点和圆位置关系
九年级点与圆的位置关系知识点
九年级点与圆的位置关系知识点我们生活中到处都是点和圆，而点与圆之间的位置关系是数学中非常重要的一个知识点。
在九年级的数学课程中，我们将学习点与圆的位置关系，探索它们之间的奥妙。
1. 点在圆内：当一个点位于一个圆的内部时，我们称它为圆的内点。
圆的内点与圆心之间的距离小于半径的长度。
这意味着，无论内点与圆的任何一点相连，线段的长度都小于半径。
这个性质对于我们判断几何图形的位置关系尤为重要。
2. 点在圆外：当一个点位于一个圆的外部时，我们称它为圆的外点。
圆的外点与圆心之间的距离大于半径的长度。
同样地，我们可以利用这个特性来推断几何图形的位置关系。
3. 点在圆上：当一个点位于一个圆上时，我们称它为圆的边点。
边点与圆心之间的距离等于半径的长度。
这意味着边点与圆心之间的连线就是圆的半径。
此外，边点还有一个特殊的性质，就是任何通过边点的直径都可以被边点所分成两段相等的弧。
4. 内切圆和外切圆：在九年级，我们还将学习内切圆和外切圆这两个重要的概念。
内切圆是指一个圆恰好与多边形的边相切，且圆的圆心位于多边形的内部。
外切圆则是指一个圆恰好与多边形的边相切，且圆的圆心位于多边形的外部。
通过这些概念，我们不仅可以研究多边形与圆的位置关系，还能够解决一些实际问题。
例如，我们可以利用内切圆和外切圆来设计最大面积或最小周长的形状。
5. 点与圆的判定问题：在九年级的数学课程中，我们还会学习如何判定一个点与一个已知圆的位置关系。
这需要我们掌握一些重要的定理和方法。
例如，切线定理可以帮助我们判断一个直线与圆的位置关系，弦切角定理则可以用来判断两条弧的位置关系。
此外，我们还可以使用勾股定理和三角形相似性来解决一些点与圆的位置关系问题。
在学习点与圆的位置关系时，我们不仅仅停留在理论层面，更要加强实际应用。
数学在现实生活中的应用非常广泛，点与圆的位置关系也不例外。
例如，我们可以利用圆与点的位置关系来设计游乐场、车辆行驶轨迹等等。
通过深入理解点与圆的位置关系，我们可以更好地认识和应用数学知识。
点与圆的位置关系
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中， 至少有一个角大于或等于６０° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大 于或等于６０度
假设所求证的结论不成立，即 Ｂ 证明 ∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° ＜ ＜ ＜ 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
圆外的点
圆上的点
圆内的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的 点，圆内的点和圆外的点。 圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的集 合 ； 圆 的 外 部 可 以 看 成 是 到圆心的距离大于半径的点的集合 。
典型例题
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘 米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作 圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系 如何？ (B在圆上，D在圆外，C在圆外)
问：⊙O的半径6cm，当OP=6时， 点P在圆上 ；当OP ＜6 时点P 在圆内；当OP ≤6 时，点P不在 圆外。
画出由所有到已知点O的距离大于 或等于2CM并且小于或等于3CM的 点组成的图形。
O
O
问题:多少个点可以确定一个圆呢? 解决: 步骤1:过一点,可以画多少个圆?
步骤2:过两点,可以画多少个圆? 步骤3:过三个点,可以做多少个圆?
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A， 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
B
C
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？ (B在圆内，D在圆内，C在圆上)
问1：⊙O的半径10cm，A、B、C三点 到圆心的距离分别为8cm、10cm、 12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关 系是： 点A在 圆内 ∵OA=8<10 ∴点A在圆内 点B在 圆上 ∵OB=10=10 ∴点B在圆上 点C在 圆外 ∵OC=12>10 ∴点C在圆外
点和圆的位置关系课件
当一个点在圆的边界上时，它到圆心
的距离等于圆的半径。
3
点在圆内的情况
当一个点在圆的内部时，它到圆心的 距离小于圆的半径。
点在圆外的情况
当一个点在圆的外部时，它到圆心的 距离大于圆的半径。
关于圆的一些例题
如何判断两个圆的位 置关系？
两个圆相离、相交、内切 或外切的位置关系取决于 它们的半径和圆心的距离。
通过学习点和圆的位置关系，你将掌握基本的圆形几何知识，并能将其应用于实际问题。
2 各种情况下如何判断和计算圆的位置关系
你将学会如何判断两个圆的位置关系，如何计算圆的面积、周长以及圆心和半径。
3 实例演练加深理解和应用能力
通过实例演练，你将进一步加深对点和圆的位置关系的理解，并能够熟练地应用它们解 决问题。
圆是由平面上所有与给定点的距离相等的点组成的集合。
圆的位置关系
1 内切圆、外切圆
当一个圆刚好与另一个圆的内部或外部相切时，我们称它们为内切圆或外切圆。
2 相交圆、相离圆
当两个圆的边界有重叠部分时，它们被称为相交圆；当两个圆没有任何重叠部分时，它 们被称为相离圆。
点到圆的位置关系
1
点在圆上的情况
2
点和圆的位置关系PPT课件
这个PPT课件将教你关于点和圆的位置关系的基本知识和应用，包括点和圆 的基本概念、圆的位置关系、点到圆的位置关系、以及关于圆的一些例题。 通过实例演练，你将加深理解和应用能力。
点和圆的基本概念
点的定义及性质
点是几何学中最基本的概念，它没有大小和形状，只有位置。
圆的定义及性质
如何求圆的面积和周 长？
圆的面积可以通过公式 πr² 计算，周长可以通过 公式 2πr 计算。
点与圆的位置关系
点与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系：点P与⊙O的位置关系:设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔;rd>点P在圆上⇔;rd=点P在圆内⇔.rd<注意：OP长是两个点之间距离，不是点到直线距离，P点到圆心距离与半径大小关系决定P点与圆的位置关系.过已知点画圆：（1）过已知一点画圆→可画无数个圆→圆心无规律可循；（2）过已知两点画圆→可画无数个圆→圆心在连接两点的线段垂直平分线上；（3）过不在同一直线上的三点画圆→只可画一个圆→圆心是连接两点的线段垂直平分线的交点. 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心：三角形三条边垂直平分线的交点.（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.（2）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立.任何一个三角形都有唯一的外接圆反证法定义：不是直接从原题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）推理得出矛盾；（3）得出结论.类型1. 点与圆的位置关系例1.如图，在ABCRt∆中，∠C＝900，BC＝3cm，AC=4cm，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，问点A,C及AB、AC的中点D、E与⊙B有怎样的位置关系?变式题:如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，至少有一个点在圆外，求此圆半径R的取值范围.例3. 如图⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是多少?例4. 如图是某平原地区的三个村庄A 、B 、C ，现计划新建一个电站，为了使变电站到三个村庄的距离相等，请你帮助规划者确定变电站P 的位置.例5. 在等腰三角形ABC 中B,C 为定点，且AC=AB ，D 是BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ，回答下列问题：（1）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？ （2）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 内？（3）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 外？类型2. 证明几个点在同一个圆上例1. 如图，已知菱形ABCD 的对角线为AC 和BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：E 、F 、G 、H 四个点在同一个圆上.例2. 如图，∠A=∠C=∠D ＝900，求证：A 、B 、C 、D 、E 在同一个圆上.类型3. 不在同一直线上的三点确定一个圆例1. （1）已知一个三角形的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形外接圆面积等于 2cm .(2) 下列说法正确的是（ ）A. 经过三个点一定可以作圆B. 任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形C. 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接D. 三角形的外心到三角形各边距离相A B C D O H E G F A E B C D . A . B . C例2. 如图，∆ABC 中AB=AC=10，BC=12，求∆ABC 的外接圆半径.类型4. 反证法例1. 求证：经过同一直线上的三个点不能作出一个圆.例2. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于600.例3. 用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分.例4. 用反证法证明：已知，如图AB ∥CD ，CD ⊥EF ，垂足是N ，求证：AB ⊥EF.作业：填空题： 1．若⊙O 的半径为r ，点A 到圆心O 的距离为d ，当点A 在圆外时，d ______r ；当点A 在圆上时，d ______r ；当点A 在圆内时，d ______r ．2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2cm ，BC ＝4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以cm 5长为半径画圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有点______，在圆上的有点______，在圆内的有点______．3．已知⊙O 的半径为1，点P 与O 的距离为d ，且方程x 2－2x ＋d ＝0有实数根，则P 在 ⊙O 的______．4．过一点A 可作______个圆，过两点A 、B 可作______个圆，且圆心在线段AB 的______上，过三点A 、B 、C ，当这三点______时能且只能作一个圆，且圆心在______上．5．等边三角形的边长为6cm ，则它的外接圆的面积为______．6．在Rt △ABC 中，已知两直角边的长分别为6cm 和8cm ，那么Rt △ABC 的外接圆的面积是7．锐角三角形的外心在______，直角三角形的外心在______，钝角三角形的外心在______． 选择题：8．两个圆的圆心都是O ，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在( )(A)⊙r 1内 (B)⊙r 2外EF AC9．⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线L的距离OM＝8cm，在直线L上有一点P，且PM＝6，则点P( )(A)在⊙O内(B)在⊙O上(C)在⊙O外(D)可能在⊙O内也可能在⊙O外10．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )(A)点P在⊙O内(B)点P在⊙O上(C)点P在⊙O外(B)点P在⊙O上或在⊙O外11．三角形的外心是( )(A)三条中线的交点(B)三条中垂线的交点(C)三条高的交点(D)三条角平分线的交点解答题：12．如图1，使用直尺和圆规确定如图所示的破残轮片的圆心位置．图113．点P到⊙O上的点的最大距离是6cm，最小距离是2cm，求⊙O的半径．14．某商场有三个销量较大的柜台，经理想修建一个收银台，使得三个柜台到收银台的距离相等．如果三个柜台的位置如图2所示，那么如何确定收银台的位置?图2问题探究：15．已知：如图3，三个边长为2a个单位长度的正方形如图所示方式摆放．图①图②图③∴______为所求作的圆．∴______为所求作的圆．(1)画出覆盖图①的最小圆；(2)将图①中上面的正方形向右平移a个单位长度，得到图②，请用尺规作出覆盖新图形的最小圆(不写作法，保留作图痕迹)；(3)可以利用图③，比较(1)和(2)中的两个圆的大小，通过计算简要说明理由．。
圆与圆的位置关系
题型三： 与两圆相切有关的问题 例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线 x 3 y 0 相切于点 (3, 3) 的圆的方程. 分析:先设出圆的方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 (r>0),利用 题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组 求得a,b,r即可.
分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即 得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.
解：（1） 联立方程得
2 2 ① x y 4 0 2 2 x y 4 x 4 y 12 0 ②
① - ② 得： x y 2 0 ③
2 方程④根的判别式 =（-2） -4 1 ( 3)
16 0
所以，方程④有两个不相等的实数根，则方程组有两组不同的实数 解，因此圆C1与圆C2相交。
2 2 2 2 例2：已知圆C1： x y 2 x 8 y 8 0 圆C2： x y 4 x 4 y 2 0
解:设所求圆的方程为 (x-a)2+(y-b) 2=r2 (r>0), 将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1) 2+y2=1,由题意可得
规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根 据圆与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的 方程组求解.
变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的 方程. 解:设所求圆的半径为r, 2 2 3 ( 4) | 8 r |, 则 ∴r=3或r=13, 故所求圆的方程为 (x-3) 2+(y+4) 2=9或(x-3) 2+(y+4) 2=169.
点和圆的位置关系-课件
例题
已知⊙O 的半径为10cm，A，B，C 三点到圆心O 的距离分 别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C 与⊙O 的位置关 系点A是在: __圆__内_____. 点B在__圆___上____. 点C在__圆___外____.
点P在圆外
d＞r
点P在圆上
d=r
点P在圆内
d＜r
这个符号读作“等价于”，它表示从该符号的左端 可以推出右端，右端也能推出左端.
点和圆的位置关系
你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同 的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域.
这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩 用弹着点位置对应的环数来表示.
练习
已知⊙O 的半径为5，M 为ON的中点，当OM＝3时 ，N点与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 外的部_____________.
练习 ⊙O 直径为d，点A到圆心的距离为m，若点 A不在圆
外，则d与m的关系是_____________.
练习
有一张矩形纸片，AB =3cm，AD =4cm，若以A为圆 心作圆，并且要使点D 在⊙A内，而点C 在⊙A外， ⊙A的半径 r 的取值范围是__________________.
例题
如图所示，已知⊙O 和直线l，过圆心O 作OP⊥l，P 为 垂足，A，B，C为直线l上三个点，且PA=2cm，PB =3cm，PC =4cm，若⊙O的半径为5cm，OP=4cm， 判断A，B，C三点与⊙O的位置关系. 点A在__圆___内____.
点B在__圆___上____. 点C在__圆___外____.
点与圆的位置关系
D
提升：已知菱形Ａ ＢＣＤ的对角线为 AC和 BD，E、F、 G、H分别是AB、 A BC、CD、DA的 中点，求证E、F、 G、H四个点在同 一个圆上。
H
G
C
O
F
E
B
思路：要证明几个点在同一圆上，就是证明这几个点 到某一个定点的距离相等
回顾与思考
• 这节课你学到了哪些知识？
注意：点与圆的位置关系和点到圆 心的距离的数关系是互相对应的,即 知道位置关系可以确定数量关系,知 道数量关系可以确定位置关系.
D C
A 45° B 400 东
北
∴ A市会受到沙尘暴影响.
点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d， 则有： p
点P在⊙O内
点P在⊙O上 点P在⊙O外
读作“等价于”， 它表示从符号左端 可以得到右端，也 可以从右端得到左 端。
d＜r
d
r d p
d=r
d＞r
r
P d r
1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有 几个？圆心在哪里？
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个． 经过三角形三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆。 三角形外接圆的圆心叫做这个 三角形的外心。 B 这个三角形叫做这个圆的内 接三角形。
A
●
O
C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
A
思考：点与圆有几种不同的位置关系？ 点与圆的三种位置关系： 点在圆内、点在圆上、点在圆外。
语言描述 图形表示 点在圆内
圆心到点的距离d 与半径r的关系
点在圆内：r>d；
《点和圆的位置关系》圆PPT课件
C l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同
一条直线上的三点不能作圆．
24.2.1 点和圆的位置关系
反证法的定义
要点归纳
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常 与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设 不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
F
C M
24.2.1 点和圆的位置关系
位置关系
归纳总结
定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
有且只有
F
A
B
●
o
C
G
24.2.1 点和圆的位置关系
试一试：
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
A
O C
B
24.2.1 点和圆的位置关系
概念认知
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
BC=4cm，以点A为圆心、3cm为半径画圆，并判断：
B
（1）点C与⊙A的位置关系;
D●
（2）点B与⊙A的位置关系;
（3）AB的中点D与⊙A的位置关系.
A
C
解：已知⊙A的半径r=3 cm. (1) 因为AC AB2 BC2 52 42 3(cm) r ，所以点C在⊙A上. (2) 因为AB=5 cm>3 cm=r, 所以点B在⊙A外. (3)因为 DA 1 AB 2.5cm3cm r，所以点D在⊙A内.
解：(1)当0<r<3时，点A，B在⊙C外． (2)当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
24.2.1 点和圆的位置关系
课堂小结
点与圆的 位置关系
位置关系数量化
圆与点的位置关系
圆和点之间有三种不同的位置关系：
1.点在圆内：当一个点位于圆的内部时，它与圆心的距离小于圆的半径。
2.点在圆上：当一个点位于圆的边界上时，它与圆心的距离等于圆的半径。
3.点在圆外：当一个点位于圆的外部时，它与圆心的距离大于圆的半径。
这些位置关系可以用来解决圆和点之间的几何问题,例如圆的内切圆，外接圆，圆的直径等等。
另外在判断圆和点之间位置关系时，我们还可以使用圆方程来判断。
圆方程为（x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,其中(a,b)是圆心坐标,r是圆的半径。
如果给定点(x0,y0) 满足这个方程，则说明该点在圆内，如果点到圆心的距离小于半径，则说明该点在圆上。
如果点到圆心的距离大于半径，则说明该点在圆外。
这种方法可以适用于所有的圆，不管圆的半径是否为0，也不管圆的半径是否为正。
直线与园的方程1圆与圆的位置关系
例2：求与圆C : x2 y2 4x 2 y 4 0
相切，半径为4，且和直线y 0相切的
圆的方程。
解：因为所求圆与直线y 0相切且半径为4，
所以设圆心坐标为O1 a, 4或O1 a, 4
所以方程为 x a2 y 42 42
或 x a2 y 42 42
Q 圆C : x2 y2 4x 2 y 4 0
即 x 22 y 12 32,圆心为O2 2,1,半径为3
因为两圆相切
1、a 若2两2圆 外4 切1，2 则 7O2 1O2 3 4
或a 22 4 12 72
a 2 2 10 或a 2 2 6
方程为 x 2 2 10 2 y 42 42， 或 x 2 2 10 2 y 42 42， 或 x 2 2 6 2 y 42 42， 或 x 2 2 6 2 y 42 42
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,
圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2
点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
代数方法
？
判断C1和C2的位置关系:
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0
C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
解：联立两个方程组得 联立方程组
点和圆的位置关系初中数学原创课件
教学目标
1．弄清点和圆的三种位置关系及数量间的关系． 2．探究过点画圆的过程，掌握过不在同一条直线
上三点画圆的方法． 3．了解运用反证法证明命题的思想方法．
教学重难点
▲重点 过不在同一条直线上的三点作圆．
▲难点 探究过三点作圆的过程，明白过同一条直线上的三 点不能作圆的道理．
∴_经__过__A_,_B_,_C_,_三__个__点__不__能__作__出__一__个__圆__________.
知识点三
P
b
l
B
C
知识归纳
反证法
知识点一
反证法的定义：先假设命题的结论不成立,然后由此经过推理得出矛盾
(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾),由矛盾判定假设不正确,从
而得到原命题成立,这种方法叫做反证法．
∴_∠__A_+_∠__B_+_∠__C_＞__1_8_0_º_. 这与__三__角__形__的__内__角__和__为__1_8_0_度__矛盾.
B
C
∴__假__设__不__成__立___.
∴_△__A_B_C_中__至__少__有__一__个__内__角__小__于__或__等__于__6_0_º_.
新课导入
1．圆的大小由__半径__确定；位置由__圆心__确定． 2．线段垂直平分线上的点到线段两个__端点__的距离
__相等__． 3．到线段两端点的距离相等的点在线段的__垂直平分
线__上．
知识归纳
点和圆的位置关系
知识点一
问题1：观察图中点A,点B,点C与⊙O的位置关系？ 问题2：设⊙O半径为r,说出点A,点B,点C与圆心O的距离d与半
【例2】如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,O为原点
点与圆的位置关系
为 它 是 Ｒ ＡＢ Ｃ． ｔ Ｂ ｔ Ｅ Ｒ ａ ＤＣ斜 边
中点 ．
圆 卜．
：
经过 已知点作圜（ 确定圆有两个条件 ： ①圆心 ， ②半径）
１ 过 一个 已知 点 可 以作 无 数个 圆 ， 。 圆心 、 径 可 以随便 定． 半 ２ 过 两个 已知 点 可 以作 无数 个 圆 ，圆心在 此 两点线 段 的垂直 ． 平分 线上 ， 图 （ ， ０ ） 如 ０。 ， ，． Ｄ ３ 过 三个 已知 点作 圆 ： ． 没有 ．当三点 共线 时 ， （ 找不 到 圆心 ， 不 出圆 ） 作
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１ ９
我 从 不 认 为 安 逸 和 享 受 就 是 生 活 本 身 的 目的 。— — 阿尔 伯 特 ・ 因 斯 坦 爱
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Ｖ 册
圆
例５ 如图 ， ０是 △４ Ｃ的外 心 ， Ｃ ２ Ｈ， Ｂ Ｂ ＝ ４Ｃ ］０到 Ｂ Ｃ的距 离
为 ５ｃ 求 △Ａ日 的外 接 圆 的 半 径 ． ｍ． Ｃ
关 系 比较 ．
反之 ． 已知 点与 圆心 的距 离与半 径 ｒ的大小关 系 ， 可知点 与 圆 的位 置关 系． 点 在 圆内． Ⅳ 点 ？ 在 圆上． ０ ＝ 、 ， Ｄ 点 Ｊ在 圆外． ｐ 综 上 ， 点 到 圆心距 离为 ｄ 圆半 径为 ｒ 可得 设 ， ，
＠ｄ ｒ Ａ在Ｏ０外 ； ＝ｃＡ在ｏ０上 ； ＜ ＞￣ ｃ ＠ｄ ｒ ￣ ③ｄ怍 在Ｏ０内．
Ａ ＝ ／ ３ ＝ ． Ｂ 、 ４＋ ５
又
Ｃ Ａ
点与圆、直线和圆的位置关系
பைடு நூலகம்D. 150∘
3. 已知 ⊙ ������ 的半径为 4 cm，如果圆心 ������ 到直线 ������ 的距离为 3.5 cm，那么直线 ������ 与 ⊙ ������ 的位置关系是 ( A. 相交 4. 若点 ������ ������, 0 为( ) B. ������ < 4 D. ������ > 4 或 ������ < −2 ) B. 相切 在以点 ������ 1,0 C. 相离 D. 不确定
d>R． d＝R． d<R．
4、切线 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线． （2)切线长： 从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线 长． (3)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角． 一、 选择题 1、1. ⊙ ������ 的半径为 5，圆心 ������ 到直线的距离为 3，则直线 ������ 与 ⊙ ������ 的位置关系
A. 点 ������ 在 ⊙ ������ 上 C. 点 ������ 在 ⊙ ������ 外
7. 如图，已知直线 ������������ 切 ⊙ ������ 于点 ������，������������ 为 ⊙ ������ 的直径，若 ∠������������������ = 123∘ ，则 ������������ 所对的圆心角的度数为 ( )
A. 点 ������ 在 ⊙ ������ 上 C. 点 ������ 在 ⊙ ������ 外
6. 已知 ⊙ ������ 的半径为 8，点 ������ 到圆心 ������ 的距离为 3，那么点 ������ 与 ⊙ ������ 的位置关 系是 ( ) B. 点 ������ 在 ⊙ ������ 内 D. 无法确定
点与圆位置关系
点与圆位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r；切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
过三点的圆不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、1.若三角形的三边长是3、4、5，则其外接圆的半径是____________；2.经过三角形各顶点的圆叫做这个三角形的圆；3.如图9，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外.(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.ABC4. △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，那么∠AOB 的度数为（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°5. 点A 到圆O 的最近点的距离为10厘米，点A 到圆上最远点的距离为6厘米，则圆O 的半径是（A ）8厘米 （B ）2厘米 （C ）8厘米或2厘米 （D ）以上答案都不对6. ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，那么∠AOB 的度数为（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°直线与圆的位置关系：(1)直线l 和⊙O 相交⇔d>r (2)直线l 与⊙O 相切⇔d=r (3)直线l 和⊙O 相离⇔d<r ，其中r 为⊙O 的半径，d 为圆心O 到直线l 的距离。
点和圆的三种位置关系
B
O
P
A
3、如图，在RTΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，设⊙O 与BC的另一个交点为D，求线段BD的长度？
B
D E
O
A
C
4、（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠B=60°， ⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的 延长线于P点，CP交⊙O于D （1）求证：AP=AC； （2）若AC=3，求PC的长．
B
F EO
CD
A
1、正三角形边长为6，求它的内切圆半径及 外接圆的半径
2、正三角形内切圆半径为6，求它的边长及 外接圆的半径
3、正三角形外接圆的半径为6，求它的边长 及内切圆半径
4、如图，在ΔABC中，AC=BC，E是内心，AE 的延长线交ΔABC的外接圆于D
求证：（1）BE=AE
（ 2 ）A B AC
一个圆的外部。
两个圆有唯一公共点， 并且除这公共点外，每 个圆上的点都在另一个 圆的内部。
R r
O1
d
O2
R-r<d<R+r
两个圆有两 个公共点。
没有公共点 外离 从公共点个数看
公 （相离） 内含 两圆位置关系
共 点 个
一个公共点 （相切）
外切 内切
数 两个公共点 （相交）
d：圆心距 R、r：两圆半径（R>r）
两圆位置关系的 内含 相交 外离
数量特征
R－r 内切
R＋r 外切
圆和圆的五种位置关系
Rr
O1
O2
外离
O1O2>R+r
Rr
O1
O2
外切
点和圆的位置关系(共32张PPT)
反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：
A
A 如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗?是多少?
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线
⊙O外
4.正方形ABCD的边长为 3 cm，以A为 A
D
圆心2cm为半径作⊙A，则点C( C )
A.在⊙A上 B.在⊙A内
3
C.在⊙A外 D.无法判断
B
3
C
5、你认为判断点和圆的位置关系的步骤是怎样的？ 一作、二算、三判
随堂练习
6.如图，⊿ABC中，∠C=90°， B
BC=3，AC=6，CD为中线，
如图，设⊙O 的半径为r，
O
如图，设⊙O 的半径为r，
当OP
时点P在圆内；
的距离分别为8cm、10cm、12cm，则
●
点在圆外
圆心2cm为半径作⊙A，则点C( )
d＝r
d>r
为什么过同一直线上的三点不能作圆呢？
符号 读作“等价
经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
符号 读作“等价 以⊙CO练为的圆半心径习,6以cm：，当已O为P半=6径知时作，圆圆点，P在的半；径等于5厘米，若点到圆心的距离是:
反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证 明的命题，主要有：
(1)命题的结论是否定型的； (2)命题的结论是无限型的； (3)命题的结论是“至多”或“至少”型 的.
我学会了什么 ？
实际问题
过一点可以作无数个圆
引入
过两点可以作无数个圆.圆心在以已知 两点为端点的线段的垂直平分线上.
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系知识梳理：考点一点与圆的位置关系1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r；(3)点在圆外⇔d>r.2．过三点的圆(1)经过三点作圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．考点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫圆的切线；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔d<r；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔d>r.考点三切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．考点四切线长定理1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理．．．．．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．【典型例题分析】【例1】(1)(2009·江西)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确．．．的是()A．当a<5时，点B在⊙A内B．当1<a<5时，点B在⊙A内C．当a<1时，点B在⊙A外D．当a>5时，点B在⊙A外(2)(2010·青岛)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相切或相交(3)(2010·门头沟)如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x 的取值范围是()A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤ 2C．0≤x≤ 2 D．x> 2【点拨】解答本组题时注重数形结合思想．【解答】(1)通过画图和点与圆位置关系的判定条件，A不正确．故选A.(2)过点C作CD⊥AB于D.∵∠B＝30°，BC＝4 cm∴CD＝2 cm，即点C到AB的距离等于⊙C的半径．故⊙C与AB相切，故选B.(3)当P与O重合时，PO＝0.当过点P 且与OA 平行的直线与⊙有唯一公共点时，PO ＝2，即0≤x ≤ 2.故选C.【例2】 (2010·聊城)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于点D ，连结BD.(1)若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；(2)取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．【点拨】本题综合考查相似三角形的判定性质以及切线的判定．【解答】(1)由AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90°在Rt △ADB 中，AD ＝3，BD ＝4，∴AB ＝5在Rt △ADB 和Rt △ABC 中，∵∠ADB ＝∠ABC ＝90°，∠DAB ＝∠BAC ，∴Rt △ADB ∽Rt △ABC.∴AD BD ＝AB BC ，即34＝5BC .∴BC ＝203.(2)如图，连结OD.∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB.在Rt △BDC 中，点E 为斜边BC 的中点，∴EB ＝ED.∴∠EBD ＝∠EDB.∴∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝90°.∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径，∴ED 与⊙O 相切．【例3】 (2010·陕西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，连结BE.(1)若BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小；(2)若AB ＝1，BC ＝2时，求△DEC 外接圆的半径．【点拨】(1)连结过切点的半径，构造直角三角形是常用的辅助线．(2)通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求线段的长度．【解答】(1)∵DE 垂直平分AC ，∴∠DEC ＝90°，∴DC 为△DEC 外接圆的直径．∴DC 的中点O 即为圆心，如图，连结OE.又知BE 是⊙O 的切线，∴∠EBD ＋∠BOE ＝90°.在Rt △ABC 中，E 是斜边AC 的中点，∴BE ＝EC.∴∠EBC ＝∠C.又∵∠BOE ＝2∠C ，∴∠C ＋2∠C ＝90°，∴∠C ＝30°.(2)在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴EC ＝12AC ＝52.∵∠ABC ＝∠DEC ＝90°，∴△ABC ∽△DEC. ∴AC DC ＝BC EC ，∴DC ＝5×52÷2＝54. ∴△DEC 外接圆的半径为58. 【巩固练习】1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，PA ＝4，则sin ∠APO 等于( B ) A.45 B.35 C.43 D.34(第1题) (第2题)2．如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是( B )A ．4B ．8C ．4 3D ．8 33．⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．如图，CD 切⊙O 于点B ，CO 的延长线交⊙O 于点A.若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( B )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°(第4题) (第5题)5．如图，⊙O 的半径OA ＝10 cm ，弦AB ＝16 cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为6cm.6．△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，以点B 为圆心、6 cm 为半径作⊙B ，则边AC 所在的直线与⊙B 的位置关系是相切．【考点训练】一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2011中考预测题)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D 等于( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解析】连结OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DOC ＝2∠A ＝50°.【答案】A2．(2009中考变式题)如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为( )A ．2B ．1.5C ．1D ．0.5【解析】连结OD ，则OD ⊥AD ，又BC ⊥AD ，∴BC ∥OD.∵AB ＝OB ＝2，∴BC ＝12OD ＝12×2＝1. 【答案】C3．(2009中考变式题)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M 、N 两点．若点M 的坐标是(2，－1)，则点N 的坐标是( )A ．(2，－4)B ．(2，－4.5)C ．(2，－5)D ．(2，－5.5)【解析】过点P 作PA ⊥MN 于点A ，设NA ＝x ，连结PN ，则MA ＝x.∴⊙P 半径为x ＋1，在Rt △PNA 中，∵PN 2＝NA 2＋PA 2，∴(x ＋1)2＝x 2＋22，解得x ＝1.5，∴N(2，－4)．【答案】A4．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的半径为R ，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为( )A ．2R B.3R C ．R D.32R 【解析】连结OC ，则OC ⊥OD.∵∠CAB ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴∠D ＝30°，则OD ＝2R.∴BD ＝OD －OB ＝2R －R ＝R.【答案】C5．(2009中考变式题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连结BC 交⊙O 于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是( )A ．AD ＝12BCB ．AD ＝12AC C ．AC>AB D ．AD>DC 【解析】易证△ABC 为等腰直角三角形，AD 为斜边上的中线，∴AD ＝12BC. 【答案】A6．(2011中考预测题)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心、3 cm 长为半径的圆与AB 的关系为( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．无法判断【解析】易求C 到AB 的距离为125<3，∴⊙C 与AB 相交． 【答案】C7．(2010·眉山)下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【解析】本题考查切线的性质．【答案】C8．(2009中考变式题)如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC ＝35°，则∠P 的度数为( )A ．35°B ．45°C ．60°D ．70°【解析】∵∠BAC ＝35°，∠OAP ＝90°，∴∠PAB ＝55°.由切线长定理得PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，∴∠P ＝70°.【答案】D9．(2009中考变式题)下列四个命题：①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线，其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④【解析】利用圆的切线的判定方法和定义，②④是正确的．【答案】C10．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线与AB 的延长线交于点P ，则∠P 等于( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【解析】∵OA ＝OC ，∠A ＝35°，∴∠A ＝∠ACO ＝35°，∴∠COP ＝70°.又OC ⊥PC ，∴∠P ＝90°－∠COP ＝20°.【答案】B11．(2009中考变式题)如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为( )A. 3B. 5 C ．2 3 D ．2 5【解析】过O 作OE ⊥BC 于点E ，连结OB ，在Rt △OBE 中，OB ＝2，∠OBE ＝30°，∴BE ＝3，∴BC ＝2BE ＝2 3.【答案】C12．(2010·武汉)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长为( )A ．7B ．7 2C ．8 2D ．9【解析】连结BD 、AD ，作BE ⊥CD 于E ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝6，AB ＝10，根据勾股定理得BC ＝8.∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°.∵BE ⊥CD ，∴CE ＝BE.∵BC ＝8，根据勾股定理得CE ＝BE ＝4 2.∵AD ＝BD ，AB 是直径，∴BD ＝5 2.在Rt △BDE 中，BD ＝52，BE ＝42，∴DE ＝32，∴CD ＝CE ＋DE ＝72，故选B.【答案】B二、填空题(每小题4分，共16分)13．(2009·河北)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC.若∠A ＝36°，则∠C ＝________.【解析】连结OB ，则OB ⊥AB ，又∠A ＝36°，∴∠AOB ＝54°.又OB ＝OC ，∠C ＝∠OBC ＝12∠AOB ＝27°. 【答案】27°14．(2010·河南)如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是OMA 上异于点C 、A 的一点．若∠ABO ＝32°，则∠ADC 的度数是________．【解析】∵AB 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AB.∵∠ABO ＝32°，∴∠AOB ＝90°－32°＝58°，则∠ADC ＝12∠AOB ＝29°. 【答案】29°15．(2011中考预测题)如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA ＝8 cm ，C 是AB 上的一个动点(点C 与A 、B 两点不重合)，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，则△PED 的周长是________．【解析】由切线长定理得DC ＝DA ，CE ＝BE ，∴DE ＝DA ＋EB ，∴△PED 的周长＝PA ＋PB ＝2PA ＝16 cm.【答案】16 cm16．(2010·杭州)如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°.O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E.点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连结DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________.【解析】连结DO ，∵⊙O 与AC 相切于点D ，则DO ⊥AC.∵∠C ＝90°，∴DO ∥CG ，由DO ＝OF ，可推得BF ＝BG.由AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，得AB ＝62，∴AO ＝3 2.在Rt △ADO 中，∠A ＝45°，∴DO ＝3，BF ＝AB －AO －OF ＝32－3，∴CG ＝BC ＋GB ＝6＋32－3＝3＋3 2.【答案】3＋3 2三、解答题(共36分)17．(12分)(2010·广东)如图，PA 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O相交于D 点．已知OA ＝2，OP ＝4.(1)求∠POA 的度数；(2)计算弦AB 的长．解：(1)因为PA 与⊙O 相切于A 点，所以OA ⊥AP.在Rt △PAO 中，cos ∠POA ＝OA OP ＝24＝12，所以∠POA ＝60°. (2)因为AB ⊥OP ，所AC ＝BC ＝12AB. 在Rt △ACO 中，sin ∠COA ＝AC OA， 所以AC ＝OA·sin ∠COA ＝2×sin60°＝2×32＝ 3. 所以AB ＝2AC ＝2 3.18．(12分)(2010·北京)已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.(1)求证：直线AC 是⊙O 的切线；(2)如果∠ACB ＝75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长．(1)证明：∵OD ＝OC ，∠DOC ＝90°，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45°.∵∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.∴∠ACD ＝45°.∴∠ACD ＋∠OCD ＝∠OCA ＝90°.∵点C 在⊙O 上，∴直线AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵OD ＝OC ＝2，∠DOC ＝90°，可求CD ＝2 2.∵∠ACB ＝75°，∠ACD ＝45°，∴∠BCD ＝30°.作DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEC ＝90°，∴DE ＝DC·sin30°＝ 2.∵∠B ＝45°，∴BD ＝2.19．(12分)(2010·襄樊)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA ⊥AC ，连结OP ，弦CB ∥OP ，直线PB 交直线AC 于D ，BD ＝2PA.(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并予以证明；(3)求sin ∠OPA 的值．(1)证明：连结OB ，∵BC ∥OP ，∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB.又∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBO ，∴∠POB ＝∠POA.又∵PO ＝PO ，OB ＝OA ，∴△POB ≌△POA(SAS)．∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线．(2)2PO ＝3BC(或PO ＝32BC 亦可)． 证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝PA.∵BD ＝2PA ，∴BD ＝2PB.∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO.∴BC PO ＝BD PD ＝23.∴2PO ＝3BC. (3)解：∵△DBC ∽△DPO ，∴DC DO ＝BD PD ＝23. 即DC ＝23OD ，∴DC ＝2OC. 设OA ＝x ，PA ＝y ，则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y.在Rt △OBD 中，由勾股定理，得(3x)2＝x 2＋(2y)2.即2x 2＝y 2.∵x>0，y>0，∴y ＝2x ，OP ＝x 2＋y 2＝3x.∴sin ∠OPA ＝OA OP ＝x 3x ＝13＝33.。
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C O A B
外心到三角形三个顶点的距离相等。
操作：由图可知，锐角三角形的外心在三角形 内，那钝角三角形、直角三角形的外心呢？画图 说明。
C
C
AO
AO
O
C
B
B
AB
归纳：锐角三角形的外心在三角形内;直
角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的
外心在三角形外。
练一练
1、判断下列法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ )
A B
无数个，圆心在线段AB的垂直平分线上
问题3：要经过不在同一直线上的三点作 一个圆，如何确定这个圆的圆心？
C O A B
不在同一直线上的三个点确定一个圆
C
O A
B
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这 个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫 做这个三角形的外心，外心是三角形三边垂 直平分线的交点。
点 与
点P在圆内
圆
的 点P在圆上
位
置
关 点P在圆外
系
d<r d=r d>r
等价于
P P P
O·
r
A
1、已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心O
的距离为d，则
(1)当d=7cm时，点P在⊙O内 ； (2)当d=10cm时，点P在⊙O上 ； (3)当d=13cm时，点P在⊙O外 .
例 如图所示，已知矩形ABCD的边AB=3cm， AD=4cm.
24.2.1 点和圆的位置关 系
• 学习目标： 1．理解点和圆的三种位置关系，并会运用它解决一 些实际问题；
2．会过不在同一直线上的三个点作圆，理解三角形 的外心和外接圆的概念；
3．结合本节内容的学习，体会数形结合、分类讨论 的数学思想．
• 学习重点： 点和圆的位置关系．
导入新知
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得 荣誉．你知道运动员的成绩是如何计算的吗？
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆
的位置关系？
问题２：设⊙O半径为r, 说出点A，点B， 点C与圆心O 的距离与半径的关系：
点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外
OA < r OB = r OC > r
AC O· r
B
问题3：反过来，已知点P到圆心O的距离 d 和圆的半径r，能否判断点和圆的位置关系？
2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的
形状为( B )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰三角形
典型例题
1.如图，已知等边三角形ABC中， 边长为6cm，求它的外接圆半径.
B
C
A
E O
C D
B
2.如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，若
AC=12cm ， BC=5cm ， 求 的 外
(1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、 D与⊙A的位置关系如何？ 解：∵AB=3cm<4cm ∴点B在⊙A内
∵AD=4cm ∴点D在⊙A上
∵AC=5cm>4cm ∴点C在⊙A外 A
D
B
C
例 如图所示，已知矩形ABCD的边AB=3cm， AD=4cm. (2)若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点至少 有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的 半(2径)连r的接取A值C 范围是什么？
∵AB<AD<AC
A
D
∴点B在⊙A内，点C在⊙A外
∵AB<r且AC>r
B
C
即 3cm<r<5cm
2、一个点到圆上的最小距离是4cm，最
大距离是9cm，则圆的半径为
.
P P
问题1：如图，作经过已知点A的圆，这 样的圆能作出多少个？
A
无数个
问题2：如图，作经过已知点A,B的圆， 能作出多少个？它们的圆心分布有什么特 点？
A 接圆半径.
课堂小结
（1）点和圆的位置关系： 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，则
点 P 在圆外 d＞r； 点 P 在圆上 d=r； 点 P 在圆内 d＜r． （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆． （3）理解三角形外接圆和三角形外心的概念．