汇交力系与力偶系的应用
第二章平面汇交力系及平面力偶系
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
第二章 汇交力系
同理： FRy F1y F2 y F3y Fy
§1 汇交力系的合成
5、汇交力系合成的解析法
应用合力投影定理求出力系合力的投影后，可用下式 求出合力的大小和方向： 合力的大小：
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向余弦：
汇交力系的合成 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
汇交力系的平衡条件 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
§1 汇交力系的合成
一、力的可传性
F
公理三：加减平衡力系原理 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
F A
B
F
A
B
若{P1, P2 ,L , Pm} {0} 则 {F1, F2, , Fn}
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间， 板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和 夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图；
FA
O
G
FB
O
AG
60° B
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间，
板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和
夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图：
Fx + Fy = F
| F | = (Fx)2 + (Fy)2 x
= (Fx)2 + (Fy)2
α = atan (Fy /Fx)
§1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法(投影法)
可见： 力F在垂直坐标轴上的投影分量与沿轴分解的分 力大小相等；力F在相互不垂直的轴上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的。 力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小；而 分力的大小却不一定都小于合力大小。 力在任一轴上的投影可求，力沿一轴的分量不可 定。
第二章：平面汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。
能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。
对合力投影定理应有清晰的理解。
3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。
明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。
2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。
每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。
矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。
力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。
即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。
但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。
这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。
合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。
第2章平面汇交力系与平面力偶系
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
第二三章 平面汇交及平面任意力系力系与平面力偶理论
=
=
=
33
结论:
M m1 m2 mn mi
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
即
mi 0
i 1
n
34
[例]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为
20
例3 求图3－6所示各分布荷载对A点的矩。
21
解：沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。合力的方 向与分布荷载的方向相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合 力的大小等于荷载图的面积。 根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该 点之矩 （1）计算图3－6（a）三角形分布荷载对A点的力矩
40N 0.4m 0.4m 60N 0.6m
推论
M=24N.m
60N
a)力偶可以在刚体内任意移转。即力偶矩矢M的作 用点可以在平面上任意移动，力偶矩矢是自由矢。 b)在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和 力臂的大小。 由此即可方便地进行力偶的合成。
28
c）平面力偶系的合成
h1 h2
h1
F1 F2
FR'
FR
力？
O
h=M0/FR
M0
A
42
y
FR h
O
FR'
x
讨论1 平面一般力系简化的最终结果
情况 向O点简化的结果 分类 主矢FR' 主矩MO
1 2 3 4 FR’=0 FR'=0 FR0 FR‘0 MO=0 MO0 MO=0 MO0
MO
力系简化的最终结果 （与简化中心无关）
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
山东大学《理论力学》教案第2章 平面汇交力系与平面力偶系
第2章 平面汇交力系与平面力偶系一、目的要求1．平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法，并能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解，掌握汇交力系合成的解析法和平衡方程，并能熟练的应用平衡方程求解汇交力系的平衡问题。
3. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。
4．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
二、基本内容1．平面汇交力系合成的几何法·力多边形法则平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。
即∑==+++=n i i 11F F F F F n 2R 或 ∑=F F R合力R F 的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。
作出图示首尾相接的开口的力多边形，封闭边矢量即所求的合力。
2．平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。
其矢量表达式为∑==0F F R （2-2） 力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。
如图2-4所示。
3．力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力F 在y x ,轴上的投影分别为cos cos sin x y F F F F F αβα=⎫⎪⎬==⎪⎭力的投影是代数量。
4．平面汇交力系合成的解析法合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
即00x y F F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑ 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。
5.平面内的力对点O 之矩是代数量，记为M o (F )ABO Fh M o ∆±=±=2)(F其中F 为力的大小，h 为力臂，∆ABO 为力矢AB 与矩心O 组成三角形的面积。
一般以逆时针转向为正，反之为负。
力矩的解析表达式为： 合力矩定理： 6.力偶和力偶矩：·大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
合力的大小：R Rx2 Ry2
X2 Y2
方向：
tg
Ry Rx
∴ tg1 Ry tg1 Y
Rx
X
作用点： 为该力法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即： R 0 Rx2 Ry2 0
FC M / a
M C
FC
D
A
a
D
B
FB
FD
取T形杆ADC为研究对象
FX 0 FA cos 45 FC 0
FA 2M / a
C
M
B
a
a
C
FC
A
FA
2-34
[例4] 起重机用绕过滑轮B的钢绳吊起重为G＝20KN的重物， 试求杆AB、BC所受的力。
解：取B点为研究对象，受力分析
2-21
2. 力偶可搬家；
F1
d1
F1
F1
F1
d1
3. 力偶的表示方法。 F1
d1
=
F1
F1
d1
F1
d1
F1
F1
F1
F1
d1
=m
2-22
四、力偶系的合成和平衡 平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
一、力偶 d
定义：作用于同一个物体上大小 相等，方向相反且作用线不重合 的两个力。
力偶的两个力F'、F所在的平面称为力偶作用面。 力偶的两个力F 、F作用线之间的距离d称为力偶臂。 作用效果：使刚体产生纯转动。
理论力学第二章
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F1 F2 P
解得： FBA
7.321kN
Fiy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
2 2
（1）
二.平面汇交力系合成的解析法
FR Fi
(a) (b) (c)
Fi Fxii Fyi j FR FR x i FR y j
将（b）代入（a）式，并注意i 和 j为常矢量，则有
FR ( Fxi )i ( Fyi ) j
（今后为了便于书写，将下标“i”省略。） 比较(c)、(d)等式两边，可得
FCA AC 1 P AB
解得 图2-2
FC B BC 1 P AB 2
FCA 10kN, FCB 5 kN
也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作 出封闭的力三角形后，由比例尺量得
FCA 10kN, FCB 5 kN
例2-2 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。
转动效应--取决于力矩的大小、方向。
一、力对点的矩
B
力矩：力绕某一点转动效应的度量。
F
M O ( F ) F d
+
A
d
-
说明：
① M O ( F )是代数量。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F )=0。 当F=0或d=0时，
④单位Nm或kNm ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
平面汇交力系和平面力偶系
为力多边形
位置图
力矢图
合力FR可以表达为 F R F 1 F 2 F 3 F 4
注：①在力多边形中，各力矢首尾相接，环绕同一方向， 而合力矢是反向封闭力多边形；②根据矢量相加的交换律 ，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边 形，但所得的合力矢FR却是一样的，即合力矢FR与各分力 矢的作图顺序无关。
力矩与合力矩的解析表达式
y
Mo F Mo Fy Mo Fx
Fy
xFyyFx
Aq
n
y
Mo FR (xiFyi yiFxi) O x
i1
B
F
Fx
x
28
[例2-4] 如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力F的作用。设F=1400N。 压力角 200，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r =60mm，试计算力 F对于轴心O的力矩。
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：
tgEB0.41
AB1.2 3
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16k1N 8
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X0 T2cosT10 ①
用线通过该三角形的几何中心。此结果要做为公式记住，遇到这
样的分布载荷时直接使用即可。
31
§2-4 平面力偶系的合成与平衡
一、力偶与力偶矩 力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
记作（F，F′）
32
力偶的性质 ⑴ 性质1
力偶的作用面
力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
工程力学 第二章
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
用力多边形的封闭边来表示汇交力系的合 力
力的多边形法则
平面汇交力系平衡的几何条件
平衡
FR 0
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分的
几何条件是：该力系的力多边形自行封 闭.
平衡条件
FR 0
FR Fx 2Fy 2
Fx 0
平衡方程
Fy 0
平面汇交力系平衡的解析条件为:力系中各分力在 两个轴上的投影的代数和分别为零.
例2
已知：碾子P=20kN，R=0.6m,
h=0.08m 求：
R
F
BP
h
A
1.水平拉力F=5kN时，地面对碾子的压力？
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡
平面汇交力系是指力系中各力的作用线或者作用 线的延长线位于一个平面内，并且相交于一点.
合成就是指要用一个合力去等效替换这个复杂
的力系.
F
AP
B
FA
FB
一.多个汇交力的合成的几何法
公理 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合
解得 F=11.55kN
例3 已知重物P=20kN,
A
不计杆重以及滑轮尺寸,
C
求杆AB和BC的受力. θ 30
解: 取B点分析 (假设均受拉)
B
θ θ
P D
Fy 0
FBC sin 30 FBD cos 30 P 0 FAB
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20
§2-1
汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 几 何 法
[例3] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。 解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这 时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。
力
对
点
之
矩
力矩矢量三要素：大小、转向、力矩平面 力对点之矩是一个矢量， 它的模等于力的大小与力臂的
乘积，它的正负可按下法确定：
力使物体绕矩心逆时针转动时 为正，反之为负。
力矩的单位常用N· m或kN· m。
5
§1-1
力
对
点
之
矩
、合力矩定理
平面汇交力系的合力对 平面内任一点之矩等于各分 力对该点之矩的代数和。
F F F
2 x
2 y
Fx cos F
cos
Fy F
23
§2-2
力
的
投
影
、力在坐标轴上的分解： 设将力F 按坐标轴x、y、z方向分解为空间三正交分 量：Fx、Fy、Fz。则：
F Fx Fy Fz 引入x、y、z 轴单位矢i、j、
k。则可写为：
Fx Fx i , Fy Fy j , Fy Fy k
30
P
X 0
S AB SBC cos45 T2 cos60 0
C
y
Y 0
S BC
SBC sin 45 T1 T2 cos30 0
SAB
B
x
T1 T2 cos30 2.64KN sin 45
（压力）
SBC
T2
27
T1
S AB ( SBC cos45 T2 cos60 ) 1.37KN （拉力）
F Fx i Fy j Fy k
、合力投影定理：
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上 的投影的代数和。 24
§2-3
汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 解 析 法
、汇交力系的简化——解析法： 根据合力投影定理得
Rx F1x F2 x L Fnx R y F1 y F2 y L Fny
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力 等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
22
§2-2
力
的
投
y
影
、力在坐标轴上的投影
Fx F cos
Fy F cos
b´F
B
y
a´
O
a
F Fx
b
x
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向 间夹角的余弦。 反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出力F 的大 小和方向：
合力的大小
F F
y
x
y
R R R
2 x
2 y
( F ) ( F )
2 x
2
合力R 的方向余弦
Ry Fy Rx Fx cos , cos R R R R
25
§2-3
汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 解 析 法
、汇交力系的平衡——解析法： 汇交力系平衡的充要解析条件： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的
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§3、汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 解 析 法 [例5] 已知 P=2kN 解: 求SCD , RA
1. 取AB杆为研究对象 2. 画AB的受力图 3. 列平衡方程
X 0 Y 0
RAcos SCD cos450 0 P RA sin SCD sin450 0
17
§2-1
汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 几 何 法
18
§2-1
汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 几 何 法
、平面汇交力系合成的几何法
c F1 F2 F3 b F1 a
F3
F2 FR
d F4 e
c a
F2 F1 F3 b
d F4 e
FR
A
F4
F R F 1 F 2 F n F
§1-2
力
偶
及
其
性
质
、力偶的定义 在实践中，我们有时可见到两个大小相等、方向相反、
作用线平行而不重合的力作用于物体的情形。
两个大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的系称为力偶
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§1-2
力
偶
及
其
性
质
、力偶的定义
力偶的单位常用N· m或kN· m。
10
§1-2
力
偶
及
其
性
质
、力偶的性质
、力偶对任一点之矩等于力偶矩而与矩心位置无关
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
F Ptg
NB P cos
21
§2-1
汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 几 何 法
F Ptg
NB P cos
2 (r h) 2 r 又由几何关系： tg 0.577 r h
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
工
程
力
学
第三讲 力偶与汇交力系的应用
本
节
主
要
内
容
§1 力偶的概念与应用
§2 汇交力系的概念及应用
2
§1 力 偶 的 概 念 与 应 用 §1-1、力对点之矩 §1-2、力偶及其性质
3
§1-1
力
对
点
之
矩
试观察下图，力F对物体的作用效应如何描述。
力对点之矩是度量力使刚体绕此点转动效应的物理量。
4
§1-1Biblioteka 代数和分别等于零。 空间汇交力系的平衡方程:
F
x
0
F
x
y
0
F
y
z
0
平面汇交力系的平衡方程:
F
0
F
0
26
§2-3
汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 解 析 法
例4已知简易起重架ABC，重物重P=1KN，滑轮B大小、尺寸和 杆AB、BC重均忽略不计，滑轮的轴承光滑。求：杆AB及BC的 A 受力。 B 研究对象：滑轮B 解： 45 受力分析： T1= T2= P, SAB, SBC 选投影轴列平衡方程：
等于零，即：
M
i 1
n
i
0
15
§1-2
力
偶
及
其
性
质
[例2] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。
M AC RC d 0.255RC ( N.m)
M
i
0
M AC M 0
RC 3137N
16
§2 汇 交 力 系 的 概 念 及 应 用 §2-1 汇交力系简化与平衡的几何法 §2-2 力的投影 §2-3 汇交力系简化与平衡的解析法
t g EB 0.4 1 AB 1.2 3
4. 解方程 由EB=BC=0.4m，
解得：
0 P cos 45 S CD 4.24 kN ； R A S CD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos 28
作
业： 2-3 2-5 3-6
6
§1-1
力
对
点
之
矩
例1 铁路式起重机如图所示。当杆OC 倾角为45°时，最大起重 量P=60KN。杆重P1=20KN,b=1m,a=6m。试求起重机工作时不致 翻倒的机身与平衡锤的总重量P2。
7
§1-1
力
对
点
之
矩
解：由转动条件得：
此即为起重机不致翻倒的最小重量 起重机工作时不致翻倒的条件是：
8
如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。
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§2-1
汇 交 力 系 简 化 与 平 衡 的 几 何 法
、平面汇交力系合成的几何法——平衡条件 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等 于零。用矢量式表示为：
Fi 0
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边 形自行封闭。
13
§1-2
力
偶
及
其
性
质
、平面力偶系的简化
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 1
14
n
§1-2
力
偶
及
其
性
质
、平面力偶系的平衡
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平
面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和
综上所述，力偶对物体的作用效应，决定于： （1）力偶矩大小； （2）力偶在其作用面（称力偶作用面）内的转向。
11
§1-2
力
偶
及
其
性
质
、力偶的性质
力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的，它不
12
§1-2
力
偶
及
其
性
质
、力偶的性质
、若两力偶的力偶矩矢相同，即在同一力偶作用面内的 力偶大小、转向相同，则此二力偶相互等效。