线段的垂直平分线的性质和判定
垂直平分线、等腰三角形
第1讲垂直平分线、等腰三角形【知识点】一、垂直平分线1、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2、线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点线与这条线段两个端点的距离相等几何语言:3、线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言:4、线段垂直平分线的画法：二、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简写成“三线合一”）几何语言：(1)AB＝AC，AD⊥BC，∠＝______∠______，______＝______。
(2) AB＝AC；BD＝DC，∠______＝∠______，______⊥______。
(3) AB＝AC，AD平分∠BAC______⊥______，______=______.性质3：等腰三角形是轴对称图形3、等腰三角形的判定（1）定义（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）几何语言：三、等边三角形1、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．E D C B A（3）三线合一2、等边三角形的判定（1）定义（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3、含30°角直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【典型例题】 1、如图2，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，则∆EBC 的周长为（ ）厘米A ．16B ．28C ．26D ．18。
垂直平分线性质与判定应用
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
线段垂直平分线的性质和判定讲课文档
B(A)
总结归纳
线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
第八页，共22页。
典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直 平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为 35cm，则BC的长为( ) C
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
线段垂直平分线的性质和判定
第一页，共22页。
学习目标
1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算. （难点）
第二页，共22页。
导入新课
问题引入
A
某区政府为了方便居民的生活，计划在三 个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中 心，试问该购物中心应建于何处，才能使得 它到三个小区的距离相等？
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示. 因为PA=PB， 所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
第十三页，共22页。
总结归纳
P3
P1A __＝__P1B P2A __＝__ P2B
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B
l
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活动探究
作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是 线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA 与线段PB重合，于是PA=PB.
P
(B) A
l
第七页，共22页。
垂直平分线定义性质及判定
2、如图; NM是线段AB的中垂线
下列说法正确的有：①②③&
①AB⊥MN,②AD=DB， ③
MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是
A
MN的垂直平分线
A
D
C
M
D
B
N
如图;若AC=12，BC=7，AB的垂直平分
线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长
A
& 解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
在何处？你的方案是什么?
B
P30：7题
L
高速公路
7、如图;已知∠AOB和定点P、Q，求作：点M，使 PM=MQ，且点M到∠AOB两边的距离相等&
思考：生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活;计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等&
l是AB的垂直平分线;观察P1A和
P3
P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之
P2
间的关系？
P1
A
B
l
求证：
线段垂直平分l 线上的点到这条线段两端的距离相等
P
A C
能不能写出已知求证并 B 证明呢？
已知：直线m是线段AB的垂直平分线;
P为直线m上的任意一点；
m
P
求证：PA=PB.
证明：通过证明两个三角形全等．
与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平分 线上&
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等（性质
点到线段两个 端点距离相等
PA=PB
P 与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平 分线上（判定
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。
性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。
第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。
判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。
2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。
方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。
第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。
3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。
3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。
第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。
4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。
4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。
第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。
5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案第一章：引言1.1 课程导入利用多媒体展示线段的垂直平分线的实例，引导学生观察和思考。
提问：什么是线段的垂直平分线？它有什么特殊的性质和应用？1.2 学习目标让学生了解线段的垂直平分线的定义和性质。
培养学生运用线段的垂直平分线解决实际问题的能力。
第二章：线段的垂直平分线的性质2.1 性质1：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等通过实际例子，引导学生发现并证明线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
2.2 性质2：垂直平分线与线段垂直通过几何画图软件展示垂直平分线与线段的垂直关系，引导学生理解和证明。
2.3 性质3：垂直平分线上的任意一点到线段的另一端点的距离等于线段的长度的一半通过实际例子，引导学生发现并证明垂直平分线上的任意一点到线段的另一端点的距离等于线段的长度的一半。
第三章：线段的垂直平分线的判定3.1 判定1：如果一条直线垂直平分一条线段，这条直线是该线段的垂直平分线通过实际例子，引导学生理解和证明判定1。
3.2 判定2：如果一条直线与一条线段垂直且通过线段的中点，这条直线是该线段的垂直平分线通过实际例子，引导学生理解和证明判定2。
第四章：线段的垂直平分线的应用4.1 应用1：线段的长度计算引导学生运用线段的垂直平分线的性质计算线段的长度。
4.2 应用2：线段的垂直平分线与线段的交点求解引导学生运用线段的垂直平分线的性质求解线段的垂直平分线与线段的交点。
第五章：总结与拓展5.1 总结让学生回顾本节课学习的线段的垂直平分线的性质和判定，巩固知识点。
5.2 拓展引导学生思考线段的垂直平分线在实际问题中的应用，提升学生的解决问题的能力。
第六章：例题解析6.1 例题1：已知线段AB，求其垂直平分线的方程引导学生利用性质1和性质2，通过给定的线段AB的两个端点坐标，求出其垂直平分线的方程。
6.2 例题2：已知线段AB的垂直平分线方程，求线段AB的中点坐标引导学生利用判定1和判定2，通过已知的线段AB的垂直平分线方程，求出线段AB的中点坐标。
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
返回
11
11．如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D
是BC的中点，且AB＝AC＝CE，对于下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；
④AB＋BD＝DE，其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
返回
12
题型 1 线段垂直平分线的性质在求角中的应用
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，线 段AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.
∵△OBC的周长为13 cm，∴OB＋OC＋BC＝13 cm.
∵BC＝6 cm，∴OB＝OC＝3.5 cm. ∴OA＝3.5 cm.
返回 17
题型
线段垂直平分线的判定在判断线
3 段垂直平分线中的应用
14．(中考·连云港)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，
点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，
7
7．(中考·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝3，BC＝5，分别以点A，B为圆心，大于AB
的长为半径画弧，两弧交点分别
为点P，Q，过P，Q两点作直线
8
交BC于点D，则CD的长是_____5___．
返回
8
8．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，
则点D在线段( B )的垂直平分线上．
10
10．(中考·河北)已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝
PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明
该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( B )
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC
C．取AB的中点C，连接PC
线段垂直平分线的性质及判定定理
性质证明
证明方法一
利用勾股定理和全等三角形性质证明。
证明方法二
利用中位线定理证明。
2023
PART 03
线段垂直平分线的判定定 理
REPORTING
判定定理的表述
判定定理1
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
判定定理2
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
判定定理的应用
01
02
2023
PART 02
线段垂直平分线的性质
REPORTING
定义与性质
定义
垂直平分线是一条过线段中点的 直线，且与线段垂直。
性质
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质的应用
三角形中线定理
三角形中，中线与对应的底边平行且 等于底边的一半。
角的平分线定理
角的平分线上的任意一点到角的两边 距离相等。
在日常生活中的应用
确定物体摆放位置
在日常生活中，可以利用线段垂 直平分线的性质来确定物体的摆
放位置，使物体对称、平衡。
测量距离
在道路、桥梁等工程中，可以利用 线段垂直平分线的性质测量两点之 间的距离，提高测量的准确度。
确定中心点
在城市规划、建筑设计等领域，可 以利用线段垂直平分线的性质确定 中心点，从而进行合理的规划和设 计。
解析几何的应用
在解析几何中，垂直平分线的 性质可以用来解决一些与距离
和位置有关的数学问题。
对未来研究的展望
01
深入探索垂直平分线的性质
尽管垂直平分线的性质已经被广泛研究，但仍有许多未被发现的性质值
得进一步探索。
02
垂直平分线与其他几何概念的关系
13.1.2线段垂直平分线性质课件(共34张PPT)
B的距离.你有什么发现？再取几个点试试.你能说明理由吗？
发现： P到A的距离与P到B的距离相等.
P
已知:如图.AC=BC. PC⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
证明：∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 在△APC与△BPC中:
PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
五角星的对称轴有什么特点？ 相交于一点．
练习
1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下.你们 作出的对称轴一样吗？
练习
2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？
练习
3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的 对称轴．
A
B
C
D
做一做
1.正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点， 过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影 部分的面积之和等于 1 a 2 ．
B A
5.求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点 距离相等.
A
·P
B
C
试一试
N
已 知 ： P为 M ON内 一 点 。 P与 A关 于 ON对 称 ， A
P与 B关 于 OM 对 称 。 若 AB长 为 15cm
求 ： PCD的 周 长 .
D P
解: P与A关于ON对称
ON为PA的中垂线（
? …）
F
∴PA=PB 同理：PB=PC
P E
∴PA=PB=PC
A
N
B
结论：三角形三边的垂直平分线交于一 点，并且这点到三个顶点的距离相等.
垂直平分线的定理
知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD=BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC=BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
定理的数学表示：如图3，若直线i、j、k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i、j、k相交于一点O，且OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.典型例题：例1如图1，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm例2 1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例3 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线例4 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.4、角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
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5．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上． 若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长． 解：∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝6 cm，又∵AD⊥BC， ∴由SAS可证△ABD≌△ACD，∴AB＝AC＝5 cm. ∵点C在AE的垂直平分线上，∴CE＝AC＝5 cm， ∴BE＝BC＋CE＝11 cm
3．(教材P65习题6变式)如图，△ABC的周长为30 cm， 把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D， 交AC边于点E，若△ABD的周长是22 cm，则AE的长为( )C A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
4．(毕节中考)如图，在△ABC中，AC＝1交AC于点E，则△BCE的周长是___1_6．
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A) A.AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
7．在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( )A A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点
10．如图，已知钝角△ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的高BH. (尺规作图，保留作图痕迹，不写过程)
解：BH即为所求，如图：
11．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E， 下列结论不一定成立的是( )C A．AB＝AD B．CA平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
8．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD， 则点D在___A_C的垂直平分线上.
9．如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点， 则BE是否与CE相等？试说明理由．
解：BE＝CE.理由：连接BC，∵AB＝AC，DB＝DC， ∴A，D都在线段BC的垂直平分线上，即AD垂直平分BC，∴BE＝CE
解：过点D作DE⊥AB于点E，由AAS可证△ACD≌△AED， ∴AC＝AE.∵AB＝2AC＝BE＋AE，∴BE＝AE＝AC， ∴DE是线段AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上
16．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于 点P，过点P分别作PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M.求证：BN＝CM.
12．(洛阳东方中学期末)如图，∠MON内有一点P，PP1，PP2分别 被OM，ON垂直平分，P1P2与OM，ON分别交于点A，B. 若P1P2＝10 cm，则△PAB的周长为( )C A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
13．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P， PE＝3 cm，则点P到直线AB的距离是___c3m.
第十三章 轴对称
13．1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
1．(2020·信阳模拟)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线， P为直线CD上一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )B A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD， 若∠CAD＝20°，则∠B等于( )C A．20° B．30° C．35° D．40°
解：连接PB，PC，由角的平分线的性质证PN＝PM， 由线段垂直平分线的性质证PB＝PC， 从而由HL证Rt△PNB≌Rt△PMC，∴BN＝CM
17．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E，F分别在三边上， 且BE＝CD，BD＝CF，G为EF的中点．求证：DG垂直平分EF.
解：连接DE，DF，由SAS证△BED≌△CDF，∴DE＝DF， 又∵GE＝GF，GD＝GD，∴△GED≌△GFD(SSS)， ∴∠EGD＝∠FGD＝90°，即DG⊥EF，∴DG垂直平分EF
14．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D， 交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD， ∴△ACD的周长＝AD＋AC＋CD＝AB＋AC＝14 cm， 又∵AB－AC＝2 cm，可得AB＝8 cm，AC＝6 cm
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC， AD为∠BAC的平分线．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．