信号与系统习题(1)
信号与系统试题五(1)
期末考试试题五一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。
（A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分dt t t ⎰∞∞--+)21()2(δ等于 。
（A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。
（A ）1-z z （B ）-1-z z（C ）11-z （D ）11--z4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。
（A ）)2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(21t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系统的零状态响应y f (t)等于（A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t)（C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t)6、 连续周期信号的频谱具有（A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性7、 周期序列2)455.1(0+k COS π的 周期N 等于（A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和()∑∞-∞=-k k 1δ等于（A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()se s s s F 2212-+=的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u tet f t的单边拉氏变换()s F 等于()A ()()()232372+++-s e s s ()()223+-s e B s()()()2323++-s se C s ()()332++-s s e D s二、填空题（共9小题，每空3分，共30分）1、卷积和[（0.5）k+1u(k+1)]*)1(k -δ=________________________2、单边z 变换F(z)=12-z z的原序列f(k)=______________________ 3、已知函数f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)=1+s s，则函数y(t)=3e -2t ·f(3t)的单边拉普拉斯变换Y(s)=_________________________4、频谱函数F(j ω)=2u(1-ω)的傅里叶逆变换f(t)=__________________5、单边拉普拉斯变换ss s s s F +++=2213)(的原函数f(t)=__________________________ 6、已知某离散系统的差分方程为)1(2)()2()1()(2-+=----k f k f k y k y k y ，则系统的单位序列响应h(k)=_______________________7、已知信号f(t)的单边拉氏变换是F(s),则信号⎰-=20)()(t dx x f t y 的单边拉氏变换Y(s)=______________________________8、描述某连续系统方程为()()()()()t f t f t y t y t y +=++''''52该系统的冲激响应h(t)=9、写出拉氏变换的结果()=t u 66 ，=kt 22三、（8分）已知信号()()()⎪⎩⎪⎨⎧><==↔./1,0,/1,1s rad s rad jw F j F t f ωωω设有函数()(),dt t df t s =求⎪⎭⎫⎝⎛2ωs 的傅里叶逆变换。
信号与系统期末考试复习题及答案(共8套)
信号与系统考试题及答案（一）1． 系统的激励是)t (e ，响应为)t (r ，若满足dt)t (de )t (r =，则该系统为 线性、时不变、因果。
（是否线性、时不变、因果？） 2． 求积分dt )t ()t (212-+⎰∞∞-δ的值为 5 。
3． 当信号是脉冲信号f(t)时，其 低频分量 主要影响脉冲的顶部，其 高频分量 主要影响脉冲的跳变沿。
4． 若信号f(t)的最高频率是2kHz ，则t)f(2的乃奎斯特抽样频率为 8kHz 。
5． 信号在通过线性系统不产生失真，必须在信号的全部频带内，要求系统幅频特性为 一常数相频特性为_一过原点的直线（群时延）。
6． 系统阶跃响应的上升时间和系统的 截止频率 成反比。
7． 若信号的3s F(s)=(s+4)(s+2)，求该信号的=)j (F ωj 3(j +4)(j +2)ωωω。
8． 为使LTI 连续系统是稳定的，其系统函数)s (H 的极点必须在S 平面的 左半平面 。
9． 已知信号的频谱函数是））00(()j (F ωωδωωδω--+=，则其时间信号f(t)为01sin()t j ωπ。
10． 若信号f(t)的211)s (s )s (F +-=，则其初始值=+)(f 0 1 。
二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。
（每小题2分，共10分）1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ）2.满足绝对可积条件∞<⎰∞∞-dt t f )(的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条件的信号一定不存在傅立叶变换。
（ × ） 3.非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。
（ √ ）4.连续LTI 系统的冲激响应的形式取决于系统的特征根，于系统的零点无关。
（ √ ）5.所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。
（ × ）三、计算分析题（1、3、4、5题每题10分，2题5分， 6题15分，共60分）1.信号)t (u e )t (f t-=21，信号⎩⎨⎧<<=其他，01012t )t (f ，试求)t (f *)t (f 21。
信号与系统复习题1
信号与系统复习题1 第一部分 选择题一、单项选择题 1. 积分ed t--∞⎰2τδττ()等于（ ）A ．δ()tB ．ε()tC ．2ε()tD ．δε()()t t +2.设：两信号f 1(t)和f 2(t)如图—2。
则：f 1(t)与f 2(t)间变换关系为( )。
(A)f 2(t)=f 1(21t+3) (B)f 2(t)=f 1(3+2t) (C)f 2(t)=f 1(5+2t)(D)f 2(t)=f 1(5+21t)3.已知：f(t)=SgN(t)的傅里叶变换为F(j ω)=ωj 2, 则：F 1(j ω)=j πSgN(ω)的傅里叶反变换f 1(t)为( )。
(A)f 1(t)=t1(B)f 1(t)=-t 2(C)f 1(t)=-t1(D)f 1(t)=t 24.周期性非正弦连续时间信号的频谱，其特点为( )。
(A)频谱是连续的，收敛的(B)频谱是离散的，谐波的，周期的(C)频谱是离散的，谐波的，收敛的 (D)频谱是连续的，周期的5. 已知信号f t ()如图所示，则其傅里叶变换为（ ）A.j Sa ωτωτ2244() B.-j Sa ωτωτ2244() C.j Sa ωτωτ2242() D.-j Sa ωτωτ2242() 6. 已知 [()](),f t F j =ω则信号f t ()25-的傅里叶变换为（ ） A.1225F j e j ()ωω- B.F j e j ()ωω25-C.F j e j ()ωω252-D.12252F j e j ()ωω-7. 已知信号f t ()的傅里叶变换F j ()()(),ωεωωεωω=+--00则f t ()为（ ） A.ωπω00Sa t () B.ωπω002Sa t () C.200ωωSa t ()D.2200ωωSa t()8. 已知一线性时不变系统，当输入x t ee t tt ()()()=+--3ε时，其零状态响应是y t e e t t t ()()()=---224ε，则该系统的频率响应为（ ）A.-+++321412()j j ωω B.321412()j j ωω+++ C.321412()j j ωω+-+ D.321412()-+++j j ωω 9. 信号f t e t t()()=-2ε的拉氏变换及收敛域为（ ）A.122s s ->,Re{} B.122s s +<-,Re{} C.122s s -<,Re{}D.122s s +>-,Re{} 10.信号f t t t ()sin ()()=--ωε022的拉氏变换为（ ） A.s s e s2022+-ω B.s s e s222+ω C.ωω0222s e s + D.ωω0222s e s+- 11．题7图所示信号f(t)的傅里叶变换为( ) A.2Sa(ω)sin2ωB.4Sa(ω)sin2ωC.2Sa(ω)cos2ωD.4Sa(ω)cos2ω12.f(t)=e -(t-2))2t (-ε-e -(t-3)ε(t-3)的拉氏变换F(s)为( )A.1s e e s 3s 2+--- B.0C.1s e e s 3s 2----D.)1s )(1s (e e s 3s 2+----13.象函数F(s)=2]s (Re[2s 3s 12>+-)的原函数为( )A.(e -2t -e -t )ε(t)B.(e 2t -e t )ε(t)C.(e -t -e -2t )ε(t)D.(e t -e 2t )ε(t)14.若系统冲激响应为h(t)，下列式中可能是系统函数H(s)的表达式为( ) A.1s 3s e 2st ++- B.2)1s (t +C.)1s (s 4e 2sT +- D.3e -2t ε(t-2)15.序列f 1(n)和f 2(n)的波形如题11图所示，设f(n)=f 1(n)*f 2(n)，则f(2)等于( ) A.0 B.1 C.3D.516.序列f(n)=2-n ε(n-1)的单边Z 变换F(z)等于( )A.1z 2z 1--B.1z 21- C.1z 21+D.1z 2z - 第二部分 非选择题二、填空题17.f t t ()()-*=τδ 。
(完整word版)信号与系统专题练习题及答案
信号与系统专题练习题一、选择题1．设当t 〈3时，x(t)=0，则使)2()1(t x t x -+-=0的t 值为 C 。
A t>-2或t>-1 B t=1和t=2 C t>—1 D t 〉-22．设当t 〈3时，x （t)=0，则使)2()1(t x t x -⋅-=0的t 值为 D 。
A t>2或t 〉-1 B t=1和t=2 C t>—1 D t>—23．设当t<3时，x(t ）=0，则使x （t/3)=0的t 值为 C 。
A t>3 B t=0 C t<9 D t=34．信号)3/4cos(3)(π+=t t x 的周期是 C 。
A π2 B π C 2/π D π/2 5．下列各表达式中正确的是 BA. )()2(t t δδ= B 。
)(21)2(t t δδ= C. )(2)2(t t δδ= D 。
)2(21)(2t t δδ=6. 已知系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为:)1()(t e t r -= 则该系统为 B . A 线性时不变系统 B 线性时变系统 C 非线性时不变系统 D 非线性时变系统 7。
已知 系统的激励e(t ）与响应r （t)的关系为:)()(2t e t r = 则该系统为 C .A 线性时不变系统B 线性时变系统C 非线性时不变系统D 非线性时变系统8。
⎰∞-=t d ττττδ2sin )( A 。
A 2u （t ） B )(4t δ C 4 D 4u （t) 10. dt t t )2(2cos 33+⋅⎰-δπ等于 B 。
A 0 B —1 C 2 D —211．线性时不变系统输出中的自由响应的形式由 A 决定A 系统函数极点的位置；B 激励信号的形式;C 系统起始状态；D 以上均不对。
12．若系统的起始状态为0，在x （t)的激励下，所得的响应为 D . A 强迫响应;B 稳态响应；C 暂态响应;D 零状态响应。
信号与系统第一章习题及作业(1,2)
(2)（余弦序列是否为周期信号，取决于2л/Ω0是正整 （余弦序列是否为周期信号，取决于 Ω 有理数还是无理数。） 数、有理数还是无理数。） 因此， 因此， 2л/Ω0=2л·7/8л=7/4=N/m Ω =2л·7/8л 所以基波周期为N=7； 所以基波周期为N=7； N=7
因为2л/Ω =16л 为无理数， (4) 因为 Ω0=16л,为无理数，则此信号不是周期 信号． 信号． (5) 因为周期信号在[-∞,+∞]的区间上,而本题的重 因为周期信号在[ ∞,+∞]的区间上, 的区间上 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号 则此信号为非周期信号, 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号,
f(n) 1 0 3 6 … n
9、判断是否为线性系统？为什么？ 、判断是否为线性系统？为什么？
( 3) ( 5) (7 )
y( t ) = ln y( t 0 ) + 3t 2 f ( t ) y( t ) = y( t 0 ) + f 2 ( t ) y( t ) = sin t ⋅ f ( t )
8、一个连续时间系统的输入-输出关系为 、一个连续时间系统的输入 输出关系为
1 t+T y ( t ) = T [ f ( t ) ] = ∫ T2 f (τ )d τ T t− 2 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？ 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？
解：积分系统是线性的，因此系统是线性系统。 积分系统是线性的，因此系统是线性系统。
sin ω 0 tε ( t )
sin ω 0 ( t − t 0 )ε ( t )tt0 Nhomakorabeat
sin ω 0 tε ( t − t 0 )
信号与系统习题
因为方程（1）在t>0时，可写为
d2 r(t ) + 3 d r(t ) + 2r(t ) = 6u(t )
dt2
dt
（2）
显然，方程（1）的特解可设为常数D，把D代入方程 （2）求得
D=3
所以方程（1）的解为
( ) r t = A1 e−t + A2 e−2t + 3
（3）式的特征根为 α1 = −1，α2 = −2
方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为
( ) rzi t = B1 e−t + B2 e−2t
第 22页
（3）
X
11
第 23页
( ) rzi t = B1 e−t + B2 e−2t
( ) ( ) 由rzi 0+ = 2，rzi′ 0+ = 0，代入(4)式解得
下面由冲激函数匹配法定初始条件。
X
第
由冲激函数匹配法定初始条件
20页
据方程（1）可设
d2 r(t
dt2
)
=
aδ
(t
)
+
bΔu(t
)
d r(t ) = aΔu(t )
dt
r(t )无跳变
代入方程（1），得
aδ (t)+ bΔu(t) + 3aΔu(t) + 2r(t) = 2δ (t) + 6u(t) 匹配方程两端的 δ (t ) ，及其各阶导数项，得
(t
)
+
6u(t
)
方法一：利用r′(0 + ), r(0 + )先来求完全响应，再求零输入
信号与系统(应自炉)习题答案第1章 习题解重点
(222222j t k j t j t j k f t k e
e
e
e
f t π
π
π
πππ+++++==⨯==
∴原函数是周期函数，令1k =，则基波周期为2π。
1-2．
求信号( 14sin( 110cos(2--+=t t t f的基波周期。
解：cos(101 t +的基波周期为15
π，s i n (4
1-8．
用阶跃函数写出题图1-8所示各波形的函数表达式。
t
t
t
(a (
bc
题图1-8
解：（a）((((((3[31]2[11]f t t u t u t u t u t =++-+++-- (((3[13]t u t u t +-+---
(((((
(3 3(1 1(1 1(3 3f
t t u t t u t t u t t u t =+++--++-+-+--（b）([( (1]2[(1 (2]4(2 f t u t u t u t u t u t =--+---+-
1 t -的基波周期为
1
2
π二者的最小公倍数为π，故( 14sin( 110cos(2--+=t t t f的基波周期为π。
1-3．
设(3, 0<=tt f ,对以下每个信号确定其值一定为零的t值区间。
（1）(t f -1（2）((t f t f -+-21（3）((t f t f --21（4）(t f 3（5）(f
信号与系统习题
1,某系统7,4码)()(01201230123456c c c m m m m c c c c c c c ==c 其三位校验位与信息位的关系为：1求对应的生成矩阵和校验矩阵； 2计算该码的最小距离；3列出可纠差错图案和对应的伴随式；4若接收码字R =1110011,求发码;解：1 1000110010001100101110001101G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦101110011100100111001H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2 d min =3 34. RH T=001 接收出错E =0000001 R+E=C = 1110010 发码2.已知(),X Y 的联合概率(),p x y 为： 求()H X ,()H Y ,(),H X Y ,();I X Y 解:(0)2/3p x == (1)1/3p x ==()()(1/3,2/3)H X H Y H === bit/symbol (),(1/3,1/3,1/3)H X Y H == bit/symbol ();()()(,)I X Y H X H Y H X Y =+-= bit/symbol3.一阶齐次马尔可夫信源消息集},,{321a a a X ∈,状态集},,{321S S S S∈,且令3,2,1,==i a S i i ,条件转移概率为01X Y011/31/301/3[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=03121313121141)/(i j S a P ,1画出该马氏链的状态转移图；2计算信源的极限熵; 解：12⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=++=++1321323112123312311411332231141w w w w w w w w w w w w w w →⎪⎩⎪⎨⎧===3.03.04.0321w w wHX|S 1 =H 1/4,1/4,1/2=比特/符号HX|S 2=H 1/3,1/3,1/3=比特/符号HX|S 3=H 2/3,1/3= 比特/符号()3|0.4 1.50.3 1.5850.30.918 1.3511Hw H X S i ii ==⨯+⨯+⨯=∑∞=比特/符号 4.若有一信源⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.08.021x x P X ,每秒钟发出个信源符号;将此信源的输出符号送入某一个二元信道中进行传输 假设信道是无噪无损的,容量为1bit/二元符号, 而信道每秒钟只传递2个二元符号;（1） 试问信源不通过编码即x 10,x 21在信道中传输 （2） 能否直接与信道连接（3） 若通过适当编码能否在此信道中进行无失真传输 （4） 试构造一种哈夫曼编码两个符号一起编码, （5） 使该信源可以在此信道中无失真传输;解：1不能,此时信源符号通过0,1在信道中传输,二元符号/s>2二元符号/s 2从信息率进行比较, (0.8,0.2)H = < 12可以进行无失真传输 3410.640.16*20.2*3i i i Kp K ===++=∑ 二元符号/2个信源符号此时 2=二元符号/s < 2二元符号/s 5.两个BSC 信道的级联如右图所示：1写出信道转移矩阵； 2求这个信道的信道容量; 解： 16.设随机变量,{21=x x X }1,0{21=Y的联合概率空间为 x 1x 1x 1x 2x 2x 1x 2x 20.64011100101 0.64定义一个新的随机变量Y X Z ⨯=普通乘积（1） 计算熵HX,HY,HZ,HXZ,HYZ,以及HXYZ ；（2） 计算条件熵 HX|Y,HY|X,HX|Z,HZ|X,HY|Z,HZ|Y,HX|YZ,HY|XZ 以及HZ|XY ； （3） 计算平均互信息量IX ；Y,IX ：Z,IY ：Z,IX ；Y|Z,IY ；Z|X 以及IX ：,Z|Y; 解：1 2 37.设二元对称信道的输入概率分布分别为]4/14/3[][=X P ,转移矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3/23/13/13/2|XY P ,（１） 求信道的输入熵,输出熵,平均互信息量； （２） 求信道容量和最佳输入分布； （３） 求信道剩余度; 解：1信道的输入熵4log 4/1)3/4(log 4/3)(22+=X H ；2最佳输入分布为]2/12/1[][=X P ,此时信道的容量为)3/1,3/2(1H C -=3信道的剩余度：);(Y X I C -8.[][]25.025.05.0=X P ,试确定最佳译码规则和极大似然译码规则,并计算出相应的平均差错率;解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8/124/112/112/18/124/112/16/14/1][XY P 最佳译码规则：⎪⎩⎪⎨⎧===331211)()()(ab F a b F a b F ,平均差错率为1-1/4-1/6-1/8=11/24；极大似然规则：⎪⎩⎪⎨⎧===332211)()()(ab F a b F a b F ,平均差错率为1-1/4-1/8-1/8=1/2;9.设有一批电阻,按阻值分70%是2k Ω,30%是5k Ω；按功耗分64%是1/8W,36%是1/4W;现已知2k Ω电阻中80%是1/8W,假如得知5k Ω电阻的功耗为1/4W,问获得多少信息量; 解：根据题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡===3.07.05221k r k r R ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡===36.064.04/128/11w w W ,8.0)1/1(=r w p 由15/4)2/1()2/1()2()1/1()1()1(=⇒+=r w p r w p r p r w p r p w p 所以15/11)2/1(1)2/2(=-=r w p r w p得知5k Ω电阻的功耗为1/4W,获得的自信息量为=-))2/2((r w p lb10.已知6符号离散信源的出现概率为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321321161814121654321a a a a a a ,试计算它的熵、Huffman 编码和费诺编码的码字、平均码长及编码效率; 解：该离散信源的熵为323213232116161881441221)()(61lb lb lb lb lb lb p lb p x H i i i +++++=-=∑== bit/符号11.在图片传输中,每帧约有2106个像素,为了能很好地重现图像,每像素能分256个亮度电平,并假设亮度电平等概分布;试计算每分钟传送两帧图片所需信道的带宽信噪功率比为30dB; 解：每个像素点对应的熵8256log log 22===n H bit/点 2帧图片的信息量bit H N I 7610*2.38*10*2*2**2===单位时间需要的信道容量s bit t I C t /10*3.56010*2.357===由香农信道容量公式Hz SNR C W SNR W C t t 4252210*35.5)10001(log 10*3.5)1(log )1(log ≈+=+=⇒+=12.求右图所示的信道的容量及达到信道容量时的输入分布; 解：由右图可知,该信道的转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102/12/101P 可以看到,当该信道的输入分布取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/102/1)(321a a a X P 时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/12/1)(21b bY P 此时2);(2)()/(log)/();(311211lb Y a X I lb b p a b p a bp Y a X I j j jj =====∑=同理可得， 而0);(2==Y a X I ,此分布满足⎩⎨⎧==≠=0);(02);(i i i i p Y x I p lb Y x I ;因此这个信道的容量为X Y b 1b 2a 1a 2a 3C=lb2=1bit/符号,而达到信道容量的输入分布可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/102/1)(321a a aX P ; D max =∑==414,3,2,1min i ijij dp ,由于ij i d p 和具有对称性,每个和式结果都为1/2,因此 Dmax= 1/2,13.设离散信源⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p p p p U U U U u p U 21)1(21)1(2121)(4321其中21≤p 和接收变量V={v1,v2,v3,v4},失真矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=05.05.015.0015.05.0105.015.05.00D ,求D min,D max 、RD min 、RD max 、达到D min 和D max 时的编码器转移概率矩阵P; 解：由于失真矩阵每行每列都只有一个最小值“0”,所以可以达到D min =0,此时对应的信道转移概率矩阵应使得信源的每个输出经过信道转移后失真为0,即选择⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001P ; RD min = R0= HU = 1-plog p –1-plog1-p = 1+Hp;对应的转移概率矩阵可取任意1列为全1,如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001000100010001P ,此时 RD max= R1/2= 0;14.设有一个二进制一阶马尔可夫信源,其信源符号为X ∈0,1,条件概率为p 0/0= p 1/0= p1/1= p 0/1=画出状态图并求出各符号稳态概率;15分15.设输入符号与输出符号为X ＝Y ∈{0,1,2,3},且输入符号等概率分布;设失真函数为汉明失真;求D max 和D min 及RD max 和RD min 20分解：()()()()012314p x p x p x p x ====失真矩阵的每一行都有0,因此D min =016.设随机变量}1,0{},{21==x x X和}1,0{},{21==y y Y 的联合概率空间为定义一个新的随机变量Y X Z ⨯=普通乘积计算熵HX,HY,HZ,HXZ,HYZ,以及HXYZ ；计算条件熵 HX|Y,HY|X,HX|Z,HZ|X,HY|Z,HZ|Y,HX|YZ,HY|XZ 以及HZ|XY ； 计算平均互信息量IX ；Y,IX ：Z,IY ：Z,IX ；Y|Z,IY ；Z|X 以及IX ：,Z|Y; 解：12))3/4(log 4/34log 4/1(2/1))3/4(log 4/34log 4/1(2/1)|(2222+++=Y XH3 )|()();(Y X H X H Y X I -=)|()();(Z X H X H Z X I -=分别为]4/14/3[][=XP ,转移17.设二元对称信道的输入概率分布矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3/23/13/13/2|XY P , 求信道的输入熵,输出熵,平均互信息量；求信道容量和最佳输入分布； 求信道剩余度; 解：1信道的输入熵4log 4/1)3/4(log 4/3)(22+=X H ；2最佳输入分布为]2/12/1[][=X P ,此时信道的容量为)3/1,3/2(1H C -=3信道的剩余度：);(Y X I C-设有ＤＭＣ,其转移矩阵为[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/16/13/13/12/16/16/13/12/1|X Y P ,若信道输入概率为[][]25.025.05.0=X P ,试确定最佳译码规则和极大似然译码规则,并计算出相应的平均差错率;解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8/124/112/112/18/124/112/16/14/1][XY P 最佳译码规则：⎪⎩⎪⎨⎧===331211)()()(a b F a b F a b F ,平均差错率为1-1/4-1/6-1/8=11/24；极大似然规则：⎪⎩⎪⎨⎧===332211)()()(ab F a b F a b F ,平均差错率为1-1/4-1/8-1/8=1/2;一、概念简答题1.什么是平均自信息量与平均互信息,比较一下这两个概念的异同2.简述最大离散熵定理;对于一个有m 个符号的离散信源,其最大熵是多少3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念,说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系4.对于一个一般的通信系统,试给出其系统模型框图,并结合此图,解释数据处理定理;5.写出香农公式,并说明其物理意义;当信道带宽为5000Hz,信噪比为30dB 时求信道容量;6.解释无失真变长信源编码定理;7.解释有噪信道编码定理;8.什么是保真度准则 对二元信源,其失真矩阵,求a>0时率失真函数的和9.简述离散信源和连续信源的最大熵定理;10.解释等长信源编码定理和无失真变长信源编码定理,说明对于等长码和变长码,最佳码的每符号平均码长最小为多少编码效率最高可达多少11.解释最小错误概率译码准则,最大似然译码准则和最小距离译码准则,说明三者的关系; 12.设某二元码字C={111000,001011,010110,101110}, ①假设码字等概率分布,计算此码的编码效率②采用最小距离译码准则,当接收序列为110110时,应译成什么码字13.一平稳二元信源,它在任意时间,不论以前发出过什么符号,都按发出符号,求和平均符号熵14.分别说明信源的概率分布和信道转移概率对平均互信息的影响,说明平均互信息与信道容量的关系;15.二元无记忆信源,有求：1某一信源序列由100个二元符号组成,其中有m个“1”,求其自信息量2求100个符号构成的信源序列的熵;16.求以下三个信道的信道容量：,,17.已知一3,1,3卷积码编码器,输入输出关系为：试给出其编码原理框图;18. 简述信源的符号之间的依赖与信源冗余度的关系;19. 简述香农第一编码定理的物理意义20. 什么是最小码距, 以及它和检错纠错能力之间的关系;21. 简述信息的特征22. 简单介绍哈夫曼编码的步骤一、概念简答题每题5分,共40分1.答：平均自信息为表示信源的平均不确定度,也表示平均每个信源消息所提供的信息量;平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量,也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量,还表示通信前后整个系统不确定性减少的量;2.答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源,等概率分布时熵最大;最大熵值为;3.答：信息传输率R指信道中平均每个符号所能传送的信息量;信道容量是一个信道所能达到的最大信息传输率;信息传输率达到信道容量时所对应的输入概率分布称为最佳输入概率分布;平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数,是信道传递概率的U型凸函数;4.答：通信系统模型如下：数据处理定理为：串联信道的输入输出X、Y、Z组成一个马尔可夫链,且有,;说明经数据处理后,一般只会增加信息的损失;5.答：香农公式为,它是高斯加性白噪声信道在单位时间内的信道容量,其值取决于信噪比和带宽;由得,则6.答：只要,当N足够长时,一定存在一种无失真编码;7.答：当R＜C时,只要码长足够长,一定能找到一种编码方法和译码规则,使译码错误概率无穷小;8.答：1保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度;2因为失真矩阵中每行都有一个0,所以有,而;9.答：离散无记忆信源,等概率分布时熵最大;连续信源,峰值功率受限时,均匀分布的熵最大;平均功率受限时,高斯分布的熵最大;均值受限时,指数分布的熵最大;10.答：等长信源编码定理：对于任意,只要,则当L足够长时必可使译码差错;变长信源编码定理：只要,一定存在一种无失真编码;等长码和变长码的最小平均码长均为,编码效率最高可达100%;11.答：最小错误概率译码准则下,将接收序列译为后验概率最大时所对应的码字;最大似然译码准则下,将接收序列译为信道传递概率最大时所对应的码字;最小距离译码准则下,将接收序列译为与其距离最小的码字;三者关系为：输入为等概率分布时,最大似然译码准则等效于最小错误概率译码准则;在二元对称无记忆信道中,最小距离译码准则等效于最大似然译码准则;12.答：12令接收序列为,则有,,,,故接收序列应译为010110;13.答：14.答：平均互信息相对于信源概率分布为上凸函数,相对于信道传递概率分布为下凹函数;平均互信息的最大值为信道容量;15.答：1216.答：P1为一一对应确定信道,因此有;P2为具有归并性能的信道,因此有;P3为具有发散性能的信道,因此有;17.答：18.当信源的符号之间有依赖时,信源输出消息的不确定性减弱;而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱,冗余度越大,依赖关系就越大;19.答：无失真信源编码,编码后尽可能等概率分布, 使每个码元平均信息量最大;从而使信道信息传输率R达到信道容量C, 实现信源与信道理想的统计匹配;20.某一码书C中, 任意两个码字之间汉明距离的最小值称为该码的最小码距Dmin.当已知某线性分组码的最小汉明距离为Dmin,那么这组码最多能检测出e =Dmin-1个码元错误,最多能纠正t =Dmin-1 /2个码元错误;21.答：信息的基本概念在于它的不确定性,任何已确定的事物都不含信息;接收者在收到信息之前,对它的内容是不知道的,所以信息是新知识、新内容;信息是能使认识主体对某一事物的未知性或不确定性减少的有用知识;信息可以产生,也可以消失,同时信息可以被携带、贮存及处理;信息是可以量度的,信息量有多少的差别;22.①将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列px1≥px2≥…≥px n②取两个概率最小的符号分别配以0和1,并将这两个概率相加作为一个新符号的概率,与未分配码元的符号重新排队;③对重排后的两个概率最小符号重复步骤2的过程;④继续上述过程,直到最后两个符号配以0和1为止;⑤从最后一级开始,向前返回得到各个信源符号所对应的码元序列,即相应的码字;二、综合题每题10分,共60分1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种,求：1 黑色出现的概率为,白色出现的概率为;给出这个只有两个符号的信源X的数学模型;假设图上黑白消息出现前后没有关联,求熵；2 假设黑白消息出现前后有关联,其依赖关系为：,,,,求其熵；3分别求上述两种信源的冗余度,比较它们的大小并说明其物理意义;2.二元对称信道如图; ；1若,,求和； 2求该信道的信道容量和最佳输入分布;3.信源空间为,试分别构造二元和三元霍夫曼码,计算其平均码长和编码效率;4.设有一离散信道,其信道传递矩阵为,并设,试分别按最小错误概率准则与最大似然译码准则确定译码规则,并计算相应的平均错误概率;5.已知一8,5线性分组码的生成矩阵为;求：1输入为全00011和10100时该码的码字；2最小码距;6.设某一信号的信息传输率为s,在带宽为4kHz的高斯信道中传输,噪声功率谱NO=5×10－6mw/Hz;试求：1无差错传输需要的最小输入功率是多少2此时输入信号的最大连续熵是多少写出对应的输入概率密度函数的形式;7.二元平稳马氏链,已知P0/0=,P1/1=,求：1求该马氏信源的符号熵;2每三个符号合成一个来编二进制Huffman码,试建立新信源的模型,给出编码结果;3求每符号对应的平均码长和编码效率;8.设有一离散信道,其信道矩阵为,求：1最佳概率分布2当,时,求平均互信息 信道疑义度3输入为等概率分布时,试写出一译码规则,使平均译码错误率最小,并求此设线性分组码的生成矩阵为,求：1此n,k 码的n= k=,写出此n,k 码的所有码字;2求其对应的一致校验矩阵H;3确定最小码距,问此码能纠几位错列出其能纠错的所有错误图样和对应的伴随式;4若接收码字为000110,用伴随式法求译码结果;设一线性分组码具有一致监督矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110101100110111000H 1求此分组码n=,k=共有多少码字2求此分组码的生成矩阵G; 3写出此分组码的所有码字;4若接收到码字101001,求出伴随式并给出翻译结果;10.二元对称信道的信道矩阵为,信道传输速度为1500二元符号/秒,设信源为等概率分布,信源消息序列共有13000个二元符号,问：1试计算能否在10秒内将信源消息序列无失真传送完2若信源概率分布为,求无失真传送以上信源消息序列至少需要多长时间11.已知7,4循环码的生成多项式,求：1求该码的编码效率2求其对应的一致校验多项式3写出该码的生成矩阵,校验矩阵;4若消息码式为,求其码字;12.证明：平均互信息量同信息熵之间满足IX;Y=HX+HY-HXY13. 居住在某地区的女孩中有25%是大学生,在女大学生中有75%是身高米以上的,而女孩中身高米以上的占总数的一半;假如我们得知“身高米以上的某女孩是大学生”的消息,问获得多少信息量14. 有两个二元随机变量X 和Y ,它们的联合概率为Y Xx 1=0 x 2=1 y 1=0 1/8 3/8 y 2=13/81/8定义另一随机变量Z = XY 一般乘积,试计算HZ=15. 求以下二个信道的信道容量：, ,16. 已知一个高斯信道,输入信噪比比率为3;频带为3kHz,求最大可能传 送的信息率;若信噪比提高到15,理论上传送同样的信息率所需的频带为 多少17. 设信源为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4/34/121x x P X X ,试求1信源的熵、信息含量效率以及冗余度；2求二次扩展信源的概率空间和熵;18. 什么是损失熵、噪声熵什么是无损信道和确定信道如输入输出为s r ⨯,则它们的分别信道容量为多少19. 信源编码的和信道编码的目的是什么20. 什么是香农容量公式为保证足够大的信道容量,可采用哪两种方法21. 什么是限失真信源编码二、综合题1.答：1信源模型为2由得则3119.02log )(121=-=X H γ 1分447.02log )(122=-=∞X H γ 1分12γγ>;说明：当信源的符号之间有依赖时,信源输出消息的不确定性减弱;而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱,冗余度越大,依赖关系就越大;2分2.答：12,最佳输入概率分布为等概率分布;3.答：1二元码的码字依序为：10,11,010,011,1010,1011,1000,1001;平均码长,编码效率2三元码的码字依序为：1,00,02,20,21,22,010,011;平均码长,编码效率4.答：1最小似然译码准则下,有,2最大错误概率准则下,有,26.答：1无错传输时,有即则2在时,最大熵7.答：1由得极限概率：则符号熵为2新信源共8个序列,各序列的概率为信源模型为一种编码结果依信源模型中的序列次序为0,11,1001,1010,1011,10000,100010,10001138.答：1是准对称信道,因此其最佳输入概率分布为;2当,时,有则3此时可用最大似然译码准则,译码规则为且有答：1n=6,k=3,由C=mG可得所有码字为：000000,001011,010110,011101,100101,101110,110011,1110002此码是系统码,由G知,,则3由H可知,其任意2列线性无关,而有3列线性相关,故有,能纠一位错;错误图样E 伴随式100000 101010000 110001000 011000100 100000010 010000001 0014由知E＝010000,则解：1n=6,k=3,共有8个码字;3分2设码字()12345CCCCCCC=由TTHC0=得⎪⎩⎪⎨⎧=⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕1353412CCCCCCCCCC3分令监督位为()12CCC,则有⎪⎩⎪⎨⎧⊕=⊕=⊕=34451352CCCCCCCCC3分生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1111111112分3所有码字为000000,001101,010011,011110,100110,101011,110101,111000;4分4由TT HRS=得()101=S,2分该码字在第5位发生错误,101001纠正为101011,即译码为1010011分10.答：1信道容量为信源序列信息量为而10秒内信道能传递的信息量为故不能无失真地传送完;2此时信源序列信息量为信息传输率为则11.答：123,而412. 证明：()()()()()()()()()()Y X H X H y x p y x p x p y x p x p y x p y x p Y X I X X Y j i j i Y i j i XYi j i j i -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==∑∑∑∑∑∑log log log; 2分同理 ()()()X Y H Y H Y X I-=; 1分则 ()()()Y X I Y H X Y H;-=因为 ()()()X Y H X H XY H+= 1分故()()()()Y X I Y H X H XY H;-+=即()()()()XY H Y H X H Y X I-+=; 1分13. 解：设A 表示“大学生”这一事件,B 表示“身高以上”这一事件,则 PA= pB= pB|A= 2分 故 pA|B=pAB/pB=pApB|A/pB== 2分 IA|B== 1分14. 解：Z = XY 的概率分布如下： 15. 答：P 1为一一对应确定信道,因此有; P2为具有归并性能的信道,因此有;16. 答:1 最大可能传送的信息率是Ct = w log 1+ Px/Pn = 3×1000 × log 1+ 3 = 6×1000比特/秒2 17. 解：12二次扩展信源的概率空间为：18. 答：将HX|Y 称为信道},,{|Y P X X Y 的疑义度或损失熵,损失熵为零的信道就是无损信道,信道容量为logr;将HY|X 称为信道},,{|Y P X X Y 的噪声熵,噪声熵为零的信道就是确定信道,信道容量为logs;19. 答：信源编码的作用：1符号变换：使信源的输出符号与信道的输入符号相匹配；2冗余度压缩：是编码之后的新信源概率均匀化,信息含量效率等于或接近于100%; 信道编码的作用：降低平均差错率; 20.答：香农信道容量公式：)1(log )(02BN P B P C SS +=,B 为白噪声的频带限制,0N 为常数,输入Xt 的平均功率受限于S P ;由此,为保证足够大的信道容量,可采用1用频带换信噪比；2用信噪比换频带;21. 答：有失真信源编码的中心任务：在允许的失真范围内把编码的信息率压缩到最小;。
信号与系统练习题——第1-3章
信号与系统练习题（第1-3章）一、选择题1、下列信号的分类方法不正确的是（A ）A 、数字信号和离散信号B 、确定信号和随机信号C 、周期信号和非周期信号D 、连续信号和离散信号 2、下列离散序列中，哪个不是周期序列? （D ） A 、165()3cos()512f k k ππ=+ B 、2211()5cos()712f k k ππ=+C 、33()9sin()5f k k π= D 、433()7sin()45f k k π=+ 3、下列哪一个信号是周期性的？（C ）。
A 、()3cos 2sin f t t t π=+；B 、()cos()()f t t t πε=；C 、()sin()76f k k ππ=+； D 、1()cos()53f k k π=+。
4、周期信号()sin6cos9f t t t =+的周期为（D ）A 、πB 、2πC 、12π D 、23π 5、周期信号()sin3cos f t t t π=+的周期为（C ）。
A 、πB 、2πC 、无周期D 、13π 6、以下序列中，周期为5的是（D ）A. 3()cos()58f k k π=+ B. 3()sin()58f k k π=+ C.2()58()j k f k eπ+= D. 2()58()j k f k eππ+=7、下列说法正确的是（D ）A 、两个周期信号()x t ，()y t 的和信号()()x t y t +一定是周期信号B 、两个周期信号()x t ，()y t 的周期分别为2()()x t y t +是周期信号C 、两个周期信号()x t ，()y t 的周期分别为2和π，则信号()()x t y t +是周期信号D 、两个周期信号()x t ，()y t 的周期分别为2和3，则信号()()x t y t +是周期信号 8、下列说法不正确的是（A ）A 、两个连续周期信号的和一定是连续周期信号B 、两个离散周期信号的和一定是离散周期信号C 、连续信号()sin(),(,)f t t t ω=∈-∞+∞一定是周期信号D 、两个连续周期信号()x t ，()y t 的周期分别为2和3，则信号()()x t y t +是周期信号 9、(52)f t -是如下运算的结果（C ）A 、(2)f t -右移5B 、(2)f t -左移5C 、(2)f t -右移25 D 、(2)f t -左移2510、将信号()f t 变换为（A ）称为对信号()f t 的平移。
信号与系统参考习题解答
收敛域为|2z|<1，即|z|< ；极点为z= ；零点为z=0。
23．用长除法、留数定理、部分分式法求以下X(z)的z反变换：
(1) (2)
(3)
解：(1)①长除法求解
可知极点为 而收敛域为 。因而x(n)为因果序列，所以分子、分母要按降幂排列。
即
所以
②留数定理法求解
，设c为 内的逆时针方向闭合曲线。
y'(n)＝3x(n-n0)+2
因为
y(n-n0)＝2x(n-n0)+2=y'(n)
故该系统是时不变的。再讨论线性。由于
y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]
=3ax1(n)+3bx2(n)+2
而
T[ax1(n)]=3ax1(n)+2
T[bx2(n)]=3bx2(n)+2
所以得
T[ax1(n)+bx2(n)]≠aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
（2）根据脉冲定理，脉冲频率fs≥2f，取=fs=2f=200Hz。脉冲时间间隔应为
T=1/f=1/200=0.005s
（3）设采样周期为T=1/f=0.005s采样信号xa(t)，则
=
=0
所以，以T=1/f=0.005s为采样周期，采样信号xa(t)，所得采样序列 无法恢复信号xa(t)。为能恢复xa(t)，应减小采样周期T(采样频率由T确定)。设新采样周期为原采样周期的一半，即T=0.0025s，则采样信号 为
(3)y(n)＝x(n-1) (4)y(n)＝x(-n)
要点提示：
利用系统线性定义和时不变定义来证明。满足可加性和比例性的系统是线性系统，即
信号与系统练习题1
.一、单项选择题：14、已知连续时间信号,)2(100)2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。
200 rad ／s C 。
100 rad ／s D 。
50 rad ／sf如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t) 是（）15、已知信号)(tf如下图所示，其表达式是（）16、已知信号)(1tA、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3)B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3)C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3)D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3)17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（）A、f(－t+1)B、f(t+1)C、f(－2t+1)D、f(－t/2+1)18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（ ）19。
信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f ππ与冲激函数)2(-t δ之积为（ ）A 、2B 、2)2(-t δC 、3)2(-t δD 、5)2(-t δ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,651)(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、非因果稳定系统C 、因果稳定系统D 、非因果不稳定系统21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ）A 、常数B 、 实数C 、复数D 、实数+复数22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ）A 、阶跃信号B 、正弦信号C 、冲激信号D 、斜升信号23. 积分⎰∞∞-dt t t f )()(δ的结果为( )A )0(fB )(t f C.)()(t t f δ D.)()0(t f δ24. 卷积)()()(t t f t δδ**的结果为( )A.)(t δB.)2(t δC. )(t fD.)2(t f25. 零输入响应是( )A.全部自由响应B.部分自由响应C.部分零状态响应D.全响应与强迫响应之差 2A 、1-eB 、3eC 、3-e D 、1 27.信号〔ε(t)－ε(t －2)〕的拉氏变换的收敛域为 ( )A.Re[s]>0B.Re[s]>2C.全S 平面D.不存在28．已知连续系统二阶微分方程的零输入响应)(t y zi 的形式为t t Be Ae 2--+，则其2个特征根为( )A 。
信号与系统课后答案
与奇分量的波形，相应如图题 1.12 中所示。
1-13 已知信号 f(t)的偶分量 fe(t)的波形如图题 1-13(a)所示， 信号 f(t+1)×U(-t-1)的波形如图题 1-13(b) 所示。求 f(t)的奇分量 fo(t)，并画出 fo(t)的波形。
解 因
f (t ) = f e (t ) + f 0 (t )
∫
t
−∞
δ (τ )dτ ，故根据现行系统的积分性有
y (t ) = ∫ h(τ (dτ = ∫ [δ (τ ) − δ (τ − 1) − δ (τ − 2) + δ (τ − 3)]dτ = u (t ) − u (t − 1) − u (t − 2) + u (t − 3)
1-2 已知各信号的波形如图题 1-2 所示，试写出它们各自的函数式。
解： f 1 (t ) = t[u (t ) − u (t − 1)] + u (t − 1)
f 2 (t ) = −(t − 1)[u (t ) − u(t − 1)]
f 3 (t ) = (t − 2)[u(t − 2) − u(t − 3)]
y 2 (t ) 的波形如图题 1.17(c)所示.
1-18 图题 1-18(a)所示为线性时不变系统，已知 h1(t)=δ(t)-δ(t-1), h2(t)=δ(t-2)-δ(t-3)。（1）求响 应 h(t)； （2） 求当 f(t)=U(t)时的响应 y(t)（见图题 1-18(b))。
解（1） h(t ) = h1 (t ) − h2 (t ) = δ (t ) − δ (t − 1) − δ (t − 2) + δ (t − 3) (2) 因 f (t ) = u (t ) =
《信号与系统(第四版)》习题详解 (1)
第1章 信号与系统的基本概念 解 此题练习离散信号的图形表示方法。要求熟悉常用指数 和正弦序列的图形表示、阶跃序列的定义和基本性质以及序列平 移和翻转操作对序列图形的影响。
7
第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.2 8
第1章 信号与系统的基本概念 1.3 试写出题图1.1各信号的解析表达式。
第1章 信号与系统的基本概念 24
第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.5-7 25
第1章 信号与系统的基本概念 26
第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.5-8 27
第1章 信号与系统的基本概念 (9) 两个连续信号相加,任一时刻的和信号值等于两信号在 该时刻的信号值之和。题(9)信号波形如题解图1.5-9所示。
3
第1章 信号与系统的基本概念 解 此题练习连续信号的波形图表示方法。除应熟悉常用连 续指数、正弦和斜升信号波形外，还应特别注意阶跃函数的基本 性质以及信号平移、翻转操作对信号波形的影响。
4
第1章 信号与系统的基本概念
题解图 1.1 5
第1章 信号与系统的基本概念 1.2 绘出下列信号的图形：
题图 1.1 9
第1章 信号与系统的基本概念 10
第1章 信号与系统的基本概念 11
第1章 信号与系统的基本概念 1.4 判定下列信号是否为周期信号。若是周期信号，则确
定信号周期T。
12
第1章 信号与系统的基本概念
解 (1) 若有两个周期分别为T1和T2的连续信号相加，当
T1/T2为有理数时,其和信号亦是周期信号,相应周期为T1和T2的最
题解图 1.5-9 28
第1章 信号与系统的基本概念 (10) 两个连续信号相乘，任一时刻的积信号值等于两信 号在该时刻的信号值之积。题(10)信号波形如题解图1.5-10 所示。
信号与系统习题集
信号与系统 习题1一、填空题1.离散信号()2()k f k k ε=，则该信号的单边Z 变换为 ① 。
2.信号()f t 的傅里叶变换为()F j ω，则(23)f t -的傅里叶变换为 ① 。
3.已知周期信号()cos(230)sin(4+60)f t t t =++，则其周期为 ① s ，基波频率为 ② rad/s 。
4、已知)(1t f 和)(2t f 的波形如下图所示，设)()()(21t f t f t f *=，则=-)1(f ① ，=)0(f ② 。
5、单边拉氏变换())4(22+=s s s F ，其反变换()=t f ① 。
6、一离散系统的传输算子为23)(22+++=E E EE E H ，则系统对应的差分方程为 ① ，单位脉冲响应为 ② 。
二、单项选择题1. 下列说法不正确的是______。
A. 每个物理系统的数学模型都不相同。
B. 同一物理系统在不同的条件下，可以得到不同形式的数学模型。
C. 不同的物理系统经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。
D. 对于较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学表现形式。
2. 周期信号f (t )的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。
A. 余弦项的奇次谐波，无直流B. 正弦项的奇次谐波，无直流C. 余弦项的偶次谐波，直流D. 正弦项的偶次谐波，直流 3. 当周期矩形信号的脉冲宽度缩小一半时，以下说法正确的是_____。
A. 谱线间隔增加一倍B. 第一个过零点增加一倍C. 幅值不变D. 谱线变成连续的 4. 图3所示的变化过程，依据的是傅立叶变换的_____。
图3A. 时移性 B. 频移性 C. 尺度变换 D. 对称性 5. 对抽样信号进行恢复，需将信号通过_____。
A. 理想带通滤波器B. 理想电源滤波器C. 理想高通滤波器D. 理想低通滤波器 6. 连续周期信号的频谱有_____。
A. 连续性、周期性 B. 连续性、收敛性 C. 离散性、周期性 D. 离散性、收敛性7. 若对)(t f 进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为s f ，对)231(-t f 进行取样，其奈奎斯特取样频率为_____。
信号与系统自测题(第1章 参考答案)
《信号与系统》自测题第1章 信号与系统的概念一、填空题1、描述信号的基本方法有 数学表达式 、 波形 。
2、()Sa t 信号又称为 抽样信号或取样信号 。
3、()du t dt=()t δ。
4、()t δ-=()t δ（用单位冲激函数表示）。
5、对于一个自变量无穷但能量有限的信号，其平均功率为0。
6、对于下图示波形可用单位阶跃函数表示为()(1)(2)3(3)u t u t u t u t +-+---。
7、2(321)(1)t t t dt δ∞-∞++-=⎰6 。
8、525(32)(1)t t t dt δ--+-=⎰ 0 。
9、00()(2)t t u t t dt δ∞-∞--=⎰ 0 （已知00t >）。
10、0()(2)3t d τδττ--=⎰ -6 。
11、0sin()[(1)(1)]2t t t dt πδδ-∞-++=⎰ 1 。
12、0sin()(1)2t t dt πδ∞-=⎰ 1 。
13、系统的数学描述方法有 输入输出描述法 和 状态变量描述法 。
14、满足 齐次性 和 可加性或叠加性 条件的系统称为线性系统。
15、若某系统是时不变的，则当()()f f t y t −−−→系统，应有()d f t t -−−−→系统()d y t t -。
16、系统对()f t 的响应为()y t ，若系统对0()f t t -的响应为0()y t t -，则该系统为 时不变 系统。
17、连续系统模拟中常用的理想运算器有 加法器 、 数乘器 、 乘法器 、 延时器 和 积分器 。
18、离散系统模拟中常用的理想运算器有 加法器 、 数乘器 、 乘法器 和 延时器 。
二、单项选择题1、连续时间信号2()[5sin(8)]f t t =的周期是（ C ）。
A 、π B 、4πC 、8πD 、2π注：sin(8)t 的周期为4π，而2()[5sin(8)]f t t =的周期为8π。
信号与系统课后习题与解答第一章
1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221⎪⎭⎫⎝⎛。
解由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号；（3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。
解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。
由于5π为21T T 、的最小公倍数，所以此信号的周期5T π=。
（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。
信号与系统(应自炉)习题答案第1章 习题解
第1章 习 题 解 答1-1．判断下列信号是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其基波周期（1）()⎪⎭⎫⎝⎛+=43cos 2πt t f 解：对于()k Z ∈()222cos 32cos 322cos 333444f t k t k t k t f t ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴原函数是周期函数，令1k =，则基波周期为23π。
（2）()26sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πt t f解：对于()k Z ∈()()22sin sin 66f t k t k t f t ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴原函数是周期函数，令1k =，则基波周期为π。
（3）()[]()t u t t f π2cos =解：设其存在周期，令周期为T()()()cos 2f t T t T u t T π+=++⎡⎤⎣⎦在0T ≠的情况下函数不为零的部分发生了平移，故()()f t T f t +≠∴原函数不是周期函数。
（4）())(42π+=t j et f解：对于()k Z ∈())()(())(()224442222j t k j t j t j k f t k eeeef t ππππππ+++++==⨯==∴原函数是周期函数，令1k =，则基波周期为2π。
1-2．求信号())14sin()110cos(2--+=t t t f 的基波周期。
解：cos(101)t +的基波周期为15π， s i n (41)t -的基波周期为12π二者的最小公倍数为π，故())14sin()110cos(2--+=t t t f 的基波周期为π。
1-3．设()3,0<=t t f , 对以下每个信号确定其值一定为零的t 值区间。
（1）()t f -1 （2）()()t f t f -+-21 （3）)()(t f t f --21 （4）()t f 3 （5）()3tf解：（1）()t f -1为()f t 反折后向右平移一个单位得到，故当()2t >-时()10f t -=（2）()2f t -为()f t 反折后向右平移两个单位得到，故当()1t >-时()20f t -=。
信号与系统第一章习题
(2)
1 2,为时变系统
X
图解说明
xt
1
x t
经系统 1 2
O 1t
O
右移1
2t
x t 1 12 O1
第 17 页
3t
xt
xt 1
1
右移1 1
经系统
x t 1 1 2
O 1t
O 1 2t
O
2
4t
X
例1-7
第 18
页
系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统关系如下,判断系统是否
是因果系统。
X
例1-6
第 16
页
判断系统 yt x t 是否为线性时不变系统？
2
此系统的作用是展宽输入系统的信号，一切变换都是 对t而言
xt
经系统, t t 2
x t 2
时移, t t0
x t t0 2
(1)
xt 时移, t t0
xt t0
经系统, t t 2
x
t 2
t0
X
例1-5
第 14
页
判断方程 yt x2t 描述的系统是否为线性系统？
在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须 同时满足可加性和齐次性。
设x1t, x2t为两个输入信号
先经系统
x1t y1t x12 t
x2 t y2 t x22 t
再线性运算
ay1t by2t ax12t bx22t
2
1
O 1 2 3t
d f 6 2t
dt
1
(1) (1)
3
O 12
t
(2)
对信号的波形进行微分变换时， 应注意在函数的跳变点处会出 现冲激信号。
信号与系统复习题（含答案）
信号与系统复习题（含答案）试题一一．选择题（共10题，20分） 1、n j n j een x )34()32(][ππ+=，该序列是。
A.非周期序列B.周期3=NC.周期8/3=ND. 周期24=N2、一连续时间系统y(t)= x(sint)，该系统是。
A.因果时不变B.因果时变C.非因果时不变D.非因果时变 3、一连续时间LTI 系统的单位冲激响应)2()(4-=-t u e t h t ，该系统是。
A.因果稳定B.因果不稳定C.非因果稳定D. 非因果不稳定4、若周期信号x[n]是实信号和奇信号，则其傅立叶级数系数a k 是。
A.实且偶B.实且为奇C.纯虚且偶D. 纯虚且奇 5、一信号x(t)的傅立叶变换??><=2||02||1)(ωωω，，j X ，则x(t)为。
A. t t 22sinB. tt π2sin C. t t 44sin D.t t π4sin6、一周期信号∑∞-∞=-=n n t t x )5()(δ，其傅立叶变换)(ωj X 为。
A. ∑∞-∞=-k k )52(52πωδπ B. ∑∞-∞=-k k )52(25πωδπC. ∑∞-∞=-k k )10(10πωδπD. ∑∞-∞=-k k)10(101πωδπ7、一实信号x[n]的傅立叶变换为)(ωj e X ，则x[n]奇部的傅立叶变换为。
A.)}(Re{ωj e X j B. )}(Re{ωj e XC. )}(Im{ωj e X j D. )}(Im{ωj e X8、一信号x(t)的最高频率为500Hz ，则利用冲激串采样得到的采样信号x(nT)能唯一表示出原信号的最大采样周期为。
A. 500B. 1000C. 0.05D. 0.001 9、一信号x(t)的有理拉普拉斯共有两个极点s=－3和s=－5，若)()(4t x e t g t =，其傅立叶变换)(ωj G 收敛，则x(t)是。
A. 左边B. 右边C. 双边D. 不确定10、一系统函数1}Re{1)(->+=s s e s H s，，该系统是。
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1，某系统（7，4）码)()(01201230123456c c c m m m m c c c c c c c ==c 其三位校验位与信息位的关系为：（1）求对应的生成矩阵和校验矩阵； （2）计算该码的最小距离；（3）列出可纠差错图案和对应的伴随式；（4）若接收码字R =1110011，求发码。
解：（1） 1000110010001100101110001101G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦101110011100100111001H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） d min =3 （3）（4）. RH T =[001] 接收出错E =0000001 R+E=C = 1110010 (发码) 2.已知(),X Y 的联合概率(),p x y 为： 求()H X ，()H Y ，(),H X Y ，();I X Y 解:(0)2/3p x == (1)1/3p x ==()()(1/3,2/3)H X H Y H ===0.918 bit/symbol (),(1/3,1/3,1/3)H X Y H ==1.585 bit/symbol ();()()(,)I X Y H X H Y H X Y =+-=0.251 bit/symbol3.一阶齐次马尔可夫信源消息集},,{321a a a X ∈，状态集},,{321S S S S∈，且令3,2,1,==i a S i i ，条件转移概率为01X Y011/31/301/3[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=03121313121141)/(i j S a P ，(1)画出该马氏链的状态转移图；(2)计算信源的极限熵。
解：(1)（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=++=++1321323112123312311411332231141w w w w w w w w w w w w w w →⎪⎩⎪⎨⎧===3.03.04.0321w w w H(X|S 1) =H (1/4,1/4,1/2)=1.5比特/符号H(X|S 2)=H (1/3,1/3,1/3)=1.585比特/符号H(X|S 3)=H (2/3,1/3)= 0.918比特/符号()3|0.4 1.50.3 1.5850.30.918 1.3511Hw H X S i ii ==⨯+⨯+⨯=∑∞=比特/符号 4.若有一信源⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.08.021x x P X ，每秒钟发出2.55个信源符号。
将此信源的输出符号送入某一个二元信道中进行传输 （假设信道是无噪无损的，容量为1bit/二元符号）， 而信道每秒钟只传递2个二元符号。
（1） 试问信源不通过编码（即x 10,x 21在信道中传输） （2） 能否直接与信道连接？（3） 若通过适当编码能否在此信道中进行无失真传输？ （4） 试构造一种哈夫曼编码(两个符号一起编码)， （5） 使该信源可以在此信道中无失真传输。
解：（1）不能，此时信源符号通过0，1在信道中传输，2.55二元符号/s>2二元符号/s （2）从信息率进行比较， 2.55*(0.8,0.2)H = 1.84 < 1*2 可以进行无失真传输 （3）410.640.16*20.2*3i i i Kp K ===++=∑ 1.56 二元符号/2个信源符号此时 1.56/2*2.55=1.989二元符号/s < 2二元符号/s 5.两个BSC 信道的级联如右图所示：（1）写出信道转移矩阵； （2）求这个信道的信道容量。
解：（1）6.设随机变量,{21=x x X }1,0{21=Y 的联合概率空间为 x 1x 1x 1x 2x 2x 1x 2x 20.640111001010.64定义一个新的随机变量Y X Z ⨯=(普通乘积)（1） 计算熵H （X ），H （Y ），H （Z ），H （XZ ），H （YZ ），以及H （XYZ ）；（2） 计算条件熵 H （X|Y ），H （Y|X ），H （X|Z ），H （Z|X ），H （Y|Z ），H （Z|Y ），H （X|YZ ），H （Y|XZ ）以及H （Z|XY ）；（3） 计算平均互信息量I （X ；Y ），I （X ：Z ），I （Y ：Z ），I （X ；Y|Z ），I （Y ；Z|X ）以及I （X ：，Z|Y ）。
解：（1） （2） (3)7.设二元对称信道的输入概率分布分别为]4/14/3[][=X P ，转移矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3/23/13/13/2|XY P ，（１） 求信道的输入熵，输出熵，平均互信息量； （２） 求信道容量和最佳输入分布； （３） 求信道剩余度。
解：（1）信道的输入熵4log 4/1)3/4(log 4/3)(22+=X H ；（2）最佳输入分布为]2/12/1[][=X P ，此时信道的容量为)3/1,3/2(1H C -=(3)信道的剩余度：);(Y X I C -8.[][]25.025.05.0=X P ，试确定最佳译码规则和极大似然译码规则，并计算出相应的平均差错率。
解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8/124/112/112/18/124/112/16/14/1][XY P 最佳译码规则：⎪⎩⎪⎨⎧===331211)()()(ab F a b F a b F ，平均差错率为1-1/4-1/6-1/8=11/24；极大似然规则：⎪⎩⎪⎨⎧===332211)()()(ab F a b F a b F ，平均差错率为1-1/4-1/8-1/8=1/2。
9.设有一批电阻，按阻值分70%是2k Ω，30%是5k Ω；按功耗分64%是1/8W ，36%是1/4W 。
现已知2k Ω电阻中80%是1/8W ，假如得知5k Ω电阻的功耗为1/4W ，问获得多少信息量。
解：根据题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡===3.07.05221k r k r R ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡===36.064.04/128/11w w W ，8.0)1/1(=r w p由15/4)2/1()2/1()2()1/1()1()1(=⇒+=r w p r w p r p r w p r p w p所以15/11)2/1(1)2/2(=-=r w p r w p得知5k Ω电阻的功耗为1/4W ，获得的自信息量为=-))2/2((r w p lb 0.448bit10.已知6符号离散信源的出现概率为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321321161814121654321a a a a a a ，试计算它的熵、Huffman 编码和费诺编码的码字、平均码长及编码效率。
解：该离散信源的熵为323213232116161881441221)()(61lb lb lb lb lb lb p lb p x H i i i +++++=-=∑==1.933 bit/符号11.在图片传输中，每帧约有2106个像素，为了能很好地重现图像，每像素能分256个亮度电平，并假设亮度电平等概分布。
试计算每分钟传送两帧图片所需信道的带宽（信噪功率比为30dB ）。
解：每个像素点对应的熵8256log log 22===n H bit/点2帧图片的信息量bit H N I 7610*2.38*10*2*2**2===单位时间需要的信道容量s bit t I C t /10*3.56010*2.357===由香农信道容量公式Hz SNR C W SNR W C t t 4252210*35.5)10001(log 10*3.5)1(log )1(log ≈+=+=⇒+=12.求右图所示的信道的容量及达到信道容量时的输入分布。
解：由右图可知，该信道的转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102/12/101P 可以看到，当该信道的输入分布取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/102/1)(321a a a X P 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/12/1)(21b bY P 此时2);(2)()/(log)/();(311211lb Y a X I lb b p a b p a b p Y a X I j j j j =====∑=同理可得， 而0);(2==Y a X I ，此分布满足⎩⎨⎧==≠=0);(02);(i i i i p Y x I p lb Y x I 。
因此这个信道的容量为X Y b 1b 2a 1a 2a 3C=lb2=1（bit/符号），而达到信道容量的输入分布可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/102/1)(321a a aX P 。
D max =∑==414,3,2,1min i ijij dp ，由于ij i d p 和具有对称性，每个和式结果都为1/2，因此 D max = 1/2，13.设离散信源⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p p p p U U U U u p U 21)1(21)1(2121)(4321（其中21≤p ）和接收变量V={v1，v2，v3，v4}，失真矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=05.05.015.0015.05.0105.015.05.00D ，求D min ，D max 、R （D min ）、R （D max ）、达到D min 和D max 时的编码器转移概率矩阵P 。
解：由于失真矩阵每行每列都只有一个最小值“0”，所以可以达到D min =0，此时对应的信道转移概率矩阵应使得信源的每个输出经过信道转移后失真为0，即选择⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001P 。
R （D min ）= R （0）= H(U) = 1-p*log p –(1-p)*log(1-p) = 1+H(p)。
对应的转移概率矩阵可取任意1列为全1，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001000100010001P ，此时 R （D max ）= R （1/2）= 0。
14.设有一个二进制一阶马尔可夫信源，其信源符号为X ∈(0,1)，条件概率为p (0/0)= p (1/0)=0.5 p(1/1)=0.25 p (0/1)=0.75画出状态图并求出各符号稳态概率。
（15分）15.设输入符号与输出符号为X ＝Y ∈{0,1,2,3}，且输入符号等概率分布。
设失真函数为汉明失真。
求D max 和D min 及R (D max )和R (D min )（20分）解：()()()()012314p x p x p x p x ====失真矩阵的每一行都有0，因此D min =00.0.2516.设随机变量}1,0{},{21==x x X和}1,0{},{21==y y Y 的联合概率空间为定义一个新的随机变量Y X Z ⨯=(普通乘积)计算熵H （X ），H （Y ），H （Z ），H （XZ ），H （YZ ），以及H （XYZ ）；计算条件熵 H （X|Y ），H （Y|X ），H （X|Z ），H （Z|X ），H （Y|Z ），H （Z|Y ），H （X|YZ ），H （Y|XZ ）以及H （Z|XY ）；计算平均互信息量I （X ；Y ），I （X ：Z ），I （Y ：Z ），I （X ；Y|Z ），I （Y ；Z|X ）以及I （X ：，Z|Y ）。