不定积分的例题分析及解法[1]

不定积分的例题分析及解法

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

dx x

x ⎰

sin ；dx e

x

⎰-2

；dx x

⎰

ln 1；⎰

-x

k dx 2

2

sin 1（其中10<

这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。

一、疑难分析

（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明

（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数

)(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上

的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。

（2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分⎰dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即

⎰

+=C x F dx x f )()(。

（3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系，)(x F 只是)(x f 的某个原函数，而

⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的

不定积分，例如3,2

1,122

2

-+

+x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2

才是x 2的

不定积分（其中C 是任意常数）。

（4）)(x f 的不定积分⎰dx x f )(中隐含着积分常数C ，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数C 。

（5）原函数存在的条件：如果函数)(x f 是某区间上连续，则在此区间上)(x f 的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分

dx e

x

dx dx x

x x

⎰

⎰

⎰-2

,ln ,sin

都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。

（二）换元积分法的几点说明

换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。

（1）第一换元积分法（凑微分法）：令)(x u u = 若已知⎰+=C x F dx x f )()(，则有

[][]C x F dx

x x f +='⎰)()()(ϕϕϕ

其中)(x ϕ是可微函数，C 是任意常数。

应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式）。 （1）a b ax d a

b x d dx )((1)(+=+=、)0≠，a

b 为常数

具体应用为

⎰⎰++=

+)()(1)(b ax d b ax a

dx b ax m

m

=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++⋅+C b ax a

C m b ax a m ln 11

)(11

)1()1(-=-≠m m

（2） )(1

11

b x

d a d x x a a

++=

+

)()1(11

b ax

d a

a a ++=

+

a (、

b 、a 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。例如：

x d dx x

x x d dx x dx xdx 21),

(3

2,

2

12

==

=

（3）)ln (1ln 1b x a d a

x d dx x

+=

=b a ,(为常数，)0≠a

（4）,0(ln )(,>=

=a a

a d dx a de dx e x

x

x x

且)1≠a ；

（5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-= （6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7）

)(arctan 112

x d dx x

=+

（8）

)(arcsin 112

x d dx x

=-

在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求

⎰

+dx x

x f 2

11)

(arctan

时，应将

dx x

dx 2

1+凑成x d arctan ；求

dx x

x arc f ⎰

+2

11)

cot (

时，应将

dx x

2

11+凑成x darc cot -；而求dx x

x

⎰

+2

12时，211

x +就不能照搬上述两种凑法，应将xdx 2凑成2dx ，即)1(222x d dx xdx +==。

（2）第二换元法积分法：令)(t x ϕ=，常用于被积函数含2

2

x a ±或2

2

a x -等形式。 常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示：

（3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。

（三）关于积分形式不变性

在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理：