案为：.[-四、双空题16．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,x ，与轴的交点为，最高点，且满足．则________；将的图5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭y N ()1,P A NM NP ⊥ω=()f x 象向右平移1个单位得到的图象对应的函数为，则________．()g x ()1g =【答案】/ 3π13π【分析】根据图象可求得最小正周期，由此可得，结合五点作图法可求得，将代入解析式ωϕ0x =可求得点坐标，根据垂直关系可构造方程求得的值，进而得到的解析式，再根据三角函N A ()f x 数的变换规则得到的解析式，从而求出.()g x ()1g 【详解】由图象可知的最小正周期，， ()f x 54162T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ3T ω∴==由五点作图法可知：，解得，()π52ππ32k k ϕ⨯+=+∈Z ()π2π6k k ϕ=+∈Z 又，，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()ππsin 36f x A x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()π0sin 62A f A ∴==即，，，0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭5,22A MN ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 1,2A NP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，又，MN NP ⊥ 25024A MN NP ∴⋅=-+= 210A ∴=0A >，A∴=()ππ36f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭将的图象向右平移1个单位得到，()f x ()()ππππ13636g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以()πππ3166g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：π3五、解答题17．设，已知集合，集合． a ∈R 32{1}1x A x x +=<-22{210}B x x ax a =-+-<(1)若，求；1a =A B ⋃(2)求实数的取值范围，使_______成立．a 从① ② ③中选择一个填入横线处并解答． A B ⋂=∅A B ⊆R ðB A ⊆R ð注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)3(,2)2A B ⋃=-(2)或52a ≤-2a ≥【分析】（1）先解分式不等式求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果；（2）①根据集合没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出，,A B B R ð利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出，利用集合间的A R ð包含关系可求出对应条件的参数.【详解】（1）因为 3232231100111x x x A xx x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=<=-<=<⎨⎬⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭⎩⎭所以.3(,1)2A =-因为，{}{}22|21011B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+所以.(1,1)B a a =-+所以 3(,2)2A B ⋃=-（2）①，又， A B =∅ 3(,1)2A =-(1,1)B a a =-+或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥②，，又 A B ⊆R ð(][),11,=-∞-++∞ B a a R ð3(,1)2A =-或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥③，，又 B A ⊆R ð[)3,1,2⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦ A R ð(1,1)B a a =-+或 312a ∴+≤-11a -≥或 52a ∴≤-2a ≥18．已知． 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)若为第一象限角，求；αsin α(2)求的值． 221sin cos sin cos αααα+-【答案】(1)sin α(2) 73-【分析】（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，（2）由弦切互化以及齐次式即可求解.【详解】（1）得即 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 0αα-+=2sin cos αα=又联立解得22sin cos 1αα+=sin cosαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩因为为第一象限角，所以． αsin α（2）由（1）知得． ． 2sin cos αα=1tan 2α=． 221sin cos sin cos αααα+-2222sin cos sin cos sin cos αααααα++=-． ． 22tan 1tan tan 1ααα++=-73=-19．已知，． π(,π)2α∈π3sin()45α+=(1)求；cos α(2)若，且，求． π(0)2β∈，4cos 5β=αβ+【答案】(1)(2)3π4 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.【详解】（1）由，得． π(,π)2α∈3ππ5π444α<+<， π3sin()45α+=π4cos(45α∴+==- ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 444444αααα∴=+-=+++． 4355=-=（2）由， π(,π)2α∈cos α=sin α==由，得， π(0,2β∈4cos 5β=3sin 5β==． 43sin()sin cos cos sin (55αβαβαβ∴+=+=+⨯=又 ππ(,π),(0,)22αβ∈∈ π3π(,22αβ∴+∈ 3π4αβ∴+=20．如图，在平行四边形中，，，． ABCD 60BAD ∠=︒12BE BC = 2CF FD =(1)若，求的值；EF xAB y AD =+ 32x y +(2)若，，求边的长．6AB = 18AC EF ⋅=- AD 【答案】(1)321x y +=-(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解； x y （2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.AD x 【详解】（1）在平行四边形中，，, ABCD 12BE BC = 2CF FD = 所以， 1121()3232EF AF AE AD AB AB AD AB AD =-=+-+=-+ 又，，，. EF xAB y AD =+ 23x ∴=-12y =321x y ∴+=-（2）设长为， AD x ()2132AC EF AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭ 22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 222c 1os 2136BAD AB AD AB AD =⋅∠-+- ， 211241822x x =--=-，或（舍去），即.2120x x ∴--=4x ∴=3-4=AD 21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水(04a a <≤R)a ∈中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中(y )(x )()y af x =，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相()[](]2046154102x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨⎪-∈⎪⎩，，，，应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．4()(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能m 够持续有效，试求的最小值．m【答案】(1)6天(2)2【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答.【详解】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．()84,0446202,410x x f x y x x x +⎧≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩当时，，解得； ． 04x ≤≤8446x x+≥-24x ≤≤当时，，解得； ．410x <≤2024x -≥48x <≤综上求得，28x ≤≤所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ． （2）设从第一次投放起，经过x （）天后，浓度为610x ≤≤1()2526(626)g x x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 41012x x m x-=-+-因为，所以，610x ≤≤120x ->40x ->所以即 410412x x m x--+≥-(6)(12)4x x m x --≥-1610[(4)]4x x =--+-所以 ()161041024x x ⎡⎤--+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当，即时，等号成立，所以 1644x x -=-8x =2m ≥答：为使接下来的4天中能够持续有效m 的最小值为222．已知函数的图象过点，函数，函数()()()ln R f x x c c =-∈(1)0，()(1)(1)h x f x f x =+--．1()421x x g x m m +=+-+(1)判断并证明函数的奇偶性；()h x (2)若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围．a b ，()()0h a h b +=()()0g a g b +≥m 【答案】(1)奇函数；证明见解析(2) 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据奇偶性的定义判断的奇偶性；()h x （2）根据条件知且，原问题等价于不等式在0a b +=()()1001a ∈-⋃，，()()0g x g x +-≥有解，令转化为在有解即可. ()()1001-⋃，，22x xt -=+221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，【详解】（1）函数的图象过点，，解得，函数()()()ln R f x x c c =-∈()10，()ln 10c ∴-=0c =∴的解析式为；， ()f x ()ln f x x =()()()ln 1ln 1h x x x ∴=+--，解得， 1010x x ->⎧∴⎨+>⎩11x -<<的定义域为，其定义域关于原点对称，()h x ∴()11-，又，，()()()ln 1ln 1h x x x -=--+()()0h x h x ∴-+=故为定义域内的奇函数.()h x （2）函数都是上的增函数， ()()ln 1ln 1y x y x =+=--，()11-，是定义域内的增函数，()h x ∴，且为定义在的奇函数，()()()0h a h b a b +=≠ ()h x ()11-，且， 0a b ∴+=()()1001a ∈-⋃，，原问题等价于不等式在有解， ∴()()0g x g x +-≥()()1001-⋃，，， ()()()044222220x x x x g x g x m m --+-≥⇔++++⋅-≥令，，则， 22x x t -=+()()1001x ∈- ，，2442x x t -=++令，可知，则， 2x k =()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，，1t k k =+构造函数，， ()1F k k k =+()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设，则 211k k >>()()()122121212112111k k F k F k k k k k k k k k ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭由得，所以，所以在为增函数， 211k k >>121k k >()()210F k F k ->()F k [1)+∞，同理可证在为减函数.()F k (0,1)由，可得，所以， ()()1512222F F F ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()522F k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在上有解， 2220t mt m +-≥522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当时，，因此在有解． 522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10t ->221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，取，则，从而． 1s t =-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2121t s t s=++-因此在上有解．函数在上单调递增， 122s m s ++≥-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12y x x =++312⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，所以，即. 1322522236s s ++<++=2526m >-2512m >-故实数的取值范围为． m 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对的处理方法是，从而将用表44x x -+()244222x x x x --+=+-44x x -+22x x -+示，换元后将问题转化为二次函数处理.。
福建高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知单位向量、满足，则（ ）a b a b ⊥()a a b ⋅-= A ．0 B ．C ．1D ．212【答案】C【分析】根据单位向量长度为1，结合，即可容易求得结果.a b ⊥【详解】因为单位向量、满足，a b a b ⊥所以，，||||1a b == 0a b ⋅=所以，22()()||1a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=故选：C .【点睛】本题考查根据数量积的定义求数量积，属简单题.2．已知角是第三象限角，且满足，则（ ）α()3π3sin πcos 12αα⎛⎫---= ⎪⎝⎭()tan πα-=A B ．C D ．【答案】D【分析】先利用诱导公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据诱导公式即可sin αtan α得解.【详解】因为，()3π3sin πcos 12αα⎛⎫---= ⎪⎝⎭所以，则，3sin sin 1αα-+=1sin 2α=-又角是第三象限角，所以， αcos α==所以 sin tan cos ααα==所以. ()tan πtan αα-=-=故选：D.3．如图所示，在中，点是线段上靠近A 的三等分点，点是线段的中点， 则ABC D AC E AB （ ）DE =A ．B ．1136BA BC -- 1163BA BC -- C ． D ． 5163BA BC -- 5163BA BC -+ 【答案】B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BA BC =+=+=+-=--故选：B4．在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点，已知角的终边与单xOy αx O αl 位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，若，则()0.6,A m l 2π(),B x y 4tan 3α=-x =（ ） A ．0.6 B ．0.8 C ．-0.6 D ．-0.8【答案】B【分析】已知角的终边与单位圆交于点，且，利用三角函数的定义，求出αl ()0.6,A m 4tan 3α=-，得出在第四象限，绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，0.8m =-()0.6,0.8A -l 2π(),B x y 可知点在第一象限，则，再利用三角函数的定义和诱导公式进行化简计算，(),B x y 2BOx πα∠=+即可求出的值.x 【详解】解：已知角的终边与单位圆交于点，且，αl ()0.6,A m 4tan 3α=-则，解得：， 4tan 0.63m α==-0.8m =-所以在第四象限，角为第四象限角，()0.6,0.8A -α绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，l 2π(),B x y 可知点在第一象限，则，(),B x y 2BOx πα∠=+所以，即：，cos cos sin 2BOx παα⎛⎫∠=+=- ⎪⎝⎭0.811x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得：. 0.8x =故选：B.【点睛】本题考查单位圆中任意角的三角函数的定义的应用以及运用诱导公式化简，考查计算能力.5．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，a b AB a b λ=+ AC a b μ=- (),R λμ∈//AB AC u u u r u u u rA ．B ．C ．D ．2λμ+=1λμ-=1λμ=-1λμ=【答案】C【分析】根据平面向量共线定理可设，可得，再根据平面向量基本定AB k AC =()a b k a b λμ+=- 理列方程组即可求解.【详解】因为，所以设，//AB AC u u u r u u u rAB k AC = 因为，，AB a b λ=+ AC a b μ=-(),R λμ∈所以，可得，()a b k a b λμ+=- 1k k λμ=⎧⎨=-⎩所以， 1λμ=-故选：C ．6．若将函数的图像向右移后关于原点中心对称，则的可能是（ ） ()cos()f x x ϕ=+6πϕA ． B ．C ．D ．3π-6π-6π3π【答案】A【分析】首先由条件判断函数关于点对称，代入得，即可求解.()f x ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭62k ππϕπ-+=+ϕ【详解】由条件可知，函数关于点对称，()cos()f x x ϕ=+,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭则，，得，， 62k ππϕπ-+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈当，，1k =-3πϕ=-故选：A7．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）ABC 222AC AB AM BC -=⋅M ABC A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心【答案】C【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹. BC O 0MO BC ⋅=M 【详解】设的中点是，BC O ，()()2222AC AB AC AB AC AB AO BC AM BC -=+⋅-=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即，所以，()0AO AM BC MO BC -⋅=⋅= MO BC ⊥ 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，M BC M ABC【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题. 8．关于函数有下列四个结论： ()cos cos 2f x x x =+①的值域为；()f x []1,2-②在上单调递减；()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦③的图象关于直线于对称；()f x 34x π=④的最小正周期为．()f x π上述结论中，正确命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】利用二倍角的余弦公式将函数解析式化为，令利用二()212cos +o |s |c f x x x =-cos ,x t =次函数可求出值域，说明①正确；根据复合函数的单调性可知②正确；根据可知③()2f f ππ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭不正确；根据的最小正周期是，可知④正确.cos y x =π【详解】，由得()2cos cos 2cos 2||||||||1cos f x x x x x =++-＝cos ||cos x x =，()222||||12cos 2cos 2co 1s +cos cos +c |s ||o 1|f x x x x x x x +=-=-=-所以，()212cos +o |s |c f x x x =-对于①：令则，又在上单调递增，所以当时，cos ,x t =[]0,1t ∈22+1t y t =-[]0,1cos 0t x ==，当时，， ()min 1f x =-cos 1t x ==()max 2f x =所以f （x ）的值域为[，2]，故①正确；1-对于②：当时，，且在上单调递减，又令02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x cos 0,cos cos x x x ≥=cos y x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦cos ,x t =且单调递增，所以f （x ）在[0，]上单调递减，故②正确；22+1t y t =-2π对于③：因为，，而，cos cos 2221||2||f πππ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=-＝()cos cos |||22|f πππ+=＝()2f f ππ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭所以f （x ）的图象关于直线x ＝对称不成立，故③不正确；34π对于④：因为，且的最小正周期是，所以 f （x ）的最小正周()212cos +o |s |c f x x x =-cos y x =π期为π，故④正确. 故选：C.二、多选题9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．B ．12(0,0),(1,2)e e ==-12(1,2),(5,7)e e =-=C ．D ．12(3,5),(6,10)e e ==1213(2,3),(,)24e e ==- 【答案】AC【解析】判断向量是否共线，共线的不能作为平面的基底．【详解】A ．由于，因此共线，不能作基底，10e =12,e e B ．两向量不共线，可以作基底，C ．由于，不能作基底，212e e =D ．两向量不共线，可以作基底， 故选：AC ．10．下列四个选项，正确的有（ ）A ．在第三象限，则是第二象限角()tan ,cos P αααB ．已知扇形OAB 的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 12C ．若角的终边经过点，则α()(),20≠a a a sin α=D ． sin 3cos 4tan 50>【答案】ABD【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由题可得，则属于第二或者第四象限；tan 0α<α，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A 正cos 0α<αx α确；对B ：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，OAB (0)αα>R l 则，，解得，又，即，解得，B 正确；142lR =210l R +=2,4l R ==l R α=24α=12α=对C ：根据题意可得C 错误； sin α==对D ：因为，，故，3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭334,,5,222ππππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 30,cos 40,tan 50><<故，D 正确. sin 3cos 4tan 50>故选：ABD.11．已知向量，则下列说法正确的是（ ） ()()2,1,1,a b t =-=A ．若，则t 的值为-2 //a b r rB ．的最小值为1a b +C ．若，则t 的值为2a b a b +=- D ．若a 与b 的夹角为钝角，则t 的取值范围是 2t <【答案】BC【分析】A 选项：利用向量共线列方程，求出t ，即可判断；B 选项：求出a +=C 选项：由列方程，即可判断； a b a b +=-D 选项：利用向量夹角公式直接求解.【详解】A 选项：若，则，解得：，故A 错；//a b r r 210t --=12t =-B 选项：，所以t =-1时，取得最小值为()1,1a b t +=-+ a += 1，故B 正确；C 选项：， ()1,1a b t +=-+ ()3,1a b t -=--若，即，故C 正确；a b a b +=- =2t =D 选项：若与的夹角为钝角，则且，a b cos ,0a b < cos ,1a b ≠-cos ,a b a b a b ⋅==⋅，所以，解得：且，故D 错误．20t -+<1≠-2t <12t ≠-故选：BC12．设函数，已知在有且仅有个零点，对于下列个说法正()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()f x []0,π34确的是（ ）A ．在上存在，，满足 ()0,π1x 2x ()()122f x f x -=B ．在有且仅有个最大值点 ()f x ()0,π1C ．在单调递增()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．的取值范围是ω1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【分析】利用三角函数图象及周期的计算，由有且仅有个零点来得区间长度的大致位置，进而3π解的范围，再判断区间单调性．由题意根据在区间有个零点画出大致图象，可得区ω0,2π⎛⎫⎪⎝⎭[]0,π3间长度介于周期，再用表示周期，得的范围，进而求解即可．π3,2T OA T OA ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ωω【详解】画出大致图象如下图，当时而，0x =1sin 62y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭0ω>所以时先单调递增，0x >函数在仅有个零点时，则的位置在之间包括，不包括，[]0,π3πC D ～(C )D 令，则得， ，()sin 06f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭6x k πωπ-=16x k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭()k Z ∈轴右侧第一个零点为，周期，y 6πω2T πω=所以， 3232131966266266T T ππππππππωωωωωωω+≤<+⇒+≤<+⋅⇒≤<所以D 正确．在区间上，函数可达到最大值和最小值，[]0,π所以存在，，满足，所以A 正确， 1x 2x ()()122f x f x -=由大致图象得，可能有两个最大值，不一定正确； B 因为最小值为，所以时，，但， ω13602x π<<116612x πππω-<-<11,1222πππ⎛⎫∉- ⎪⎝⎭所以，函数不单调递增，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 所以不正确． C 故选：．AD三、填空题 13．已知，，则_______________________． in()3s 4a β+=()1sin 3αβ-=tan tan αβ=【答案】135【分析】根据，，利用两角和与差的正弦公式展开，两式相加减，再in()3s 4a β+=()1sin 3αβ-=利用商数关系求解. 【详解】因为，， in()3s 4a β+=()1sin 3αβ-=所以，，3sin cos cos sin 4a a ββ+=1sin cos cos sin 3a βαβ-=所以，， 13sin cos 24αβ=5cos sin 24αβ=则． tan sin cos 13tan cos sin 5ααββαβ==故答案为：13514．正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案（如图一）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图二）.如图三所示的正六角星的中心为，，O A B，是该正六角星的顶点，若，则______. C 2OB = OA OC ⋅=【答案】6-【分析】根据正六角星的性质，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【详解】延长至正六角星一个顶点，如下图所示：COD由题意可知，则， 2π3AOB ∠=1cos 2AOB ∠=-根据正六角星的性质和平面向量加法的几何意义可知：，2OD OA OB =+所以，()2OC OD OA OB =-=-+ 则. ()12242262OA OC OA OA OB ⎛⎫⋅=⋅--=-⨯-⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：6-15．在中，，点满足，若，则ABC ∆2AB AC ==M 20BM CM +=2·3BC AM = BAC ∠=___________.(用弧度制作答) 【答案】3π【分析】根据条件求得，所以是等边三角形，因此得.2BC =ABC 3BAC π∠=【详解】取的中点为，连接，则，BC O AO AM OM OA =-∴， ()2 (3)BC AM BC OM OA BC OM =-== 设，则，解得，BC x = 212()323x x x ⋅-=2x =∴是等边三角形，∴.ABC 3BAC π∠=故答案为：.3π16．如图，在半径为的圆中，点为圆上的定点，且，点为圆上的一个动1O AB 、O 60AOB ∠=︒C 点，若，则的取值范围是________．OC xOA yOB =+1)2x y +【答案】⎡⎣-【分析】建立平面直角坐标系，根据，得到，进而得到OC xOA yOB =+1cos 2sin x y yθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，结合三角函数的性质，即可求解.22cos 2sin 1))4x y πθθθ+=+=+【详解】如图所示，以为原点，以为轴建立平面直角坐标系， O OA x 因为圆的半径为，且，可得，160AOB ∠=︒1(1,0),(2A B 设点，其中，(cos ,sin )C θθ[0,2)θπ∈因为，可得，OC xOA yOB =+1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=⋅+⋅所以，可得，1cos 2sin x y yθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22cos 2sin 1))4x y πθθθ+=+=+因为，可得1sin()14θπ-+≤≤4πθ-≤+≤即的取值范围是. 1)2x y +⎡⎣-故答案为：.⎡⎣-四、解答题17．已知，.1a = 2b = (1)若，求；,60a b =︒ a b + (2)若与垂直，求当为何值时，? a b - a k ()()2ka b a b -⊥+【答案】(2)3【分析】(1)根据向量模长公式即可求出结果；(2)根据与垂直可以求出，根据即可求出的值. a b - a 1a b ⋅= ()()20ka b a b -⋅+= k 【详解】（1），cos ,1a b a b a b ⋅=⋅⋅=a b += 所以；a + （2）因为与垂直， ab - a 所以，即， ()0a a b -⋅= 20a a b -⋅= 解得，1a b ⋅= 当时，， ()()2ka b a b -⊥+ ()()20ka b a b -⋅+= 即，()222120k a k a b b +-⋅⋅-= 解得，3k =所以当时，. 3k =()()2ka b a b -⊥+18．若，，求的值． sin 2α=()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3ππ,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦αβ+【答案】 74π【分析】首先由已知的范围，确定的范围，然后再正弦值结合正弦函数性质缩小,αβ2,αβα-的范围，从而得的范围，然后求得的值可得角．,αβα-αβ+cos()αβ+在此范围内【详解】∵，，∴，， π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3ππ,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2[,2]2παπ∈5[0,]4πβα-∈，则，，， sin 20α=>2[,]2παπ∈[,42ππα∈524ππβα<-<，， sin()0βα-=>2πβαπ<-<又，，则，， 102<<102<<526παπ<<56πβαπ<-<于是， 52()23παβααβπ<+-=+<所以， cos2α==cos()βα-==cos()cos(2)cos 2cos()sin 2sin()αβαβααβααβα+=+-=---(=，所以． 74αβπ+=19．已知向量，，. ()cos ,sin a αα= ()cos ,sin b ββ= ()2,0c = （1）求向量的长度的最大值；b c +r r （2）设，且，求的值. 3πα=()a b c ⊥+ cos β【答案】（1）；（2）. 312-【解析】（1）根据题意化简，利用余弦函数的性质，即可求解；254cos b c β+=+ （2）由，得到，根据向量的数量积的 求得，根据3πα=12a ⎛= ⎝ ()sin 16a b c πβ⎛⎫⋅+==++ ⎪⎝⎭ ，所求得，进而求得的值. ()a b c ⊥+ sin 16πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos β【详解】（1）由题意，向量，， ()cos ,sin b ββ= ()2,0c = 可得，()cos 2,sin b c ββ+=+则.()222cos 2sin 54cos b c βββ+=++=+ 因为，所以，即. 1cos 1β-≤≤219b c ≤+≤ 13b c ≤+≤ 即当时， 的最大值为3.cos 1β=b c +r r （2）由，则，3πα=12a ⎛= ⎝ 又由，， ()cos ,sin b ββ= ()2,0c = 得， ()()11cos 2,sin cos 122a b c ββββ⎛⋅+=⋅+=+ ⎝ sin 16πβ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为，所以，即， ()a b c ⊥+ ()0a b c ⋅+= sin 16πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得，可得，所以. 262k ππβπ+=-223k πβπ=-1cos 2β=-20．已知函数的部分图象如图所示： ()()πsin 0,0,2f x A x Aωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求方程的解集；()2f x =(2)求函数的单调递增区间. ()ππ1212g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1) π|π,Z 6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2) π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）观察图象可得周期，根据点在函数图象上得；再根据点在函数图象ω5π012⎛⎫ ⎪⎝⎭，ϕ()0,1上得，求得解析式，进而求出解集；A （2）首先将化简为，利用三角函数单调性可得答案. ()g x ()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）由图象可知，周期， 5π7π2ππ21212πT ω⎛⎫=+=∴== ⎪⎝⎭，∵点在函数图象上，∴， 5π012⎛⎫ ⎪⎝⎭5πsin 2012A ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭解得， 5πππ2π2πZ 66，ϕϕ+=+=+∈k k k ∵，∴； π2ϕ<π6ϕ=∵点在函数图象上，∴， ()0,1πsin126，==A A ∴函数的解析式为， ()f x ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由得， ()π2sin 226f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得， ππ22π,62+=+∈x k k Z π,Z 6πk x k =+∈所以解集为. π|π,Z 6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2） ()ππ1212g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）知， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()πππππ2sin 22sin 22sin22sin 21261263g x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 1π=2sin22sin2=sin22sin 223x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得， πππ2π22πZ 232，-+≤-≤+∈k x k k π5πππ1212-≤≤+k x k ∴函数的单调递增区间为. ππ()=1212g x f x f x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦21．已知函数，且的最小正周期为，将的()()2π2cos 10,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭()2f x π()f x 图像沿x 轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴． π6()g x π3x =()g x (1)求函数与的解析式；()f x ()g x (2)若方程在区间有解，求实数t 的取值范围． ()()ππ21033g x f x g x f x t ⎛⎫⎛⎫--+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5,π126⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)； ()sin f x x =-()πsin 6g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2) t ⎡∈⎢⎣【分析】（1）先化简得到，根据性质求出和得到和()()cos 22f x x ωϕ=+12ω=π4ϕ=()sin f x x =-（2）记，即()()()5,33126H x g x f x g x f x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--+-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，.利用换元法，()sin cos sin cos H x x x x x =-+⋅5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin cos 4x x x πλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭则的值域求解问题等价于，的5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()H x ()()22112122h λλλλλ-=+=---λ⎡∈⎢⎣值域，把原命题“若方程在区间有解”转化为()()21033g x f x g x f x t ππ⎛⎫⎛⎫--+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在内有解，即可求得. ()12h t λ=-λ⎡∈⎢⎣【详解】（1）由条件则()()cos 22f x x ωϕ=+且的最小正周期为，则 ()()2cos 42f x x ωϕ=+π12ω=即，将的图像沿轴方向向左平移个单位， ()()cos 2f x x ϕ=+()f x x π6得到函数 ()πcos 26g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭且为的一条对称轴，即 π3x =()g x ()πππ22π362k k ϕϕ++=+=∈Z 由可得 π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4ϕ=从而可得 ()πcos sin 2f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭． ()ππ2ππcos cos sin 2636g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可知 ππsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记 ()()()5,33126H x g x f x g x f x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--+-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭即， ()sin cos sin cos H x x x x x =-+⋅5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦再记， sin cos 4x x x πλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 21sin cos 2x x λ-⇒⋅=λ⎡∈⎢⎣代入中，则的值域求解问题等价于()H x ()H x，的值域， ()()22112122h λλλλλ-=+=---λ⎡∈⎢⎣当时， λ=()min 14h λ=1λ=()max 1h λ=因此的值域为，也即为 ()λh 1,14⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()H x 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦原命题“若方程在区间有解” ()()21033g x f x g x f x t ππ⎛⎫⎛⎫--+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦即等价于在内有解 ()12h t λ=-λ⎡∈⎢⎣只需即可，解得即为所求． ()112,14t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦t ⎡∈⎢⎣22．设函数.()sin f x x x =(1)证明：在上单调递增； ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦(2)若方程在上有且仅有两个根、，证明：.()1f x =[]0,παβπαβ+>【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）根据与在上的单调性，结合不等式的性质即可证明； y x =sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）易知与不是方程的根，画出函数与在上的图象，设0π()1f x =()sin g x x =()1h x x =()0,π,可得，.证明，结合在上的单调性αβ<π0π2αβ<<<<π0π2β<-<()()πf f βα-<()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦即可证明.παβ+>【详解】（1）设，因为在上单调递增，所以. 12π02x x ≤<≤sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦120sin sin 1x x ≤<≤所以，即,1122sin sin x x x x <()()12f x f x <故在上单调递增. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）因为，所以与不是方程的根. ()()π00f f ==0π()1f x =所以方程在上有且仅有两个根、，不妨设, ()1f x =()0,παβαβ<由，可得. ()1f x =1sin x x=在坐标系中分别作出函数与在上的图象如图： ()sin g x x =()1h x x=()0,π可得， π0π2αβ<<<<所以. π0π2β<-<因为,1sin ββ=所以.()()()()ππππsin ππsin 11f ββββββββ--=--=-==-<又，所以. ()1f α=()()πf f βα-<因为，，且在上单调递增， π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ0,2β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦所以，即.πβα-<παβ+>。
湖北省名校高一下学期3月联考数学试题 Word版含解析
A. 函数 f (x) 的最小正周期为 π
C. x π 为函数 f (x) 的一条对称轴 2
【答案】BCD
B.
函数
f
(x)
在
π 2
,
0
上单调递增
D. 函数 f (x) 在[π, π] 上有且仅有 3 个零点
【解析】
【分析】根据函数周期性的定义可判断 A；根据复合函数单调性的判断方法可判断 B；根据函数对称轴的 性质可判断 C；求出函数 f (x) 在[π, π] 上的零点可判断 D.
数．已知函数 f (x) 2(x 2) x2 mx n 的对称中心为 (1, 0) ，且与函数 g(x) 2x3 k 的图象有且仅
有一个交点，则 k 的值为（）
A. 5
B. 2
C. 16
D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得
y
f
(x 1) 是 奇 函 数 ， 利 用 奇 函 数 的 定 义 计 算 出
x2
，则
1 107 3
107
1 107 e
，
可得 x2 107 ln 3 ，
故所求时间为
x2 x1 107
ln 3 ln
4 3
ln
9 4
2 ln 3
2 ln
2
0.8 （秒），
故选：B.
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中有
多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有错选的得 0 分，部分选对的得 2 分．
m 5 n 4 ， 然 后 由 函 数
g( x) 2x3 k 的图象与 f (x) 有且仅有一个交点可得 6x2 12x 16 k 0 有且仅有一个解，计算判别式
学高一3月第一次月考数学试题(解析版)
【详解】A.正八边形ABCDEFGH中 那么 故A对；
B. 故B对；
C. 与 夹角为 故 故C对；
D. 故D错；
故选：ABC
11.已知锐角 内角 的对边分别为 若 则边 的可能取值为（）
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得 的范围讨论 结合条件可得所求结论.
A. 3B. C. 1D.
5. 的内角ABC的对边分别为abc 则 （）
A. B. 3C. D. 2
6.有很多立体图形都体现了数学的对称美 其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现 故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示 它是一个棱数为24的半正多面体 且所有顶点都在同一个正方体的表面上 它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的 若被截正方体的棱长为 则该石凳的表面积为（）
（1）若 求 的值；
（2）求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）最小值 .
【解析】
【分析】（1）依题意画出图形即可求出 再 中由余弦定理求出 再求出 最后根据 计算可得；
（2）以 为原点 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系求出 的坐标设 即可表示出 再根据向量数量积的坐标运算及三角函数的性质计算可得；
【详解】因为 所以 所以 因此
故答案为： .
14.已知向量 那么 在 上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.
【详解】设向量 的夹角为
因为
所以向量 方向上的单位向量为：
河北省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
河北省唐县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） 2i 1z =-A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数对应的点的坐标即可确定结果. 【详解】对应的点为，位于第二象限. 2i 1z =-()1,2-故选：B.2．已知向量，若，则（ ）(2,1),(,2)a b x ==- //a ba b += A ．(－2，－1) B ．(2，1)C ．(3，－1)D ．(－3，1)【答案】A【分析】由，利用向量共线的坐标运算解得x ，再利用向量和的坐标运算求.//a b a b +【详解】解析：因为，所以，解得x ＝－4．所以. //a b 2(2)x ⨯-=()214,22,()()1a b +=---- ,＋＝故选：A3．下列命题中正确的个数是（ ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；AB CD∥,,,A B C D ③若，则；,a b b c∥∥a c ∥④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A ，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A 错误，对于B ，向量，则四点共线或，故B 错误，AB CD∥,,,A B C D //AB CD 对于C ，若，当时，不一定平行，故C 错误，,a b b c∥∥0b = ,a c 对于D ，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D 错误， ,,A B C //AC BC故选：A4．在中，已知，，，则（ ）ABC a =12c =π3C =A =A ．B ．C ．或D ．或π36π6π5π66ππ3【答案】B【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】由于，所以是锐角，a c <A由正弦定理得， sin sin a c A C =12πsin3=解得，所以. 1sin 2A =π6A =故选：B5．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）,a b ||2,4a a b =⋅=b a A ．B ．C ．D ．12a12b r ab 【答案】C【分析】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【详解】在方向上的投影向量为 b a()2cos ,a a b a a b b a bb a a a a a a b ⎛⎫⋅⋅ ⎪=⨯==⎪⎝⎭故选：C.6．已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）a b 1a = 2b = ()a b a -⊥ a bA ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由向量垂直，利用数量积运算可得，即，代入已知条件，求得()0a a b -⋅= 20a a b -⋅= ，所以，得解1cos ,2a b = π3a b ⋅=r r 【详解】因为，所以()0a a b-⋅=20a a b -⋅= 所以22cos a a b a b a b a =⋅=⋅⋅⋅= 又，，，,1a = 2b = 1cos ,2a b = [],0,πa b ∈ 所以，π,3a b = 故选：C ．7．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）ABCD G BCD △AG xAB y AD =+3x y +=A ．B ．C ．D ．732833【答案】C【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.【详解】如图，设与相交于点，由为的重心，可得为的中点，AC BD O G BCD △O BD，则，2CG GO =()144122333233AG AO OG AO OC AO AB AD AB AD =+=+==⨯+=+可得，故23x y ==83.3x y +=故选：C.8．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南A偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了70︒B B 35︒海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）C A C 分别为（ ）A ．北偏东，B ．北偏东， 80︒65︒2)C ．北偏东，D ．北偏东，65︒80︒2)【答案】C【分析】在中，，，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =AC 的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．ABC sin 105BC ACCAB sin ︒=∠CAB ∠【详解】据题意知，在中，，海里， ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠2240240=+-⨯⨯，3200=+所以海里， AC ===sin CAB ∠=又因为为锐角，所以，CAB ∠45CAB ︒∠=所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里. 65︒故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若，为共扼复数，则为实数 1z 2z 12z z ⋅B ．若为虚数单位，为正整数，则 i n 43i i n +=C ．复数在复平面内对应的点在第三象限 2i --D ．复数的共轭复数为 5i 2-2i --【答案】AC【分析】根据共轭复数的概念可判断A 项；利用复数的乘方运算可判断B 项；利用复数的几何意义可判断C 项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D 项.【详解】解：设，则，故，故A 正确；1i(,R)z a b a b =+∈1i z a b =-()()2212i i z z a b a b a b ⋅=+-=+因为，故B 错误；()4343i i =1i =i-i n n +=⨯⨯-因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C 正确； 2i --(2,1)--因为，其共轭复数为，故D 错误； ()()()5i 25i 2i 2i 2i 2+==----+2i -+故选：AC.10．在中，下列命题正确的是（ ） ABC A ．是的充要条件A B >sin sin A B >B ．若，则是直角三角形 cos cos a B b A =ABC C ．若，，则是等边三角形 60B =︒2=b ac ABC D ．若，则 cos sin b a C c A =+45A =︒【答案】ACD【分析】由正弦定理可判断ACD 正确，选项B 中由正弦定理可得，所以是等腰三角形. =A B ABC 【详解】对于A ，若，则，由正弦定理知， A B >a b >sin sin A B >反之，若，由正弦定理知，则有， sin sin A B >a b >A B >故是的充要条件，A 正确；A B >sin sin A B >对于B ，若且，易得：，cos cos a B b A =,(0,π)A B ∈π,(0,2A B ∈由正弦定理得：，即，则，有，sin cos sin cos A B B A =sin()0A B -=ππ(,)22A B -∈-=A B 所以是等腰三角形，B 错误；ABC 对于C ，若，由正弦定理得，而， 2=b ac 2sin sin sin B A C =π3B =则，化简得：且， 23sin sin()34A A π-=sin(2)16A π-=2(,)666A ππ11π-∈-即，得，故，所以是等边三角形，C 正确； 262A ππ-=π3A =3C π=ABC 对于D ，若，由正弦定理得， cos sin b a C c A =+sin sin cos sin sinB AC C A =+从而，化简得：， sin()sin cos sin sin A C A C C A +=+cos sin sin sin A C C A =而，所以且，得，D 正确. sin 0C ≠cos sin A A =(0,π)A ∈45A =︒故选：ACD11．在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）(0,0),(1,2),(3,1)O OA OB ==A ．||AB =B ．是直角三角形AOB C ．在方向上的投影向量的坐标为OA OB 11,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．与垂直的单位向量的坐标为或 OB⎛⎝【答案】ABD【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A ；求出向量、以及的模，根据勾股定||AB OA OB AB理逆定理可判断B ；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C ；根据向量垂直OA OB的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.OB【详解】因为，A 正确()2,1AB OB OA =-=-=，所以， ==222||||OAAB OB += 所以，即为直角三角形，B 正确；OA AB ⊥OAB 设与同向的单位向量为，， OB eOB e OB ==所以在方向上的投影向量为，OA OB31cos ,,22OA OB OA OA OB e e e OB ⋅⎛⎫〈=⋅== ⎪〉⎝⋅⎭C 错误；因为，设与垂直的单位向量为，(3,1)OB = OB(,)y m x = 则，解得22301x y x y +=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故与垂直的单位向量的坐标为或，D 正确，OB⎛ ⎝故选：ABD ．12．在中，角A ，B，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则下列说法正ABC 23cos 3cos b C c B a +=确的是（ ）A ． 3a =B ．若，且有两解，则b 的取值范围为 π4A =ABC ⎡⎣C ．若，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 2C A =ABC (D ．若，且，O 为的内心，则 2A C =sin 2sin B C =ABCAOB S =△【答案】ACD【分析】选项A ：根据条件求出；选项B ：由余弦定理得23cos 3cos b C c B a +=3a =，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b 的取值范围；229b c =+c 选项C ：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A 的范围，从而求边的范围；6cos c A =ABC c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切C ABC ABC 圆半径，从而求的面积.AOB 【详解】解：对于A 选项，因为，23cos 3cos b C c B a +=所以由正弦定理，得,即 ， 3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=()3sin sin B C a A +=因为，所以，且，所以，A 选项正确； πA B C ++=()sin sin B C A+=sin 0A ≠3a =对于B 选项，由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-229b c =+将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,c 2209c b +-=故 ,解得，所以选项B 错误； ()22290)490b b ⎧->⎪⎨-->⎪⎩(b ∈对于C 选项，由正弦定理，得 ，即 ， sin sin 2a cA A=2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，ABC所以 ，即，解得， π02π02π02A BC ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩ππ64A <<所以，故选项C 正确； (6cos c A =∈对于D 选项，因为，所以， sin 2sin B C =2b c =因为，所以， 2A C =()sin sin sin 3B A C C =+=所以由正弦定理，得，即， sin sin b c B C =2sin 3sin c c C C=sin 32sin C C =所以， sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，222sin cos 2cos sin sin 2sinC C C C CC +-=因为，所以，即， sin 0C ≠222cos 2cos 3C C +=23cos 4C =又因为， 2A C =所以，， ，是直角三角形，π6C =π3A =π2B =b c ==ABC 所以内切圆的半径满足，即r ()1122ABC S a b c r ac =++= ac r a b c ==++所以的面积为D 正确. AOB 1122S cr ===故选：ACD.【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. (0,π)B π32π(0,)3A ∈②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一π,,(0,)2A B C ∈π(,π)2角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以; B π32ππ32A C =-<ππ63C <<若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得2A C =π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩. ππ64A <<三、填空题13．已知向量满足，且，则__________. ,a b1,2a b == ||||a b a b +=- 2a b +=【答案】【分析】根据向量的模长公式可得，进而根据模长公式即可求解.a b ⊥【详解】由得，所以，||||a b a b +=-()()220a ba ba b +=-⇒⋅=2a故答案为：14．若复数，则实数的值为________.()2390m m i -+-≥m 【答案】3【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解. ()239m m i -+-00【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，()239m m i -+-可得解得23090m m -≥⎧⎨-=⎩3m =所以实数的值为， m 3故答案为：315．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．()1,2a = ()1,1b = a a b λ+λ【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等()1,2a b λλλ+=++式求解作答【详解】解：因为，，所以，()1,2a = ()1,1b = ()1,2a b λλλ+=++因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，a ab λ+ ()0a a b λ+⋅> a a b λ+所以且，()1220λλ+++>()212λλ+≠+解得且，所以的取值范围为，53λ>-0λ≠λ()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭四、双空题16．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为．若，则ABC ,,a b c 2sin sin cos 1cos 2=-B C A A 222+=b ca_____；的最大值为_____． sin A 【答案】 3【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，根据基本不等式可求2223+=b c a ，结合范围，利用三角函数的性质即可求解的最大值．2cos 3≥A ()0,A π∈sin A 【详解】解：∵，∴， 22sin sin cos 1cos 22sin B C A A A =-=22222cos 2==+-bc A a b c a ∴，当且仅当时不等式两边取等号， ()2222122233cos 223b c b c bc A bc bc +-+⋅=≥=b c =∴当取得最小值时，cos A 23sinA =故答案为：3． 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题.五、解答题17．已知，，.()1,3A ()2,2B -()4,1C (1)若，求D 点的坐标；AB CD =(2)设向量，，若与平行，求实数k 的值. a AB = b BC = ka b -3a b + 【答案】(1)4(5,)D -(2)13k =-【分析】（1）根据题意设，写出的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；(,)D x y ,C AB D（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.【详解】（1）设，又因为， (,)D x y ()()()1,3,2,2,4,1A B C -所以，=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--因为，=AB CD 所以，得，4115x y -=⎧⎨-=-⎩54x y =⎧⎨=-⎩所以.4(5,)D -（2）由题意得，，，(1,5)a =- (2,3)b =所以，，=(2,53)ka b k k ----3(7,4)a b += 因为与平行，ka b -3a b + 所以，解得.4(2)7(53)0k k ----=13k =-所以实数的值为.k 13-18．已知a ，b ，c 分别为锐角三个内角A ，B ，C 的对边，，且ABC ),3m =()2sin ,n B b =-． 0m n ⋅=(1)求A ；(2)若，的周长为6，求△ABC 的面积． 2a =ABC 【答案】(1)3A π=【分析】（1）由，得到，求得的大小；0m n ⋅= sin 30B b -+=sin A =A （2）由余弦定理得到，结合题意求得，利用面积公式，即可求解.224b c bc =+-4bc =【详解】（1）解：由题意，向量，，),3m =()2sin ,n B b =-因为，可得， 0m n ⋅=sin 30B b -+=由正弦定理得，sin 3sin 0A B B -+=因为为锐角三角形，可得，所以，ABC 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0B >所以，即， 30A -+=sin A 因为，所以．0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3A π=（2）解：在中，由余弦定理得，即 ABC 2222cos a b c bc A =+-224b c bc =+-可得()243b c bc =+-因为，的周长为6，所以，可得，2a =ABC 4b c +=4bc =故的面积为ABC 1sin 2S bc A ==19．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满ABC 90,22A CB CA ∠=︒==,D E ,AB BC 足．,(0,1),A B D A C B BE λλλ==∈u u r u u u r u u u r u u u r(1)求的取值范围；AE BC ⋅ (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．λAE CD ⊥ λ【答案】(1)(3,1)-(2)存在， 23λ=【分析】（1）由题意得，结合即可得()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ⋅=+⋅=+⋅ 34λ=-+(0,1)λ∈解；（2）由，求解即可.()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅- 2230λλ=-=【详解】（1）在直角三角形中，．ABC 90,22A CB CA ∠=︒==∴，30,B BA ∠=︒=2cos303BA BC ⋅=⨯︒= ，2()()AE BC AB BE BC AB BC BC AB BC BC λλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+ 234BA BC BC λλ=-⋅+=-+ ∵，∴．(0,1)λ∈(3,1)AE BC ⋅∈- （2）()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅-22AB AB AC BC AB BC AC λλλ=-⋅+⋅-⋅2302cos15021cos 60λλλ=-+⨯︒-⨯⨯⨯︒2230323λλλλλ=---=-令，得或（舍）. 2230λλ-=23λ=0λ=∴存在实数，使得． 23λ=AE CD ⊥ 20．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记45,60ABC BCD ∠=∠= . ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量;,a b →→,AD CD →→（2）若，求. 1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=)1CD a b →→→=+1【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=【详解】（1）因为，所以， ,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD =所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为， ， 1b →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+⋅==⎢⎥⎣⎦21．在中，角所对的边长分别为，面积为，且. ABC A B C ､､,2a b c c =､､S cos2A b S =(1)求角的大小.A (2)求的取值范围. b c a +【答案】(1)π3A =(2)(]1,2b c a +∈【分析】(1)结合面积公式，二倍角的正弦公式对条件进行恒等变换即可得出，利用三角1sin22A =形中角的取值范围即可求解；(2)利用正弦定理和两角和的正弦公式得到，然后利用正弦函数的图象和性质即π2sin()6b c B a +=+可求解.【详解】（1），所以，又， cos2A b S = 1cos sin 22A b bc A =2c =，则， cos sin 2A A ∴=cos 2sin cos 222A A A =，因为， 1sin22A ∴=0πA <<所以，故； π26A =π3A =（2）由正弦定理可得：)sin sin sin sin sin b c B C B C a A ++==+()sin sin B B A ⎤=++⎦sin sin 3B B π⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎝⎭⎦1sin sin 2B B B ⎤=+⎥⎦π2sin 6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 302πB << πππ666B +<5<∴，也即. 1sin 126B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭(]1,2b c a +∈22．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田里划一块形为平面四边形的麦田ABCD成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B ，D 连接，经测量知，AB BC CD ====AD(1)霍尔顿发现无论都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，BD cos A C -求出此定值；若不正确，请说明理由.(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记与的面积分别为ABD △CBD △和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．1S 2S 2212S S +【答案】(1)正确，1 (2)632【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出的关系，即可得出ABD △CBD △BD ,A C是一个定值； cos A C -（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出2212S S +2212S S +的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得：， ABD △2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅即，2186224BD A A =+-⨯=-在中，，CBD △2222cos BD CD BC CD BC C =+-⋅即26621212cos BD C C =+-=-因此，即，241212cos A C -=-21cos A C =-．cos 1A C -=（2）因为， 11sin 212S A A AD AB A ⨯=⋅==， 21sin 3sin 212S C C BC CD C =⋅==于是得22221227sin 9sin S S A C +=+由（1）知，cos 1C A =-因此 )22222123627cos 9154cos 27S S A A A A +=---=-++， 26354cos 2A ⎛=-+ ⎝在中，ABD △BD <<在中， CBD △0BD <<BD <<由，得 224BD A =-cos A =即有，0cos 1A <<从而当， cos A =()2212max 632S S +=所以的最大值是． 2212S S +632。
四川省重点高中高一下学期3月月考数学试题(解析版)
数学试卷命题人：审题人：本试卷共4页，22题，全卷满分150分、考试用时120分钟.注意事项：1．答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.2．选择题作答时，每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号.3．非选择题作答时，用黑色签字笔将答案书写在答题卡上对应的答题区域内.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题或超出答题区域书写无效.5．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin150=A. B. C. D. 1212-【答案】A【解析】【详解】由题意可得：. ()1sin150sin 18030sin 302=-== 本题选择A 选项.2. 已知，且为第一象限角，则（ ） 3sin 5α=αcos α=A. B. C. D. 4545-3434-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出．【详解】因为为第一象限角，，所以． α3sin 5α=4cos 5α==故选：A ．3. 已知扇形的周长为6，圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【解析】【分析】利用扇形的周长与圆心角求出扇形的半径，然后利用扇形的弧长公式计算即可.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，R 4θ=l 则周长为6得：，22661R l R R R R θ+=+==⇒=所以扇形的弧长为：，4l R θ==故选：B.4. “”是“，”的（ ）条件. 1sin 2θ=π2π6k θ=+Z k ∈A. 充分不必要 B. 必要不充分C .充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B【解析】【分析】根据充分性、必要性的定义，结合正弦函数的性质进行判断即可.【详解】由，或， 1πsin 2πZ 26k k θθ=⇒=+∈，5π2πZ 6k k θ=+∈，由，， π2πZ 6k k θ=+∈⇒，1sin 2θ=Z k ∈所以“”是“，”的必要不充分条件， 1sin 2θ=π2π6k θ=+Z k ∈故选：B5. 已知，则的值是（ ） π1sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭25πsin()2cos ()6π3x x -+-A. B. C. D. 59-1959【答案】C【解析】【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果. π6t x =+【详解】令，则，， π6t x =+π6=-x t 1sin 3t =则. 2225π125sin()2cos ()sin(π)2cos ()sin 2sin 63399ππ2x x t t t t -+-=-+-=+=+=6. 函数的部分图象大致为（ ） 2()sin ln f x x x =⋅A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除BD ，根据当时，即可排除C 得出答案.01x <<()0f x <【详解】因为，2()sin ln (0)f x x x x =⋅≠所以，()22()sin ln sin ln ()f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=所以为偶函数，故排除BD ；()f x 当时，，，则，故排除C.01x <<sin 0x >2ln 0x <()0f x <故选：A ．7. 函数的单调递增区间是（ ） []π1sin (2π,2π32y x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭A. B. π5π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. D. 和 5π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】首先利用诱导公式得，则解不等式，对1πsin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π1π3π2π2π,2232k x k k +≤-≤+∈Z 赋值即可得到答案.k 【详解】由题意得，要求其单调递增区间， 1πsin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则，解得，， π1π3π2π2π,2232k x k k +≤-≤+∈Z 5π11π4π4π33k x k +≤≤+k ∈Z 故函数单调增区间为，， 335π11π4π,4πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 当时，递增区间为；当时，递增区间为， 0k =5π11π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦1k =-7ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦因为，所以递增区间为和， []2π,2πx ∈-π2π,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D.8. 关于函数有下述四个结论：()sin |||sin |f x x x =+①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（,）单调递增2ππ③f (x )在有4个零点④f (x )的最大值为2 [,]-ππ其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C【解析】 【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．()sin f x x =【详解】为偶函数，故①正确．当()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，2x ππ<<()2sin f x x =,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭0x π≤≤()2sin f x x =它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故0,π0x π-≤<()()sin sin 2sin f x x x x =--=-π-在有个零点：，故③错误．当时，；()f x [],-ππ30-π,,π[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N ()2sin f x x =当时，，又为偶函数，的最大值[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N ()sin sin 0f x x x =-=()f x ()f x \为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．2【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C ．()sin sin f x x x =+二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分、共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若，，则可以是（ ） sin cos 0x x >sin cos 0x x +>2x A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 【答案】AC【解析】【分析】由条件，可知是第一象限角，据此得到范围，即可确定所在的象限. x 2x 2x 【详解】因为，，sin cos 0x x >sin cos 0x x +>所以，故是第一象限角，sin 0,cos 0x x >>x 由， π2π2π,Z 2k x k k <<+∈得， πππ,Z 24x k k k <<+∈当为偶数时，是第一象限角， k 2x 当为奇数时，是第三象限角. k 2x 故选：AC.10. 下列命题正确的是（ ）A. ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 第一象限角一定是锐角C. 在与角终边相同的角中，最大的负角为640︒80-︒D.sin1cos20⋅>【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函数的单调性判断A ，利用象限角的概念判断B ，写出与角终边相同的角为640︒，再根据判断C ，利用弧度制及正弦余弦的正负判断D.640360k ︒+⋅︒3606403600k -︒<︒+⋅︒<︒【详解】因为在上单调递增，所以，A 正确； sin y x =π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示第一象限角，当时，不是锐角，B 错误； π2π,2π,Z 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭0k ≠与角终边相同的角为，当时是最大负角，最大负角为，C 正确； 640︒640360k ︒+⋅︒2k =-80-︒因为，所以，，所以 ，D 错误；1()57.3rad ≈︒sin10>cos20<sin1cos20⋅<故选：AC11. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭A. 的最小值为()f x 2-B. 在上单调递增 ()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 的图象关于点中心对称 ()f x π,08⎛⎫⎪⎝⎭D. 在上值域为 ()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,3⎤+⎦【答案】BD【解析】【分析】A 选项，利用整体法，结合函数图象得到的最小值为，A 错误；()f x 1-B 选项，求出，从而确定B 正确； πππ2,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭C 选项，将代入，可得到的图象关于点中心对称，C 错误； π8x =()f x π,18⎛⎫ ⎪⎝⎭D 选项，时，，求出的最大值和最小值，确定值域. ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π24,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x 【详解】当，，即，时，取得最小2ππ22π4x k -=-Z k ∈ππ8x k =-Z k ∈π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭值，最小值为，A 错误；211-+=-当时，，故在上单调递增，则π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ2,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在上单调递增，故B 正确； π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，，故的图象关于点中心对称，C 错误； π8x =πππ()2sin 211884f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭()f x π,18⎛⎫ ⎪⎝⎭时，，当或，即或时， ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π24,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ππ244x -=3π4π4x =π2取得最小值，最小值为， π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭211=+当，即时，取得最大值，最大值为， ππ242x -=3π8x =π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2113⨯+=故值域为，D 正确.1,3⎤+⎦故选：BD12. 已知函数（其中），恒成立，且()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ><()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 在区间上单调，则（ ） ,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭A. 是偶函数．()f x B. ()304f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C.是奇数 ωD. 的最大值为3ω【答案】BCD【解析】【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故CD 3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭21k ω=+3ω≤1ω=3ω=正确，代入验证知不可能为偶函数，A 错误，由函数的对称性可判断B ，得到答案.()f x 【详解】∵，， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，， 3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N k ∈故，，， 221T k π=+21k ω=+N k ∈由，则， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝故，，，8k πωϕπ+=-8k ϕπωπ=+Z k ∈当时，，， ,1224x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭Z k ∈∵在区间上单调， ()f x ,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭故，故，即， 241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭4T π≥8ω≤，故，故，0243ωππ<≤62ωππ≤3ω≤综上所述：或，故CD 正确；1ω=3ω=或，故或，，不可能为偶函数，A 错误； 1ω=3ω=8k ϕππ=+38k ϕππ=+Z k ∈()f x 由题可知是函数的一条对称轴，故成立，B 正确. 38x π=3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：BCD. .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 函数的定义域为__________． tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 ,.26k xx k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣【解析】 【分析】解不等式,即得解.2,62x k k Z πππ+≠+∈【详解】解：由题意得.2,62x k k Z πππ+≠+∈解得. ,26k x k Z ππ≠+∈故答案为： ,.26k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣14. 函数的图象的对称轴方程是______（）． πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Z k ∈【答案】 ππ82k x =+【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性直接求解即可.【详解】令, ππ2π,Z 42x k k +=+∈解得， ππ,Z 82k x k =+∈即函数的图象的对称轴方程是， πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,Z 82k x k =+∈故答案为： ππ82k x =+15. 函数 ，则的最小值为___________ 2π2π()14cos 4sin ,[,]43f x x x x =+-∈-()f x 【答案】4-【解析】 【分析】将原函数换元成关于的二次函数，利用二次函数求最小值即可.t 【详解】，22()14cos 4(1cos )4cos 4cos 3f x x x x x =+--=+-设，， cos t x =π2π[,]43x ∈- 1,12t ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦ 21,24143t y t t ⎡⎤∈-⎢⎥∴-⎣=+⎦，对称轴为，所以当时，取最小值. 12t =-12t =-()f x 4-故答案为：4-16. 已知定义在R 上的偶函数满足，且时，，则函数()f x ()()2f x f x +=[]0,1x ∈()f x x =在上的图象与x 轴交点的横坐标之和为______．()()cos g x f x x π=-[]4,2x ∈-【答案】－6【解析】【分析】根据函数周期性，由，可得函数的周期为2，根据函数与方程的关系，()()2f x f x +=()f x可作函数与图象，根据交点可得答案.()y f x =cos y x π=【详解】函数的图象与x 轴交点的横坐标，即函数与图象交()()cos g x f x x π=-()y f x =cos y x π=点的横坐标．由，可得函数的周期为2．又是定义在R 上的偶函数，且当()()2f x f x +=()f x ()f x 时，，作出函数与的图象，如图所示．函数与函数[]0,1x ∈()f x x =()y f x =cos y x π=()f x 具有相同的对称轴，所以函数在区间上的图象与x 轴交点的横坐标之和为cos y x π=()g x []4,2-．()3212126-⨯+-⨯+⨯=-故答案为：－6.四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知角终边上有一点，求下列各式的值．α()1,2P -（1）；tan α（2） sin cos cos sin αααα+-【答案】（1）；（2） tan 2y a x==-13-【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，可知； tan y x α=（2）原式上下同时除以，变为表示的式子，即可求得结果.cos αtan α【详解】（1） 2tan 21y x α===--（2），tan 2α=- cos 0α∴≠原式上下同时除以cos α. ()sin cos tan 1211cos sin 1tan 123αααααα++-+===-----【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于基础题型.18. 已知函数的最小正周期为. 1π()sin()(0,R)23f x x x ωω=->∈π（1）求的单调递减区间；()f x （2）求在区间上的最大值与最小值. ()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1） 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）在区间，最小值为. ()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-【解析】【分析】（1）根据周期可以求出，进而求出的单调递减区间；2ω=()f x （2）根据求出，进而求出在区间上的最大值与最小值. π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问1详解】由题意可得，则，2πT==πω2ω=则， 1π()sin(223f x x =-所以的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈解得， 5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：. ()f x 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】由（1）知， 1π()sin(223f x x =-因为，则， π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以， π1sin(2)32x ⎡-∈-⎢⎣则， 1()4f x ⎡∈-⎢⎣所以在区间，最小值为. ()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-19. 已知. 2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+（1）化简；()f α（2）若，且，求的值 ()18f α=42ππα<<cos sin αα-【答案】（1）；（2）. sin cos αα⋅【解析】【分析】 （1）由诱导公式运算即可得解；（2）由平方关系可得，再由即可得解. ()23cos sin 4αα-=cos sin αα<【详解】（1）由诱导公式； ()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-（2）由可知 ()1sin cos 8f ααα==， ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=又∵，∴，即，42ππα<<cos sin αα<cos sin 0αα-<∴cos sin αα-=20. 已知函数（其中）的图象与x 轴交于A ，B 两点，A ，B 两点间的最()cos()f x x =+ωϕπ0,||2ωϕ><短距离为，且直线是函数图象的一条对称轴． π2π12x =()y f x =（1）求图象的对称中心；()y f x =（2）若函数在内有且只有一个零点，求实数m 的取值范围． π4y f x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】（1） ππ,0,32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z（2） m <≤1m =-【解析】【分析】（1）先根据周期求，再利用对称轴求出，然后可得对称中心；2ω=ϕ（2）先求函数的值域及单调性，再结合图象特点可得答案. π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【小问1详解】由题知A ，B 两点间的最短距离为，所以， π212,ππ22T T ω==所以，直线是函数图象的一条对称轴， 2ω=π12x =()y f x =所以， ()()ππ2π,π126k k k k ϕϕ⨯+=∈=-+∈Z Z 又因为，所以， ||2ϕπ<π6ϕ=-所以. π()cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，则， ππ2π,62x k k -=+∈Z ππ,32k x k =+∈Z 所以函数对称中心为 π()cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ππ,0,32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 【小问2详解】因为函数在内有且只有一个零点， π4y f x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以在时只有一个实根， π04f x m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即函数在的图象与直线只有一个交点， ππππcos 2sin 24266f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦y m =-因为，所以，令，则 ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π2,633⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x π26t x =+π2πsin ,,33y t t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦函数在上单调递增，在上单调递减， sin y t =ππ,32t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即时，函数y 有最大值，最大值为1． π2t =π6x =当，即，函数，即，函数． π3t =-π4x =-y =2π3t =π4x =-y =所以要使函数在的图象在与直线只有一个交点， πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦y m =-则或，所以． 1m -=m ≤-<m <≤1m =-21. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通O过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）．AD BC AB CD 12,r r(1)若,,求花坛的面积；3πθ=123,6r r ==(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD 的长度为多少时,花坛的面积最大？【答案】（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大. ()292m πAD 【解析】【分析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD 的长度. 【详解】(1)设花坛的面积为S 平方米.22211122S r r θθ=- 113692323ππ=⨯⨯-⨯⨯()292m =π答：花坛的面积为； ()292m π(2) 圆弧的长为米，圆弧的长为米，线段的长为米AB 1r θCD 2r θAD 21()r r -由题意知，()()2112602901200r r r r θθ⋅-++=即 * ，()()21214340r r r r θθ-++=， ()()22212121111222S r r r r r r θθθθ=-=+-由*式知，， ()212140433r r r r θθ+=--记则21,r r x -=010x <<所以= 1404233S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()225050,1033x x --+∈，当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，5x =S 215r r -=答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.AD 【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.22. 已知函数，其中．如图是函数在一个周期内的图象，A 为())f x x =ω+ϕ0,0πωϕ><<()f x 图象的最高点，B ,C 为图象与x 轴的交点，为等边三角形，且是偶函数． ABC A 13f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x（2）若不等式对任意恒成立，求实数m 的取值范围． 2213sin 4π3x f x m ⎛⎫⋅+≤- ⎪⎝⎭x ∈R【答案】（1） ππ()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2） 22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1，进而得到答案；ϕ（2）先化简目标式，利用换元法，结合二次函数区间最值可得答案.【小问1详解】由可知，点A())f x x =ω+ϕ∵为等边三角形，∴，即函数的周期，∴， ABC A 2BC =4T =2ππ2T ω==∴， π1ππ(),2326f x x f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵，∴， 0πϕ<<ππ7π666ϕ<+<又是偶函数，∴， 13f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ62ϕ+=∴，∴. π3ϕ=ππ()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】21π21πππ32π332f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵对任意恒成立， 2213sin 4π3x f x m ⎛⎫-⋅+≤- ⎪⎝⎭x ∈R∴，23sin 4x x m -≤-即对任意恒成立，23cos 3cos 10x m x m +-+≥x ∈R 令，即在上恒成立．cos ,[1,1]x t t =∈-23310t mt m +-+≥[1,1]t ∈-设，对称轴， 2()331h t t mt m =+-+2m t =-当时，即时，，解得（舍）； 12m -≤-2m ≥min ()(1)440h t h m =-=-+≥1m £当时，即时，，解得，∴； 12m -≥2m ≤-min ()(1)240h t h m ==+≥2m ≥-2m =-当时，即时，，解得． 112m -<-<22m -<<2min 3()1024m h t h m m ⎛⎫=-=--+≥ ⎪⎝⎭223m -<≤综上，实数m 的取值范围为． 22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
江西省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．的值为（ ） sin 210︒A ．BC ．D ．12-12【答案】C【分析】根据诱导公式结合特殊角的正弦值即可求解. 【详解】解：. 1sin 210sin(18030)sin 302︒=︒+︒=-︒=-故选：C.2．设，则“”是“”的（ ）． θ∈R ππ1212θ-<1sin 2θ<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】 ，但，不满足 ，所以πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<10,sin 2θθ=<ππ||1212θ-<是充分不必要条件，选A. 【解析】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则p q ⇒p q q p ⇒是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则p q p q ⇔p q A B ⊆A是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若B B A ⊆A B A B =A B 是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充A B A B B A A B 分条件.3．一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D【分析】根据扇形面积和弧长公式计算即可得出结果. 【详解】设扇形中心角的弧度数为，半径为， αr 由题意可知，扇形面积，弧长，2122S r α==2l r α==解得，2,1r α==即扇形中心角的弧度数为1. 故选：D4．把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式可以是（ ） sin 2y x =π6A ．B ．C ．D ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由题意利用函数的图象平移变换规律，得出结论．sin()y A x ωϕ=+【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， sin 2y x =π6所得图象对应的函数解析式是，ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不1312影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．13495923【答案】B【分析】根据题意，乙只投了1个球包括甲未投进乙投进结束，甲未投进乙未投进甲再投投进结束两个互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及独立事件同时发生的概率求解.【详解】设，分别表示甲、乙在第k 次投篮时投中，则，，（，k A k B ()13k P A =()12k P B =1k =2），记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D ．则()()()()()()()()1111111212P D P A B P A B A P A P B P A P B P A =+=+ 212114.323239=⨯+⨯⨯=故选：B6．分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（ ）A ．3枚硬币都正面朝上B ．有正面朝上的，也有反面朝上的C ．恰好有1枚反面朝上D ．至多有2枚正面朝上【答案】B【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），Ω=（反，正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝M =B =上的，也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，，()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，B =正，反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，，()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，D =正，反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，，()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.7．已知曲线C ：，，若关于轴对称，则的最小值是（ ）ππsin 23y x ω⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0ω>C y ωA ．B ．C ．D ．16141312【答案】C【分析】关于轴对称等价于，进一步求解即可. C y ππππ,Z 232k k ω+=+∈【详解】关于轴对称，则， C y ππππ,Z 232k k ω+=+∈即，且，12,Z 3k k ω=+∈0ω>则时， 为最小值；0k =13ω=故选：C.8．已知函数（），若使得在区间上为增函数的整数有且()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x ,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω仅有一个，则实数的取值范围是（ ） ϕA ．B ．C ．D ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,126ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由已知可得（），可得（），分类讨论，2233232k k ππωππππωϕπ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩Z k ∈506,(1)22,(2)6k k ωπωϕπ⎧<≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩Z k ∈可得当时，由（1），时，，由（2）时，，0ϕ>5062k ω<≤-0k =5(0,]2ω∈0k =606ππωϕϕ<≤=要使整数有且仅有一个，需，即可得结果 ω126πϕ≤<【详解】解：因为在区间上为增函数，()f x ,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以可得（），2233232k k ππωππππωϕπ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩Z k ∈可得（），506,(1)22,(2)6k k ωπωϕπ⎧<≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩Z k ∈当时，满足整数至少有1，2，舍去03πϕ-<≤ω当时，由（1），时，， 0ϕ>5062k ω<≤-0k =5(0,2ω∈由（2）时，， 0k =606ππωϕϕ<≤=要使整数有且仅有一个，需， ω126πϕ≤<解得，126ππϕ<≤所以实数的取值范围为，ϕ,126ππ⎛⎤⎥⎝⎦故选：D【点睛】此题考查函数的图像特征、单调性的应用，属于中档题sin()y A x ωϕ=+二、多选题9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论错误的是（ ）A ．事件B 与事件C 是对立事件 B ．事件A 与事件B 不是相互独立事件C ．D ．()18P ABC =()()()18P A P B P C ⋅⋅=【答案】ABC【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得. 【详解】对于A ，事件B 与事件C 是相互独立事件，但不是对立事件，故A 错误： 对于B.对于事件A 与事件B ，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种， 4416⨯=其中，事件A 发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，22228⨯+⨯=所以，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同， ()81162P A ==所以，，，，，()2142P B ==()2142P C ==()12P A =()12P B =()14P AB =事件A 与事件B 是相互独立事件，故B 错误；对于C ，事件ABC 表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数， 故，故C 错误； ()221444P ABC ⨯==⨯对于D ， 由选项B 的解答过程可得,所以，故D 正确.()()()31128P A P B P C ⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭故选; ABC10．已知函数的图象与轴交于点，则（ ） ()()sin 42f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭y ⎛ ⎝A ．的最小正周期为()f x 2πB ．直线是的图象的对称轴 724x π=-()f x C ．当时，函数的值域为,88x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．在区间上有3个零点()f x 2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】根据已知代入得出，即可根据正弦型三角函数的周期、对称轴、值域、零点的求法3πϕ=对选项一一验证即可得出答案.【详解】将点代入，可得 ⎛ ⎝()()sin 4f x x ϕ=+sin ϕ=又，，即；2πϕ<3πϕ∴=()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，其最小正周期为，故A 正确； 242T ππ==对于B ，当时，，所以直线不是的图象的对称轴，故B 错误； 724x π=-5436x ππ+=-724x π=-()f x 对于C ，当时，，所以，故C 正确；,88x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭54,366x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭1sin 4,132x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦对于D ，当时，，正弦函数在区间上有4个零点2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦4,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0，，，，故在区间上有4个零点，D 错误.π2π3π()f x 2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：AC.11．函数的图象如图所示，则（ ）π()sin(2)0,||2f x A x A ϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭A ．B ．在上单调递增π6ϕ=-()f x ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．的一个对称中心为D ．是奇函数()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】根据函数图象求出判断A ，再由正弦型函数的单调性、对称性判断BC ，求出,A ϕ的解析式，判断奇偶性即可判断D.π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】对于A ，因为为该函数图象的最高点，所以，把点的坐标代入 ,可得π(,1)31A =π(,1)3()f x ，所以，所以，所以， πsin(2)13ϕ⨯+=2ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈π||2ϕ<π6ϕ=-即，故A 正确；π()sin(26f x x =-对于B ，当时，，所以在上单调递增，故B 正确；ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ2(26,2x -∈-()f x ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，令，解得，所以的对称中心为，π2π,Z 6x k k -=∈ππ,Z 122k x k =+∈()f x ππ(,0)122k +Zk ∈，所以不是对称中心，故C 错误；π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对于D ，是非奇非偶函数，故D 错误.πππsin 2()sin(2)666π6f x x x ⎡⎤=+-⎣⎛⎫⎦+ ⎪⎝=+⎢⎭故选：AB12．若存在，使得函数在区间[0，]上均单调递增，,R αβ∈()()()()sin ,cos f x x g x x αβ=+=+2π则可能成立的是（ ）A ．B ． ()()sin 0,cos 0αβαβ+>+>()()sin 0,cos 0αβαβ+<+<C ．D ．()()sin 0,cos 0αβαβ+>+<()()sin 0,cos 0αβαβ++【答案】BC【分析】根据题意先求出的范围，进而得到的范围，然后通过数形结合求得答案.,αβαβ+【详解】因为在区间上单调递增，所以，()()sin f x x α=+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1112,2Z 2k k k παππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，所以，()()cos g x x β=+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2222,2Z 2k k k πβπππ⎡⎤∈-+-+∈⎢⎥⎣⎦所以. ()()()12121232,2,Z 22k k k k k k ππαβππ⎡⎤+∈-++-++∈⎢⎥⎣⎦设，根据函数的周期性，现只考虑的情况.如图所示： t αβ=+3,22t ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦由图可知，时，；时，.3,2t ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦sin 0,cos 0t t ><,2t ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦sin 0,cos 0t t <<故选：BC.三、填空题13．已知，为第四象限角，则_________. π2sin 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭α2πcos 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】23【分析】根据题意可得，再利用诱导公式即可求得. 2πππ362αα+=++2π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】根据题意将看成一个整体，可得， π6α+2πππ362αα+=++利用整体代换法诱导公式可得：.2ππππ22cos cos sin 326633ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2314．已知集合，，则_________. π5π2π2π,Z 33A xk x k k ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣{∣==B y y R A B = ð【答案】π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意可得，再根据的取值范围即可求得.[]0,3B =k R π0,3A B ⎡⎤⋂=⎢⎣⎦ð【详解】根据题意可得， {[]0,3B yy ===∣易知, R ππ2π2π,Z 33A xk x k k ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣-ð可得当时，.0k =R π0,3A B ⎡⎤⋂=⎢⎥⎣⎦ð故答案为：π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．函数的部分图象如图所示，则______.()()sin f x x ωϕ=+ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭ϕ=【答案】π3-【分析】由图象可得函数的周期，从而可求得，再利用待定系数法求出即可. ωϕ【详解】解：由图象可知：的最小正周期，， ()f x 5π17π4π312T ⎛⎫-⎝== ⎪⎭2π2T ω∴==，（）， 17π17πsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭17ππ2π62k ϕ∴+=+k ∈Z ∴（）， ()π21π3k ϕ=-+-k ∈Z 因为，所以.ππ22ϕ-<<π3ϕ=-故答案为：.π3-16．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为________. X Y 2log 1X Y =【答案】112【分析】先计算先后抛掷两枚骰子的所有结果，然后由得出，找出满足2log 1X Y =2Y X =2Y X=的所有可能，从而求出概率.【详解】先后抛掷两枚骰子的点数所有结果共种， 6636⨯=满足条件，即的有，，，共3种.2log 1X Y =2Y X =12X Y =⎧⎨=⎩24X Y =⎧⎨=⎩36X Y =⎧⎨=⎩所以概率为. 2log 1X Y =313612=故答案为：. 112四、解答题17．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，求下列各式的值.xOy α34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)；ππcos sin 22αα⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) πsin cos(π)2sin()cos()αααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭-+-【答案】(1)15-(2) 67【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，结合诱导公式，即可求解；3cos 5α=-4sin 5α=（2）由三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.cos cos sin cos αααα+=-+【详解】（1）解：因为角的终边与单位圆交于点，α34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭根据三角函数的定义，可得，，3cos 5α=-4sin 5α=由.ππ431cos sin sin cos 22555αααα⎛⎫⎛⎫++-+=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）解：由，，3cos 5α=-4sin 5α=则. π3sin cos(π)2cos cos 62543sin()cos()sin cos 755αααααααα⎛⎫⎛⎫--+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+--+--18．已知函数.()ππsin 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭xππ23x -y(1)请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需()f x 的数值，再画图）；(2)当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值. []0,2x ∈()f x x 【答案】(1)答案见解析(2)时取得最小值；时取得最大值1 0x =53x =【分析】（1）利用整体代换法分别求出的不同取值时对应的的函数值，用“五点法”即可画出x ()f x 函数图象简图；（2）易知当时，，根据正弦函数单调性即可求得函数[0,2]x ∈πππ2π,2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值及相应的的值. ()f x x 【详解】（1）令，则. π23x X π=-2π3x X 2=+填表数据如下：x23 53 83 113143X 0 π2π3π2 2πy 011-0在坐标系中描点、连线即可作出如下简图：（2）因为，所以，根据整体代换可得， [0,2]x ∈π[0,π]2x ∈πππ2π,2333x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦根据正弦函数单调性可知，当，即时，取得最小值；π233x ππ-=-0x =ππsin 23x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当，即时，取得最大值1.π232x ππ-=53x =ππsin 23x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭19．现有分别写有数字1，2，3，4，5的5张白色卡片、5张黄色卡片、5张红色卡片.每次试验抽一张卡片，对1，2，3，4，5作如下约定：若取到一张写有数字i 的白色卡片，则得i 分；若取i =到一张写有数字i 的黄色卡片，则得分；若取到一张写有数字i 的红色卡片，则得分. ()i 1+()i 2+(1)求得3分的概率； (2)求得分大于3分的概率.【答案】(1)15(2). 35【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求出得分小于等于3分的概率，从而求得结果.【详解】（1）得分为3分的情况有如下三种：取到一张标有数字3的白色卡片； 取到一张标有数字2的黄色卡片； 取到一张标有数字1的红色卡片.得分为3分的概率. ∴131155P ==（2）得分为2分的情况有如下两种： 取到一张标有数字2的白色卡片； 取到一张标有数字1的黄色卡片. . 2215P ∴=得分为1分的情况为：当取到一张标有数字1的白色卡片，， 3115P ∴=故所求概率为. 123315P P P P =---=20．如图，一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A 、B 两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走.若甲向东、向西行走的概率均为，向14南、向北行走的概率分别为和p ，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q .13(1)求p 和q 的值；(2)设至少经过t 分钟，甲、乙两人首次相遇，试确定t 的值，并求出甲乙两人首次相遇的概率. 【答案】(1)；16p =14q =(2)，概率为 2t =372304【分析】（1）根据概率性质可解；（2）由图可知甲乙相遇的最少时间，然后根据相遇点分类计算即可. 【详解】（1），；1111443+++= p 16p ∴=， 41= q 14q ∴=（2）.设甲、乙两人在三处相遇的概率分别为，2t =,,C D E ,,C D E P P P 则，，，111116644576⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C P 1111122644496⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D P 111114444256⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E P ，即所求的概率为. 372304∴++=C D E P P P 37230421．已知函数，与函数有相同的对称中心.()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()()cos 2g x x θ=+(1)求，的值；ωθ(2)若函数在上单调递减，求出函数的单调区间.()g x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x 【答案】(1)，.2ω=2ππ+,Z 3n n θ=∈(2)单调增区间为，单调减区间为.π2π[π+,π+6,3Z k k k ∈ππ[π,π+],Z 63k k k -∈【分析】（1）根据题意可知两函数周期相同，即可求得的值；根据余弦函数的对称中心，即可求ω得的值；θ（2）根据函数在上单调递减，确定，利用正弦函数的单调性，即可求得()g x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()f x g x =-答案.【详解】（1）若两个函数图象的对称中心相同，则函数周期必然相同，则 ， 2ω=故，π()sin(2)6f x x =+由，得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 212k x k =-∈数，与函数有相同的对称中心，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()()cos 2g x x θ=+则 ，ππππ2(ππ+,,Z 21226k k m k m θθ⨯-+=-+=∈则 ，即 2π()π+,,Z 3m k k m θ=-∈2ππ+,Z 3n n θ=∈（2）因为函数与函数有相同的对称中心，()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()cos 2g x x θ=+所以 或，()()f x g x =()()f x g x =-若函数在 上单调递减，()g x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于函数，时，，π()sin(2)6f x x =+π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ2,662x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦由于在上单调递增，故函数在上递增，sin y x =ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π()sin(26f x x =+π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以， ()()f x g x =-故令,则，πππ2π22π+,Z 262k x k k -≤+≤∈ππππ+,Z 36k x k k -≤≤∈即的单调递增区间为，π()sin(2)6f x x =+ππ[π,π+Z 63k k k -∈则函数的单调减区间为；()g x ππ[π,π+],Z 63k k k -∈令,则， ππ3π2π+22π+,Z 622k x k k ≤+≤∈π2ππ+π63+,Z k x k k ≤≤∈即的单调递减区间为，π()sin(2)6f x x =+π2π[π+,π+]6,3Z k k k ∈则函数的单调增区间为.()g x π2π[π+,π+]6,3Z k k k ∈22．定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，有R ()f x ,R x y ∈()()()f x y f x f y +=+0x >()0f x >(1)判断的奇偶性并证明；()f x (2)若，且对，都有恒成立.求的取值范112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f x ∀∈R ()2227cos sin 44⎛⎫++<++ ⎪⎝⎭f x x f k k k 围：(3)若，函数在有五个()()3π1,2sin 126f g x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭()()()()23230⎡⎤-+--=⎣⎦f g x m g x m 7π0,3⎛⎤ ⎝⎦不同的零点，求实数的取值范围. m 【答案】(1)答案见解析 (2)(,3)(2,)-∞-+∞ (3)21,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）令可得，令，可得，根据函数奇偶性定义可0x y ==(0)0f =y x =-()()0f x f x +-=得是奇函数；（2）根据定义可知函数在上单调递增，由可得，即()f x ()f x R 112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f (2)4f =不等式对于恒成立，所以，解得2227cos sin 24++<++x x k k x ∀∈R 228++>k k；（3）根据题意可得有五个不同的零点，利(,3)(2,)∈-∞-⋃+∞k 2(())(3)()220-+--=g x m g x m 用换元法令，可得，结合函数的图象可得()t g x =2(3)220t m t m -+--=π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭必有两个不同解，且，利用数形结合以及二次2(3)220t m t m -+--=12,t t 12(2,3),{3}(1,2]∈∈⋃-t t 函数根的分布即可求得.215-<<-m 【详解】（1）因为对任意的，恒有， ,R x y ∈()()()f x y f x f y +=+令，则，即， 0x y ==(00)(0)(0)f f f +=+(0)0f =令，则，y x =-()()()f x x f x f x -=+-所以，即，所以是奇函数； ()()0f x f x +-=()()f x f x -=-()f x （2）令，，则，1x y x +=2x x =12y x x =-不妨设，则，因为，12x x >120x x ->()()()f x y f x f y +=+，即， 1212()()()∴=+-f x f x f x x 1212()()()f x f x f x x -=-又当时，，所以， 0x >()0f x >1212()()()0f x f x f x x -=->即，所以在上单调递增，12()()f x f x >()f x R 令，则， 12x y ==-1(1)222⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭f f令，则，，1x y ==-(2)2(1)4f f -=-=-(2)4f =因为，都有，x ∀∈R ()()22227cos sin 424f x x f k k f k k ⎛⎫++<++=++ ⎪⎝⎭又在上单调递增，所以，都有， ()f x x ∀∈R 2227cos sin 24++<++x x k k 即2222711sin sin sin 8242x x x k k ⎛⎫-++=--+<++ ⎪⎝⎭即有 228++>k k 解得 (,3)(2,)∈-∞-⋃+∞k （3）因为，令，则，，， 3(1)2f =1x y ==(2)2(1)3==f f (2)3f =(2)3f -=-所以由，可得， 2(())(3)()230⎡⎤-+--=⎣⎦f g x m g x m 2(())(3)()22(0)⎡⎤-+--=⎣⎦f g x m g x m f 又在上单调递增，所以有五个不同的零点， ()f x R 2(())(3)()220-+--=g x m g x m 令，则，()t g x =2(3)220t m t m -+--=作出函数的大致图象如下图所示，π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图象可知，当或时，与交点个数为2，3t =12t -<≤y t =π2sin 16y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当时，与交点个数为3，23t <<y t =π2sin 16y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由题可得必有两个不同解，且， 2(3)220t m t m -+--=12,t t 12(2,3),{3}(1,2]∈∈⋃-t t 所以，解得()()234220m m ∆=+++>7m -+>7m --<①时，，方程为，（舍去）23t =25m =-2136055--=t t 125=-t ②时，，方程为，此时（舍去）22t =1m =-220t t -=10t =③，时，则 1(2,3)∈t 2(1,2)∈-t ()()()()()222131220232220333220m m m m m m ⎧--+⨯--->⎪-+⨯--<⎨⎪-+⨯-->⎩解得215-<<-m 综上所述：的取值范围为m 21,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
甘肃省兰州高一下学期3月月考数学试题(解析版)
甘肃省兰州第一中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）21,e e 122AB e e =+ 1227BC e e =+ ()123CD e e =+A ．三点共线B ．三点共线 ,,ACD ,,A B C C ．三点共线 D ．三点共线,,B C D ,,A B D 【答案】D【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，，，1239AC AB BC e e =+=+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，A 错误； ∴λAC CD λ=,,A C D ∴对于B ，，，122AB e e =+ 1239AC AB BC e e =+=+ 不存在实数，使得成立，三点不共线，B 错误；∴λAB AC λ=,,A B C ∴对于C ，，，1227BC e e =+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，C 错误；∴λBC CD λ=,,B C D ∴对于D ，，，122AB e e =+ 12510BD BC CD e e =+=+ ，三点共线，D 正确.15AB BD ∴=,,A B D ∴故选：D.2．已知，则向量在方向上的投影为 6,3,12a b a b ==⋅=- a b A ． B ．C ．D ．44-2-2【答案】B【分析】根据向量夹角公式求得夹角的余弦值；根据所求投影为求得结果. cos ,a a b <>【详解】由题意得： 122cos ,633a b a b a b ⋅-<>===-⨯⋅向量在方向上的投影为：a b 2cos ,643a a b ⎛⎫<>=⨯-=- ⎪⎝⎭ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量在方向上的投影的求解问题，关键是能够利用向量数量积求得向量夹角a b的余弦值.3．已知向量，，，若，则（ ） ()1,2a =r()2,3b = ()3,4c = c a b λμ=+r r r λμ+=A ．1 B ．C ．D ．31-2-【答案】A【分析】利用向量的坐标运算列方程求解，即可.λμ【详解】解：由，所以，()()()(),22,32,233,4c a b μλλμμλμλμλ=++=++==23λμ+=，解得，，所以，234λμ+=1λ=-2μ=1λμ+=故选：A ．4．八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形12，其中，给出下列结论：ABCDEFGH 1OA =①； ②；0BF HF HD -+= OA OC += ③； ④.AE FC GE AB +-= 0OA OB OC OD OE OF OG OH +++++++= 其中正确的结论为（ ） A ．①②④ B ．①③④C ．②③④D ．①②③【答案】C【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可.【详解】对于①，，①错误； 0BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=≠对于②，由正八边形性质知：，，设，OA OC ⊥1OA OC OB ===OB AC M =，为中点，，45AOB COB ∠=∠= M ∴AC 2OA OC OM ∴+=，， 12OM AC ==OM ∴= OA OC ∴+=又，，②正确；OB OF =-OA OC ∴+=对于③，，AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+由正八边形性质知：且，即， //AG CE AG CE =AG CE =，又， AE FC GE AG FC CE CF FE ∴+-=+=-= FE AB = ，③正确；AE FC GE AB ∴+-=对于④，()()()OA OB OC OD OE OF OG OH OA OE OB OF OC OG +++++++=++++++ ，④正确.()0OD OH +=故选：C.5．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等ABC ∆Q AC A P BQ B 分点，则（ ）PA PC +=A ．B ．C ．D ．1233BA BC +5799BA BC +11099BA BC +2799BA BC +【答案】B【解析】，将,23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+- 13BQ BA AQ BA AC =+=+代入化简即可.AC BC BA =-【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+ 1233BA BC =+-⨯13AC . 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.6．已知非零向量与满足，且，则为（ ） AB AC 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭2AB AB CB =⋅ABCA ．等腰非直角三角形B ．直角非等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】C【分析】由推出，由推出，则可得答2AB AB CB =⋅0AB AC ⋅= 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭||||AB AC = 案.【详解】由，得，得，得， 2AB AB CB =⋅()0AB AB CB ⋅-= ()0AB AB BC ⋅+= 0AB AC ⋅= 所以，AB AC ⊥因为，所以， 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭()0||||AB AC AC AB AB AC ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭所以， 22||||0||||||||AB AC AB AC AB ACAB AB AC AC ⋅⋅-+-= 所以，即，||||0AB AC -+= ||||AB AC = 所以为等腰直角三角形. ABC 故选：C7．设向量，满足，，与的夹角为，则（ ） a b 3a b += 1a b -=r r a bθcos cos a b b a θθ+=A ．B ．C ．D ．3125254【答案】B【解析】将和分别平方，联立两式，可求得和的值，再结合a b + a b -r r a b ⋅ 22a b + ，可求出答案. 2222cos cos cos cos a ba b a ba b b a a b a b θθθθ++=+=⋅⋅⋅【详解】∵，∴，3a b += 2229a a b b +⋅+= 又，∴.1a b -=r r 2221a a b b -⋅+= ∴，整理得，，()22222921a a b b b a a b +⋅+-=-⋅+- 2a b ⋅= 225a b += ∴.222252cos cos cos cos a ba b a b a b b a a b a b θθθθ++=+==⋅⋅⋅ 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的数量积公式的应用，考查平面向量的运算性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.8．已知为坐标原点，点，点，点，O ()1cos ,sin P αα()2cos ,sin P ββ-()()()3cos ,sin P αβαβ++，则（ ）()1,0A A ． B ．122OP OP == 12AP AP =C ．D ．312OA OP OP OP ⋅=⋅123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】C【分析】由向量模长、数量积的坐标运算，结合同角三角函数关系和两角和差公式依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，，， ()1cos ,sin OP αα=()2cos ,sin OP ββ=-，A 错误； 1=1=对于B ，，， ()1cos 1,sin AP αα=- ()2cos 1,sin AP ββ=--，==，B 错误；12AP AP ∴≠ 对于C ，，，，()1,0OA = ()()()3cos ,sin OP αβαβ=++ ()3cos OA OP αβ∴⋅=+又， ()12cos cos sin sin cos OP OP αβαβαβ⋅=-=+ ，C 正确；312OA OP OP OP ∴⋅=⋅ 对于D ，，， 1cos OA OP α⋅=()()()23cos cos sin sin cos 2OP OP βαββαβαβ⋅=+-+=+ ，D 错误. 123OA OP OP OP ∴⋅≠⋅故选：C.二、多选题9．如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ） 12,e eαA ．可以表示平面内的所有向量()12,e e λμλμ+∈RαB ．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个αa12a e e λμ=+ (),λμC ．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得1112e e λμ+ 2122e e λμ+ λ()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数使得，则 ,λμ120e e λμ+=0λμ==【答案】AD【分析】由平面向量基本定理可确定AD 正确，B 错误；通过反例可说明C 错误.【详解】是平面内两个不共线的向量，可以作为平面的一组基底；12,e eα12,e e ∴ α对于A ，由平面向量基本定理可知：可以表示平面内的所有向量，A 正确； ()12,e e λμλμ+∈Rα对于B ，对于平面内任意向量，有且仅有一个实数对，使得，B 错误；αa(),λμ12a e e λμ=+ 对于C ，当时，与均为零向量，满足两向量共线，此时使得11220λμλμ====1112e e λμ+ 2122e e λμ+成立的有无数个，C 错误；()11122122e e e e λμλλμ+=+λ对于D ，由得：，又不共线，，即，D 正确. 120e e λμ+= 12e e λμ=- 12,e e0λμ∴=-=0λμ==故选：AD.10．(多选题)已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为（ ）a b cA ．//a b a b a b ⋅=⇔ B ．，反向a ba b a b ⇔⋅=- C ．a b a b a b ⊥⇔+=-D ． a b a c b c =⇔⋅=⋅ 【答案】ABC【分析】需对以上四个命题逐一判断，依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.【详解】A. (为与的夹角)，cos a b a b θ⋅= θa b由及，为非零向量可得，或，且以上各步均可逆.故命∴a b a b ⋅=⋅ a b cos 1θ=0θ∴=π//a b ∴ 题A 是真命题；B.若，反向，则，的夹角为，且以上各步均可逆.故命题B 是a b a bπcos a b a b a b π∴⋅==- 真命题；C.当时，将向量，的起点移至同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四a b ⊥a b a b 边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有.反过来，若，则以，a b a b +=- a b a b +=- a 为邻边的四边形为矩形，所以有.故命题C 是真命题.b a b ⊥D.当但与的夹角和与的夹角不等时，就有a b = a cb c ，反过来由也推不出.故命题D 是假命题. a c b c ⋅≠⋅ a c b c ⋅=⋅a b = 故选：ABC11．中，，，则下列叙述正确的是 ABC 2AB =30ACB ∠=︒A ．的外接圆的直径为4.ABC B ．若，则满足条件的有且只有1个 4AC =ABC C ．若满足条件的有且只有1个，则 ABC 4AC =D ．若满足条件的有两个，则 ABC 24AC <<【答案】ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的A B C D 对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得，故正确；224sin sin 30AB R ACB ===∠︒A 对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，BCD A 2AB =CD 即为解得个数．易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；122x =4AC =ABC 当时，三角形是等腰三角形，也是唯一解；2AC AB ==ABC 当，即，时，满足条件的三角形有两个． AD AB AC <<122x x <<24x ∴<<故，正确，错误． B D C 故选：．ABD【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．12．已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则αβ3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭12cos 313πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可以为（ ） cos()αβ+A ． B ． C ．D ．3365-6365-33656365【答案】CD【分析】利用题中所给的角所属的象限，结合题中所给的三角函数值，利用平方关系求得角对应的正余弦值，将角进行配凑，利用余弦和角公式求得其结果. 【详解】因为为第一象限角，α所以，，(2,22k k k Z παππ∈+∈5(2,2),336k k k Z πππαππ+∈++∈因为，所以，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 53π<=所以是第二象限角，所以，3πα+4cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭为第三象限角，β所以，，3(2,2),2k k k Z βππππ∈++∈27(2,2),336k k k Z πβππππ-∈++∈因为，所以是第二象限角或第三象限角，12cos 313πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3πβ-当是第二象限角时，，3πβ-5sin 313πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭此时cos()cos[()(33ππαβαβ+=++-cos()cos(sin()sin(3333ππππαβαβ=+--+-，4123533()(51351365=-⨯--⨯=当是第三象限角时，，3πβ-5sin 313πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭此时cos()cos[()(33ππαβαβ+=++-cos()cos(sin()sin(3333ππππαβαβ=+--+-，4123563()(()51351365=-⨯--⨯-=故选：CD.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角恒等变换的问题，正确解题的关键是在利用平方关系求角的正余弦值时，注意分析角终边的位置，注意符号的选取.三、填空题13．已知向量､､在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则a b c=___________.()a b c +⋅【答案】6-【分析】建立直角坐标系，将向量平移至相同的起点位置，求出向量坐标，再根据向量数量积的公式即可求解．【详解】建立直角坐标系如图所示，将平移至与相同起点的位置，,a b cO 由于每一小方格的边长为1，则，， ()1,1a =r()2,1b =-r ()2,2c =-- 所以，()3,0a b +=故， ()()()3,02,26a b c +⋅=⋅--=-故答案为：．6-14．如图，正方形中，为的中点，若，则的值为________ABCD E DC AD AC AE λμ=+λμ-【答案】-3【详解】在中，为的中点，所以，所以，又ADC ∆E DC 1()2AE AD AC =+ =2AD AC AE -+，故，所以．答案：．AD AC AE λμ=+1,2λμ=-=3λμ-=-3-15．已知，若与的夹角为钝角，求的取值范围为___________. ()()111a b ，，，λ=-=a bαλ【答案】 ()()111，，-∞-⋃-【分析】与的夹角为钝角，所以且与不共线，计算即可.a b α0a b <a b【详解】解：与的夹角为钝角，所以且与不共线， a b α0a b <a b由得，由与不共线，得，， ()()111=10a b ，，λλ=--<1λ<a b ()10λ--≠1λ∴≠-所以的取值范围为：. λ()()111，，-∞-⋃-故答案为： ()()111，，-∞-⋃-四、双空题 16．已知，，且，则_________； _______. ()1tan 2A B -=1tan 7B =-(),0,πA B ∈tan A =2A B -=【答案】133π4-【分析】由，利用两角和差正切公式可求得()tan tan A A B B =-+()()tan 2tan A B A A B -=+-tan A ，，结合的范围可确定的值.()tan 2A B -,A B 2A B -【详解】，，()1tan 2A B -= 1tan 7B =-()()()11tan tan 127tan tan 111tan tan 3127A B B A A B B A B B --+∴=-+===--+⨯；，()()()()11tan tan 32tan 2tan 1111tan tan 123A AB A B A A B A A B ++-∴-=+-===---⨯，，，，(),0,πA B ∈0tan A <<tan 0B <π0,6A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭5π,π6B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.π2π,2A B ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭3π24A B ∴-=-故答案为：；.133π4-五、解答题 17．计算下列各式：(1)； cos263cos203sin83sin23︒︒︒+︒(2).cos7sin15sin8cos8︒-︒︒︒【答案】(1)12【分析】（1）先利用诱导公式将变形为，然后利用两角差的余弦公式cos263cos203︒︒cos83cos23︒︒计算即可；（2）利用展开计算即可.()cos7=cos 158︒︒-︒【详解】（1）()()cos263cos203sin83sin23cos 180+83cos 18023sin83sin23︒︒︒︒=︒︒︒︒︒︒+++； ()cos83cos23sin83sin221cos c 3os 603823=︒︒︒︒=︒-︒︒=+=（2）()cos 158sin15sin8cos7sin15sin8cos8cos8︒-︒-︒︒︒-︒︒=︒︒()cos15cos8sin15sin8sin15sin8cos15cos 4530cos8︒︒+︒︒-︒︒==︒=︒-︒︒1=cos45cos30sin45sin302︒︒+︒︒==18．已知，为平面向量，且. a b()1,2a =-r (1)若，且的坐标；a b ⊥b = b (2)若，且向量与平行，求实数k 的值. ()3,2b =- ka b - 2a b + 【答案】(1)或()4,2()4,2--(2)12k =-【分析】（1）设，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，(),b x y =r x y 解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标；b（2）计算出向量与的坐标，由已知向量平行，可求得的值.ka b -2a b + k 【详解】（1）设，因为(,)b x y =rb = =又因为，所，即②a b ⊥0a b ⋅= 20x y -=由①②联立得或，20x y =-=⎪⎩1142x y =⎧⎨=⎩2242x y =-⎧⎨=-⎩则所求向量的坐标为或b()4,2()4,2--（2）因为，，()1,2a =-r()3,2b =-所以，，()3,22ka b k k -=+-- ()25,2a b +=-又因为向量与平行，所以， ka b -2a b + 2(3)(5)(22)0k k +----=解之得12k =-19．在中，角的对边分别是，，且ABC ,,A B C ,,a b c 32BA BC ⋅=u u r u u u r ABC(1)若的值； b =a c +(2)求的取值范围． 2sin sin A C -【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量的数量积公式和面积公式可求得，再由余弦定理即可求得结果. π,33B ac ==（2）由（1）中, 将式子统一化为关于C 的三角函数，再结合三角函数的图像性质即可得到π3B =结果.【详解】（1）由，得① 32BA BC ⋅=u u r u u u r 3cos 2ac B =由 ABC S ∆=1sin 2ac B =联立①②可解得，，π,33B ac == 222π2cos3b ac ac ∴=+-22a c ac =+-又 则，b = ()233a c ac =+-a c ∴+=（2）由（1）知，则 π3B =2π2sin sin 2sin sin 3A C C C ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭1sin )sin 2C C C C =+-=因为，2π03C <<C ∈所以的取值范围是 2sin sin A C -20．一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉.如图所示，是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点.现位于点北偏东，点北偏西,A B (53A 45 B的客船东方之星（点）发出求救信号，位于点南偏西且与点相距点的60 D B 60B C 救援船立即前往营救，其航行速度为千米每小时，该救援船到达点需要多长时间？30D【答案】小时1【分析】在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得，由此可ABD △BD BCD △CD 求得所需时间.【详解】由题意知：，，， 30ABC ∠= 30ABD ∠= 45DAB ∠= ，，60CBD ∴∠= 105ADB ∠=()sin sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 45ADB ∴∠=+=+=在中，由正弦定理得：ABD △sinsin AB DABBD ADB∠==∠在中，由余弦定理得：BCD △， ((2222212cos 129020CD BD BC BD BC CBD =+-⋅∠=+-⨯=解得：，30CD =救援船到达点需要的时间，即需要小时. ∴D 30130t ==121．已知在中，所对边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c 3,2a b c ==(1)若，求的面积； 23A π=ABC(2)若，求的周长. 2sin sin 1B C -=ABC 【答案】(2)或. 3ABC C =3ABC C =+【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得； （2）利用正弦定理及条件可求. cos B C ==【详解】（1）222222149cos 224b c a c c A c bc c +-+-=⇒-=⇒=119sin 2227ABC S bc A ==⨯⨯= （2）依题意，正弦定理：， sin 2sin sin sin b c B C B C =⇒=所以代入计算：，则.14sin sin 1sin 3C C C -=⇒=2sin 3B=当为锐角时，B()21sin sin sin cosC cos sin 33A B CB BC =+=+==sin sin sin c ab c A BC b ⎧=⎪⎪==⇒⎨⎪⎪⎩所以，3ABC C = 当为钝角时，B ，()21sin sin sin cos cos sin 33A BC BC B C =+=+=sin sin sin ca b c A BC b ⎧=⎪⎪==⇒⎨⎪⎪⎩所以，3ABC C =综上：或.3ABC C = 3ABC C = 22．在如图所示的平面图形中，已知，，，，求：1OM =2ON =2BM MA =u u u r u u u r 2CN NA =(1)设，求的值；BC xOM yON =+x y +(2)若，且，求的最小值及此时的夹角. OM CN ∥,,63OM ON ππ⎡⎤⎢⎥⎣〉∈⎦〈 AB AC ⋅u u u r u u u r ,OM ON 〈〉 【答案】(1)0(2)，为.AB AC ⋅u u u r u u u r ,OM ON 〈〉 6π【分析】（1）由向量的减法公式，结合题意和平面向量共线定理，即可求得BC AC AB =-，进而求出结果；3+3BC OM ON =-（2）记，因为，所以，设，根据,63,OM ON πθπ⎡⎤=〈〉∈⎢⎣⎦OM CN ∥CNO MON θ∠=∠=CA OM λ=平面向量加法理和平面向量共线定可得，进而求得()33AB OM ON λ=--，化简整理可得，再根据二次()()33AB AC OM ON OM λλ⎡⎤⋅=--⋅-⎣⎦()26cos 3AB AC λθλ⋅==+-函数和余弦函数的性质，即可求出结果.【详解】（1）解：因为，，2BM MA =u u u r u u u r 2CN NA =所以，所以， 3333+3BC AC AB AN AM MN OM ON =-=-==-3,3x y =-=即.0x y +=（2）解：记，,63,OM ON πθπ⎡⎤=〈〉∈⎢⎥⎣⎦因为，所以，OM CN∥CNO MON θ∠=∠=设，则， CA OM λ=()()333AB AC CB OM OM ON OM ON λλ=+=-+-=-- 所以 ()()()233=3+3AB AC OM ON OM OM OM ON λλλλ⎡⎤⋅=--⋅---⋅⎣⎦()22=3+3cos OM OM ON λλθ-⋅()2236cos 6cos 3λλλθλθλ=-+=+-当时，取最小值，即最小值为，6cos 32θλ-=-()26cos 3λθλ+-()26cos 34θ--又，所以，所以， ,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6cos 33θ⎡⎤-∈⎣⎦()26cos 34θ⎡⎤-⎢⎥-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦即，()26cos 34θ⎤--∈⎥⎦所以，此时为.AB AC ⋅u u u r u u u r ,OM ON 〈〉 6π。
江苏省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则（ ） cos 3sin 0αα+=tan 2α=A ．B ．C ．D ．3434-35-38-【答案】B【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值. tan 2α【详解】由，可得cos 3sin 0αα+=1tan 3α=-则 2212()2tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯-===----故选：B2．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．“”是“是以C 为直角的ABC A cos cos a A b B =ABC A 直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用正弦定理将边角互化，结合充分条件、必要条件的定义计算可得； 【详解】解：若，由正弦定理可得，cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =，或，即或，sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=22A B π+=A B =2A B π+=所以为等腰三角形或是以为直角的直角三角形，故充分性不成立； ABC A C 若是以为直角的直角三角形，即，ABC A C 2A B π+=所以，所以，即，2A B π=-22A B π=-()sin 2sin 2sin 2A B B π=-=所以，则，故必要性成立；sin cos sin cos A A B B =cos cos a A b B =故“”是“是以C 为直角的直角三角形”的必要不充分条件； cos cos a A b B =ABC A 故选：B3．设M 为内一点，且，则与的面积之比为（ ） ABC A 1145AM AB AC =+ ABM A ABC A A ． B ． C ． D ．15144959【答案】A【分析】做出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为． AE AC【详解】如图所示，∵点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足，1145AM AB AC =+以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，， 15AE AC =则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比， //EF AB 所以． 15ABM ABC S AE S AC ==A A 故选：A4．已知a ＝（1+tan21°）（1+tan22°），b ＝（1+tan23°）（1+tan24°），则（ ） A ．a ＝b ＝2 B ．ab ＝4C ．a 2+b 2＝9D ．a 2＝b 2﹣2【答案】B【分析】根据两角和的正切可求ab ＝4，再根据得到，从而可得tan152︒=236(74a -<<正确的选项.【详解】解：因为，故tan21°+tan24°＝1﹣tan21°tan24°，tan 21tan 241tan 451tan 21tan 24︒︒︒︒︒+==-故2＝（1+tan21°）（1+tan24°），同理2＝（1+tan22°）（1+tan23°）， 故ab ＝4，故B 成立；而tan15°＜tan21°＜tan23°＜1，0＜tan22°＜tan24°＜1， 故a ＜b ，故A 错误；而，故， tan 45tan 30tan1521tan 45tan 30︒︒︒︒︒-==+2(3a >因，故，所以，2(3,4a bab <<=2(32a <<236(74a -<<又若a 2+b 2＝9，则，解得22169a a +=2a =因为，36(736(74 1.733)2.448->-⨯=，故无解，故C 错误；9 4.123 2.43852-=22169a a +=若a 2＝b 2﹣2，则，则，22162a a=-21a =这与矛盾，故D 错误． 22.44836(74a <-<<故选：B ．5．已知、是两个非零向量，它们的夹角为，，则下列结论正确的是（ ）a bθb e b= A ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a e θ θa b为()cos a e θ- B ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a b θ θa b为()cos a b θ- C ．若存在实数，使，则λb a λ=a b a b ⋅= D ．若，则一定存在唯一的实数，使 a b a b ⋅= λb a λ=【答案】D【分析】利用投影向量的定义可判断AB 选项；利用平面向量数量积的定义结合共线向量的定义可判断CD 选项.【详解】对于AB 选项，向量在上的投影为，易知为与同向的单位向量， a b cos a θ e b所以，在方向上的投影向量为，AB 均错；a b()cos a e θ 对于C 选项，若存在实数，使，则、共线，λb a λ=a b 若，则、共线，但，C 错； θπ=a ba b a b ⋅=- 对于D 选项，若，则，，则，即、方向相同， a b a b ⋅= cos 1θ=0θπ≤≤Q 0θ=a b则、共线，一定存在唯一的实数，使，D 对. a b λb a λ=故选：D.6．已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）a b a b ⋅ 14=-2c a b =+cos a cA ．B C ．D 1314【答案】C【分析】先利用数量积表示模长.c a =+【详解】由已知知，，1a b ==r r 2c a =+=则 ()22||21cos ,4||||a a b a c a a b a c a c a c a c⋅+⋅+⋅====故选：C.7．已知函数的图象关于点及直线对称，且()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =在不存在最值，则的值为（ ）()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ϕA ．B ．C ．D ．π3-π6-π6π3【答案】C【解析】根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据对2,12T k N kπ=∈+T π≥2T π=1ω=称中心得到，得到答案.,6m m Z πϕπ=+∈【详解】函数的图象关于点及直线对称.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =则. 2+,,4236212T kT T k N kππππ=+=∴=∈+在不存在最值，则，故时满足条件，，.()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭T π≥0k =2T π=1ω=，则.sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,66m m m Z ππϕπϕπ-+=∴=+∈当时满足条件，故.0m =6πϕ=故选：.C 【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为P 为边BD 上一动点，则的取值范围为（ ）AP CP ⋅A ．B ．C ．D ．[]6,0-25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]7,0-【答案】C【分析】根据题意可计算出AB 的长，由此建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果.,AP CP AP CP ⋅【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，， BCD △60DBC ∠=︒30ABD ∠=︒在中， ,； Rt △ABD tan 302AD BD =⨯== 24AB AD ==如图以B 为原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，BC BA则有，，由于，故可设P 点坐标为,且()0,4A ()C 60DBC ∠=︒()x 0x ≤≤所以，，()4AP x =- ()CP x =-所以， (4AP CP x x ⋅=-+-2244274x x ⎛- =⎝=-因为，当时，取得最小值 ，当 时，0x ≤≤x =22744x ⎛- ⎝274-0x =取得最大值为0， 22744x ⎛- ⎝所以， 2704AP CP -≤⋅≤故选：C.二、多选题9．下列等式成立的是（ ）A ．B ． ()21sin15cos152-=22sin 22.5cos 22.5-=C ．D ．1cos 24cos36cos 66cos542-=(3sin 40tan102=-【答案】AC【分析】利用二倍角公式可判断AB 选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断C 选项；利用辅助角公式以及二倍角的公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，A 对； ()21sin15cos1512sin15cos151sin 302-=-=-=对于B 选项，B 错； 22sin 22.5cos 22.5cos 45-=-= 对于C 选项，()()cos 24cos36cos 66cos54cos 9066cos36cos 66cos 9036-=---，C 对； ()1cos36cos 66sin 36sin 6636sin 302sin 66=-=-==对于D 选项，(sin10sin 40tan10sin 40cos10⎛=⋅= ⎝，D 错.()()2sin 40sin 10602sin 40sin 502sin 40cos 401sin 80sin 80cos 9080-==-=-=--故选：AC.10．下列说法正确的是（ ）A ．向量与共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件ABCD B ．若，则存在唯一实数使得//a b λb a λ= C ．已知，则与的夹角为锐角的充要条件是()()=1,3,1,1= a b a a b l + ()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若，则是在上的投影向量 AB AC AD AB AC λ+=BDBA BC 【答案】ACD【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；根据向量夹角的坐标运算可判断C ；由平面向量加法和的平分线表示的向量平行的向量可得BAC ∠AD 为的平分线，又因为为的中线可判断 D.BAC ∠AD BC 【详解】对于A 选项：A ，B ，C ，D 四点共线向量与共线，反之不成立，所以A 正确；⇒ABCD 对于B 选项：当，时，不存在实数使得，当，时，存在无数个实数0a = 0b ≠λb a λ=0a = 0b = λ使得，故B 错误；b a =对于C 选项：因为，，所以，则与的夹角为锐角的充()1,3a = ()1,1b =r ()1,3a b λλλ+=++ a a b l +要条件是且与不同向共线，()·0a a b λ+>a ab l + 即，()()1,3·1,31931040λλλλλ++=+++=+>1≠解得，则实数的取值范围是，故C 正确；()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭λ()5,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭对于D 选项：由平面向量加法可知：为“与的平分线表示的向量平行的向量”因AB ACAB AC+BAC ∠为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所AB ACAD AB ACλ+=AD BAC ∠AD BC AD BC ⊥以是在的投影向量，故选项D 正确. BDBA BC 故选：ACD. 11．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）()cos 22si n 1fx x x =-+A ．的最小正周期为 B ．的最小值为()f x π()f x 2-C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在上单调递减()f x 2x π=()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A. 利用周期函数的定义判断；B. 利用二倍角公式得到()22si n 2si n 2fx x x =--+，再令，利用二次函数的性质求解判断； C.利用二次函数的性质判断；D. 利用复[]sin 1,1x t =∈-合函数的单调性判断. 【详解】解：因为()()()cos 22si n 1fxx x πππ⎡⎤+=+-++⎣⎦，故A 错误；()cos 22si n 1x x fx =++≠，()cos 22si n 1fx x x =-+22cos 2si n x x =-22si n 2si n 2x x =--+令，[]sin 1,1x t =∈-则，当时，函数取得最小值-2，故B 正确；2215222222y tt t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭1t =因为关于对称，此时 ，则或2222y tt =--+12t =-1sin 2x =-2,6x k k Z ππ=-+∈， 52,6x k k Z ππ=-+∈所以函数的图像不关于直线对称，故C 错误；()f x 2x π=因为，在上递增，在上递减，而 在上递2222y tt =--+11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin y x =,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦增，在上递增，,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以由复合函数单调性知：函数在上递减，所以函数在上递减，故D 正()f x ,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦确；故选：BD12．如图，已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，，，m ＞0，n ＞0，记△ADE ，△ABC ，四边形BDEC 的面积分别为S 1，S 2，AD mAB = AE nAC =S 3，则（ ）A ．B ．C ．D ．113m n+=12S mn S =1345S S >1345S S ≤【答案】ABC【分析】A 选项，由题可得＝，设，，m ＞0，n ＞0，结AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = 合可得答案；1()3AG AB AC =+B 选项，由S 1＝，S 2＝可得答案；1||||sin 2mn AB AC A ∠ 1||||sin 2AB AC A ∠CD 选项，，后利用基本不等式可得答案. 32111S S S S =-11mm=-【详解】A 选项，由D 、G 、E 三点共线，则＝，设，，AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = m ＞0，n ＞0.则，(1)AG mAB nAC λλ=+-又由重心性质可知， 211()()323AG AB AC AB AC =⨯+=+ 则，，即，即选项A 正确； 13m λ=11(1)33n n λ-==113m n +=B 选项，S 1＝＝，1||||sin 2AD AE A ∠ 1||||sin 2mn AB AC A ∠ S 2＝，则，即选项B 正确；1||||sin 2AB AC A ∠12S mn S =CD 选项，＝≤，当且仅当，即时取等32121111S S S S S S S -==-11mm -2115()124m n +-=11m n =23m n ==号，则，即选项C 正确， D 错误. 1345S S >故选：ABC ．三、填空题13．如图，正八边形ABCDEFGH ，其外接圆O 半径为1.则___________.OA AB ⋅=1【分析】根据平面向量的基本运算，将转换为有关的表达式计算即可OA AB ⋅ OA OB，【详解】易得的夹角为，再由图可得OA OB ，4π()2,·AB OB OA OA AB OA OB OA OA OB OA =-⋅=-=⋅-. 1111=⨯=-1【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算与数量积运算，属于基础题14．若，，则_________．cos 2α=()sin αβ-=,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭αβ+=【答案】##4π-45- 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，根据()sin 2,cos ααβ-()()cos cos 2αβααβ+=--⎡⎤⎣⎦，由两角和差余弦公式可求得，结合的范围可得结果.()cos αβ+αβ+【详解】，，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭sin 2α∴==又，，，,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭33,42ππαβ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭()cos αβ∴-==()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβααβααβααβ∴+=--=-+-⎡⎤⎣⎦⎛= ⎝，.3,04παβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭4παβ∴+=-故答案为：.4π-15．已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范()2cos 22f x m x x =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 围是______．【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】利用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数后利用正弦函数性质求解．【详解】由已知， 1()22cos 222sin 22026f x x x m x m π⎫⎛⎫=-+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由题意此方程有两个不等实根．sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当时，，，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由得，∴时递减，时，递增，226x ππ-=3x π=0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x [,32x ππ∈()g x ，，，13g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭122g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1(0)2g =作出，的图象，作直线，如图，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦y m =∴当时，它们有两个不同的交点．有两解．112m ≤-<-sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把问题通过方程的根转化为直线与函数图象交点个数，然后利用函数图象得出结论．四、双空题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，a=2，⊙O 为△ABC 的外接圆，6A π=.OP mOB nOC =+（1）若m=n=1，则________.=OP （2）若m ，，则点P 的轨迹所对应图形的面积为________. []0,1n ∈【答案】【分析】（1）若，将两边同时平方，计算得出结果； 1m n ==OP OB OC =+（2）若m ，，讨论点P 的轨迹，得出是菱形，再去求面积即可. []0,1n ∈【详解】∵，，为的外接圆，6A π=2a =O A ABC A ∴，，. 22421sin 2a R R A ===⇒=260BOC A ∠=∠=︒ 2 OB OC ==（1）若，则，1m n ==OP OB OC =+()2222212OP OB OCOB OC OB OC OP =+=++⋅=⇒=（2）若m ，，则点P 的轨迹：[]0,1n ∈当，时，，此时点P 在线段上； 0m =[]0,1n ∈OP nOC =OC 当，时，，此时点P 在线段上；0n =[]0,1m ∈OP mOB =OB 当，时，，构造平行四边形，此时点P 在线段上（如图1m =[]0,1n ∈OP OB nOC =+OBDC BD 1）；当，时，，构造平行四边形，此时，点P 在线段上；1n =[]0,1m ∈OP mOB OC =+OBDC CD 当m ，时，，此时，点P 在菱形内部，（如图3）；()0,1n ∈OP mOB nOC =+OBDC 综上，P点的轨迹为菱形组成的图形区域，则 OBDC .12222sin 602OBC OBCD S S==⨯⨯⨯⨯︒=△菱形五、解答题17．已知单位向量的夹角为，向量，向量.12,e e 23π12a e xe =- 1232b e e =+(1)若∥，求x 的值；a b(2)若，求. a b ⊥a r 【答案】(1)23-【分析】（1）由，可得存在实数，使得，然后将，代入化简可求出x 的值， a b∥λλa b = a b （2）由，可得，再将，代入化简可求出x 的值，从而可求出a b ⊥0a b ⋅= a b a r 【详解】（1）因为，所以存在实数，使得，a b∥λλa b = 即，()1212123232e xe e e e e λλλ-=+=+ 则有，， 13λ=2x λ=-解得；23x =-（2）由，有，a b ⊥0a b ⋅= 即，()()()22121211221323(23)2323202e xe e e e x e e xe x x -⋅+=+-⋅-=---= 解得，4x =故，124a e e =-所以a ===18．已知,设函．())22cos ,1,,2cos ,m x n x x x R =-=∈ ()1f x m n =⋅+(1)求函数的最小正周期；()f x (2)若，且，求的值．7,312ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦8()5f α=cos 2α【答案】(1) π(2)【分析】（1）根据平面向量的数量积坐标公式，以及辅助角公式化简，再根据周期公式求最()f x 小正周期.（2）根据的值计算,再利用和角公式计算.()f απsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 2α【详解】（1）由已知条件得：21()cos 2cos 12cos 222cos 22f x x x x x x x x ⎫=-+=-=-⎪⎪⎭πππ2sin 2cos cos 2sin 2sin 2666x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小正周期 2ππ2T ==（2），又 π8()2sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ π4sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭π7π312α≤≤ππ2π26α∴≤-≤故，进而可得πcos 206α⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭π3cos 265α⎛⎫-==- ⎪⎝⎭ππππππ341cos 2cos 2=cos 2cos sin 2sin 666666552αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+---=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM CN 于.P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅【答案】（1）；（2）. 12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值； x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC =λk的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，APAB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，，因此，； 34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设， 3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即， NP k NC =()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以， 314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB⋅=+-=+⋅- . 221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题. 20．在△ABC 中，，，O 是的外接圆圆心，若AB =2AC =56BAC π∠=ABC A ．AO AB AC λμ=+ (1)求及； AO AB ⋅AO (2)求，．λμ【答案】(1)32AO AB ⋅= (2) 74,2λμ==【分析】（1）如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，取的中点，的中点，连接A AB M AC N ，设，根据O 是的外接圆圆心，可得，则有,OM ON (),O x y ABC A ,OM AB ON AC ⊥⊥，求得点的坐标，再根据向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示即可得解； 00MO AB NO AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩O （2）根据结合向量线性运算的坐标表示列出方程组，解之即可得解.AO AB ACλμ=+【详解】（1）解：如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， A 则，())()0,0,,A BC 取的中点，的中点，连接，AB M AC N ,OM ON 则， 1,2M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭设，则， (),O x y 1,2MO x y NO x y ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(),AB AC ==因为O 是的外接圆圆心， ABC A 所以，,OM AB ON AC ⊥⊥则，解得，0102MO AB x NO AC x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩72x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， )7322AO AB ⎫⋅=⋅=⎪⎪⎭；=（2）解：因为，AO AB AC λμ=+即，，)())7,2λμμ⎫=+=⎪⎪⎭所以，解得.72μ=⎪=⎪⎩472λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩所以. 74,2λμ==21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且ABC ∆BC P B C H BC 满足.已知，，设.CH AB ⊥90ACB ∠=︒1dm AB =ABC θ∠=（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值ABC PCB ∠=∠CA CP +θ时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何60PBA ∠=︒CH CP +θ值时，取得最大值，并求该最大值. CH CP +【答案】（1）（2）当， π6θ=π12θ=CH CP +【解析】（1）设，则在直角中，，，计算得到ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=，计算最值得到答案.2sin sin 1AC CP θθ+=-++（2）计算，得到.sin cos CH θθ=⋅πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则在直角中，，. ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=在直角中，，PBC ∆2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=.sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=，，22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当，即，的最大值为.1sin 2θ=π6θ=AC CP +54（2）在直角中，由，ABC ∆1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅可得. sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅在直角中，，PBC ∆πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭所以，， 1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎭π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-， 11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以当，. π12θ=CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.22．对于函数，若存在定义域中的实数a ，b 满足b ＞a ＞0且，则()f x ()()2()02a bf a f b f +==≠称函数为“M 类”函数．()f x (1)试判断＝sin x ，x ∈R 是否是“M 类”函数，并说明理由；()f x (2)若函数，，n ∈N *为“M 类”函数，求n 的最小值． ()2log 1f x x =-()0,x n ∈【答案】(1)不是M 类函数，理由见解析 (2)7【分析】（1）由题意，假设为“M 类”函数，则存在b ＞a ＞0，使得b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ()f x ＝π+2k π，k ∈Z .后分两种情况求的值，即可导出矛盾； sin a （2）由题可得，由对数运算性质结合可得22211212l og l og l og a ba b +-=-=-4ab =，后由零点存在性定理可得b 范围，由此可得n 的最小值． 24()8b b b+=326480b b b ⇒---=【详解】（1）由题意，假设为M 类函数，则存在b ＞a ＞0，使得sin a ＝sin b ， ()f x 则b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ＝π+2k π，k ∈Z ， 根据题意，有． sin 2sin2a ba +=①当b ＝a +2k π，k ∈Z 时，有 ，k ∈Z ， ()2si n si n πa a k =+即sin a ＝±2sin a ，解得sin a ＝0，不成立；②当b +a ＝π+2k π，k ∈Z 时，有，k ∈Z ，22πsi n si n πa k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即sin a ＝±2，不成立， ∴函数不是M 类函数；()f x （2）由题意，则在单调递减，在单调递增． ()22log 121log 02x x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩，，()f x ()0,2()2,+∞又∵是M 类函数，∴存在0＜a ＜2＜b ，满足， ()f x 22211o 1o 12|log 1|2a bg a g b +-=-=-又由等式可得：，则ab ＝4，()2log 2ab =所以，214(2)2(4)0222a b a a a a+--=+-=>则，所以得， 21o 102a b g +->221o 12(log 1)2a bg b +-=-从而有，则有，即，222log 1log ()2a b b ++=2()24a b b +=24()8b b b +=所以b 4﹣8b 3+8b 2+16＝0，则.()()3226480b b b b ----=由b ＞2，则b 3﹣6b 2﹣4b ﹣8＝0， 令＝x 3﹣6x 2﹣4x ﹣8，()g x 注意到当2＜x ＜6时，＝，()g x ()26480x x x ---<且，且连续不断，()()63207130，g g =-<=>()g x 由零点存在性定理可得存在，使得，此时. ()6,7b ∈()0g b =()0,2a ∈∴n 的最小值为7．【点睛】关键点睛：本题涉及函数新定义，难度较大.（1）先假设满足题意，从而得到相应等量关系，后由等量关系得，从而发现矛盾； ()f x sin a （2）问将求的最小值，转化为求的范围，关键为得到关于的等式.n b b。
上海市重点中学2023学年高一年级3月月考数学试卷附答案(共3套)
上海市重点中学2023学年高一年级3月月考试卷（一）数 学一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________2. 函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．3. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.4. 已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= . 5. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.6. 若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．7. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．8. 若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______． 9. 已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________． 10. 已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.11. 函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________． 12. 给出下列四个命题： ①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <； ②已知点()0,3A，则函数sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；的的是其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13. 下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A. f (x )=│cos 2x │B. f (x )=│sin 2x │C. f (x )=cos│x │D. f (x )= sin│x │14. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A. 3144AB AC -B. 1344AB AC -C 3144+AB ACD. 1344+AB AC15. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（ ） A. 265米B. 279米C. 292米D. 306米16. 已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A. 1()()4y f x g x =+- B. 1()()4y f x g x =-- C. ()()y f x g x =D. ()()g x y f x =三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17. 某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：.sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的答案解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 18. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值； （2）求c 的值．19. 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20. 已知函数()f x 图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度． （1）求函数()f x 的答案解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()fx g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15m αβ-=-．的答案解析一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________ 【答案】35-##0.6- 【答案解析】【要点分析】根据已知直线得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出2cos θ的值，然后根据二倍角余弦公式即可求解．【过程详解】根据题意可知：tan 2θ=，所以22222cos 11cos sin cos tan 15θθθθθ===++， 所以213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=-.故答案为：35-. 2. 函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】2π.【答案解析】【要点分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【过程详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x-,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.3. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________. 【答案】23π【答案解析】要点分析】根据正弦定理到35a b =，75c a =，再利用余弦定理得到1cos 2C =-，得到答案. 【过程详解】3sin 5sin A B =，则35a b =，2b c a +=，故75c a =.根据余弦定理：22222294912525cos 32225a a a abc C ab a a +-+-===-⋅，故23C π=. 故答案为：23π.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.【4. 已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= . 【答案】4π【答案解析】【过程详解】因为直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴， 所以5244T πππ=-=，所以22T ππω==，1ω=，所以()sin()f x x φ=+， 又因为4x π=是()f x 的一条对称轴，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，而0φπ<<，所以4πφ=．5. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 【答案】1 【答案解析】【过程详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+ =()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.考点：本小题主要考查两角和与差三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.6. 若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．【答案】0或2 【答案解析】【要点分析】由题可知a 与b相等或互为相反向量，据此即可求a b + 【过程详解】 向量a 与b 共线，且a b = ，∴a 与b相等或互为相反向量， 当a 与b相等时，22a a b ==+ ， 当a 与b互为相反向量时，0=0a b =+ ．故答案为：0或2．7. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，的12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8 【答案解析】【过程详解】试题要点分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识要点分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.8. 若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______． 【答案】56【答案解析】【要点分析】作出y ＝πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在[－1，1]上的图像，作出符合题意的y ＝x a b --的图像即可求出a 、b ，从而得到答案．【过程详解】设函数y=πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩…，下面要点分析它们的性质，以作出它们的图像.①对函数y=πsin π6x ⎛⎫+⎪⎝⎭， []1,1x ∈-时，π5π7ππ[,666x +∈-， ∴当5πππ066x -+剟或π7πππ66x +剟，即116x --剟或516x 剟时，πsin π06x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…；当π0ππ6x <+<，即1566x -<<时，πsin π06x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭．②对(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩…，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且()f x 的图像关于直线x a =对称.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+⎪⎝⎭…对[]1,1x ∈-恒成立， 则当116x --剟或516x 剟时，0x a b --…；当1566x -<<时，0x a b --…． 为使f (x )满足上述条件，其图像仅能如图所示：15066f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1516623a -+∴==，又5510663f b ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则12b =，115326a b ∴+=+=﹒故答案：56﹒ 9. 已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x的图像为关于直线x ω=对称,则ω的值为________．【答案】2【答案解析】【过程详解】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ422ωω+=⇒=考点:本题主要考查三角函数的性质.10. 已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.【答案解析】【要点分析】先求出周期，从而可得ω，代入38x π=函数值为0，结合已知ϕ的范围，可求得ϕ，最后由(0)1f =可得A ．【过程详解】由题意3()2882T πππ=-⨯=，∴22T ππωπ===， 又3tan(2)08πϕ⨯+=，3()4k k Z πϕπ+=∈，而2πϕ<，∴4πϕ=， (0)tan(20)14f A π=⨯+=，1A =，∴()tan(2)4f x x π=+，∴()tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==．【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．11. 函数2π()4cos cos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________． 【答案】2 【答案解析】【过程详解】因为2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点．考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．12. 给出下列四个命题： ①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =； ③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关； 其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上） 【答案】①③ 【答案解析】【要点分析】根据三角形为锐角三角形，结合三角函数的单调性，可判断①；化简sin y x x =-，结合其图象，可判断②；谈论b 是否为0，要点分析函数的周期情况，判断③. 【过程详解】对于①，在ABC 中，若π2C >，则π2A B +<,故π022A B π<<-<，故sin sin()cos 2A B B π<-=,故①正确；对于②， sin 2cos()6y x x x π=-=+，作出其靠近y 轴部分图象如图示：由图象可知，函数sin y x x =-的图象上不存在点P ，使得1PA =，故②错； 对于③，当0b = 时，211cos cos 222y x c x c =+=++，该函数的周期为π ，与c 无关， 当0b ≠ 时，211cos 2cos cos 22cos 22y x b x c x b x c =++=+++，该函数的周期为2π，与c 无关，故函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关，③正确， 故答案为：①③二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13. 下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A. f (x )=│cos 2x │B. f (x )=│sin 2x │C. f (x )=cos│x │D. f (x )= sin│x │【答案】A 【答案解析】【要点分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【过程详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；14. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A. 3144AB AC -B.1344AB AC -C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【答案】A 【答案解析】【要点分析】要点分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【过程详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.15. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（ ） A. 265米 B. 279米C. 292米D. 306米【答案】C 【答案解析】【要点分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度． 【过程详解】如图所示，△ABC 中，AB ＝1000，∠ACB ＝21°+39°＝60°，∠ABC ＝90°﹣39°＝51°；由正弦定理得，10005160AC sin sin =︒︒，所以AC 10005160sin sin ⋅︒=︒；Rt △ACD 中，∠CAD ＝18°， 所以CD ＝AC •tan 18°10005160sin sin ⋅︒=⨯︒tan 18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米． 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题． 16. 已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A. 1()()4y f x g x =+- B. 1()()4y f x g x =-- C. ()()y f x g x = D. ()()g x y f x =【答案】D 【答案解析】【要点分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【过程详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17. 某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的答案解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(26f x x =-；（Ⅱ）π6．【答案解析】【过程详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表： 且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(26f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x kθ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值； （2）求c 的值． 【答案】（1）3；（2）． 【答案解析】【过程详解】(1)因为a ＝3，b ＝，B ∠＝2A ∠， 所以在△ABC 中，由正弦定理得sin a A＝sin 2A. 所以2sin cos sin A A A＝3.故cos A＝3. (2)由(1)知cos A＝3，所以sin A＝3. 又因为B ∠＝2A ∠，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. 所以sin B＝3. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋ cos Asin B＝9. 所以c ＝sin sin a CA＝5.19. 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）23.3m（2）AE =2255.14m . 【答案解析】【要点分析】（1）作DH EF ⊥，结合三角函数的顶柜表示出EF ，即可求出结果；（2）设ADE θ∠=，结合三角函数的顶柜表示出,AE FH ，然后表示出面积，结合诱导公式以及正切的二倍角公的式进行化简，进而结合不等式即可求出结果. 【小问1过程详解】作DH EF ⊥，垂足为H ，连接DE ，则EF EH HF =+15tan 2015tan 50=+ 23.3m ≈， 【小问2过程详解】设ADE θ∠=，则()15tan ,15tan 902AE FH ==-θθ，2ADEF ADE DFH S S S =+()1121515tan 1515tan 90222=⨯⨯⨯+⨯⨯- θθ15130tan 152tan 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ2151tan 30tan 1522tan ⎛⎫-=+⨯ ⎪⎝⎭θθθ22513tan 4tan ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ， 因为tan 0θ>，所以13tan tan +≥=θθ，当且仅当13tan tan θθ=，即tan 3θ=时，等号成立，此时2ADEF S =，且15tan AE ==θ，所以最大面积为21530255.14m 2⨯-≈. 20. 已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度． （1）求函数()f x 的答案解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）条件下，证明：()22cos 15mαβ-=-．的【答案】（1）()2sin f x x =；对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈（2）( （3）证明见答案解析 【答案解析】【要点分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）由三角函数中的恒等变换应用化简答案解析式可得()())f x g x x ϕ+=+（其中sinϕ=cos ϕ=，从而可求|1<，即可得解．（3）由题意可得sin()αϕ+=sin()βϕ+=．当0m ≤<可得2()αβπβϕ-=-+，当0m <<时，可得32()αβπβϕ-=-+，利用三角函数诱导公式以及倍角公式即可证明结论. 【小问1过程详解】将()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象， 再将2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到2cos()2y x π=-的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈．【小问2过程详解】()()2sin cos ))f xg x x x x x x ϕ+=+=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ= 依题意，sin()x ϕ+=[0，2)π内有两个不同的解α，β，当且仅当|1<，故m 的取值范围是(． 【小问3过程详解】因为α，β)x m ϕ+=在区间[0，2)π内的两个不同的解， 所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当0m ≤<2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当0m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+；所以2222cos()cos 2()2sin ()1115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．上海市重点中学2023学年高一年级3月月考试卷（二）数 学一、填空题1．求值sin75°＝ ．2．把、、按从小到大的顺序排列为 ．3．若x＞0，则的最大值是 ．4．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为 ．5．已知集合M＝{y|y＝x2﹣4x+3，x∈R}，N＝{x|x2﹣4x﹣5≥0，x∈R}，则M∩N＝ ．6．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，若x∈（0，2]时，f（x）＝1﹣|x﹣1|，则x∈[﹣2，0）时，f（x）＝ ． 7．已知，且f﹣1（x﹣1）的图象的对称中心是（0，3），则a＝ ．8．函数f（x）＝lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是 ．9．设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 ．10．已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2022）＝ ． 11．已知α∈（0，2π），若，则角α的取值范围是 ．12．在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是 ．二、选择题13．已知tan110°＝a，求tan50°的值（用a表示），王老师得到的结果是，张老师得到的结果是，对此你的判断是（ ）A．王老师对，张老师错 B．两人都对C．张老师对，王老师错 D．两人都错14．函数的值域是（ ）A．{﹣2，4} B．{﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{﹣4，﹣2，0，4}15．已知函数f（x）＝2x的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）+f﹣1（b）＝4，则的最小值为（ ）A．1 B． C． D．16．下列四个命题，其中是假命题的是（ ）A．不存在无穷多个角α和β，使得sin（α+β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβB．存在这样的角α和β，使得cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβC．对任意角α和β，都有cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβD．不存在这样的角α和β，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ三、过程解答题17．已知集合A＝{x|log2（2x）•log2x≤0}．（1）求集合A；（2）求函数y＝42x+1+4x，x∈A的值域．18．已知sin（3π+θ）＝．（1）求cos2θ的值；（2）求+的值．19．已知锐角α、β满足：sin2α+sin2β＝sin（α+β）．（1）用反证法证明：α+β＝；（2）求sinα+sinβ的取值范围．20．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB＝2米，BC＝0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S＝f （x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．21．（1）请你用新教材课本中的推导方法，证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）上课瞎搞、不认真听讲的某同学将两角和的余弦公式错误地记忆为cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，老师给定了α和β的值，该同学用错误的公式计算cos（α+β）的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的是怎样的α和β的值？（3）有了上次侥幸成功的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然地认为，请问：是否存在某些α和β，可以让该同学能继续“混对”答案？若存在α和β，求出，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．【过程解答】解：sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+cos45°sin30°＝×+×＝故答案为：2．【过程解答】解：∵＜＜，∴＜＜1，＞tan＝， 又1＜＜，∴＜＜．故答案为：＜＜．3．【过程解答】解：因为x＞0，则＝＝，当且仅当x2＝1﹣x2，即x＝时取等号，此时取得最大值．故答案为：．4．【过程解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣1，0），∴由﹣1＜2x﹣1＜0，即，即函数的定义域为（0，），故答案为：（0，）．5．【过程解答】解：M＝{y|y＝（x﹣2）2﹣1}＝{y|y≥﹣1}，N＝{x|x≤﹣1或x≥5}， ∴M∩N＝[5，+∞）∪{﹣1}．故答案为：[5，+∞）∪{﹣1}．6．【过程解答】解：若x∈（﹣2，0），则﹣x∈（0，2），∵x∈（0，2]时，f（x）＝1﹣|x﹣1|，∴当﹣x∈（0，2）时，f（﹣x）＝1﹣|﹣x﹣1|＝1﹣|x+1|，∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）＝|x+1|﹣1，x∈[﹣2，0），故答案为：|x+1|﹣1．7．【过程解答】解：设y＝，则x＝，所以函数f（x）的反函数为f﹣1（x）＝，所以f﹣1（x﹣1）＝＝a+1﹣，其对称中心为（0，a+1），所以由已知可得a+1＝3，则a＝2，故答案为：2．8．【过程解答】解：令t＝x2﹣ax﹣1则y＝lgt∵y＝lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）＝lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t＝x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立 所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤09．【过程解答】解：因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f（x）＝0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣9x﹣+7因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x＝0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2＝6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．10．【过程解答】解：因为函数f（x）满足：，4f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），所以取x＝1，y＝0，得4f（1）f（0）＝f（1）+f（1）＝，所以f（0）＝，取y＝1，有4f（x）f（1）＝f（x+1）+f（x﹣1），即f（x）＝f（x+1）+f（x﹣1），同理：f（x+1）＝f（x+2）+f（x），所以f（x+2）＝﹣f（x﹣1），所以f（x）＝﹣f（x﹣3）＝f（x﹣6）所以函数是周期函数，周期T＝6，故f（2022）＝f（0）＝．故答案为：．11．【过程解答】解：因为＝＝＝，又，且，所以，所以cosα＝0或sinα＜0，又α∈（0，2π），所以角α的取值范围是．故答案为：．12．【过程解答】解：由sin A＝sin（π﹣A）＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，sin A＝2sin B sin C， 可得sin B cos C+cos B sin C＝2sin B sin C，①由三角形ABC为锐角三角形，则cos B＞0，cos C＞0，在①式两侧同时除以cos B cos C可得tan B+tan C＝2tan B tan C，又tan A＝﹣tan（π﹣A）＝﹣tan（B+C）＝﹣②，则tan A tan B tan C＝﹣•tan B tan C，由tan B+tan C＝2tan B tan C可得tan A tan B tan C＝﹣，令tan B tan C＝t，由A，B，C为锐角可得tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，由②式得1﹣tan B tan C＜0，解得t＞1，tan A tan B tan C＝﹣＝﹣，＝（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此当且仅当t＝2时，tan A tan B tan C的最小值为8；另解：由已知条件sin A＝2sin B sin c，sin（B十C）＝2sin B sin C，sin B cos C十cos B sin C＝2sin B sin C，两边同除以cos B cos C，tan B十tan C＝2tan B tan C，∵﹣tan A＝tan（B十C）＝，∴tan A tan B tan C＝tan A十tan B十tan C，∴tan A tan B tan C＝tan A十2tan B tan C≥2，当且仅当tan A＝2tan B tan C＝tan B+tan C时取等号，令tan A tan B tan C＝x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．此时tan A tan B tan C＝8，所以tan B+tan C＝4，tan B tan C＝2，解得tan B＝2+，tan C＝2﹣，tan A＝4，（或tan B，tan C互换），此时A，B，C均为锐角．二、选择题13．【过程解答】解：∵tan50°＝tan（110°﹣60°）＝＝，即王老师对，张老师错误，故选：A．14．【过程解答】解：由题意可知角x为象限角．①当x为第一象限角时，y＝+++＝4；②当x为第二象限角时，y＝﹣﹣﹣＝﹣2；③当x为第三象限角时，y＝﹣﹣++＝0；④当x为第一象限角时，y＝﹣+﹣﹣＝﹣2．∴函数的值域是{﹣2，0，4}．故选：B．15．【过程解答】解：函数y＝2x的反函数是y＝f﹣1（x）＝log2x，所以f﹣1（a）+f﹣1（b）＝4，就是log2a+log2b＝4，可得ab＝16（a，b＞0）≥2＝，（当且仅当a＝b时取等号）故选：B．16．【过程解答】解：A，当α＝β＝2kπ（k∈Z）时，sinα＝sinβ＝0，cosα＝cosβ＝1，sin（α+β）＝0， 所以sin（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故A错误；B，当α＝β＝0时，cos（0+0）＝cos0cos0+sin0sin0＝1正确，故B正确；C，对于任意的α和β，都有cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，这是两角和的余弦公式，显然正确；D，由两角和的正弦公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ可知，不存在这样的α和β值，使得sin（α+β）≠sinαcosβ+cosαsinβ，正确．故选：A．三、过程解答题17．【过程解答】解：（1）由log2（2x）•log2x＝log22x+log2x≤0，得﹣1≤log2x≤0解得∴（2）令4x＝t，则t∈[2，4]y＝g（t）＝4t2+t，对称轴为∴g（t）在[2，4]上单调递增故y min＝g（2）＝18，y max＝g（4）＝68∴y＝42x+1+4x的值域为[18，68]．18．【过程解答】解：由已知sin（3π+θ）＝，所以sinθ＝﹣，（1）cos2θ＝﹣1sin2θ＝1﹣＝；（2）+＝＝＝＝＝32．19．【过程解答】解：（1）证明：sin2α+sin2β＝sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，可得sinα（sinα﹣cosβ）＝sinβ（cosα﹣sinβ），假设α+β≠，即sinα≠cosβ，由锐角α、β，可得sinα＞0，sinβ＞0，cosα＞0，cosβ＞0，如果sinα＞cosβ，则cosα＞sinβ，即有sin2α+cos2α＞cos2β+sin2β，即1＞1，矛盾；如果sinα＜cosβ，则cosα＜sinβ，即有sin2α+cos2α＜cos2β+sin2β，即1＜1，矛盾；故假设不成立，所以α+β＝；（2）由（1）可得sinα+sinβ＝sinα+sin（﹣α）＝sinα+cosα＝sin（α+），由0＜α＜，可得＜α+＜，即有＜sin（α+）≤1，即有1＜sin（α+）≤．则sinα+sinβ的取值范围是（1，]．20．【过程解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM＝EN＝1米，所以MN＝米，所以，即三角通风窗EMN 的通风面积为（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积；当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积综上可得；（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间上单调递减，则f（x）＜f（0）＝；当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．21．【过程解答】解：（1）则单位圆中，设P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），则根据两个向量的数量积公式可得•＝cosαcosβ+sinαsinβ，再根据两个向量的数量积的定义可得•＝||•||•cos|β﹣α|＝cos（α﹣β）∴cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β）成立．（2）由cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，得cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ以及错误公式cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，得cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cosαcosβ+sinαsinβ，得sinαsinβ＝0，即sinα＝0或sinβ＝0，得或；（3）等式的右边＝＝＝﹣＝﹣tan（α+β），等式的左边＝，若等式成立，则＝﹣tan（α+β），得tan2（α+β）＝﹣1，则等式不成立．则不存在和β使等式成立．上海市重点中学2023学年高一年级3月月考试卷（三）数 学一、选择题（本大题满分100分）1. 若cos()2cos()2πααπ+=+，则sin 2α=（ ）A.25 B. 25-C.45D. 45-2. 若sin 23x m =+，且,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围为（ ） A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 51,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 75,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 71,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3. 函数()sin y A x b ωϕ=++在一个周期内的图象如图（其中0A >，0ω>，2πϕ<），则函数的解析式为（ ）A. 12sin 123y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B. 2sin 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C. 12sin 123y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D. 2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4. 已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 在ABC 中，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，且23DB AB =，23AE AC = ，点F 是线段BE 的中点，则DF =（ ）A. 1163AB AC +B. 1163AB AC -C. 1163AB AC -+D. 1163AB AC --6. 已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）A. 2a b +B. 2a b +C. 2a b -D. 2a b -7. 平面向量a 与b的夹角为60︒，1a = ，2b = ，则2a b -= （ ）A.B. 2C. 4D. 128. 已知向量 a ，b 满足||5a = ， ||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （ ）A 3135-B. 1935-C.1735D.19359. 在边长为3的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，2AM MB =，则DM DB ⋅ =（ ） A. 172- B. -1 C.152 D.9210. 已知ABC 中，2AB =，1AC =，1AB AC ⋅=，O 为ABC 所在平面内一点，且满足230OA OB OC ++=，则AO BC ⋅的值为（ ）.A. 4-B. 1-C. 1D. 411. 已知平面向量,,a b c 满足||2,||3,||1a b c === ，()10a b c a b ??+= ，则||a b -的最大值是（ ）A. 1+B. 5C. 1-D.12. 已知函数()211sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间(),2ππ内有零点，则ω的取值范围是( ) A. 155,,484⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ][150,,148⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1155,,8484⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以下均为多选题13. 下列选项正确的是（ ） A. 5sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.7rad 3154π=︒ C. 若α终边上有一点()5,3P -，则3sin 5α=-D. 若一扇形弧长为2，圆心角为90︒，则该扇形面积为2π14. 已知α∈R，sin 2cos 2αα+=，那么tan α的可能值为（ ） A. 3-B. 13-C.13D. 315. 已知函数()sin f x x π=，下列说法正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 最小正周期为2.的的C. 所有整数都是()f x 的零点D. ()f x 在[]0,1上单调递增16. 对于函数()cos 3f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有（ ） A. ()y f x =的图象关于点5,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. ()y f x =的图象过点1,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C. ()y f x =的图象是由()()cos f x x π=的图象向右平移3π个单位长度得到的D. ()y f x =的图象关于直线23x =-对称 17. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若R k ∈，且0kb =，则0k =或0b =B. 若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =C. 若不平行的两个非零向量a ，b，满足a b =r r ，则()()0a b a b +⋅-=D. 若a 与b平行，则a b a b ⋅=⋅18. 在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b =，则下列推导正确的是（ ）A. 若0a b ⋅<，则ABC 是钝角三角形B. 若0a b ⋅=，则ABC 是直角三角形 C. 若a b b c ⋅=⋅r r r r，则ABC 是等腰三角形D. 若a b c =-，则ABC 是直角三角形19. 点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A. 若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心．B. 若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC 的内心． C. 若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 是ABC 的外心．D. 若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC 的垂心．20. 在平行四边形ABCD 中，若11,22AE AB AF AD ==，则（ ）A. 12EF BD =B. 0AD CD BE ++=C. 220AC DF BE ++=D. 若22,2AC BF AB AD BC CD ⊥⋅=-的21. ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且2a =，AB AC ⋅=，下列选项正确的是（ ） A. 3A π=B. 若3b =，则ABC 有两解C. 若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是D. 若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+22. 如图，在直角三角形ABC 中，90,A AB AC ===P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则（ ）A. 点P 所在圆的半径为2B. 点P 所在圆的半径为1C. PB PC ⋅ 的最大值为14D. PB PC ⋅的最大值为1623. 在ABC 中，3AB AC ⋅=uu u r uuu r，BC = ，其中D ，E 均为边BC 上的点，分别满足：BD DC = ，AE AC AE AB AC AB⋅⋅= ，则下列说法正确的是（ ） A. AD为定值3B. ABC 面积的最大值为C. AE uu u r的取值范围是(]1,3D. 若F 为AC 中点，则BF24. 三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点O 在ABC 内部，用A S 、B S 、C S 分别代表OBC △、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，现在假设锐角三角形顶点A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，H 为其垂心，O 为三角形外心，HA 、HB、HC 的单位向量分别为1e 、2e 、3e ．则下列命题正确的有（ ）A. 至少存在2022个三角形，使1230e e e ++=成立B. 存在三角形，使2022OA OB OC OH ++=C. 对任意锐角三角形均有1230ae be ce ++=成立D. 存在锐角三角形使得123ae be ce AB ++=25. 已知()()212cos 03f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则下列判断中，错误的是（ ） A 若()11f x =，()21f x =-，且12minx x π-=，则2ω=B. 存在()0,2ω∈，使得()f x 的图像右移6π个单位长度后得到的图像关于y 轴对称C. 若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.参考答案一、选择题（本大题满分100分）1. 若cos()2cos()2πααπ+=+，则sin 2α=（ ）A.25 B. 25-C.45D. 45-【答案】C【要点分析】利用诱导公式化简已知条件，可求得tan α的值，再将所求sin 2α利用二倍角正弦公式展开，然后借助平方关系将其转化为分式齐次式，最后利用商数关系化简即可求解. 【详解】解：∵cos()2cos()2πααπ+=+，∴sin 2cos αα-=-， ∴sin tan 2cos ααα==， ∴2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++， 故选：C.2. 若sin 23x m =+，且,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围为（ ） A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 51,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 75,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 71,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【要点分析】先由,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出sin x 的范围，即可得23m +的范围，从而可得m 的取值范围 【详解】因为,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以11sin 22x -≤≤，因sin 23x m =+，所以112322m -≤+≤， 解得7544m -≤≤-， 故选：C3. 函数()sin y A x b ωϕ=++在一个周期内的图象如图（其中0A >，0ω>，2πϕ<），则函数的解析式为（ ）为A. 12sin 123y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B. 2sin 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C. 12sin 123y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D. 2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】B【要点分析】结合五点法求解析式． 【详解】由图象，3(1)22A --==，3(1)12b +-==， 2236T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，22πωπ==．22sin(2)113πϕ⨯++=，4,3k k Z πϕπ+=∈，又2πϕ<，所以3πϕ=-，故选：B.4. 已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【要点分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b = 时，0a b -= ，∴()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r ,∴成立，∴是a b = 的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件。
山东省青岛市高一下学期3月月考数学试题(解析版)
高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在矩形，则向量的长度等于（ ）ABCD AB AD AC ++A ．4B ．C ．3D ．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长2AB AD AC AC ++=AC 度，进而可求模长.【详解】在矩形可得,又因为,故ABCD 2AC = =C AB A A D +，故， 2AB AD AC AC ++==4AB AD AC ++ 故选:A2．（ ） sin 70sin 40sin 50cos110︒︒-︒︒=A ．B ．C D ．1212-【答案】C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】；sin 50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；cos110cos(18070)cos 70︒=︒-︒=-︒原式∴sin 70sin 40cos 40cos 70︒︒+︒︒=()cos 7040cos30=︒-︒=︒=故选：C3．若向量与向量的夹角为，，，则（ ）a b 604b = ()()2372a b a b +⋅-=- a = A ．12 B ．6 C ．4 D ．2【答案】B【分析】将等式展开，将夹角和模代入求解即可.【详解】解：因为()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ，24cos 6061672a a =--⨯=-解得（舍），或，所以.4a =- 6a = 6a =4．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） ()cos f x x x =-A ．B ．C ．D ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π6f x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由辅助角公式化简，结合选项代入，由奇偶性的定义即可求解.π()=2sin 6f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】因为，π()cos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以为非奇非偶函数，故A 错误；πππ2sin 336f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故B 正确；ππππ2sin 2sin 2cos 3362f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为奇函数，故C 错误；πππ2sin 2sin 666f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为非奇非偶函数，故D 错误；πππ2sin 666f x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选:B5．已知的结果是（ ）0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A B ．CD ．αααα【答案】B【分析】由倍角公式化简即可.【详解】.0,,cos sin 0π4ααα⎛⎫∈∴>> ⎪⎝⎭=sin )ααααα==-=故选：B6．已知，则（ ）π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 2cos 26αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．23-2379-79【答案】D【分析】利用和差角正弦公式、诱导公式及倍角余弦公式即可求值.【详解】π1πππsin 2cos 22cos 2sin(2)cos[(2)]62626αααααα⎛⎫-++=+=-+ ⎪⎝⎭.2πππ7cos(2)cos(2)12sin ()3369ααα=-=-=--=7．在中，已知，且，则是（ ）ABC ||||AB AC AB AC +=-sin 2sin cos A B C =ABC A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】C【分析】由两边平方得，由化简得，得||||AB AC AB AC +=- AB AC ⊥sin 2sin cos A B C =B C =为等腰直角三角形.ABC 【详解】由得，所以，所以，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC ⊥ 所以为直角三角形；ABC 由得，sin 2sin cos A B C =()()sin πsin 2sin cos B C B C B C --=+=所以 ，所以， sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C sin cos cos sin 0B C B C -=即，因为，所以，所以为等腰三角形； ()sin 0B C -=π<πB C --<0B C -=ABC 综上，为等腰直角三角形. ABC 故选：C8．如图，中，，CD 与BE 交于F ，设，则ABC 2,3AD DB AE EC ==,,AB a AC b AF xa yb ===+ 为（ ）(),xyA ．B ．C ．D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭33,77⎛⎫ ⎪⎝⎭29,520⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出，从而得到关于的方程AF,λμ组，解之即可得解.【详解】，2,3AD DB AE EC ==()AF AB BF AB BE AB AE AB λλ∴=+=+=+- ，33(1)44AB AC AB AB AC λλλ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭同理：()AF AC CF AC CD AC AD AC μμ=+=+=+-，22(1)33AC AB AC AB AC μμμ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的，AF所以，解得，213314λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，即为. 1132AF AB AC =+ (),x y 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．向量共线的充要条件是存在实数，使得成立,a b λb a λ=B ．对任意向量，恒成立,a ba b a b -≤- C ．非零向量，满足，，则,,a b c //a b r r //b c//a c D ．在中，为边上一点，且，则 OAB C AB :2:3AC CB =3255OC OA OB =+【答案】CD【分析】根据共线向量基本定理、三角形三边关系可知AB 错误，C 正确；利用平面向量线性运算法则可知D 正确.【详解】对于A ，若，，则共线，但不存在实数，使得，A 错误；0a = 0b ≠r r ,a b λb a λ=对于B ，若不共线，则构成三角形，则，B 错误；,a b,,a b a b - a b a b -<- 对于C ，为非零向量，当时，；当时，， ,,a b c ∴//a b r r()a b R λλ=∈ //b c ()b c R μμ=∈ ，则，C 正确；()a c λμ∴= //a c对于D ，，，:2:3AC CB = 25AC AB ∴=，D 正确.()22325555OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ∴=+=+=+-=+故选：CD.10．若向量满足 ）,a b ||||2,||a b a b ==+=A ．B ．与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C ．D ．在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b12b r 【答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂2a b ×=a b 直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正确； 21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅ 0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故Da b -b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b b a b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅不正确. 故选：BC.11．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下时，d 为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间t （单位：s ）之间的关系为，则（ ）()ππsin 0,0,22d A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭A ．B ． 4A =π30ω=C ．D ．cos ϕ=2.5b =【答案】ACD【分析】根据实际含义分别求的值即可，再根据可求得,进而判断各个选项即,,A b ω0,0t d ==sin ϕ可.【详解】振幅A 即为半径，∴；∵筒车按逆时针方向每分钟转2圈，∴； 4A =22ππ6015ω⨯==；∵，d ＝0，∴，()max min 4 2.5 2.54 2.522d d b ++-+===0=t 04sin 2.5ϕ=+∴，∵，∴2.55sin 48ϕ=-=-ππ22ϕ-<<cos ϕ==故选:ACD.12．关于函数，下列结论正确的是（ ）()2ππ22sin 612f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．函数的最大值是()f x 2B ．函数在上单调递增()f x π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 ()f x 2sin 21y x =+π6D ．若方程在区间有两个实根，则 ()0f x m -=π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)1,3m ∈【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的()f x ()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最值可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；利用三角函数图象变换可判断C 选项；数型结合可判断D 选项.【详解】()2ππππ22sin 2cos 2161266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.π1ππ22cos 212sin 216263x x x ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦对于A ：函数的最大值是，A 选项错误；()f x 3对于B ：时，，是正弦函数的递增区间，故B 选项正确；π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ2,322x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ：函数的图象向右平移个单位得到函数2sin 21y x =+π6的图象，ππ2sin 212sin 2163y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即函数的图象，C 选项正确； ()f x 对于D ：当时，，令，则， ππ122x ≤≤ππ2π2633x -≤-≤π23t x =-π2π63t -≤≤由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：y m =2sin 1y t =+π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，，2π3t=2π2sin113y =+=时，直线与函数在上的图象有两个交点，13m ≤<y m =2sin 1y t =+π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因此，实数的取值范围是，D 对. m )1,3故选：BCD.三、填空题13．设，是不共线向量，与共线，则实数为__________． 1e 2e 124e e -12ke e + k 【答案】##14-0.25-【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数的值.k 【详解】因为，是不共线向量，与共线，1e 2e 124e e -12ke e + 所以存在实数使得，所以， λ()12124e e ke e λ=-+ 41k λλ=⎧⎨-=⎩解得：. 1414k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：14-14．已知为锐角，，则__________． α11sin α=α=【答案】50︒【分析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范11sin 50=︒sin sin 50α=︒α围即可得解. 【详解】因为2sin(8060)2sin1401sin 802sin 40cos 40︒+︒︒===︒︒︒，sin 40111sin 40cos 40cos 40sin 50sin α︒====︒︒︒︒所以， sin sin 50α=︒又因为为锐角， α所以. 50α=︒故答案为：50︒15．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第个月从事旅游n 服务工作的人数可以近似用函数来表示(其中.当()f n ()π2π3000cos 400063n f n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1212)n =⋯，，，该旅游区从事旅游服务工作的人数在或以上时，该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”，55005500那么该地区一年中进入“旅游旺季”的月份有____个. 【答案】5【分析】令，解出的范围即可得出.π2π3000cos 4000550063n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭n 【详解】令，π2π3000cos 4000550063n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭则，π2π1cos 632n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭则， ππ2ππ2π2π,Z 3633n k k k -+≤+≤+∈解得，612212,Z k n k k -+≤≤-+∈，，112n ≤≤ 610n ∴≤≤是正整数，共5个.n Q 6,7,8,9,10n ∴=故答案为:5.四、双空题16．在等腰梯形中，已知，，，，点和点分别在线ABCD AB DC 2AB =1BC =60ABC ∠=︒E F 段和上，且，，则______.______.BC CD 23BE BC = 16DF DC = BC CD ⋅= ⋅=AE AF 【答案】##120.52918【分析】利用等腰梯形的几何性质求得的长，根据向量的线性运算结合数量积定义即可求得CD 的值；根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得的值. BC CD ⋅ AE AF ⋅【详解】如图，等腰梯形中，已知，，，， ABCD AB DC 2AB =1BC =60ABC ∠=︒则，则，120BCD ∠=︒221cos 601CD =-⨯⨯=则， 11||||cos(180)1122BC CD BC CD BCD ⋅=-∠=⨯⨯= 又21,,36BE BC DF DC == 延长交于P ，则,则，,AD BC 60APC ∠=︒60BC AD 〈⋅〉=所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+21()()36AB BC AD DC =+⋅+12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =⋅+⋅+⋅+⋅122121cos 6021cos 011cos 6011cos1206336︒︒︒=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ ，111291331818=++-=故答案为：129;218五、解答题17．已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3(1)求；a b + (2)当为何值时，？ k ()()2a b ka b +⊥-【答案】(1)(2) 7k =-【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果. ()()20a b ka b +⋅-=【详解】（1）， 2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= a b ∴+= （2）由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18．如图矩形ABCD ，，，AC 与EF 交于点N ．2DE EC = 2BF FC =(1)若，求的值； CN AB AD λμ=+λμ+(2)设，，试用，表示．AE a = AF b = a bAC 【答案】(1)13λμ+=-(2)3355AC a b =+【分析】（1）利用共线定理转化为，再根据平行四边形性质与，(1)CN t CE tCF =-+ 2DE EC =得出，利用待定系数即可求解； 2BF FC = (1)(1),33t t t CE AB tCF AD --=-=-13λμ+=-（2）根据，，与即可求解.AC AB AD =+ 23AE AB AD =+ 23AF AB AD =+ AC AB AD =+【详解】（1）依题意，()CN CE EN CE tEF CE t CF CE =+=+=+-(1)t CE tCF=-+ (1)33t t AB AD -=--又，所以解得．CN AB AD λμ=+ 1,3,3t t λμ-⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13λμ+=-（2）因为，，AC AB AD =+ 23AE AB AD =+23AF AB AD =+ 所以，所以．55()33AF AE AB AD AC +=+= 3355AC a b =+19．已知， sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1)求和的值tan αsin2α;(2)若，，求的大小． πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，αβ+【答案】(1)，； tan 3α=3sin 25α=(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值； tan 3α=22tan sin2tan 1ααα=+（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合sin 2cos tan 2βββ=⇒=()tan αβ+范围即可.αβ+【详解】（1）， ()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２； 2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++（2）， πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭， ()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--∵，∴. ()0,παβ+∈3π4αβ+=20．已知.()()1,0,2,1a b == (1)当为何值时，与共线？k ka b - 3a b + (2)若且三点共线，求的值.23,,3AB a b BC a mb CD a b =+=+=- ,,A C D m 【答案】(1) 13-(2)．12-【分析】（1）由平行的坐标运算计算；（2）由向量共线求解．【详解】（1）由已知，，(2,1)ka b k -=-- 3(7,3)a b += 与共线，则，； ka b - 3a b + 3(2)70k -+=13k =-（2）由已知，3(3)AC AB BC a m b =+=++ (92,3)m m =++三点共线，则共线，而不共线，,,A C D ,AC CD ,a b 3(5,3)CD a b =-=-- 所以，解得．3(92)5(3)m m -+=-+12=-m 21．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；()f x (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函()f x π6数的图像，求的对称轴和对称中心；()y g x =()g x (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)，；， ππ2x k =+()k ∈Z ()π,0k ()k ∈Z(3)()2【分析】（1）根据图象求得参数，即得函数解析式，结合正弦函数性质求得该函数的单调递,,A ωϕ增区间；（2）根据三角函数的图象的变换规律可得的表达式，即可求得其对称轴和对称中心； ()y g x =（3）求出的范围，将在上恒成立转化为最值问题，即可求得参数范围. ()g x ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图象可知，，且，解得， 2A =1152π2πππ1212T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为，所以， 55π2sin π2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5ππ2πZ 62k k ϕ+=+∈则，因为，所以， ()π2πZ 3k k ϕ=-∈π2ϕ<π3ϕ=-所以， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由得， ()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈π5πππ1212k x k -≤≤+所以函数单调递增区间为. ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）可知，， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位，， ()f x π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则()g x ，对称轴为，，对称中心为，. ()2sin g x x =ππ2x k =+()k ∈Z ()π,0k ()k ∈Z（3）因为， ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦sin 1x ≤≤()2g x ≤≤因为在上恒成立， ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以在时恒成立，()()22g x m g x -<<+()2g x ⎤∈⎦所以，222m -<+所以实数的取值范围为.m ()2+22．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇MON 2π240,,3ON MON MON ∠∠==P A 形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平PM A OP B ,A B OP 行线，交于点.,OM ON ,D C(1)若，求； π3AOB ∠=AD (2)求四边形的面积的最大值.ABCD【答案】(1)(2)【分析】（1）记与的交点分别为，，求得,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=，进而得cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===可得结果；AD EF OE OF ==-（2）设，仿照（1）的思路，求得，，AOP x ∠=240cos ,240sin OE x AE x ==2480sin AB AE x ==，从而得的表达式，利用三角恒等变换化简，利用三角函数240cos AD x x =-=⋅S AB AD 的性质求得最大值.【详解】（1）连接，记与的交点分别为，， ,OA OB ,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=故，cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===AD EF OE OF ==-==（2）连接，记与的交点分别为，,OA OB ,AB DC OP ,E F 设， ,0,π3AOP x x ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则，，cos 240cos ,sin 240sin OE OA AOP x AE OA AOP x =∠==∠=2480sin AB AE x ==， tan t π33πan DF AE OF x ===，240cos AD EF OE OF x x ==-=-所以四边形的面积 ABCD ()480sin 240cos S AB AD x x x =⋅=-)211cos sin 2cos 222x x x x x ⎫=-=+-⎪⎪⎭1sin 262πx ⎤⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎦因为，， π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭526πππ,66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当，即时，π22π=6x +π6x =max S =。
山东省重点高中高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题 1．的值为（ ） 7πsin 3A ．B ．C D ．1212-【答案】C【分析】由诱导公式进行求解.【详解】7πππsin sin 2πsin 333⎛⎫=+== ⎪⎝⎭故选：C2．“角是第三象限角”是“”的（ ）． αsin tan 0αα⋅<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可. 【详解】当角是第三象限角时，α，，sin 0α<tan 0α>于是， sin tan 0αα⋅<所以充分性成立；当，即时，2sin sin tan 0cos αααα⋅=<cos 0α<角是第二或第三象限角， α所以必要性不成立， 故选：A ．3．为了得到函数的图像，只需把的图像上的所有点（ ）()1sin 212y x =-1sin 22y x =A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 1212C ．向左平移1个单位 D ．向右平移1个单位【答案】B【分析】由即可比较判断.()111sin 21sin 2222x x ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】，故只需把的图像上的所有点向右平移个()111sin 21sin 2222y x x ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1sin 22y x =12单位.故选：B4．函数图象的一个对称中心是（ ）()πtan 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,0【答案】C【分析】利用整体法列式得，求解并对赋值，即可得答案. ()ππ2Z 42k x k -=∈k 【详解】利用整体法得，， ()ππ2Z 42k x k -=∈解得，令，，()ππZ 84k x k =+∈1k =-π8x =-令，， 0k =π8x =所以函数的对称中心有，.()πtan 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭π,08⎛⎫⎪⎝⎭故选：C5．函数的最小正周期是（ ）()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ． B ．C ．D ．2ππ2π4π【答案】B【分析】根据余弦型函数的周期公式，可得答案.【详解】由函数，则其最小正周期. ()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22T ππ==-故选：B. 6．已知，则（ ） 4sin 5α=πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-35-3545【答案】A【分析】根据诱导公式可求出结果.【详解】.πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 5α-=-故选：A7．函数在上的最小值为（ ）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭30,4π⎡⎤⎢⎣⎦A ．－1B ．C ．D ．12-【答案】B【分析】根据正弦型三角函数在区间上的最值的求解方法得出答案.【详解】当时，，30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦42,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦则当时，， 30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦min 4()sin sin 33f x ππ-===故选：B.8．已知扇形的半径为2，圆心角为，则扇形的弧长是（ ） 45 A ．45 B ．C ．D ．90π42π【答案】C【分析】由弧长公式求解即可. 【详解】因为圆心角的弧度数为，所以扇形的弧长是. π4ππ242⨯=故选：C9．已知角终边经过点，且，则的值为（ ）α(),3P x -3tan 4α=-sin αA ．B ．C ．D ． 45±35±45-35-【答案】D【分析】利用三角函数的定义求得正确答案. 【详解】， 33tan ,44x x α-==-=所以.3sin 5α==-故选：D10．已知，则（ ）tan 3α=-sin 2cos sin cos αααα+=-A ．B ．C ．D ．521454-72-【答案】B【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案. 【详解】由题意，可知， tan 3α=-cos 0α≠则，sin 2cos tan 2321sin cos tan 1314αααααα++-+===----故选：B11．将函数的图象先向左平移，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π4所得图象对应的函数解析式为（ ）A ．B ．()π2sin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π2sin 12g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据三角函数图象的平移变换规律即可求解.【详解】将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π4；ππ2sin 24π2s n 3i 26y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣+⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则．()1ππ2sin 22sin 266g x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：.D 12．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ） (),1P m α1sin 3α=m A ．2 B ．C ．或2D ．--【答案】D【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】解：因为点是角终边上的一点，且，(),1P m α1sin 3α=所以，解得或1sin 3α==m =m =-故选：D二、填空题13．已知角终边上一点，则__________．α34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 2=α【答案】##725-0.28-【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为为角终边上一点,34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭α所以， 4sin 5==-α所以.2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：. 725-14．已知函数（，，）的部分图象如图，则______． ()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】0【分析】根据图象求得的解析式，然后求得.()f x π3f ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】由图可知，，， 2A =35ππ3π2π,π,246124T T ωω=-====，()()ππ2sin 2,2sin 2126f x x f ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于，所以，ππππ2π,22363ϕϕ-<<-<+<πππ,623ϕϕ+==所以，. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin π03f⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：015．______. sin80cos40cos80sin40︒︒=+︒︒【分析】根据两角和的正弦公式即可求值． 【详解】由正弦的两角和公式逆运算可得sin 80cos 40cos80sin 40︒︒︒︒+=sin(8040)sin120︒︒︒+==16．若点P (3，y )是角终边上一点，且，则y 的值是____________. α2sin 3=-a【答案】【分析】利用三角函数值的定义，即可求解.【详解】，解得s 32in α==-y =故答案为：三、解答题17．已知． ()sin f x x x =(1)求的周期，最大值和最小值． ()f x (2)把的图象向左平移后得到的图象，求的解析式． ()f x π3()y g x =()y g x =【答案】(1)周期为，最大值为2，最小值为； 2π2-(2). ()2sin g x x =【分析】（1）由两角差的正弦公式可得，根据正弦函数的性质即可求解；()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据正弦函数的图象变换即可求解.【详解】（1），()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴的周期为，最大值为2，最小值为.()f x 2π2-（2）把的图象左移后得.()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3()ππ2sin 2sin 33g x x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭18．已知函数的最小正周期为.1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈π(1)求的单调递减区间；()f x (2)求在区间上的最大值与最小值.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)在区间.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-【分析】（1）根据周期可以求出，进而求出的单调递减区间；2ω=()f x （2）根据求出，进而求出在区间上的最大值与最小值.π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可得，则， 2πT==πω2ω=则，1π()sin(223f x x =-所以的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈解得， 5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：. ()f x 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，1π()sin(2)23f x x =-因为，则，π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以，π1sin(232x ⎡-∈-⎢⎣则，1()4f x ⎡∈-⎢⎣所以在区间.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-19．平面直角坐标系中，若角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点 (1,2)P -(1)求sinα和tanα的值(2)若，化简并求值 ()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-【答案】(1) sin α=tan 2α=-(2) ()sin 2cos ,4sin cos af αααα-=+【分析】（1）根据三角函数的定义计算；（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算． 【详解】（1）∵； OP =sin α=tan 2α=-（2）∵， ()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-sin cos 2cos sin 2cos cos sin cos sin cos αααααααααα--==++∴.()tan 2224tan 11f ααα---===+-20．已知函数()π2sin 2,R 4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)求的最大值及对应的的集合； ()f x x (2)求在上的单调递增区间；()f x []0,π【答案】(1)，此时的集合为 ()max 2f x =x 3π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2). 3π7π0,,,π88⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案.【详解】（1）解：当，即时， ππ2242π+x k -=3ππ,Z 8x k k =+∈，所以，此时的集合为； ()max 2f x =()max 2f x =x 3π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）令，πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤-≤+∈则， π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈又因，所以在上的单调递增区间为.[]0,πx ∈()f x []0,π3π7π0,,,π88⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦21．已知.()()()()3πsin πcos 2πsin 27πcos πcos 2f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若α是第三象限角，且，求.3π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f α【答案】(1) ()cosf αα=-【分析】（1）根据诱导公式求解即可. （2）根据求解即可.3π3cos cos π44αα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】（1）.()()()sin cos cos ()cos cos sin f ααααααα⋅⋅-==--⋅-（2）因为，， 3π2ππ2π2k k α+<<+Z k ∈所以，. π3π32ππ2π444k k α+<-<+Z k ∈又因为，所以.3π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭3π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以3π33π33π3cos cos πcos cos πsin sin π444444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3455⎛=⨯-= ⎝()f α=22．已知．()2cos 2sin f x x x x =-(1)求函数在上的严格增区间；()y f x =ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，待到函数的()y f x =()0m m >()y g x =图像，若函数的图像关于点对称，求的最小值．()y g x =π,3P n ⎛⎫⎪⎝⎭m n +【答案】(1)ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2) π12【分析】（1）利用三角函数恒等变化得到，利用整体法求解出函数的单调()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭递增区间，得到答案；（2）先求出的解析式，得到，由对称性得到，得到的最小值，求()g x 0n =5ππ,Z 122k m k =-+∈m 出答案.【详解】（1），()2πcos 2sin 2cos 212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=-=+=-+- ⎪⎝⎭因为，所以，ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，所以，sin y z =ππ,62z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2,662x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦解得：，ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故函数在上的严格增区间为；()y f x =ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2），()π2sin 226g x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的图像关于点对称，故，()y g x =π,3P n ⎛⎫⎪⎝⎭0n =，π5π2sin 222sin 206π36m m ⎛⎫⎛⎫⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，解得：，5π2π,Z 6m k k +=∈5ππ,Z 122k m k =-+∈因为，所以当时，取得最小值， 0m >1k =π12m =故的最小值为. m n +π12。
高一3月第一次月考数学试题(解析版)
【答案】（1） 或 （2） 的最大值为 此时
【解析】
【分析】（1）利用向量共线得到三角方程转化为三角函数求值问题易解；
（2）把数量积转化为三角函数利用角的范围结合单调性即可得到最大值．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∴cosx＝0或
即cosx＝0 或tanx
对于D选项：
所以点 满足方程 如下图所示：点
设 的方程为： 所以 与 夹角即为射线 与 的夹角
当 分别 相切时得到夹角的最小值和最大值即夹角的范围.
则 可得 设 与 夹角为
则 解得
所以 的取值范围为 故D不正确.
故选：AC.
第Ⅱ卷非选择题
三填空题（本题共5小题共20分）
13.在 中若 则 ______________
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）先表示出 和 用分离参数法把m分离出来利用函数求最值求出m的范围；
（2）先把 表示出来利用换元法转化为 在 上有解利用分离参数法求出t的范围.
【详解】解：
．
设
．
即实数 的取值范围是
设
．
取
设 易知 在 上单增
∴实数 的取值范围 ．
【点睛】（1）分离参数法是求参数范围的常用方法之一；
小问2详解】
解：由（1）得 又
所以 所以
因为 所以 所以 .
因为 所以
所以
.
21. 的角ABC的对边分别为abc已知 .
（1）求角A；
（2）从三个条件：① ；② ；③ 的面积为 中任选一个作为已知条件求 周长的取值范围.
【答案】（1） ；（2）答案不唯一具体见解析.
福建省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题 1．若是纯虚数，则a ＝（ ） ()3i3ia a +∈+R A ．－1 B ．1 C ．－9 D ．9【答案】A【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可. 【详解】, ()()()()()3i 3i 93i 33i 3i 3i 3i 1010a a a a +--++==+++-因为是纯虚数，故，得，3i 3i a ++()330109010a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩1a =-故选：A.2．下列命题中正确的是（ ） A ．单位向量都相等 B ．相等向量一定是共线向量 C ．若，则 D ．任意向量的模都是正数//,//a b b c//a c 【答案】B【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得. 【详解】对于A ，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A 错误； 对于B ，相等向量一定是共线向量，故B 正确；对于C ，若，，而与不一定平行，故C 错误； 0b = //,//a b b ca c 对于D ，零向量的模长是，故D 错误． 0故选：B.3．已知平面向量满足与的夹角为（ ） ,ab2,1,a b b a -== b A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】利用平方的方法化简与的夹角. ||a b -= a b【详解】设与的夹角为，abθ由，||a b -= 2223a a b b -⋅+= 即， 14221cos 13,cos 2θθ-⨯⨯⨯+==由于，所以. 0πθ≤≤π3θ=故选：C4．等边的边长为3，若，，则（ ） ABC 2AD DC = BF FD =AF = AB CD【答案】A【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求BC O 1,4AF ⎛=- ⎝ 解.【详解】如图，取中点，建立直角坐标系，则， BC O 33,,0,,022A B C ⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝由，若，则，2AD DC =(,)D x y 223(,(1,332AD AC ==⨯= 所以得：， (,(1,x y =D ⎛⎝由，若，则， BF FD = (,)F m n 1155((2224BF BD ==⨯= 所以得：，35(,)(24m n +=14F ⎛- ⎝所以，故1,4AF ⎛=- ⎝ AF == 故选：A 5．函数的大致图象是（ ） 3sin ||x xy x -=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解. B,D C 【详解】函数的定义域为， 3sin ()xx xy f x -==(,0)(0,)-∞+∞ 且，3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项， ()f x B,D 只需研究的图象，当时，，则，排除选项. 0x >π6x =πππ33sin 06662-=-<π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C 故选：．A 6．若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（ ） z 12z -≤z A ．B ．C ．D ．π2π3π4π【答案】D【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其z 面积.【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，， z 4πS =故选：D.7．以下命题中，正确的是（ ）A ．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B ．如果a +b i=c +d i ，那么a =c ，b =dC ．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D ．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 【答案】D【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答.【详解】A ：，当时,不是纯虚数，故A 错误； ()()i i 2i a b a b b +--=0b =2i b B ：如果a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a 、b 、c 、d ∈R 时，a ＝c ，b ＝d ，故B 错误； C ：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C 错误； D ：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D 正确. 故选：D.8．定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下W (,)a m n =(,)b p q = a b mq np =- 面说法错误的是( )A ．若与共线，则B ．a b0a b = a b b a = C ．对任意的，有D ．R λ∈()()a b a b =λλ2222()()||||a b a b a b +⋅= 【答案】B【分析】根据运算“”的定义，结合向量数量积以及共线的坐标运算即可逐一选项检验. W 【详解】若与共线，则有，故A 正确；a b0a b mq np =-= 因为，而，所以有，故B 错误，b a pn qm =- a b mq np =- a b b a ≠而，故，C 正()(,),()=,a m n a b mq np mq np =∴=-- λλλλλλλ()()=a b mq np - λλ()()a b a b =λλ确，()()()()2222222222222222()()a b a b mq np mp nq m q n q n m pm n q p q +⋅==+++-++++= ，故，D 正确，()()222222=||||m n b q a p++ 2222()()||||a b a b a b +⋅= 故选：B ．二、多选题9．下列各式中正确的是（ ）A ．B ．3ππtan tan 55>tan2tan3<C ．D ．17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A ，B ，利用诱导公式结合正余弦函数的性质可判断C ，D. 【详解】对于A ，，A 错误; 3π2π2ππtan tan(πtan 0tan 5555=-=-<<对于B ，，由于函数在上单调递增， π23π2<<<tan y x =π(,π)2故，B 正确； tan2tan3<对于C ，， 17π17πππcos(cos cos(4πcos 4444-==+==，故，C 正确；23π3π3πcos()cos(4π+cos 0555-==<17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D,函数在上是增函数，而，sin y x =ππ[,]22-ππ1018-<-所以，D 不正确；ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC10．已知向量，则下列命题正确的是（ ）)()()(),cos ,sin 0π,1,0a b c θθθ==≤≤=A ．的最大值为2a b ⋅B ．存在，使得θa b ab +=- C ．向量是与共线的单位向量 13e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ a D ．在 a c【答案】ABD【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断；B.利用数量积公式，可得，即可求解； 0a b ⋅=θC.根据模的公式，计算，即可判断；eD.根据投影向量公式，即可计算求值.【详解】对于选项，，A πsin 2sin 3a b θθθ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭ 当，即时取最大值2，故A 正确；ππ32θ+=π6θ=对于B 选项，要使，则， a b a b +=- 0ab ⋅= 则，因为，所以，故存在，使得，故B 正确；tan θ=0πθ≤≤2π3θ=θa b a b +=- 对于C 选项，因为， 1e =≠ 所以向量不是单位向量，故C 错误；e对于选项，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D 正确. D ()1,0c = a c ||a c c c ⋅⋅=故选：.ABD 11．已知锐角三角形中，设，则下列判断正确的是（ ） ABC tan tan a A B =()log a f x x =A ． B ．sin cos A B >1a >C ．D ． sin sin 2cos cos A BB A+>(cos )(sin )f A f B >【答案】ABC【分析】根据锐角三角形分析角的范围与关系，并利用诱导公式，以及对数函数的单调性，即可判断正误.【详解】解：因为三角形为锐角三角形，所以，则， ABC 2A B π+>ππ022A B >>->所以，A 选项正确； sin sin cos 0π2A BB ⎛⎫>-=> ⎪⎝⎭同理，则，， sin cos 0B A >>sin 1cos A B >1co sin s BA >因此，，B ，C 选项正确； sin sin tan tan 1cos cos A B A B B A =⋅>sin sin 2cos cos A BB A+>由于，所以在是增函数，1a >()log a f x x =(0,)+∞又，所以，D 选项错误． sin cos 0B A >>(sin )(cos )f B f A >故选：ABC ．12．下列结论正确的是（ ）A ．若，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---34m >-B ．点O 在△ABC 所在的平面内，若，则点O 为△ABC 的重心0OA OB OC ++=C ．点O 在△ABC 所在的平面内，若，，分别表示△AOC ，△ABC 的230OA OB OC ++=AOC S ABC S 面积，则:1:6AOC ABC S S =△△D ．点O 在△ABC 所在的平面内，满足且，则点O 是且△ABC AO AB AO ACAB AC ⋅⋅=CO CA CO CB CA CB ⋅⋅= 的外心 【答案】BC【分析】对于A ，由∠ABC 为锐角，可得且两向量不共线；对于B ，设边上的中点0BA BC ⋅>u u r u u u rAB 为，证明在边的中线上即可；对于C ，由，得D O AB 230OA OB OC ++=()2O OC B OC OA +=-+ ，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对AC D BC E ,,O D E 2OE OD =于D ，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断. OA BAC ∠OC ACB ∠【详解】对于A ，由， ()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=--- 得，()()3,1,1,BA OA OB BC OC OB m m =-=--=-=---因为∠ABC 为锐角，故且不共线，0BA BC ⋅>u u r u u u r,BA BC 所以，解得且，故A 错误；()()310310m m m m ⎧---+>⎪⎨+--≠⎪⎩34m >-12m ≠对于B ，设边上的中点为，则，AB D 2OA OB OD +=因为，所以，0OA OB OC ++=2OC OD =- 所以，又点为公共端点，所以三点共线， //OC ODO ,,O C D 即点在边的中线上，O AB 同理可得点也在两边的中线上， O ,AC BC 所以点O 为△ABC 的重心，故B 正确；对于C ，因为，所以，230OA OB OC ++=()2O OC B OC OA +=-+ 如图，设的中点为，的中点为，AC D BC E 则，所以，2OE OD =-//OE OD 又点为公共端点，所以三点共线，且， O ,,O D E 2OE OD =所以，13AOC ACE S S = 又， 12ACE ABC S S =△△所以，即，故C 正确； 16AOC ABC S S =:1:6AOC ABC S S =△△对于D ，由， AO AB AO ACAB AC⋅⋅= 可得，即， cos cos AO OAB AO OAC ∠=∠cos cos OAB OAC ∠=∠又因，所以， (),0,πOAB OAC ∠∠∈OAB OAC ∠=∠所以是的角平分线，OA BAC ∠由， CO CA CO CBCA CB⋅⋅=可得，即， cos cos CO OCA CO OCB ∠=∠cos cos OCA OCB ∠=∠又，所以， (),0,πOCA OCB ∠∠∈OCA OCB ∠=∠所以是的角平分线， OC ACB ∠所以点O 是且△ABC 的内心，故D 错误. 故选：BC.三、填空题 13．已知函数，若______． ()()()sin πcos π3πcos 2f αααα-+=⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】利用诱导公式化简即可解决. 【详解】由题知，， ()()()()sin πcos πsin cos cos 3πsin cos 2f αααααααα-+-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭因为πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以πππππcos sin sin 66263f αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 14．已知，是不共线的向量，，，，若A ，B ，C 三点a b OA a b λμ=+ 32OB a b =- 23OC a b =+共线，则实数，满足__________． λμ【答案】.513λμ+=【分析】方法1：运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m 可得结果.(1)OA mOB m OC =+-方法2：先计算、，再运用A ，B ，C 三点共线则列方程可得结果.BA BC//BA BC 【详解】方法1：因为A ，B ，C 三点共线，所以设， (1)OA mOB m OC =+-即：，(32)(1)(23)(2)(53)a b m a b m a b m a m b λμ+=-+-+=++-+ 所以，消去m 得：.2 53m m λμ+=⎧⎨-+=⎩513λμ+=方法2：，()()()()3232BA OA OB a b a b a b λμλμ=-=+--=-++，()23325BC OC OB a b a b a b =-=+--=-+因为A ，B ，C 三点共线，所以，//BA BC故，所以． ()53(2)λμ-=-+513λμ+=故答案为：.513λμ+=15．中，角A ，，的对边分别为，，，且满足，，则ABC B C a b c c =2a =1cos 2a C b =-的面积为______．ABC【分析】已知式变形后由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，然A 后由余弦定理求得，再由面积公式计算． b【详解】∵，c 1cos 2a C b b =-=∴， sin cos sin A C B C =∴，展开得， ()sin cos sin A C A C C =+sin cos 0C A ⎛⋅= ⎝∴由三角形内角的性质知：sin C 不为0，故，4A π=∴，222cos 2b c a A bc +-=∴，2702b b --=b =所以的面积. ABC 11sin 22S bc A ===四、双空题16．如图，已知复平面上的平行四边形OACB ，O 为坐标原点，点A 、B 分别对应的复数为、3i +，M 是OC 、AB 的交点，则点C ，M 分别对应的复数为______、______．24i +【答案】55i +55i 22+【分析】平行四边形OACB 中，由复数的几何意义，结合向量运算即可求【详解】由题意，，， ()3,1OA = ()2,4OB =平行四边形OACB 中，，故C 分别对应的复数为，()5,5OC OA OB =+=55i +M 为OC 中点，则，故M 分别对应的复数为. 155,222OM OC æöç÷==ç÷èø55i 22+故答案为：；. 55i +55i 22+五、解答题17．已知是复数，、均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在z 2i z +2iz-i 2(i)z a +第一象限，求实数的取值范围． a 【答案】()2,6【分析】设，化简、并根据其均为实数求得参数x ，y ，化简i z x y =+()x y ∈R 、2i z +2iz-2(i)z a +并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得的范围.a 【详解】设，∵为实数，∴，∴. i z x y =+()x y ∈R 、()2i 2i z x y +=++=2y -2i z x =-∵为实数，∴．∴． ()()()()2i 1112i 2i 224i 2i 2i 555z x x x x -==-+=++---4x =42i z =-∵在复平面上对应的点在第一象限， ∴()()()()222i 42i 12482i z a a a a a +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦，解得. ()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩26a <<∴实数a 的取值范围是．()2,618．函数的最小正周期为．π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数在上的单调递增区间；()f x []0,π(2)当时，求的最大值和最小值及对应x 的值．ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)，π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3éùêúêúëû(2)的最大值为2，，的最小值为－1，()f x π6x =()f x π6x =-【分析】（1）根据函数的最小正周期可求得的值，从而可得到的解析式，再利用整()f x πω()f x 体代入法求函数的单调递增区间，进而可求得函数在上的单调增区间； ()f x ()f x []0,π（2）根据的取值范围可得到的取值范围，从而可求出的最大值和最小值及对应x 的x π26x +()f x 值．【详解】（1）因为的最小正周期，所以，故， ()f x πT =2π2T ω==π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，则， πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z 即的单调递增区间为， ()f x πππ,π()36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 又，所以函数在上的单调增区间是，． []0,πx ∈()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3éùêúêúëû（2）当时，， ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π2,663t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦所以当，即时，函数有最大值2， π2t =π6x =()f x 当，即时，函数有最小值－1， π6t =-π6x =-()f x 所以的最大值为2，这时，的最小值为－1，这时． ()f x π6x =()f x π6x =-19．某轮船以V 海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60度，轮船从A 处向北航行30分钟后到达B 处，测得油井P 在南偏东15度，且BP =为向东北方向再航行60分钟后到达C 点．(1)求轮船的速度V ；(2)求P ，C 两点的距离．【答案】(1)/小时(2)海里PC =【分析】（1）利用正弦定理即可求出结果；（2）利用余弦定理即可求出结果；【详解】（1）由题可知，在中，，，APB △120PAB ∠= 15PBA ∠= 所以，45APB ∠=又， BP =sin sin BP AB PAB APB=∠∠=解得，所以，AB=0.5ABV===故轮船的速度是/小时．（2）由（1）有，，BC=120CBP∠=所以在中，由余弦定理有：，PBC2222cosPC BC BP BC BP CBP=+-⋅⋅⋅∠所以((222122PC⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭((21100100111011=+=+=+所以PC=20．设两个向量满足，,a b()12,0,2a b⎛==⎝(1)求方向的单位向量；a b+(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．27ta b+a tb+【答案】(1)(2)17,2⎛⎛⎫-⋃-⎪⎪⎝⎝⎭【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解；()12,0,2a b⎛==⎝a b+（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与27ta b+a tb+()()270ta b a tb++<27ta b+向量反向共线求解.a tb+【详解】（1）由已知，()152,022a b⎛⎛+=+=⎝⎝所以a+=所以，a b+=即方向的单位向量为；a b +（2）由已知，， 1a b ⋅= 2,1a b == 所以， ()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ 因为向量与向量的夹角为钝角，27ta b + a tb + 所以，且向量不与向量反向共线， ()()270ta b a tb ++< 27ta b + a tb + 设，则，解得， ()()270ta b k a tb k +=+< 27t kkt =⎧⎨=⎩t =从而， 221570t t t ⎧++<⎪⎨≠⎪⎩解得. 17,2t ⎛⎛⎫∈-⋃- ⎪ ⎪⎝⎝⎭21．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．()()3+++-=b a c b a c ba (1)求C ；(2)若的最大值． c =2+a b 【答案】(1)；π3C =(2)【分析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C 的大小. 222122a b c ab +-=（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数()222sin a b A A +=的性质即可求最大值.【详解】（1）由，得，即， ()()3+++-=b a c b a c ab 222b a c ab +-=222122a b c ab +-=由余弦定理得：，又，所以． 1cos 2C =()0,πC ∈π3C =（2）由（1）知：，则． π3C =sin C =2π3B A =-设△ABC 的外接圆半径为R ，则()22sin 2sin +=+a b R A B ()sin 2sin sin =+c A B C， 2π2sin 2sin 3⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A A ()22sin A A =()sin =+≤==A ϕϕϕ当时，取得最大值为 π2A ϕ+=2+a b 22．已知函数，. ()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0ω>(1)若，，求的对称中心； ()()12()f x f x f x ≤≤12min π2x x -=()f x (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个05ω<<()f x π6()g x π3x =()g x 零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值.()g x [],m n ,R m n ∈m n <n m -【答案】(1)； ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2). 139π【分析】（1）由题意利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求()f x πω得解析式，然后可求出其对称中心；()f x （2）先利用三角函数图象变换规律求出，再根据是的一()ππ2sin 2163g x x ωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3x π=()g x 个零点和可求出，从而可求出的解析式，则可求出的最小正周期，再利用正05ω<<ω()g x ()g x 弦函数的零点和周期性可求得结果.【详解】（1）因为，， ()()12()f x f x f x ≤≤12min π2x x -=所以的最小正周期为， ()f x π因为，的最小正周期为， ()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0ω>2π2ω所以，得， 22ππω=1ω=所以， ()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由，得， 2,Z 6x k k ππ+=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以的对称中心为； ()f x ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）由函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，可得 ()f x π6()g x ， ()2sin 2()12sin 216663g x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫=-++=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是的一个零点， π3x =()g x 所以， ππππ2sin 2103363g ωω⎛⎫⎛⎫=⋅+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，或， ππ7π2π,Z 366k k ω+=+∈ππ11π2π,Z 366k k ω+=+∈解得或，36,Z k k ω=+∈56,Z k k ω=+∈因为，所以，05ω<<3ω=所以， ()5π2sin 616g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期为， ()g x 263ππ=令，则， ()52sin 6106g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭51sin 662x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得，或， 115ππ62π,Z 66x k k -=-+∈115π5π62π,Z 66x k k -=-+∈所以，或， 11ππ,Z 39k x k =+∈11π,Z 3k x k =∈因为函数在（且）上恰好有10个零点， ()g x [],m n ,R m n ∈m n <且要使最小，必须使恰好为的零点，前两个零点相距， n m -,m n ()g x π9所以的最小值为. n m -ππ13π4399⨯+=。
河北省高一下学期3月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．若（为虚数单位），则（ ） 323i z =-i z =A B ．5C ．3D ．1【答案】A【分析】求出的代数形式，然后求模即可. z 【详解】，323i 23i z =-=+. =故选：A.2．下列说法正确的是（ ）A ．若，则a c = a c =B ．若，则存在唯一实数使得//a b λa b λ=C ．若，，则//a b //b c//a c D ．与非零向量共线的单位向量为aa a± 【答案】D【分析】对A ，向量模相等，则向量相等或相反；对B ，向量共线定理判断；对C ，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D 利用非零向量的单位向量的求解方法求解.【详解】若，则或，所以选项A 错误；a c = a c =- a c =若，此时 不存在，选项B 错误； 00b a =≠，λ若，由，，不一定得到，选项C 不正确；0b = //a b //b c//a c 由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D 正确. a故选：D.3．在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ）ABC A AD BC E AD 2AE ED =EB =A ．B ． 2133AB AC - 2133AC AB -C ．D ．7566AB AC -7566AC AB - 【答案】A【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量. 【详解】如图所示，在中，ABC A因为为边上的中线， AD BC 所以为的中点， D BC 所以由平行四边形法则有： ，()12AD AB AC =+ 又点在上，且 E AD 2AE ED =所以，23EA AD =- 所以EB EA AB =+ 23AD AB =-+()2132AB AC AB =-⨯++1133AB AC AB =--+， 2133AB AC =-故选：A.4．在中,已知,则角的度数为（ ） ABC A a =b =45B = A A ． B ．C ．或D ．60120 60 120 30 【答案】C【分析】根据正弦定理求得,进而求得角即可.sin A =A 【详解】由题知, a =b =45B = 在中,由正弦定理可得:ABC A2sin sina b A B ====解得因为, sin A =a b =>=45180A << 所以或. 60A = 120 故选:C5．若平面向量与的夹角为60°， ,，则等于（ ）.a b()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4 D ．12【答案】B【分析】先根据数量积的定义求出 ，再根据模的计算法则求 .a bA 2a b +【详解】 ， ， 2=1cos 602112a b a b ︒∴==⨯⨯= AA；a +=== 故选：B.6．已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）A ．BC ．D ．(3π+(4π+(6π+【答案】B【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积.【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为， r =所以圆锥的表面积为. 2ππ3⨯+=故选：B7．已知，，则（ ） ()4,2AB = ()1,4AC = AB BC ⋅=A ．B ．C ．8D ．168-16-【答案】A【分析】先求再根据数量积的坐标运算求解.BC【详解】因为，， ()4,2AB = ()1,4AC = ()()()1,44,23,2BC AC AB =-=-=-则，()()()4,23,243228AB BC ⋅=⋅-=⨯-+⨯=-故选：A8．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）（参考数据：，参考公式：） 39.6,1L 1000cm ≈=(13V S S h 下上棱台=+⋅A ．B ．C ．D ．1.5L2.4L 5.0L 7.1L 【答案】B【分析】由勾股定理算出高h ，即可由公式求体积. 【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为，则h， 222222336711.591.7524h æöç÷=-=-==ç÷èø故.(223120112371.2cm 2.4L 3V 棱台=⨯+≈≈故选：B二、多选题9．已知复数，则下列说法正确的是（ ） 1i z =+A ．的共轭复数是 z 1i -B ．的虚部是 z i C ．i z z=D ．若复数满足，则的最大值是 0z 01z z -=0z 1【答案】AD【分析】利用共轭复数的定义可判断A 选项；利用复数的概念可判断B 选项；利用复数的除法可判断C 选项；利用复数模几何意义可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为，则，A 对； 1i z =+1i z =-对于B 选项，复数的虚部为，B 错；z 1对于C 选项，，C 错；()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ---====-++-对于D 选项，令，则， 0i,(,R)z x y x y =+∈2022(1)(1)1z x y z =+---=即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，0z (1,1)0z由圆心，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D 对.(1,1)0z 1故选：AD.10．下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）A ．若梯形面积为，则其斜二测画法直观图面积为 ABCD 212cm 2B ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C ．正四棱柱都是长方体D ．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 【答案】ACD【分析】根据斜二测画法的概念，空间几何体的概念判断各选项．【详解】如图，，由斜二测画法， 直观图面积为12S OA OB =⋅，1111sin sin 452222S O A O B xO y OA OB OA OB '''''''=⋅∠=⋅⋅︒=⋅=任何平面多边形都可能切割成图中类似的直角三角形，通过这些直角三角形面积的和得出平面图形的面积，即这个规律对平面上任何图形都适用．所以时，A 正确； 12S =12S '==底面是正多边形的棱锥，顶点在底面上的射影不一定是底面中心，因此它不一定是正棱锥，B 错； 正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形也属于长方形，因此它是长方体，C 正确； 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，D 正确． 故选：ACD ．11．长方体中，，，，则（ ） 1111ABCD A B C D -3AB =2BC =11BB =A ．到平面的距离为 A 1A BD 67B ．到平面的距离为A 1A BD 47C ．沿长方体的表面从到的最短距离为A 1CD ．沿长方体的表面从到的最短距离为A 1C 【答案】AC【分析】利用体积相等求出点到平面的距离即可判断选项和；求点到的最短距A 1A BD A B A 1C 离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把到的最短距离转化为求三角形A 1C 的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中的长1AC 度，比较三个值的大小后即可得到结论，进而判断和.C D 【详解】如图，连接，因为，，， 11,,A D DB A B 3AB =2BC =11BB =所以1A B ==1A D ==BD ==在中，由余弦定理可得：1A BDA 22211111cos 2A D A B BD BA D A D A B +-∠==⋅所以1sin BA D ∠===则， 1111117sin 222BA D S A B A D BA D =⋅∠==A 又， 1123322ABDS AB AD =⋅=⨯⨯=A 设点到平面的距离为，由体积相等可得： A 1A BD h ，即，11A ABD A A BD V V --=111133ABD A BD S AAS h ⨯=⨯A A 所以，解得：，故选项正确；选项错误；11731332h ⨯⨯=⨯⨯67h =A B长方体的表面可能有三种不同的方法展开，如图所示：1111ABCD A B C D -，，，3AB =2BC =11BB =表面展开后，依第一个图形展开，则 1AC =依第二个图形展开，则； 1AC ==依第三个图形展开，则1AC ==三者比较得：点沿长方形表面到的最短距离为正确，选项错误， A 1C C D 故选：.AC 12．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法ABC A A B C a b c 23cos 3cos b C c B a +=正确的是（ ）A ．若，则的外接圆的面积为 2BC A +=ABC A 12πB ．若，则2b c a +=ABC AC ．若，且为锐角三角形，则边的长度的取值范围为 2C A =ABC A c (D ．若，且，则为直角三角形 2A C =sin 2sin B C =ABC A 【答案】BCD【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式求得，利用正弦定理求出外接圆的半径，可判断3a =A 选项的正误；利用余弦定理、三角形的面积公式，结合二次函数的基本性质可判断B 选项的正误；求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质可判断C 选项的正误；根据已知条件求出A 的三个内角，可判断D 选项的正误.ABC A 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 23cos 3cos b C c B a +=3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=即， ()()sin 3sin 3sin 3sin a A B C A A π=+=-=，则，所以．()0,A π∈ sin 0A >3a =选项A ，若，则，2B C A +=3A π=所以的外接圆的直径， ABC A 2sin aR A==R =所以的外接圆的面积为，选项A 错误；ABC A 23ππ⨯=选项B ，若，则，2b c a +=6b c +=又因为，所以由余弦定理，得， 3a =2292cos b c bc A =+-即，所以， ()2922cos b c bc bc A =+--27cos 12A bc=-所以111sin 222ABCS bc A ===△，==所以当时，B 正确； 3b =ABC S A 选项C ，由正弦定理，得，即， sin sin 2a cA A=2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，所以，所以，ABC A 02032022A AA ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩64A ππ<<所以，故选项C 正确： (6cos c A =∈选项D ，因为，所以， sin 2sin B C =2b c =因为，所以， 2A C =()sin sin sin 3B A C C =+=所以由正弦定理，得，即． sin sin b cB C =2sin 3sin c c C C=sin 32sin C C =所以， sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即．222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +-=因为，则，所以，所以， ()0,C π∈sin 0C >222cos 2cos 3C C +=23cos 4C =又因为，则为锐角，所以，，，2A C =C 6C π=3A π=2B π=b =c =即是直角三角形，选项D 正确． ABC A 故选：BCD ．三、填空题13．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．a b 131a = 3b =r ()2a b b +⋅= 【答案】11【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数a b θ1cos 3θ=a b ⋅ 量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，a b θa b 131cos 3θ=又，，所以，1a = 3b =r 1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=所以．()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= 故答案为：． 1114．设内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知，则ABC A (4)cos cos a c B b C -=cos B =______． 【答案】14【分析】由正弦定理可得，利用两角和的正弦公式化简即可得到答(4sin sin )cos sin cos A C B B C -=案.【详解】解：由及正弦定理， (4)cos cos a c B b C -=得，(4sin sin )cos sin cos A C B B C -=即，因为，， 4sin cos sin()sin A B B C A =+=(0,)A π∈sin 0A ≠所以 1cos 4B =故答案为：14【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到边角互化，两角和的正弦公式，考查学生的基本运算能力，属于基础题.15．已知向量，则在上的投影向量__________． ()()6,2,2,0a b == a bc = 【答案】()6,0【分析】利用投影向量的定义直接求解. 【详解】因为的单位向量为， ()2,0b = ()1,0i = 所以在上的投影向量. a b()()62201,06,02a b c i b ⋅⨯+⨯===故答案为：()6,016．如图，在四棱锥中，已知底面，，，且P ABCD -PA ⊥ABCD AB BC ⊥AD CD ⊥，，则该四棱锥外接球的表面积为______．120BAD ∠=︒2PA AB AD ===【答案】20π【分析】先由底面的条件得到其外接圆的直径为，利用三角形全等及正弦定理即可求ABCD 2=r AC 得，再由底面及球的垂径定理求得，从而求得该四棱锥外接球的表面积. r PA ⊥ABCD 222=+R r h R 【详解】因为在中，，，即是 与的公共斜边， AB BC ⊥AD CD ⊥AC Rt ABC △Rt ACD A 所以底面的外接圆的直径为，ABCD 2=r AC 又因为，，所以，=AB AD AC CA =Rt Rt ABC ACD ≅A A 所以在中，，则，ABC A 1==60°2BAC BAD ∠∠=90°=30°BCA BAC ∠-∠故，即， 22====41sin 2a r AC BCA ∠=2r 因为底面，所以球心到底面的距离为，PA ⊥ABCD ABCD 1==12h PA 所以由球的垂径定理得， 222=+R r h 222=2+1=5R 故该四棱锥外接球的表面积为. 2=4π=4π×5=20πS R 故答案为：20π四、解答题17．已知，．1a = 2b =(1)若，求；a b ∥ a b A (2)若，求；,60a b =︒a b + (3)若与垂直，求当k 为何值时，？a b - a()()2ka b a b -⊥+【答案】(1) 2±(3)3【分析】（1）由平行向量的定义可知，若，则它们的夹角为或，即可计算；（2）a b ∥ 0 180 a b A 根据平面向量的应用可知将平方即可求得结果；（3）根据与垂直可得，再由a b + a b - a 1a b = A 可计算出. ()()02ka b a b +-= A 3k =【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或，a b ∥ ,a b 0 180 当夹角为时，； 0cos 0122a b a b ==⨯= A 当夹角为时，； 180cos18012(1)2a b a b ==⨯⨯-=- A 所以，.2a b =± A （2）由题意可知，若，则,60a b =︒ 1,cos 12cos 60a a b b a b ==⨯⨯= A ，22221427a b a b a b =+++=++= A 所以.a + （3）由与垂直可得，即； ab - a ()0a b a -= A 1a b = A 若，则， ()()2ka b a b -⊥+ ()()02ka b a b +-= A 即，得， 22220k a ka b a b b +--= AA 390k -=所以.3k =当时，. 3k =()()2ka b a b -⊥+ 18．如图，在直三棱柱中，，，平面，111ABC A B C -11,2,3AB BC BB ===AB BC ⊥AB ⊥11BCC B 点为侧棱上一个动点.D 1BB(1)求此直三棱柱的表面积；111ABC A B C -(2)当最小时，求三棱锥的体积.1AD DC +1A DBC -【答案】(1)11+(2) 13【分析】（1）利用矩形与三角形的面积公式分别求出直三棱柱中各个面的面积，并相111ABC A B C -加即可；（2）展开三棱柱，由平行线分线段成比例求得，而且得到，利用换顶点法可1BD =113BB A ABD S S =A A 求得，得解. 111113A DBCB A BC V V --=【详解】（1）由题可知，在中，，Rt ABC△AC ==又因为平面，AB ⊥11BCC B 所以1111111111222ABB A ACC A BCC B ABC AB BB BC BB AC BB AB BC S S S S S =⋅+⋅+=+⨯+++⋅⋅A 表. 113233212112=⨯+⨯+⨯⨯⨯=+（2）将三棱柱展开成矩形，连接，交于点，则此时最小， 11ACC A 1AC 1BB D 1AD DC +，，，， 1//BD CC 1BD AB CC AC ∴=13112BD ∴=⨯=+111122ABD S ∴=⨯⨯=A ，， 111313322BB A ABD S S =⨯⨯==A A 11111113C ABD C BB A B A B C V V V ---==∴ 1111111111123.33323A DBC C ABDB A BC V V ---∴==⨯⨯⨯⨯==⨯19．已知(1,2)(2,4)(4,)A B C k ，，(1)若三点共线，求；A B C ，，AC (2)若，求. ()AB AB AC ⊥+ cos ,AB AC 〈〉【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的共线公式求解得，再根据模长的坐标公式求解即可；,AB AC 8k =（2）方法一：根据向量垂直数量积为0，展开可得，再根据向量夹角的坐标公0AB AB AB AC ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 式求解即可；方法二：直接根据垂直的坐标公式求解即可【详解】（1），故由三点共线，得(()3,2AB AC k ==- ,,A B C AB AC λ=所以，，解得：，223k -=⨯8k =()3,6AC = =（2）（2）方法一：32(2)21AB AC k k ⋅=+-=-u u u r u u u r由得 ()AB AB AC ⊥+ 0AB AB AB AC ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 即：25AB AC AB ⋅=-=-u u u r u u u r u u u r 所以，， 215k -=-2k =-所以，，()3,4AC =- 5AC =u u u r= cos ,AB AC 〈〉 AB AC AB AC ==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 方法二：，由得(4,)AB AC k += ()AB AB AC ⊥+ 1420k ⨯+⨯=解得.所以，，2k =-()3,4AC =- 5AC =u u u r 5AB AC ⋅=-= cos ,AB AC 〈〉 AB AC AB AC ==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r20．设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC A sin cos b A a B （1）求角B 的大小；（2）若，求a ，c 的值．b =sin 2sin C A =【答案】（1）（2），3B π=2a =4c =【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角tan B函数值即可求得B 的值；（2）由已知及正弦定理可得，利用余弦定理可求，联立即可解得a ，c 的值.2c a =229a c ac =+-【详解】解：（1）∵sin cos b A a B =又∵由正弦定理，可得：， sin sin a b A B =sin sin b AB a =∴可得： sin tan cos B B B==∵B ∈（0，π），∴．3B π=（2）由及正弦定理，得c =2a ，①． sin 2sin C A =sin sin a bA B =又，由余弦定理，得，②b =3B π=2222cos b a c ac B =+-2212a c ac =+-由①②得，．2a =4c =【点睛】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．21．已知中，，，，（）．ABC A 60A =︒1AB =4AC =AE AC λ=u u u r u u u r 01λ<<(1)求的取值范围；BE (2)若线段上一点满足，求的最小值． BE D AB AC AD AB AC μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭1λμ+【答案】(1) (2)2【分析】（1）根据题意，两边平方可得关于的二次函数，进而求出的取值范BE AE AB =- λBE 围；（2）根据、、三点共线，可得，利用基本不等式可求的最小值． B E D 1114μλ=+1λμ+【详解】（1）根据题意， ()()2222222BE AE AB AC AB AC AC AB AB λλλ=-=-=-⋅+ ， 231641,134λλ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭所以取值范围为；BE（2）由题可得：， 44AD AB AC AB AE μμμμλ=+=+ 因为、、三点共线，所以故， B E D 14μμλ+=1114μλ=+所以当且仅当时等号成立， 11124λλμλ+=++≥12λ=所以最小值为2．1λμ+22．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且ABC A AB C a b c a =.cos (cos )+-C B B cos 0A =(1)求角的大小；A (2)求的取值范围. 2b c +【答案】(1) 3A π=(2)(8,【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得，即可求解；tan A =（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，再根据三角函数的值域求解.2)b c B θ+=+【详解】（1）∵， cos(cos )cos 0C B B A +=∴. cos()cos cos cos0A B B A B A -++=即， cos cos sin sin cos cos cos 0-++=A B A B B A B A ，sin sin cos 0A BB A =∵，sin 0B >∴，sinA A =又，cos 0A ≠∴tan A =∵， 02A π<<∴.3A π=（2）由正弦定理可得， 24sin a R A ==， 228sin 4sin 8sin 4sin 10sin )3⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭b c B C B B B B B πθ其中， tan θ=sin θ=cos θ=为锐角θ∵为锐角三角形，则， ABC A 62B ππ<<从而，62B ππθθθ+<+<+得， sin sin()61⎛⎫+<+ ⎪⎭≤⎝B πθθsin sin cos cos sin 666⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πππθθθ， sin()1<+≤B θ8)<+≤B θ∴82b c <+≤从而的取值范围为. 2b c +(8,。
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重点中学2010-2011学年度第二学期高一年级3月份月考数学科试题考试时间：2011年3月（考试范围：人教版必修4第一、二、三章；考试时间120分钟；分值150分）注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中正确的是（ ）A ．OA OB AB -=u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA +=u u u r u u u rC ．00ρρ=• D ．AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r2．在四边形ABCD 中，==•，且0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 梯形 B ． 菱形 C ．矩形 D ． 正方形 3．下列表达式中,正确的是（ ） A.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+B. sin()cos sin sin cos αβαβαβ-=-C.s()cos cos sin sin co αβαβαβ+=+D.cos()cos cos sin cos αβαβαβ-=- 4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．)2,1(),0,0(-==b a ρρB ．)7,5(),2,1(=-=b a ρρC ．)10,6(),5,3(==b a ρρD ．)43,21(),3,2(-=-=b a ρρ5．已知D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ）A. 12BC BA -+u u u r u u u rB. 12BC BA--u u u r u u u r C. 12BC BA -u u u r u u u r D. 12BC BA +u u u r u u u r6．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）A. 17B. 7C. 17-D. 7-7.),4,3(),1,2(==b a ρρ则向量a ρ在向量b ρ方向上的投影为（ ）A. 52B. 2C. 5D. 108．已知点A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α），O （0，0），若),0(,13||πα∈=+，则OC OB 与的夹角为（ ）A ．2πB ．4πC ．3πD ．6π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．设a ρ表示“向东走3 km ”，b ρ表示“向北走3 km ”，则b a ρρ+表示10．οοοο26cos 34cos 26sin 34sin -=11．若向量a ρ =（x ＋3，x 2－3x －4）与AB → 相等，其中A （1，2），B （3，2），则x 等于12．已知)5,3(),2,(-==b a ρρλ，且b a ρρ与的夹角是钝角，则实数λ的取值范围是13．已知α、β都是锐角，且135)cos(,54sin =+=βαα，则βsin 的值为 14．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，且△ABC 的面积为 3 ，则AB →·AC →等于三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明。
15．（本题满分12分）已知0120,3||,4||===θ的夹角与且b a b a ρρρρ求：（1）)()32(b a b a ρρρρ+•-（2）b a ρρ+216．（本题满分12分）已知1tan 3α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；（2）求角α+β17．（本题满分14分）已知(1,2)a =r ，(3,2)b =-r，当k 为何值时，（1）ka b +r r 与3a b -r r垂直 （2）ka b +r r 与3a b -r r平行18．（本题满分14分） 已知函数x x x f cos sin 3)(+=（1）求)(x f 的最小正周期和最大值（2）求使0)(≥x f 成立的x 的取值集合 19．（本题满分14分）已知向量a ρ=(sin θ，1)，b ρ＝(1，cos θ)， －π2＜θ＜π2．（1）若b a ρρ⊥，求θ；（2）求b a ρρ+的最大值．20．(本题满分14分)已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(1m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n =u r r g（1）求角A ； （2）若3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，求C tan2010-2011学年度第二学期高一年级3月份月考数学科答案一、选择题：1. D2. C3. A4. B5. A6. A7. B8. D 二、填空题：9. 向东北方向走23km 10. －2111. -1 12. (103 ，+∞) 13. 6516 14. ±2三、解答题：15.解：（1）)()32(b a b a +⋅-=2232-⋅-…………………………………………………………………3分 =11 ……………………………………………………………………………6分（2）a +2…………………………………………………………8分10分 =7 …………………………………………………………………………12分16.解：（1）由cos β=(0,)βπ∈得sin β=分 ∴ tan 2β= ------- 4分∴tan()αβ+=12tan tan 3121tan tan 13αβαβ-++==-+. ------- 8 分（2）由),0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= 得)2,0(),,2(πβππα∈∈…………………………………………10分 )23,2(ππβα∈+∴ 由（1）可知1)tan(=+βα45πβα=+∴………………………12分 17.解：（1）ka b +r r ＝（3,22k k -+），3a b -r r＝（10，－4）----------- 4分 （ka b +r r ）g （3a b -r r）＝0即（k －3）g 10＋（22k +）(4)0-=g ------8分 解得 19k = 即当19k =时，ka b +r r 与3a b -r r垂直。
-----9分(2)方法一：∵ka b +r r 与3a b -r r平行 ∴-4（k －3）=10（22k +）-----13分 解得13k =- 即 当13k =-时，ka b +r r ＝13a b -+r r ∥3a b -r r------------14分方法二：(注意:若用方法二,则(1)、(2)问各占7分)当ka b +r r 与3a b -r r 平行时，存在唯一实数λ，使ka b +r r ＝λ（3a b -r r）------9分由(3,22)(10,4)k k λ-+=-得1310322413k k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎪⎩----------13分即 当13k =-时，ka b +r r ＝13a b -+r r ∥3a b -r r-----------------14分18.解：（1）x x x f cos sin 3)(+==2)cos 21sin 23(x x + =2)6sin cos 6cos(sin ππ⋅+⋅x x=2)6sin(π+x ……………………………………………………………7分)(x f ∴的最小正周期为π，最大值为2…………………………………………9分（2）由Z k k x k ∈+≤+≤,262ππππ………………………………………12分得Z k k x k ∈+≤≤+-,26526ππππ…………………………………………13分的取值为成立的使x x f 0)(≥∴Z k k k ∈++-],265,26[ππππ………………14分19.解：解：（Ⅰ）若b a ρρ⊥, 则sin θ＋cos θ＝0，-----------------2分 由此得 tan θ＝－1--------------------3分 ∵－π2＜θ＜π2----------------4分∴ θ＝－π4；------------6分（Ⅱ）由a ρ=(sin θ，1)，b ρ＝(1，cos θ)得 b a ρρ+＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2------------------8分＝3＋2(sin θ＋cos θ)---------10分＝3＋22sin(θ＋π4)，-------------12分当sin(θ＋π4)＝1时，b a ρρ+取得最大值，即当θ＝π4时，b a ρρ+最大值为2＋1．---------------14分20.解：(1)∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=--------2分12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭---------5分∵50,666A A ππππ<<-<-<---------------6分∴66A ππ-=∴3A π=----------------7分(2)由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=----------8分∵cos 0B ≠ -----------------9分∴2tan tan 20B B --=∴tan 2B =或tan 1B =-------------------10分而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 -----------11分∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+-----------------12分tan tan1tan tan A B A B +=--==分。