组合数学-第七节：整数的分拆

正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。

在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。

分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。

定义正整数n 的一个k 分拆是把n 表示成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥ （）的一种表示法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。

如果表达式（）是无序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表示法都只视为一种表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。

反之，若表达式（）是有序的，即表达式（）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。

这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。

n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。

例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。

在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。

而：4211=++ 是4的唯一一个3分拆。

有序分拆在这一小节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。

定理 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。

证明 正整数n 分成k 个分部量的一个有序分拆：12k n n n n =+++，等价于方程：12k x x x n +++=。

的正整数解()12,k n n n ，由节定理的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。

由定理和定理，正整数n 的有序k 分拆数等于多重集合{}12,,,k M a a a =∞⋅∞⋅∞⋅的12,k a a a 至少出现一次的n 组合数，均为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。

111ki i n k p k =⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭∑（2）正整数2n 分拆成k 个分部，各分部量都是正偶数的有序分拆个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。

（3）正整数n 分成k 个分部，若n 与k 同为奇数或同为偶数，则n 的各分部量都是奇数的有序分拆数为：121n k k -⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭证明 （1）设：12k n n n n =+++ （）是n 满足条件：()1i i n p i k ≥≤≤ （） 的一个有序k 分拆。

令：()1i i i y n p i k =-≤≤且满足方程：()()()1211221k k k kii y y y n p n p n p n p =+++=-+-++-=-∑ （）即12,,,k y y y 是方程（）的一组非负整数解。

反之，若给定方程（）的一组非负整数解12,,,k y y y ，令()1i i i n y p i k =+≤≤，则构成n 的一个有序k分拆（），且满足条件（）。

所以，n 的满足条件（）的有序k 分拆与方程（）的非负整数解之间构成一一对应。

由定理的证明知，其个数为：111ki i n k p k =⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭∑（2）设2n 的一个有序k 分拆：122k n x x x =+++满足条件：i x 为偶数()1i k ≤≤ （），令()12ii x y i k =≤≤，则有：12k n y y y =+++即12k y y y +++是n 的一个有序k 分拆。

反之，设12k y y y +++是n 的一个有序k 分拆，令 ()21i i x y i k =≤≤，则12k x x x +++是2n 的一个满足条件（）的有序k 分拆。

所以，2n 满足条件（）的有序k 分拆数等于n 的有序k 分拆数，为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。

（3）n 的各分部量为奇数的分拆：12k n y y y =+++与n k -的各分部量为偶数的分拆：12(1)(1)(1)k n k n n n -=-+-++-()()11in i k -≤≤偶显然构成一一对应。

由（2）知，n 的各分部量为奇数的分拆数为：121n k k -⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭定理给出了几种不同限定条件下的有序分拆数。

无序分拆我们用(),B n k 来表示n 的k 分拆的个数，用()B n 表示n 的所有分拆的个数，则显然有 （1）()(),0B n k k n =>；（2）()()1,nk B n B n k ==∑n 的k 分拆中，各分部量的次序无关紧要，一般按递降顺序排列。

若：12k n n n n =+++则：12k n n n ≥≥≥如果在n 的k 分拆中有i k 个分部量为()1i i k ≤≤，那么可以把该分拆记为：1212n n k k k n =⋅+⋅++⋅有时也记为：1212n k kk n n =例如，()9,55,9B =的所有5分拆为：95111115414211114123133111233132211132221222214211=++++=⋅+⋅=++++=⋅+⋅+⋅=++++=⋅+⋅=++++=⋅+⋅+⋅=++++=⋅+⋅表列出了当1,2,3,4,5n =时n 的所有k 分拆()1i k ≤≤。

定理 n 的k 分拆数(),B n k 满足递推关系：()()()(),,1,2,B n k k B n B n B n k +=+++（）()(),11,,1B n B n n ==（）证明 由(),B n k 的定义易知等式（）成立，下面证明递推关系（）为此，我们考虑n 分成至多k 个分部的分拆，这样的分拆总数为()()(),1,2,B n B n B n k +++n 的每个分成至多k 个分部的分拆可表示为：1200m n n n n =++++++这个和式中包含k 项，并且：()1211m n n n m k ≥≥≥≥≤≤我们将n 的这个m 分拆映射到n k +的k 分拆如下：()()()1211111m n k n n n +=+++++++++该和式中包含k 项，并且：121112m n n n +≥+≥≥+≥设上面确定的映射为f ，因为不同的n 分为至多k 个分部的分拆对应着n k +不同的k 分拆，所以f 是单射。

又因为每个n k +的k 分拆：12k n k l l l +=+++在f 作用下的原像是每个()1i l i k ≤≤减去1，再保留不为零的那些项而得到的n 的一个分部数至多为k 的分拆，所以f 是满射。

因此，f 是一一映射，于是有：()()()(),,1,2,B n k k B n B n B n k +=+++定理提供了对(),B n k 逐行递推的计算方法，见表，例如：()()()()()()9,54,14,24,34,44,5121105B B B B B B =++++=++++=例1 正整数n 的2分折数为：(),22n B n ⎢⎥=⎢⎥⎣⎦其中，2n ⎢⎥⎢⎥⎣⎦表示小于等于2n的最大整数。

证明 设n 的2分拆为：()1212n n n n n =+≥因12n n ≥，所以2n 恰能取1，2，……，2n ⎢⎥⎢⎥⎣⎦中的任一个，故：(),22n B n ⎢⎥=⎢⎥⎣⎦分拆的Ferrers 图研究分拆数性质的一种简单有效的组合手段就是Ferrers 图，设n 的一个k 分拆为()1212k k n n n n n n n =+++≥≥≥（）我们在一条水平直线上画1n 个点，在其下面一条直线上画2n 个点，且使这两条直线上的第一个点在同一条竖线上，其他点依次与上一行的点对齐；依此类推，最后在第k 条直线上画k n 个点，第一个点与前面各行的第一个点均在同一条竖线上，其他点依次与上面各行的点对齐，这样得到的点阵图叫做n 的k 分拆（）的Ferrers 图例如，15的4分拆：155532=+++ （） 的Ferrers 图如图所示。

图反过来，对于n 的一个Ferrers 图，又可按上述规则对应于n 的唯一的一个分拆。

所以，n 的分拆同它的Ferrers 图之间是一一对应的。

把一个Ferrers 图的各行改成列，但其相对位置不变，这样又得到一个Ferrers 图，叫做原Ferrers 图的共轭图。

例如，图对应的共轭图是图。

图共轭Ferrers 图所对应的分拆叫做原分拆的共轭分拆。

例如，图对应的分拆1544322=++++（）是分拆（）的共轭分拆。

若n 的一个分拆与其共轭分拆相同，则该分拆称为n 的自共轭分拆。

从分拆的Ferrers 图可以证明以下一些定理：证明 上面定义的分拆的共轭运算是一个映射，它将n 的最大分部量为k 的分拆映射到n 的k 分拆。

例如，分拆（）是15的最大分部量为5的分拆，其共轭分拆（）是15的一个5分拆。

并且这个映射显然是一一的，所以两者相等。

定理 n 的自共轭分拆的个数等于n 的各分部量都是奇数且两两不等的分拆的个数。

证明 为了证明这个性质，我们将借助于Ferrers 图建立一个n 的各分部量为奇数且两两不等的分拆到n 的自共轭分拆之间的一一对应。

设n 的一个分部量为奇数且两两不等的分拆为：()()()12212121k n n n n =++++++ （）其中：120k n n n >>>≥由n 的分拆（），我们构造n 的一个自共轭分拆的Ferrers 图。

在第1行与第1列都画11n +个点，共有121n +个点；画完第1行和第1行后，在第2行与第2列再各画21n +个点，共221n +个点，此时，第2行与第2列中加上第1行与第1列已画的点，都已有21n +个点；……；在第k 行与第k 行再画1k n +个点，共21k n +个点。

因为12k n n n >>>，所以如此画的n 个点的点阵图的每一行都不比下一行的点数少，因而是n的一个分拆的Ferrers 图。

且由上面的构造法知，该Ferrers 图是对称的，所以其对应的分拆是自共轭的。

例如，用上述方法由分拆：()()()17953241221211=++=⋅++⋅++⋅+构造的Ferrers 图如图所示，对应的自共轭分拆为1754431=++++显然，上面建立的n 个分部量为奇数且两两不等的分拆与n 的自共轭分拆之间的对应关系是一一的，所以定理的结论成立。

++=图定理 n 的分部量两两不等的分拆的个数等于n 的各分部量都是奇数的分拆的个数。

证明 证明的方法还是建立定理中提及的两类不同的分拆之间的一一对应。

在一个n 的各分部量为奇数的分拆中，假设数21k +出现p 次，我们将p 写成2的幂次和的形式：()1222i i p i i =++>>则这种表示法是唯一的。