机器人运动分析中的矩阵变换 (1)0031
机器人旋转矩阵公式
机器人旋转矩阵公式哎呀，一提到“机器人旋转矩阵公式”，可能很多人都会觉得这是个超级复杂、超级难懂的东西。
但别慌，咱今天就来好好唠唠这个话题。
我记得有一次，我去参加一个科技展。
在那里，我看到了各种各样神奇的机器人展示。
其中有一个小小的机器人，它能够灵活地转动身体，完成各种复杂的动作，比如快速转身、精准定位等等。
当时我就特别好奇，这背后到底是啥原理让它能这么厉害呢？其实啊，机器人旋转矩阵公式就是解开这个谜团的关键钥匙。
咱们先来简单理解一下啥是旋转矩阵。
想象一下，机器人就像一个站在舞台上的舞者，而旋转矩阵就是指挥这个舞者如何转动的“指令”。
这个矩阵里的数字，就像是一个个精确的舞步标记，告诉机器人要朝哪个方向转，转多少角度。
比如说，一个二维的旋转矩阵，它可以表示机器人在平面上的转动。
就好像机器人要在一个大大的棋盘上移动，这个矩阵就决定了它是向左还是向右，是转 90 度还是 180 度。
再来说说三维的旋转矩阵，这可就更复杂一些啦。
想象机器人在一个立体的空间里，不仅能前后左右移动，还能上下翻转。
这时候的旋转矩阵，就得同时考虑三个方向的转动，就像要同时指挥机器人的手、脚和脑袋一起协调动作。
那这些旋转矩阵公式是怎么来的呢？这可不是凭空想象出来的，而是数学家们经过无数次的思考和计算得出来的。
他们就像是一群超级聪明的探险家，在数学的海洋里不断摸索，终于找到了这些隐藏的宝藏。
在实际应用中，机器人旋转矩阵公式可太重要了。
比如说在工业生产线上，那些精准操作的机器人手臂，要靠这些公式来保证每次抓取和放置物品的准确性；在医疗领域，手术机器人要依靠它们来精确地到达病灶位置；甚至在我们的日常生活中，扫地机器人能避开障碍物，也是因为有这些公式在背后默默发挥作用。
不过，要真正掌握这些公式可不是一件容易的事儿。
得有扎实的数学基础，还得有足够的耐心和细心。
有时候，一个小小的计算错误，可能就会让机器人的动作变得乱七八糟。
就像我之前看到的那个在科技展上的小机器人，它背后的工程师们一定是花费了大量的时间和精力，去调试和优化那些旋转矩阵公式，才让它能在舞台上如此精彩地表演。
齐次变换矩阵在机器人运动学中的应用
（Hunan Institute of Technology，Hengyang Hunan 421002）
Abstract: Matrix is an important mathematical tool for robotics. In this paper, homogeneous transformation matrix was introduced to represent the pose of robot. To be specific, researchers established a proper coordinate system for each joint of the robot, and then used homogeneous coordinates to establish the transformation relationship between two adjacent coordinate systems, and then the kinematics equation of the robot was obtained. Keywords: robot；kinematics；rotation martrix；homogeneous transformation matrix
1 所示，则机械手（工具）的位姿可以由坐标系 {B} 的坐标
原点 o′ 在坐标系 {A} 中的坐标 ( px ,py ,pz)′ 和与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向量在坐标系 {A} 中的坐标表示。
若记 i′,j′,k′ 表示与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向
（6）
为了得到 P 在 {A} 坐标系中的坐标，要将 P 在 {B}
机器人学的矩阵
机器人学的矩阵《机器人学中的矩阵：一份超有趣的指南》嘿，朋友，今天咱们来唠唠机器人学里的矩阵这玩意儿。
你可别一听矩阵就觉得头疼，其实没那么可怕的。
我有个朋友小李，那家伙刚开始接触机器人学的时候，看到矩阵就像看到外星符号一样。
有一次我们在一块儿学习，他瞅着那些方方正正的矩阵数字，眼睛都快瞪出来了。
他就特无奈地跟我说：“这矩阵到底是个啥呀，就一堆数字摆这儿，能有啥用？”我就笑他，我说：“你可别小瞧这堆数字，这矩阵啊，就像是机器人的魔法密码。
”在机器人学里呀，矩阵就像一个超级管家。
比如说机器人的运动控制。
我另一个朋友小张，他在搞一个小机器人项目，想要让机器人的手臂精准地抓取东西。
这时候矩阵就派上大用场了。
机器人手臂每个关节的运动，都可以用矩阵来描述呢。
我就跟小张说：“你看啊，这矩阵就像给机器人手臂的每个关节都画了一张详细的地图，告诉它怎么动，动多少。
”小张一开始还半信半疑，等他慢慢把矩阵运算搞明白后，那机器人手臂就像被施了魔法一样，精准地抓取东西，他可高兴了，还说：“哎呀，这矩阵还真神了。
”再说说机器人的坐标变换。
想象一下，机器人在一个空间里活动，它得知道自己在啥位置吧，还得知道周围东西的位置。
这时候矩阵就像一个翻译官。
我和我的同学们一起讨论这个事儿的时候，有个同学就说：“这就好比我们在一个迷宫里，矩阵就是那个给我们指出哪条路通向哪儿的小箭头。
”不同的坐标系之间的转换，靠的就是矩阵这个神奇的工具。
比如说从机器人自身的坐标系转换到世界坐标系，矩阵就把这两个看似不同的世界给连接起来了。
还有机器人的视觉处理方面。
我认识一个搞机器人视觉的大神老王。
他跟我说，在处理图像的时候，矩阵就像一个大筛子。
图像里的每个像素点都可以看成是矩阵里的一个元素。
老王说：“你知道吗？就像我们挑豆子一样，通过矩阵的运算，我们可以把图像里有用的信息筛选出来，把那些没用的杂质去掉。
”比如说要识别图像里的一个物体，矩阵就能够通过各种变换和计算，把这个物体的特征凸显出来，就像在一堆豆子里准确地挑出那颗特别的豆子。
机器人运动分析中的矩阵变换
ai
i1 整理课件
JLi bi1
JLi bi1ri1,e
J ai 0
Jai bi1
当第i关节为移动关节时
J li
J
a
i
bi1
0
当第i关节为转动关节时
Jli Jai
bi1 bi1
ri1,e
整理课件
b r 确定
i1
i 1 ,e
0
1、用b表示zi-1轴上的单位向量
b
0
1
▲雅可比矩阵的定义 ▲微分运动与广义速度 ▲雅可比矩阵的构造法 ▲PUMA560机器人的雅可比矩阵 ▲逆雅可比矩阵 ▲力雅可比矩阵
整理课件
上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐 次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立 了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解， 建立了操作空间与关节空间的映射关系。
本章将在位移分析的基础上，进行速度分 析，研究操作空间速度与关节空间速度之间 的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空 间之间的速度线性映射关系，同时也用来表 示两空间之间力的传递关系。
1
把它转换到基础坐标系中，即为
b i 1 0 R 1 (q 1 ) 1 R 2 (q 2 ) ...i 2 R i 1 (q i 1 ) b
整理课件
如右图所示。用O、Oi-1、 On分别表示基础坐标系、i-1 号坐标及手部坐标系的原点。 用矢量x表示在各自坐标系中 的原点。
x(0,0,0,1)T
d2(c2c4s5 s2c5)s2d3s4s5 s2(c2c4s6 s4s6)c2s5c6
s2(c2c4s6 s4c6)c2s5s6
s2c4s5 c2c5
d 3(c4c5c6 s4s6 )
机器人运动分析中的矩阵变换(PPT52页)
▲雅可比矩阵的定义 ▲微分运动与广义速度 ▲雅可比矩阵的构造法 ▲PUMA560机器人的雅可比矩阵 ▲逆雅可比矩阵 ▲力雅可比矩阵
上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐 次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立 了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解， 建立了操作空间与关节空间的映射关系。
本章将在位移分析的基础上，进行速度分 析，研究操作空间速度与关节空间速度之间 的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空 间之间的速度线性映射关系，同时也用来表 示两空间之间力的传递关系。
oz
az
0
0
0
ddi
对于移动关节
nz
oz
T
Ji
az
0
0
0
对于转动关节
(P n)z
(
P
0)
z
T
Ji
(
P
a) nz
z
oz
az
例：PUMA560的6个关节都是转动关节，其雅可比 有6列。此处用矢量积法计算J(q)
J ( q) J1 J2
J6
ny oy ay
( (
P P
n) o)
z z
d d
x y
(
P
a) nz
z
d
z
x
oz
y
az z
简写为：
T d RT RT S(P) d
T
0
RT
其中，R是旋转矩阵
nx ox ax
R
ny
oy
a
y
.
nz oz az
S(P)为矢量P的反对称矩阵 S(P)矩阵具有以下性质：
机器人学的旋转矩阵
机器人学的旋转矩阵
机器人学中的旋转矩阵可以表示物体的旋转。
在三维空间中，旋转矩阵通常表示为一个3x3的矩阵。
旋转矩阵的本质是一个方向余弦阵，其行向量构成了三维空间下的规范正交基向量（标准正交向量）。
设一个三维物体在三维空间中绕x、y、z轴的旋转角分别为α、β、γ，第一步可以通过一个x轴的旋转矩阵Rx(α)将物体旋转
到与x轴重合的平面上，接着通过一个y轴的旋转矩阵Ry(β)
将物体旋转到该平面内与y轴重合的位置，最后再通过一个z
轴的旋转矩阵Rz(γ)将物体旋转到最终位置。
事实上，这三个
矩阵的乘积R=Rz(γ)Ry(β)Rx(α)就是表示该三维物体绕x、y、
z轴旋转的旋转矩阵。
即：
R = Rz(γ)Ry(β)Rx(α)
其中，Rx(α)表示绕x轴旋转α度的矩阵，Ry(β)表示绕y轴旋
转β度的矩阵，Rz(γ)表示绕z轴旋转γ度的矩阵。
这些矩阵的具体形式如下：
Rx(α) = [1,0,0;0,cosα,-sinα;0,sinα,cosα]
Ry(β) = [cosβ,0,sinβ;0,1,0;-sinβ,0,cosβ]
Rz(γ) = [cosγ,-sinγ,0;sinγ,cosγ,0;0,0,1]
其中，cos和sin表示余弦和正弦函数。
矩阵论论文-旋转矩阵在机器人运动学中的应用
旋转矩阵在机器人运动学中的应用摘要：旋转矩阵是机器人学的重要的数学工具，在机器人运动学中应用甚广，非常适合机器人的机构描述与运动学分析。
在介绍有关性质的基础上，本文还给出了部分算例，可为机器人学科的教学与科研提供有一的支持。
关键词：旋转矩阵机器人运动学引言：机器人机构的运动学和动力学分析涉及到各个关节的空间位置和姿态以及关节之间的空间关系。
矩阵的旋转变换不仅仅应用到机器人上，还涉及到了很多领域，比如彩票，再次不对此进行深入分析。
正文：首先介绍下机器人坐标系统，刚体运动是指物体上任意亮点之间距离保持不变的运动，机器人运动学、动力学及其控制，实质上就是研究刚体运动的问题。
其次介绍下几个概念：位置和姿态：要全面的确定一个刚体在三位空间的状态就需要有三个位置的自由度和三个姿态自由度。
刚体姿态的描述可以是用：横滚、俯仰和侧摆来实现，我们将物体的六个自由度的状态成为物体的位姿。
刚体运动的坐标表示：早在19世纪初期，Chasles已经证明：刚体从一位置到另一位置的运动可通过绕某一直线的转动加上沿平行于该直线的移动得到。
在基坐标系B和手坐标系H的原点补充和，且姿态也不同的情况下r0,r,rp,R的含义如下图：：规定一个过度坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B保持一致。
可得到rp=ro+rc=r0+Rr.齐次坐标变换：在此我们不再介绍齐次坐标的由来，由齐次坐标得到的上面r到rp的变换的表达式为：T矩阵为齐次变换矩阵，建成齐次矩阵。
齐次矩阵T是个4x4的矩阵，一般的能够用来表示平移、旋转、伸缩的变换。
可以把T的4部分表示为：其中R3x3是表示两坐标系间的旋转关系的旋转矩阵，f1x3矩阵表示沿3根坐标轴的透视变换，f3x1=[a b c]的转置，表示两坐标系间的平移，右下角的演艺元素矩阵k1x1为使物体产生总体变换的比例因子，在机器人运动学中，透视变换值总是取零，而比例因子则总是取1，征缴变换都是线性变换，故其次变换是用其次平移变换也可以解释为两个向量之和。
连杆变换矩阵
连杆变换矩阵连杆变换矩阵（Link Transformation Matrix）是机器人学中的重要概念，用于描述机械臂或其他连杆系统中的运动变换关系。
在机器人领域，连杆变换矩阵被广泛应用于运动学、动力学、路径规划等方面。
1. 连杆系统简介连杆系统是由多个连杆（link）组成的机械结构，每个连杆通过关节（joint）相连接。
连杆可以是刚性的或柔性的，关节可以是旋转关节或平移关节。
连杆系统的运动由各个关节的运动组合而成，通过连杆变换矩阵可以描述各个连杆之间的运动变换关系。
2. 连杆变换矩阵的定义连杆变换矩阵是描述连杆系统中两个连杆之间的运动变换关系的矩阵。
对于一个连杆系统，可以定义多个连杆变换矩阵，每个连杆变换矩阵描述了一个连杆相对于另一个连杆的运动变换。
连杆变换矩阵通常用齐次变换矩阵（Homogeneous Transformation Matrix）表示，是一个4x4的矩阵。
连杆变换矩阵可以表示连杆之间的平移、旋转、缩放等运动变换。
3. 连杆变换矩阵的计算连杆变换矩阵的计算通常基于机械结构的几何关系和运动学模型。
对于一个连杆系统，可以通过以下步骤计算连杆变换矩阵：步骤一：建立坐标系首先，需要建立一个坐标系来描述连杆系统的空间位置和方向。
通常使用右手坐标系，其中一个坐标轴与连杆的轴线重合，另外两个坐标轴与连杆的方向垂直。
步骤二：确定运动关系根据连杆系统的几何关系和运动学模型，确定各个连杆之间的运动关系。
运动关系可以包括平移、旋转、缩放等运动。
步骤三：计算连杆变换矩阵根据运动关系和坐标系，计算连杆变换矩阵。
连杆变换矩阵描述了一个连杆相对于另一个连杆的运动变换关系。
步骤四：组合连杆变换矩阵对于一个连杆系统，可以通过组合各个连杆的变换矩阵，得到整个连杆系统的运动变换关系。
通过连杆变换矩阵，可以计算机械臂末端执行器的位置和姿态。
4. 连杆变换矩阵的应用连杆变换矩阵在机器人学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：机械臂运动学连杆变换矩阵可以用于描述机械臂的运动学模型。
机器人雅可比矩阵分析
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速 T 度运动，求相应的关节速度 q 1 2
解：由 可以看出，只要 机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵, 相应的关节速度即可解出
J 1 (q) x q
对于平面2R机械手，运动学方程为
平面2R机械手的速 度反解
O
x
optical center
摄像机成像模型
0 f 0
Xw
Yw
x f 0 Zc y 1 0
[1,0] 相应的关节速度 于是得到与末端速度 x 反解为 c12 c1 c12 1 ; 2 l1s2 l2 s2 l1s2
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
当2＝0； 2＝180时，机械手 在水平位置， c12 c1 c12 1 ; 2 l1s2 l2 s2 l1s2
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速 T 度运动，求相应的关节速度 q 1 2 解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
1 J (q) l1l2 s2
1
l2c12 l c l c 1 1 2 12
T
l1s1 l2 s12 l2 s12
与所有合法位移垂直； 不做功、没有能量增加或 损失； 一个自由度：
=0 合法加速度 C
图5.9 粒子运动满足约束函数C， 并 绕圆周运动。
图 5.10 虚功原理要求约束力只能位于 圆周的法线方向
把作用在所有粒子上的力用一个力矢量表示， 记为Q。 则控制粒子系统的牛顿方程为
WQ q
求微分，
C C q q
矩阵运算(工业机器人基础)
矩阵运算几何变换通常是用矩阵运算方法实现的，就是将描述模型或图形的几何信息的点列坐标矩阵乘以某种变换矩阵，从而获得一组新的点列坐标矩阵，再由这组新的点列坐标生成新的模型或图形。
即如下形式：形体的原点列坐标矩阵 几何变换矩阵 形体的新点列坐标矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n nnz y x z y x z y x .........222111 × ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡i hgf e d c b a ＝ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''n nnz y x z y x z y x .........222111因此，下面就矩阵运算的基本要点作简要介绍。
设有一个m 行n 列矩阵A其中被称为第i 个行向量，被称为第j 个列向量。
一) 矩阵的加法运算设两个矩阵A 和B 都是m x n 的，把他们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做A 、B 的和，记为A ＋B只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。
二) 数乘矩阵用数k 乘矩阵A 的每一个元素而得的矩阵叫做k 与A 之积，记为 kA三) 矩阵的乘法运算只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。
，矩阵C中的每一个元素。
下面让我们用一个简单的例子来说明，设A为2x3的矩阵，B为3x2的矩阵，则两者的乘积为：四) 单位矩阵对于一个nxn的矩阵，如果它的对角线上的各个元素均为1，其余元素都为0，则该矩阵称为单位阵，记为In。
对于任意mxn的矩阵恒有五) 矩阵的转置交换一个矩阵Amxn的所有的行列元素，那么所得到的nxm的矩阵被称为原有矩阵的转置，记为AT：显然但是对于矩阵的积：六) 矩阵的逆对于一个nxn的方阵A，果存在一个nxn的方阵B，使得AB=BA=In，则称B是A的逆，记为，A则被称为非奇异矩阵。
A的逆矩阵=A的伴随矩阵/A的行列式A的伴随矩阵:主对角元直接对调，非对角元变为相反数。
mdh的连杆变换矩阵的一般形式
mdh的连杆变换矩阵的一般形式MDH（Modified Denavit-Hartenberg）方法是一种常用的机器人运动学建模方法，用于描述机器人的连杆变换关系。
连杆变换矩阵是MDH方法的核心概念，通过矩阵形式表达了机器人各个连杆之间的位置和姿态关系。
本文将介绍MDH的连杆变换矩阵的一般形式，并解释其含义和应用。
连杆变换矩阵的一般形式可以表示为：T(i-1, i) = Rot(z,θ(i-1)) * Trans(z,d(i-1)) * Trans(x,a(i-1)) * Rot(x,α(i))其中，T(i-1, i)表示第i-1个坐标系到第i个坐标系的变换矩阵；Rot(z,θ(i-1))表示绕z轴旋转θ(i-1)角度的旋转矩阵；Trans(z,d(i-1))表示沿z轴平移d(i-1)距离的平移矩阵；Trans(x,a(i-1))表示沿x轴平移a(i-1)距离的平移矩阵；Rot(x,α(i))表示绕x轴旋转α(i)角度的旋转矩阵。
这些矩阵的乘积表示了从第i-1个坐标系到第i个坐标系的总体变换关系。
连杆变换矩阵的一般形式中的参数θ(i-1)、d(i-1)、a(i-1)和α(i)分别表示了机器人各个连杆的旋转角度和平移距离。
这些参数可以通过机器人的几何结构和运动学特性来确定。
通过将这些参数代入连杆变换矩阵的一般形式，可以得到具体的变换矩阵。
连杆变换矩阵的一般形式可以用来描述机器人的运动学模型。
通过将各个连杆变换矩阵的乘积相乘，可以得到机器人末端执行器的坐标变换关系。
这个变换关系可以用来计算机器人末端执行器在工作空间中的位置和姿态，从而实现机器人的正向和逆向运动学分析。
在机器人的正向运动学分析中，已知机器人的关节角度，可以通过连杆变换矩阵的一般形式来计算机器人末端执行器的位置和姿态。
这个过程涉及到了连杆变换矩阵的乘积和矩阵运算，需要注意矩阵的顺序和运算规则，以确保计算结果的准确性。
在机器人的逆向运动学分析中，已知机器人末端执行器的位置和姿态，需要求解机器人的关节角度。
机器人运动学建模旋转矩阵
机器人运动学建模旋转矩阵机器人运动学建模旋转矩阵随着科技的不断进步和人工智能的快速发展，越来越多的机器人被引入到工业生产和日常生活中。
机器人在工业生产中的使用很多时候需要执行精确的动作和运动，因此需要对机器人进行运动学建模，以便更好地控制其动作和轨迹。
而机器人运动学建模的核心就是旋转矩阵。
一、机器人运动学机器人运动学又称为机器人空间运动学，是研究机器人在运动中各个部位位置与时间变化关系的学科。
机器人运动学分为正运动学和逆运动学两种，前者是由给定各个部位的运动状态，通过正演得到机械臂末端的位置和姿态，所谓的末端位置和姿态，通常是以笛卡尔坐标系下的三个空间位置变量和三个空间角姿态变量︰ [X, Y, Z,., , , ],其中 , , 分别代表绕笛卡尔坐标系中的X、Y、Z轴转到目标末端姿态的角度，即为姿态变量（也称欧拉角变量）。
后者是已知机械臂末端的位置和姿态，要求求出各个部位的运动状态，所谓的逆运动学问题。
二、旋转矩阵机器人运动学建模的核心之一就是旋转矩阵。
旋转矩阵是指是用来描述刚体的旋转变换的一个正交矩阵。
矩阵的每一列就是描述坐标系中一个基向量，它们互相垂直，必须统一长度，且每个向量应该 be 一个标准正交基向量，既应该具有单位长度又应该互相垂直。
矩阵中的每一个元素是基向量在另一坐标系中的投影（点积）。
因此，三维空间中的旋转变换可以通过一个 3X3 的旋转矩阵来表示，其中某一列就是描述坐标系中一个基向量。
考虑到二维空间中的旋转变换可以通过一个2x2的旋转矩阵(cos, sin、-sin, cos)来表示，我们可以将三维的旋转矩阵写成：cos(a)cos(b) cos(a)sin(b)sin(c)-sin(a)cos(c) sin(a)sin(b)cos(c)+cos(a)sin(c)-sin(a)cos(b) sin(a)sin(b)sin(c)+cos(a)cos(c) cos(a)sin(b)cos(c)-sin(a)sin(c)-sin(b) cos(b)sin(c) cos(b)cos(c)其中a,b,c是三个角度，表示绕X，Y，Z轴的旋转角度。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
• (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的 X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系{A’} 、 {0 1 1 1
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
0
1
1
上海电机学院 机械学院
• 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
上海电机学院 机
械学院
旋转算子
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
0
cos
0
0 0 1 0
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
B C
R
0
B
pC 1
0
复合变换可解释为：
(1)CAT 和 CBT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。
机器人运动学中变换矩阵左乘右乘的理解
机器人运动学中变换矩阵左乘右乘的理解1. 引言在机器人运动学中，变换矩阵是一个核心概念，它用于描述机器人末端执行器相对于基座的位置和姿态。
而在进行变换矩阵的计算过程中，左乘和右乘往往是容易引起混淆的地方。
本文将深入探讨机器人运动学中变换矩阵左乘右乘的理解，帮助读者更加深入地理解这一重要概念。
2. 左乘和右乘的概念在机器人运动学中，一个坐标系相对于另一个坐标系的变换通常是通过一个4x4的变换矩阵来表示的。
假设我们有两个变换矩阵A和B，它们分别表示两个坐标系之间的变换关系。
当我们想要对某个向量或点进行这两个变换的组合时，就涉及到了左乘和右乘的操作。
•左乘：表示在原有变换的基础上进行相对位移或旋转。
即先进行左边的变换，再进行右边的变换。
•右乘：表示在原有变换的基础上进行绝对位移或旋转。
即先进行右边的变换，再进行左边的变换。
3. 左乘和右乘的比喻我们可以用日常生活中的例子来更好地理解左乘和右乘的概念。
想象一辆汽车在高速公路上行驶，这辆汽车可以进行前进和转向的操作。
•左乘：相当于在车身自身坐标系上进行操作，比如车辆自身转向或者车辆自身前进。
•右乘：相当于在世界坐标系上进行操作，比如在道路上的绝对位置调整或者全局导航的位移。
通过这个比喻，我们可以更清晰地理解左乘和右乘的区别，以及它们在机器人运动学中的应用。
4. 变换矩阵的左乘和右乘计算方法在机器人运动学中，变换矩阵的左乘和右乘的具体计算方法也是至关重要的。
在实际操作中，我们需要根据特定的场景和问题，选择合适的左乘和右乘的顺序，才能得到准确的结果。
假设有两个变换矩阵A和B，它们的表示如下： A = [[R1, p1], [0, 1 ]] B = [[R2, p2], [0, 1 ]]其中R表示旋转矩阵，p表示平移向量。
•左乘(A左乘B)的计算方法：先将A和B相乘，得到新的变换矩阵C，即C = A * B。
•右乘(B右乘A)的计算方法：先将B和A相乘，得到新的变换矩阵D，即D = B * A。
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
上海电机学院 机械学院
❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1，T 将此点绕Z轴 旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
W Rot(Y,90)Rot(Z,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0Leabharlann 1000 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
cos
Rot(
z,
)
sin 0
0
sin cos
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
上海电机学院 机械学院
CAT ABT CBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对 ｛A｝的描述为 ABT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 CBT ，则
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
c os
z' z
x' cos sin 0 0 x
y'
sin
cos
0
0
y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0
0
1
1
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
上海电机学院 机械学院
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Rot(z,
)
sin
1
0
0
0
3
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0
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例2-6：建 立右图的雅 可比矩阵
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机械臂末端的速度为
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微分变换法
对于转动关节
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对于移动关节
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对于移动关节
对于转动关节
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33ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例：PUMA560的6个关节都是转动关节，其雅可比有 6列。此处用矢量积法计算J(q)
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比较方便。
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对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从
三维空间运行的机器人运动学方程，可以获得直角
坐标位置向量
的显式方程，因此，J的前三
行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量
的一般表达式。找不出互相独立的、无
顺序的三个转角来描述方位．绕直角坐标轴的连续
角运动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对
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雅可比矩阵的应用
1、分离速度控制
由上式可见，当已知手端速度向量V，可通过左 乘雅可比逆矩阵计算出机器人的关节速度向量，所以 上式为运动学逆问题的速度关系式，是对机器人进行 速度控制的基本关系式。
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采用计算机控制时，把速度表示位置增量的形 式，故将上式写为：
式中,Δv为手 部在基础坐标 下一个采样周 期的位移(线位 移、角位移)； Δq为在同一周 期内关节变量 的增量。
为连杆i相对i-1的角
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手抓在基坐标系中的广义速度向量为：
式中， v为线速度，ω为角速度分量。
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从关节空间速度向操作空间速度映射的 线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：
4-3
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在数学上，机器人终端手抓的广义位置 （位姿）矢量P可写成：
上式对时间求导，有：
4-5
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例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节 外，其余5个关节为转动关节。此处用微分法计算 TJ(q)
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逆雅可比矩阵
若给定机器人终端手抓的广义速度向量V， 则可由下式解出相应的关节速度：
上式中， 称为逆雅可比矩阵， 为加
给对应关节伺服系统的速度输入变量。
设一个驱动器只驱动一个关节，则n个关节需求 n个驱动力，可组成一个n维关节力向量:
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T与F的关系可以表示为：
2-56
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式中， 称为机器人力雅可比，它表示在静 止平衡状态下，末端广义力向关节力映射的线性 关系。显然，力雅可比是机器人速度雅可比的转 置。因此，机器人静力学传递关系和速度传递关 系紧密相关。
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对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵J(q)
是6×n阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代 表对手爪线速度v的传递比，后三行称为方位矩阵， 代表相应的关节速度 对手爪的角速度ω的传递
比。因此，可将雅可比矩阵J(q)分块，即：
式中，Jli和Jai分别表示关节i的单位关节速度引起手爪 的线速度和角速度。
的姿态(如图2)，试分别求出生成手爪力FA＝[fx,0,0]T， FB ＝[0,fy,0]T, FC＝[0,0,N]T的驱动力矩τA,τB ,τC。
图1
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图2
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对照式4-3和式4-5，可知：
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在机器人学中，J是一个把关节速度向量 变
换为手爪相对基坐标的广义速度向量的变换矩阵。
在三维空间运行的机器人，其J阵的行数恒为6(沿/
绕基坐标系的变量共6个)；列数则为机械手含有的
关节数目。
对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向
量
均容易确定，可采用直接微分法求J，
仅旋转关节产生的线速度
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矢量
起于Oi-1，止于On，所以由
ωi产生的线速度为:
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由于
所以
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雅可比矩阵的求解：
Jai的求法： (1) 第i关节为移动关节时 (2) 由于关节移动的平移不对手部产生角速度，所以此时
(2) 第i关节为转动关节时，
所以
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当第i关节为移动关节时
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▲雅可比矩阵的定义 ▲微分运动与广义速度 ▲雅可比矩阵的构造法 ▲PUMA560机器人的雅可比矩阵 ▲逆雅可比矩阵 ▲力雅可比矩阵
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2
上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐 次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立 了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解， 建立了操作空间与关节空间的映射关系。
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简写为：
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其中，R是旋转矩阵
S(P)为矢量P的反对称矩阵 S(P)矩阵具有以下性质：
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相应的，广义速度V的坐标变换为： 任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为：
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4.3 雅可比矩阵的构造法
构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变 换法，雅可比矩阵J(q)既可当成是从关节空间向 操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微 分运动转换的线性关系，即：
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当要求机器人沿某轨迹运动时，Δv为已知，将它 代入上式中求得关节变量增量Δq ，于是可确定各关 节变量值，由伺服系统实现位置控制，这就是分离 速度控制原理，如下图所示。
Δv要求
Δv实际
分离速度控制原理
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雅可比矩阵的应用
2、在静力分析中的应用
有些机器人的工作需要与环 境接触，并保持一定的接触力， 如右图所示。接触力F可表示为 一个六维力向量：
当第i关节为转动关节时
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确定
1、用b表示zi-1轴上的单位向量 把它转换到基础坐标系中，即为
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如右图所示。用O、Oi-1、On 分别表示基础坐标系、i-1号 坐标及手部坐标系的原点。用 矢量x表示在各自坐标系中的 原点。
把
用齐次坐标表示
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有上式可以确定
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角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微分
法来获得J的后三行。因此，常用构造性方法求雅可
比J。
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4.2 微分运动与广义速度
刚体或坐标系的微分运动包括微分移动矢量d 和微分转动矢量 δ。前者由沿三个坐标轴的微分 移动组成，后者由绕三个坐标轴的微分转动组成， 即
或
或
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刚体或坐标系的微分运动矢量 刚体或坐标系的广义速度
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由构型和例2-6可得：
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思考题1：
右图为三自由度机械手 (1)用D-H方法建立各附体坐 标系； (2)列出连杆的D-H参数表； (3)建立运动学方程； (4)建立雅可比矩阵。
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图1
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思考题2：
对图1的三自由度机械手，取θ1＝0,θ2＝90，θ3＝90
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雅可比矩阵的求解（矢量积法）：
Jli的求法： (1) 第i关节为移动关节时
仅平移关节产生的线速度
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设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则：
设bi-1为zi-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下 的平移速度di转换成基础坐标下的速度：
由于
所以
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(2)第i个关节为转动 关节时， 设某时刻仅此关节运 动，其余的关节静止 不动，仍然利用bi-1 将zi-1轴上的角速度 转化到基础坐标中去
本章将在位移分析的基础上，进行速度分 析，研究操作空间速度与关节空间速度之间 的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空 间之间的速度线性映射关系，同时也用来表 示两空间之间力的传递关系。
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4.1 雅可比矩阵的定义
把机器人关节速度向量 定义为：
式中， 速度或线速度。