动态法测量杨氏模量

实验四 动态法测定材料杨氏模量

杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数,它标志着材料抵抗弹性形变的能力。 杨氏模量测量方法有多种,最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量,这属于静态法测量,这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料,对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性,在实际应用中已经被广泛采用,也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。

一、实验目的

1.理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量。 ３．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4.进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。

二、实验原理

长度L 远远大于直径d(L>>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动)时满足的动力

解以上方程的具体过程如下(不要求掌握）： 用分离变量法:令)()(),(t T x X t x y =

代入方程(1)得: 2

244d d 1d d 1t

T

T YJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能,设该常数为4

K ,于是得：

0d d 44

4=-X K x

X

0d d 42

2=+T s YJ

K t

T ρ 这两个线形常微分方程的通解分别为：

Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=

) cos()(ϕω+=t A t T

于是解振动方程式得通解为：

) cos()sin cos (),(4321ϕω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y

其中式(２）称为频率公式:

2

1

4

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=s YJ K ρω (２）

该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近,则其边界条件为自由端横向作用力:

033=∂∂-=∂∂-=x

y YJ x M F

弯矩 : 02

2=∂∂=x

y

YJ M 即

x d X

d 0

x 33==0x d X d l

x 3

3==

x d X d 0

x 2

2==0x d X d l

x 2

2==

将通解代入边界条件，得到1cos =KLchKL ,用数值解法求得本征值K 和棒长L 应满足：

420.20 ,279.17 ,137.14 ,9956.10 ,8532.7 ,7300.4 ,0=KL ,

由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根，记作

L K 1。一般将7300.4 1=L K 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。在上述L K n 值中,１，3，5…个数值对应着“对称形振动”， 第２、4、6…个数值对应着“反对

称形振动”。图１给出了当4 ,3 ,2 ,1n =时的振动波形。由1n =图可以看出,试样在作基频振动时，存在两个节点,它们的位置距离端面分别为L 224.0和L 776.0处。理论上悬挂点(支撑点)应取在节点处,但由于悬挂（支撑点)在节点处试样棒难于被激振和拾振,为此，可以在节点两旁选不同点对称悬挂(支撑）,用外推法找出节点处的共振频率。将第一本征值

L

7300

.4K =

代入(2）式，得到自由振动的固有频率(即基频)：

()21

4

4

7300

.4

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

s

l

YJ

ρ

ω

解出杨氏模量: 2

4

3

10

9978

.1ω

ρ

J

s

L

Y-

⨯

=

2

3

2

10

8870

.7f

J

m

L

⨯

⨯

=-

对于圆棒: ⎰=

=2

2)

4

d

(s

s d

y

J式中d为圆棒的直径。

得到杨氏模量的表达式为：2

4

3

6067

.1f

d

m

L

Y⨯

=(3) 上式即为（1）式的解。式中L为棒长,d为棒的直径,m为棒的质量。如果在实验中测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f,即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨氏模量Y。在国际单位制中杨氏模量的单位为(2-

Nm)。

本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可采用如图2所示装置。

由信号发生器输出的等幅正弦波信号,加在传感器I（激振)上。通过传感器Ｉ把电信号转变成机械振动,再由悬线(支撑刀）把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线(支撑刀）把试样的振动传给传感器II(拾振),这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时,试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大,这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。根据（3)式，即可计算出该温度下的杨氏模量。