武汉中考数学 圆的综合综合试题

AO 是 BC 的垂直平分线，
过点 O 作 OG AB于 G，
AOG 1 AOB， AG 1 AB 3，
2
2
AOB 2 ACB，
ACF AOG ，
在 Rt AOG 中， sin AOG AG 3 ， AC 5
sin ACF 3 ， 5
在 Rt ACF中， sin ACF 3 ， 5
（2）解：∵ AD＝CD， ∴ ∠ DAC＝∠ DCA＝∠ CAB，
∴ DC∥ AB， ∵ ∠ CAE＝∠ OCA， ∴ OC∥ AD， ∴ 四边形 AOCD 是平行四边形， ∴ OC＝AD＝a，AB＝2a， ∵ ∠ CAE＝∠ CAB， ∴ CD＝CB＝a， ∴ CB＝OC＝OB， ∴ △ OCB 是等边三角形，
9t2 ?
(0 t 2)
综上所述：S=
7 2
t
2
50t
50(2
t
10)
．
t2 40t 400? (10 t 20)
②如图 7 中，当 0＜t≤5 时， 1 t+3t=15，解得：t= 30 ，此时 S=100cm2，当 5＜t＜20 时，
2
7
1 t+20﹣t=15，解得：t=10，此时 S=100． 2
（2）分四种切线讨论 a、如图 3 中，当 0＜t≤2 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（3t） 2=9t2．b、如图 4 中，当 2＜t≤5 时，重叠部分是五边形 EFGMN．c、如图 5 中，当 5＜t＜ 10 时，重叠部分是五边形 EFGMN．d、如图 6 中，当 10＜t＜20 时，重叠部分是正方形 EFGH．分别计算即可； ②分两种情形分别列出方程即可解决问题．
（2）△ AEF 是否为“智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为 4a， ∵ E 是 DC 的中点， ∴ DE=CE=2a， ∵ BC：FC=4：1， ∴ FC=a，BF=4a﹣a=3a， 在 Rt△ ADE 中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2， 在 Rt△ ECF 中，EF2=（2a）2+a2=5a2， 在 Rt△ ABF 中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，
试题解析：解：（1）如图 1 中，当 0＜t≤5 时，由题意得：AE=EH=EF，即 10﹣2t=3t，t=2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图 2 中，当 5＜t＜20 时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10． 综上所述：t=2s 或 10s 时，点 H 落在 AC 边上．
（2）①如图 3 中，当 0＜t≤2 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（3t）2=9t2
由勾股定理可得 PQ=
，
PM=1×2 ÷3=
，
由勾股定理可求得 OM=
，
故点 P 的坐标（﹣
， ），（
， ）．
考点：圆的综合题．
6．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点 O(0，0)，点 A( 6 ，0)与点 B(0，－ 2 )，点 D
∴ AE2+EF2=AF2， ∴ △ AEF 是直角三角形， ∵ 斜边 AF 上的中线等于 AF 的一半， ∴ △ AEF 为“智慧三角形”； （3）如图 3 所示： 由“智慧三角形”的定义可得△ OPQ 为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为 1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为 3，
CE 为 AB 的垂直平分线，
AE BE 3，
在 Rt AEO 中， OA 5 ，根据勾股定理得， OE 4 ，
CE OE OC 9 ，
S
ABC
1 2
AB CE
1 2
69
27 ；
Ⅱ、当 AC AB 6 时，如图 4，
连接 OA 交 BC 于 F，
AC AB ， OC OB ，
综上所述：当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值为 100cm2
点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不 能漏解，属于中考压轴题．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，D、D 为⊙O 上两点，CF⊥AB 于点 F，CE⊥AD 交 AD 的延长线 于点 E，且 CE=CF. （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）连接 CD、CB，若 AD=CD=a，求四边形 ABCD 面积.
① 求 C 的正切值； ② 若 ABC为等腰三角形，求 ABC 面积．
【答案】 1
30； 2① C 的正切值为
3 4
； ②S
ABC
27
或
432 25
.
【解析】
【分析】
1 连接 OA，OB，判断出 AOB 是等边三角形，即可得出结论；
2①先求出 AD 10 ，再用勾股定理求出 BD 8 ，进而求出 tanADB，即可得出结
为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此
时点 的坐标.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P 的坐标（ 2 2 ， 1 ），（ 2 2 ，
33
3
1 ）． 3
【解析】 试题分析：（1）连结 AO 并且延长交圆于 C1，连结 BO 并且延长交圆于 C2，即可求解； （2）设正方形的边长为 4a，表示出 DF=CF 以及 EC、BE 的长，然后根据勾股定理列式表示 出 AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△ AEF 是直角三角形，由直角三角形的性 质可得△ AEF 为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△ OPQ 为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为 1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为 3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可 求斜边的高，即点 P 的横坐标，再根据勾股定理可求点 P 的纵坐标，从而求解． 试题解析： （1）如图 1 所示：
【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】
（1）由等角的转换证明出 OCA≌OCE ，根据圆的位置关系证得 AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形 FOBE 是菱形，得到 OF=OB=BF=EF，得证 OBE 为等边三角形，而得出 BOE 60 ，根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】 （1）证明：∵ CD 与⊙O 相切于点 E，
或
10s；（2）①S=
7 2
t
2
50t
50(2
t
10)
；②100cm2．
t2 40t 400? (10 t 20)
【解析】
试题分析：（1）如图 1 中，当 0＜t≤5 时，由题意 AE=EH=EF，即 10﹣2t=3t，t=2；如图 2
中，当 5＜t＜20 时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；
3．如图．在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AB=30cm，点 P 在 AB 上，AP=10cm，点 E 从点 P 出发沿线段 PA 以 2cm/s 的速度向点 A 运动，同时点 F 从点 P 出发沿线段 PB 以 1cm/s 的速 度向点 B 运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿线段 AB 向点 B 运动，在点 E、F 运动过程 中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与△ ABC 在线段 AB 的同侧，设点 E、F 运动的时间为 t （s）（0＜t＜20）．
∴ OBE 为等边三角形， ∴ BOE 60 ，
而 OE CD ， ∴ D 30 ．
故答案为 30． 【点睛】 本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关 键.
2．已知 O 的半径为 5，弦 AB 的长度为 m，点 C 是弦 AB 所对优弧上的一动点．
1 如图 ① ，若 m 5 ，则 C 的度数为______ ； 2 如图 ② ，若 m 6 ．
AF 3 AC 18 ，
5
5
CF 24 ， 5
S
ABC
1 2
AF BC
1 2
18 5
24 5
432 25
；
Ⅲ、当
BA
BC
6 时，如图
5，由对称性知， S
ABC
432 25
．
【点睛】 圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积 公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值； （2）设正方形 EFGH 与△ ABC 重叠部分的面积为 S．①试求 S 关于 t 的函数表达式；②以
点 C 为圆心， 1 t 为半径作⊙C，当⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此时 S 的值． 2
9t2 ?
(0 t 2)
【答案】（1）t=2s
在 Rt△ CFB 中，CF＝
，
∴ S 四边形 ABCD＝ （DC＋AB）•CF＝
【点睛】 本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心 和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．
5．定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一 半，那么称三角形为“智慧三角形”.
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB 为⊙O 的直径，点 E 在⊙O 上，过点 E 的切线与 AB 的延长线交于点 D，连接 BE，过点 O 作 BE 的平行线，交⊙O 于点 F，交切线于点 C，连接 AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）连接 EF，当∠ D= °时，四边形 FOBE 是菱形．
∴ OE CD ，
∴ CEO 90 ， 又∵ OC BE ，
∴ COE OEB ，∠ OBE=∠ COA
∵ OE=OB，
∴ OEB OBE ， ∴ COE COA，
又∵ OC=OC，OA=OE，
∴ OCA≌OCE（SAS）， ∴ CAO CEO 90 ，
又∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ AC 为⊙O 的切线； （2）解：∵ 四边形 FOBE 是菱形， ∴ OF=OB=BF=EF， ∴ OE=OB=BE，
理解： ⑴如图 ，已知 是⊙ 上两点，请在圆上找出满足条件的点 ，使 角形”（画出点 的位置，保留作图痕迹）；
为“智慧三
⑵如图 ，在正方形
中， 是 的中点， 是 上一点，且
，试
判断 运用：
是否为“智慧三角形”，并说明理由；
⑶如图 ，在平面直角坐标系 中，⊙ 的半径为 ，点 是直线
上的一点，若
在⊙ 上存在一点 ，使得
如图 4 中，当 2＜t≤5 时，重叠部分是五边形 EFGMN，S=（3t）2﹣ 1 （5t﹣10）2=﹣ 2
7 t2+50t﹣50． 2
如图 5 中，当 5＜t＜10 时，重叠部分是五边形 EFGMN，S=（20﹣t）2﹣ 1 （30﹣3t）2=﹣ 2
7 t2+50t﹣50． 2
如图 6 中，当 10＜t＜20 时，重叠部分是正方形 EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
AD 为 O 的直径， AD 10， ABD 90 ， 在 Rt ABD中， AB m 6，根据勾股定理得， BD 8 ， tan ADB AB 3 ，
BD 4
C ADB ， C的正切值为 3 ；
4 ② Ⅰ、当 AC BC 时，如图 3，连接 CO 并延长交 AB 于 E，
AC BC ， AO BO ，
【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，AC，可先证明 AC 平分∠ BAE，结合圆的性质可证明 OC∥ AE，可得∠ OCB＝ 90°，可证得结论； （2）可先证得四边形 AOCD 为平行四边形，再证明△ OCB 为等边三角形，可求得 CF、 AB，利用梯形的面积公式可求得答案． 【详解】 （1）证明：连接 OC，AC． ∵ CF⊥AB，CE⊥AD，且 CE＝CF． ∴ ∠ CAE＝∠ CAB． ∵ OC＝OA， ∴ ∠ CAB＝∠ OCA． ∴ ∠ CAE＝∠ OCA． ∴ OC∥ AE． ∴ ∠ OCE＋∠ AEC＝180°， ∵ ∠ AEC＝90°， ∴ ∠ OCE＝90°即 OC⊥CE， ∵ OC 是⊙O 的半径，点 C 为半径外端， ∴ CE 是⊙O 的切线．
论；
② 分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【详解】
1 如图 1，连接 OB，OA，
OB OC 5 ，
AB m 5 ， OB OC AB， AOB 是等边三角形， AOB 60 ， ACB 1 AOB 30 ，
2
故答案为 30；
2①如图 2，连接 AO 并延长交 O 于 D，连接 BD，