弹性力学与有限元分析复习题(含答案)

分析计算题

1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂0

0x y

y x xy y yx

x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()

()()

⎪⎩⎪⎨

⎧=+=+s f

l m s f m l y s xy y x

s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2

223xy

C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x y

y x

xy y yx

x τστσ 得

⎩

⎨

⎧=--=--+-0230

33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即

()()()⎩⎨

⎧=+=+--0

230

333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得

⎪⎩⎪

⎨⎧=+=+=-0

23030332

231C C C Q C C 由此解得，61Q C =

，32Q C -=，2

3Q

C = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程

⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y x y X y x xy

y yx

x τστσ

可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：

y x x

y xy x y y x ∂∂∂+=-∂∂+-∂∂τννσσνσσ222

2

2)1(2)()( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：

y x x

y xy

x y y x ∂∂∂-=--∂∂+--∂∂τνσννσσννσ2

222

212)1()1( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否

可能存在。 （1）Axy x =ε，3By y =ε，2Dy C xy -=γ； （2）2Ay x =ε，y Bx y 2=ε，Cxy xy =γ； （3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ； 其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

y x x

y xy

y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2

222

2 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：

（1）相容。

（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。 （3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。 5、证明应力函数2by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠b ）。

解：将应力函数2by =ϕ代入相容方程

024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y

y x x ϕ

ϕϕ 可知，所给应力函数2by =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

b y

x 222=∂∂=ϕ

σ，022=∂∂=x y ϕσ，02=∂∂∂-=y x xy ϕτ 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四

个边上的面力分别为：

上边，2h

y -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；

下边，2h

y =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2

===h y y y f σ；

左边，2l

x -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2=-=-=l x xy y f τ；

右边，2l

x =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2

===σ，0)(2===l x xy y f τ。