函数奇偶性的六类经典题型

奇偶性
类型一：判断奇偶性
[例1] 判断下列函数奇偶性
（1）（且）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）且
∴奇函数
（2），关于原点对称
∴奇函数
（3），关于原点对称
∴既奇又偶
（4）考虑特殊情况验证：
；无意义；∴非奇非偶
（5）且，关于原点对称
∴为偶函数
类型二：根据奇偶性求解析式
1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，
即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －1 2.求函数
的解析式 （1）为R 上奇函数，
时，
，
解：
时，
∴
∴ （2）为R 上偶函数，
时，
解：
时，
∴
类型三：根据奇偶性求参数
1.若函数f(x)= xln （2
a x +a=
【解题指南】f(x)= xln （x+2
a x +2ln()y x a x =+是奇函数，利用
()()0f x f x -+=确定a 的值.
【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，
所以22ln()ln()x a x x a x ++-+=2
2
ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.
2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )
x 3
为奇函数，则a ＝______.
解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－1
3.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )
A.1
7 B ．－1 C ．1
D ．7
解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝1
7.又f (x )
为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝1
7.
4.若函数f(x)＝2
x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法） 解析：由题意知，函数f(x)＝2
x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：0
5.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ， x ≤0，
ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）
解析：当x >0时，－x <0， 由题意得f (－x )＝－f (x )， 所以x 2－x ＝－ax 2－bx ， 从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0. 答案：0
6.（1），为何值时，为奇函数； （2）
为何值时，
为偶函数。

答案：（1）
（恒等定理）
∴ 时，
奇函数
（2）
∴ （恒等定理）
∴ ∴
7.已知定义域为R 的函数
1
2()2x x b
f x a +-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（特殊值法）
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围； （Ⅰ）简 解：取特殊值法 因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，
即
111201()22x
x b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= - f （-
1）知1112
2 2.
41a a a -
-=-⇒=++
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
11211
()22221x x x
f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数
又因()f x 是奇函数，从而不等式： 2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<
等价于
222
(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， 因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-．
即对一切t R ∈有：2
320t t k -->，从而判别式1
4120.3k k ∆=+<⇒<-
类型四：范围问题
1.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：选C ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.
2.定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫
12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．
解析：由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝⎛⎭
⎫－1
2＝0， ∴f (x )>0时，x >12或－1
2<x <0.
即满足f (x )>0的x 的集合为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
－12
<x <0或x >12.
答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
－12
<x <0或x >12
3.已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x 3，x ≤0，g (x )，x >0，
若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2)
D ．(－2,1)
解析：选D 设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数．
∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，即－2<x <1. 所以实数x 的取值范围是(－2,1)．
4.定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集
是__________．
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
0<x <1
2，或x <－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0，
∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 2x ，x >0，0，x ＝0，
－log 2(－x )，x <0.
∴f (x )＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
log 2x <－1
或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0，
－log 2(－x )<－1
⇒0＜x ＜1
2或x ＜－2.
5.已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1，3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )
A.94 B ．2 C.34 D ．14
解析：选A.设x ＞0，则－x ＜0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3(－x )＋2]＝－x 2＋3x －2.
所以在[1，3]上，当x ＝32时，f (x )max ＝14；当x ＝3时，f (x )min ＝－2.所以m ≥1
4
且n ≤－2.
故m －n ≥9
4.
6.已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，又已知函数g (x )＝x 2
－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，都存在x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，那么实数m 的取值范围是____________．
解析 由题意知，当x ∈[－2,2]时，f (x )的值域为[－3,3]．因为对任意的x 1∈[－2,2]，都存在x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，所以此时g (x 2)的值域要包含[－3,3]．又因为g (x )max ＝g (－2)，g (x )min ＝g (1)，所以g (1)≤－3且g (－2)≥3，解得－5≤m ≤－2.
类型五：奇偶性+周期性
1.f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －2，则f (12
log 6)
的值等于( )．
A ．－43
B ．－72 C.12 D ．－12
解析：f (12
log 6)
＝－f (－12
log 6)＝－f (log 26)
＝－f (log 26－2)
＝－(2log 26－
2－2)＝－⎝⎛⎭⎫64－2
＝1
2
，故选C. 2.定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，都有f (x ＋8)＝f (x )＋f (4)，且x ∈[0,4]时，f (x )＝4－x ，则f (2 011)的值为__________．
解析：f (4)＝0，
∴f (x ＋8)＝f (x )，∴T ＝8， ∴f (2 011)＝f (3)＝4－3＝1.
类型六：求值
1.已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫log21
3的值为( )
A ．－2
B ．－23
C ．2 D.3
2－1
解析：当x ∈(－2,0)时，－x ∈(0,2)，又∵当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x －1，∴f(－x)＝2－x －1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x －1，∴x ∈(－2,0)时，
f(x)＝1－12x .∵－2＜log213＜0，∴f(log213
)＝1－2
1
3
1
2log ＝－2.故选A.
答案：A
2.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.解析：根据已知
g(－2)＝f(－2)＋9，即3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6. 答案：6
3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋e x (e 为自然对数的底数)，则f (ln 6)的值为________．
由f (x )是奇函数得f (ln 6)＝－f (－ln 6)＝－(－ln 6)－e －ln 6
＝ln 6－1
6
.
答案：ln 6－1
6
4.已知函数22sin 1
()()1
x x f x x x -+=∈+R 存在最大值M 和最小值N , 则M ＋N 的值为
__________．
5.设函数2
1()ln(1)3,[,](0)2
x f x x e x x t t t =+-
+∈->，若函数()f x 的最大值是M ，最小值是m ，则M m +=________.
分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对()f x 求导.事实上，理科学生，求导得
'()ln(1)1
x
x
x xe f x e x e =++-+，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因
此，须从考察函数()f x 的性质下手，事实上，令21
()ln(1)2
x g x x e x =+-，易求得
()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，所以()g x 的最大值与最小值之和是0，从而()f x 的最大值与最小值之和是6.
答案是：6.
6.已知定义域为R 的函数2cos 3sin ()2cos a a x x
f x x
++=
+ （a 、b ∈R ）有最大值和最小值，且
最大值与最小值的和为6，则a =
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 【答案】C 【解析】
试题分析：由已知x x a x f cos 2sin 3)(++
=，注意到x
x
x g cos 2sin 3)(+=是奇函数，
0)()(min max =+x g x g ，所以62)()()()(min max min max ==+++=+a x g a x g a x f x f ，
所以3=a .。