材料力学第七章

一、讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。

解 根据第十九章讨论，圆轴扭转时，在横截面的边缘处剪应力最大，其数值为:

n n W M

=τ (e )

在圆轴的最外层，按图22-5(a )，所示方式取出单元体ABCD ，单元体各面上的应力如图22-5(b )所示。在这种情况下，

ττσσ===xy y x ，0 （f ）

单元体侧面上只有剪应力作用，而无正应力作用的这种应力状态称为纯剪切应力状态。把(f )式代入公式(22-6)得:

min max

σσ ττσσσσ±=+-±+=22)2

(2xy y x y x 由公式（22-5）：

y

x xy

tg σστα--

=220 →∞-

所以 2709020--=或α

450-=α 或 1350-=α

以上结果表明，从x 轴量起，由 450-=α(顺时针方向)所确定的主平面上的主应力为

max σ；而由

1350-=α所确定的主平面上的主应力为min σ。按照主应力的记号规定： τσσστσσ-=====min 32max 10

所以，纯剪切是二向应力状态，两个主应力的绝对值相等，都等于剪应力τ，但一个为拉应力，一个为压应力。

圆截面铸铁试件扭转时，表面各点max σ所在的主平面联成倾角为︒45的螺旋面[图22-5（a ）]。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏，如图22-5（c ）所示。

二、 图22-6（a ）所示为一横力弯曲下的梁，求得截面m －n

上的弯矩M 及剪力Q

后，算出截面上一点A 处弯曲正应力和剪应力分别为：MPa MPa 50,70=-=τσ[图22-6

（b ）]试确定A 点处的主应力及主平面的方位，并讨论同一横截面上其它点处的应力状态。

解 把从A 点处截取的单元体放大如图22-6（c ）所示。选定x 轴的方向垂直向上，则

(a )

(c ) 图22-5

0=x σ MPa y 70-=σ MPa xy 50-=τ

由公式（22-5）得： 429.1)

70(0)

50(2220=----

=--

=y

x xy

tg σστα

︒=5520α或︒235 ︒=5.270α或︒5.117

从x 轴量起，按逆时针方向量取的角度︒5.27，确定max σ所在主平面，以同一方向量取的角度,5.117︒确定min σ所在的另一主平面。至于这两个主应力的大小，则可由公式（22-6）求出为：

⎭⎬⎫m in m ax σσ =2)70(0-+±=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--2

2

)50(2)70(0⎩

⎨

⎧-)(96)(26MPa MPa 按照关于主应力的记号规定

MPa MPa

96026321-===σσσ

主应力及主平面的位置已表示于图22-6（c ）中。

三、 从受力构件中截取的单元体，其应力状态如图22-10（a ）所示。试求主应力值和主平面位置。

解 用解析法和应力圆两种方法解此题。

（1）用应力圆计算：先作στO 坐标系，选定适当比例尺。量取MPa OA x 80==σ、

MPa AD xy 60-==τ得D 点；再量取a MP MPa OB yx y 60BD ，30'====τσ得D '点。连D D '

(a ) (b ) (c )

图22-6

(b

)

(a )

图22-10

与横轴相交于C 点，以C 点为圆心，D D '为直径，可画出应力圆[图22-10（b ）所示]。 应力圆与横轴σ相交于两点M 和N ，其横坐标即为主应力1σ和3σ。由图上量得：

a MP 1201max ==σσ, MPa 103min -==σσ

因为单元体的前后平面上无应力作用，按主应力的顺序规定，主应力2σ=o 。

在应力圆上量得CD 与CM 两半径间的夹角为︒4.67，由D 点到M 点是逆时针转向，所

以在单元体就应从x 轴逆时针转

︒=︒

7.332

4.67，即得主应力1σ的方向，从而定出其主平面位置。同样，在图22-10(b)上量得20α' =︒-6.112，所以在单元体上从x 轴顺时针转︒-='3.560

α，可得主应力3σ的方向及其主平面，从而画出单元体1234[图22-10(a )]。

(2)用解析法计算:将应力MPa x 80=σ、MPa y 30=σ、MPa x 60-=τ代入公式（22-6），可得：

22

min max 22xy y x y

x τσσσσσσ+⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-±+=⎭⎬⎫ =()

2

2

60

2308023080-+⎪⎭

⎫

⎝⎛-±+

=⎪⎩

⎪⎨

⎧-MPa MPa

10120

按照关于主应力的记号规定得：

MPa MPa 10,0,120321-===σσσ 再由公式（22-5）计算主平面的位置：

02αtg =4.230

80)

60(22=---

=--

y

x xy

σστ

得 0α=︒7.33

︒-=︒-='3.569000

αα 由此得主应力1σ和3σ作用的单元体1234[图22-10（a ）]。

四、 用应力圆求图22-11（a ）所示单元体在斜截面d —e 上的正应力及剪应力。

解 选取比例尺如图所示。目前情况为单向应力状态，可看作是二向应力状态的特殊

图22-11

（a ）

（b ）