椭圆的几何性质(2.2.2) (2)
学案12：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．观察教材，思考以下问题：(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中x，y的取值范围各是什么？(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么？(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么？(4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？(6)如果保持椭圆的长半轴长a不变，改变椭圆的短半轴长b的值，你发现b的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？(7)根据离心率的定义及椭圆中a，b，c的关系可知，e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝1－⎝⎛⎭⎫ba2，所以e越接近于1，则c越接近于a，从而b＝a2－c2就越小；e越接近于0，则c越接近于0，从而b越接近于a.那么e的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？2．归纳总结，核心必记椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程续表焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e＝ca(0<e<1)问题思考(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？(2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？(3)如何用a，b表示离心率？课堂互动区知识点1 由椭圆的标准方程研究几何性质讲一讲1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．类题·通法解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 练一练1．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．知识点2 由椭圆的几何性质求方程 讲一讲2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.类题·通法(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．练一练2．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.知识点3 求椭圆的离心率讲一讲3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为b7，求椭圆的离心率e.类题·通法求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．练一练3．如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率．2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1.(2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.参考答案预习导引区核心必知1．(1)提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)． (3)提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2. (5)提示：离心率e ＝ca；0<e <1.(6)提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 问题思考(1)提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ． (3)提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2， ∴e ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2. ∴e ＝1－b 2a2. 课堂互动区知识点1 由椭圆的标准方程研究几何性质 讲一讲1．解：将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.练一练1．解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.知识点2 由椭圆的几何性质求方程 讲一讲2．解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. (2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.练一练2．解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上， 设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b 2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上． 设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254.∴方程为y 225＋4x 225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x 225＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.知识点3 求椭圆的离心率 讲一讲3．解：由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝bax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7， ∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a ＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0. 解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.练一练3．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1O OA . ∴b 2a b ＝ca ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.。
2.2.2椭圆的几何性质
故椭圆的离心率 e=13,故选 A.
三、题型一：求离心率的值
分析：
四、题型二：求离心率的范围
能否得到a,b,c 的齐次不等关 系？
几何法一：临界化原则
几何法二：特殊化原则
代数方法——横坐标的取值
设P(x0, y0 ), 则F1(c,0), F (c,0)
PF1 PF2 0 x02 y02 c2 0
=
32������-������ 2������
=
12,解
得������
������
=
34,故离心率
e=34.
三、题型一：求离心率的值
【答案】 A 由题意,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+a),k>0,分别令
x=-c 与 x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.
设 OE 的中点为 G,
由△OBG∽△FBM,得12|���|���������������������|| = ||������������������������||,
即 ������������
2������(������-������)
=
������+������ ������,整理,得������������
=
13,
从代数方法转化为横坐标的范围.
五、课堂练习
C C
六、课堂小结
七、作业
完成学案课后作业
|F1F2|=2c e=ac∈(0,1) c2=a2-b2
e越大，椭圆越扁
二、学习自测
二、学习自测
二、学习自测
【答案】 C 设直线 x=32������与 x 轴交于点 M,则∠PF2M=60°,在
Rt△PF2M
2.2.2 椭圆的简单几何性质 2
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2椭圆的角的几何性质及应用
§2.2.2椭圆的简单几何性质及应用学习目标：1、理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题. 2、培养学生数形结合的意识和独立分析、解决问题的能力. 重、难点：椭圆的几何性质和简单应用（重点）；几何性质的灵活应用（难点）. 学习过程：一、课前准备 （预习课本P 43----P 48找出疑惑之处），并填写下列知识要点 （1）椭圆的简单几何性质（2）椭圆的离心率对椭圆扁圆程度的影响因为0>>c a ，所以10<<e . e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越 ；反之，e 越接近0，c 越接近0，从而b 越接近a ，这时椭圆就越接近 . 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点 ，图形变为 ，它的方程为 .（3）若点)(y x M ，与定点)0(，c F 的距离和它到定直线l ：c a x 2=的距离的比是常数ac（0>>c a ），则点M 的轨迹是 ，定点)0(，c F 是椭圆的一个焦点，直线l ：c a x 2=称为相应于焦点F 的准线. 由椭圆的对称性，相应于焦点)0(，c F -'，椭圆的准线是l '：ca x 2-=.焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 上图形标 准 方 程范 围 顶 点轴 长 长轴长 短轴长长轴长 短轴长 焦 点 焦 距对称性 对称轴 ，对称中心离心率1F ∙xy O∙ 2F 1A 2A 1B2B 2F 1F∙x ∙ 1A2A 1B 2B Oy（4）椭圆中一些重要量及重要结论① “四线”是指 ；“六点”是指 . ② 焦半径：焦点在x 轴上时，=||1MF , =||2MF . 焦点在y 轴上时，=||1MF , =||2MF . ③ 焦准距： . ④ 通径： . ⑤ 焦点三角形面积公式： .⑥ 焦点到椭圆上的最短距离为 ，最大距离为 .二、新课导学学习探究一、 椭圆的范围观察右图，容易看出椭圆上点的横坐标的范围是a -≤x ≤a ，纵坐标的范围 是b -≤y ≤b . 下面，我们利用方程（代数方法）研究上述取值范围. 由方程)0(12222>>=+b a by a x 可知 012222>-=ax b y ，所以椭圆上点的横坐标都适合不等式22a x ≤1，即a -≤x ≤a ，同理有22b y ≤1，即b -≤y ≤b . 这说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形框里. 【例1】、已知中心在原点的椭圆经过（2， 1）点，求该椭圆的半长轴长a 的取值范围.跟踪训练：已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值 范围是 （ ） A. [6， 10] B. [6， 8] C. [8， 10] D. [16， 20]学习探究二、 椭圆的对称性（1）判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的方法：① 若把方程中的x 换成x -，方程不变 则曲线关于y 轴对称；② 若把方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于y 轴对 称；③ 若把方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称.（2）由（1）可知，椭圆关于x 轴、y 轴、原点都是对称的. 这时坐标轴是它的对称轴， 原点是它的对称中心，椭圆的对称中心又叫椭圆的中心. 因此，椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形.（3）椭圆对称性的应用：① 在利用描点法画椭圆时，只要作出第一象限的图象，其它象∙ x y O ∙ax -= a x =b y -=b y =限的图象可以利用对称性画出；② 在研究满足一定条件的点的性质时，只要研究点位于第一象限的情形，其它象限的情形可利用对称性得到.【例2】、已知点（3， 2）在椭圆12222=+by a x 上，下列给出的三个点（2,3--），（23-，）， （2,3-）中在该椭圆上的是 .跟踪训练：已知21F F ，是椭圆1204522=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的任一点，若21PF F ∠为 锐角，求P 点的横坐标的取值范围.学习探究三、 椭圆的顶点、长轴和短轴（1）顶点：椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与对称轴的四个交点：)0,()0,(21a A a A 、-，),0(),0(21b B b B 、-叫椭圆的顶点；椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的四个顶点是)0()0(21a A a A ，、，-，)0()0(21，、，b B b B -.（2）长轴、短轴：线段21A A 叫做椭圆的长轴，且a A A 2||21=，a 是长半轴长；线段21B B 叫做椭圆的短轴，且b B B 2||21=，b 是短半轴的长.（3）椭圆的焦点永远在长轴上.【例3】、若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦 点到椭圆上的最短距离为3，求该椭圆的方程.跟踪训练：)0,(c F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，F 与椭圆上的点的距离最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的是 .学习探究四、 椭圆的离心率（1）椭圆离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作ac a c e ==22.（2）离心率的范围：因为0>>c a ，所以10<<e .（3）离心率e 与b a 、的关系：因为222b ac -=，所以22221ab a b a ace -=-==. （4）当1→e 时，椭圆越扁，当0→e 椭圆越圆. 特别地，当1=e 时，图形变为圆.【例4】、已知1F 为椭圆的左焦点，B A 、分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当A F PF 11⊥，AB PO //（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.跟踪训练：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过椭圆的右焦点作x 轴垂线交椭圆与B A 、两点，若0=⋅OB OA ，求椭圆的离心率.三、当堂检测1、已知)0,0(121>>=+n m nm ，则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的离心率是.2、椭圆1422=+y x 的两个焦点为21F F ，，过2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF 等于 （ ） 23.A 3.B 27.C 4.D 3、已知椭圆的一个焦点将长轴分成2 : 1两部分，且经过点（4,23-），求椭圆的标准方 程.4、已知椭圆191622=+y x ，求其内接三角形面积的最大值. 5、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点D C B A 、、、构成的四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求该椭圆的离心率.。
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
2.2.2椭圆的简单几何性质课件人教新课标2
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
椭圆的几何性质
4．离心率
教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？
同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。
请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？
介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。
解：由于a=5, b=4，c= =3
椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8
离心率e= =
因为焦点在x轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是
(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)
课堂练习
练习：如果把例1中的椭圆方程改为 + =1，则长轴长、短轴长、离心率和顶点有什么变化。
2.能力目标
培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决
实际问题的能力。
3.情感目标
通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学
教学重点
椭圆性质的探索过程及性质的运用。
教学难点
利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。
教师：下面我们想办法再用方程 + =1(a>b>0)来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。
从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。
由 + =1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，
x ≤a 且y ≤b ,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。
3.顶点的发现与确定
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
2.2.2椭圆的简单几何性质(2)-椭圆的第二定义
F
、
1
F2
是椭圆
x2 y2 1 100 64
的两个焦点，P是椭圆上任一点.
(1)求 |PF1||PF2|的最小值，最大值.
(2)求 |PF1|2 +|PF2|2 的最小值，最大值.
(3)当 余弦值
F1PF2的最大时，求
.
F1PF2 的
(4)求满足
F1PF2
3
,
时P点的个数.
(5)若F1PF2,求 F1PF2 的面积.
离与它到直线 a 2 的距离之比等于离
心率e.
x c
新知探究
1.若点F是定直线l外一定点，动点M到
点F的距离与它到直线l的距离之比等
于常数e(0＜e＜1)，则点M 的轨迹是椭
圆.
l
M H
F
椭圆的第二定义
新知探究
2.直线 x a 2 叫做椭圆相应于 右焦点F2(c，c 0)的右准线，相应于
左是焦x 点Fa 21(－. c，0)的y 左准线方程
|MF2|＝a-ey0
Ox
F1
新知探究
5.椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最 大值和最小值分别是
y M
OF
x
最大值为a＋c，最小值为a－c.
新知探究
6.点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置时，∠F1MF2为最大？
y
M 点M为短轴的端点.
F1 O F2
x
典型例题
例1 若椭圆 x 2 y 2 1上一点P到
2.2.2 椭圆的简单几何性质(2) 椭圆的第二定义
知识回顾
1. 椭圆 a y2 2b x2 21ab0,a2b2c2
的范围、对称性、顶点、离心率
范围：－a≤y≤a，－b≤x≤b.
椭圆的几何性质
2.2.2椭圆的几何性质一、课程学习目标1 根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2 根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图.二、课本知识梳理1. 范围：变量,x y 的取值范围，亦即曲线的取值范围：横坐标 纵坐标. . 方法：①观察图像法； ②代数方法.2.对称性：既是轴对称图形，关于 轴对称，也关于 轴对称；又是中心对称图形,关于 对称，方法：①观察图像法； ②定义法.3.顶点：椭圆的长轴122A A a =，椭圆的短轴122B B b =，椭圆与四个对称轴的交点叫做椭圆的顶点 ，坐标为 ． .4.离心率：刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦点与长轴长的比 称为离心率.记做e .可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.三、课前双基自测1. 圆6x 2+ y 2=6的长轴的端点坐标是 A.(-1,0)､(1,0) B.(-6,0)､(6,0) C.(-6,0)､(6,0) D.(0,-6)､(0,6)2．求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点坐标.3．点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45，求点M 的轨迹方程.四、课时方法积累1.讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础。
2.本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法，平时学习中注意运用。
3.曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法（坐标法），这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。
五、课堂达标训练1.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是 （ ） A.(0,-42)、(0,42) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－22)2．离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） A 22195x y += B 22195x y +=或22159x y += C 2213620x y += D 2213620x y +=或2212036x y += 3.点A (a ,1)在椭圆12422=+y x 的内部,则a 的取值范围是 A.-2<a <2 B.a <-2或a >2C.-2<a <2D.-1<a <14.已知椭圆的两个焦点为F 1､F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ､B ,则三角形ABF 1的周长是A.20B.24C.32D.405.若椭圆13422=+y x 上一点P 到右焦点的距离为3，则P 到右准线的距离是A.43B.23C.6D.126. 若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份,则椭圆的离心率等于( )A.3B.23C.33D.437.以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形，且焦点到椭圆的最短距离为3,则椭圆的标准方程是六、课下练习巩固1.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是（ ） A.51 B.43 C.33 D.212.若椭圆11622=+m y x 的离心率为31,则m 的值是（ ） A.9128 B.9128或18 C.18 D.3128或63.到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是（ ） A.1121622=+y x B.1161222=+y xC.0568222=-++x y xD.0688222=+-+x y x 4.已知椭圆13422=+y x 内有一点P (1,-1),F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M ,使|MP |+2|MF |取得最小值,则点M 的坐标为 （ ) A.(362,-1) B.)23,1(),23,1(- C.)23,1(- D.)1,362(),1,362(---5.P 是椭圆16410022=+y x 上的点，F 1，F 2是焦点，若321π=∠PF F ，则△F 1 P F 2的面积是 （ ） A.)32(64+ B.)32(64- C.64 D.33646．若椭圆22189x y k +=+的离心率为e=21，则k 的值等于 . 7.已知椭圆的焦点是F 1(0,-1)和F 2(0,1),直线y =4是椭圆的一条准线.(1) 求椭圆的方程;(2) 又设点P 在这个椭圆上,且|PF 1|-|PF 2|=1,求∠F 1PF 2.的余弦值.七、课后感悟反思。
椭圆的简单几何性质(第二课时)
知识回顾 上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及 其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
课前热身
▲▲
你知道吗？
y
1. 长度为a的线段有 6 条.
C OC,OD . 2. 长度为b的线段有 3. OF1=OF2= c . A F1 O 4. AF1=BF2= a-c .
l
H
x
2. 哪些方法能求解未 知曲线类型的方程？ 3. 计算离心率e的值， 有何发现吗？
F
范例分析
简单回顾求△F1AB的周长的方法.
y
A
x
F1 F2
B
范例分析 2 2 x y 1上的一点， 例题2.点P是椭圆 4 3 F1，F2是焦点，若△PF1F2的内切圆 半径为1/2，求点P的纵坐标.
2. 作业本P19 1--11.
P
6. |OP|的最小值是 b ;最大值是 a .
5. AF2=BF1=
7. |PF1|的最小值是 a-c ;最大值是 a+c .
范例分析 例题1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到 直线l:x=25/4的距离之比是常数4/5， 求点M的轨迹.
y M
1. 你知道曲线类型吗？
y
P
x
F1
F2
温故知新
回顾 判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究 判断直线与椭圆的位置关系的方法.
2.2.2 椭圆的几何性质(2)——直线与椭圆的位置关系
点与椭圆
1.点与椭圆的位置关系：椭圆上、椭圆外、椭圆内
2.判断方法：
已知点M ( x0 ,
y0
)及椭圆
x2 a2
y2 b2
1
（1）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆上
（2）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆外
y
F1 O
M (x0 , y0 )
F2
x
（3）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆内
解：设直线与椭圆相交于点P1 (x1，y1) 、P2(x2，y2) 将y=x+1代入椭圆方程，得4x2+(x+1)2=8 y
整理得 5x2+2x-7=0
y P1 (x1,y1)
4 4 • 5 • (7) 0
F2
直线y = x 1与椭圆4x2 y2 8相交
解得x1
1, x2
7 5
P2(x2,y2)
2、点差法：
设直线与椭圆交点A( x1, y1), B( x2 , y2 )，将两点坐标代入
椭圆方程，并两式作差，构造一个关于中点( x0 , y0 )和
斜率k AB的式子：k AB
y1 x1
y2 x2
b2 a2
y2 x2
y1 x1
b2 a2
y0 x0
【例5】点M ( x, y)与定点F((c4,,00))的距离和它到直线
| P1P2 || y1 y2 |
1 1 k2
(1
1 k2
)[( y1
y2 )2
4 y1y2 ](k
0)
另：要注意在处理相交问题时 “设而不求”的解题思路
2.2.2椭圆的简单几何性质
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
§2.2.2椭圆的几何性质(第2课时)
6.如果 x2 ky 2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
7.已知椭圆
x2 y 2 10 ＝1 的离心率 e ,则 m 的值为__ 5 m 5
_.
第3页
错误！链接无效。 §2.2.2 椭圆的几何性质(第 2 课时)
8. 已知 m, n, m n 成等差数列 , m, n, mn 成等比数列 , 求椭圆 的离心率.
编号:X2-1003 学习 目标 一.课前复习 1.完成下列表格
§2.2.2 椭圆的几何性质(第 2 课时)
(1) 掌握椭圆的简单的几何性质 (2)感受运用方程研究曲线方程几何性质的思想方法; (3)运用椭圆的方程和几何性质处理简单的实际问题. 二次总结栏
图形
方程 焦点 顶点 轴长 对称性 范围 离心率 2.求椭圆 9 x 2 y 2 81的长轴长、短轴长和顶点坐标.
二.今日练习 3. P 点在椭圆 的坐标是
x2 y2 1 上, F1 、 F2 是椭圆的焦点,若 PF1 PF2 ,则 P 点 45 20 .
4.椭圆以坐标轴为对称轴,长、短半轴之和为 10,焦距为 4 5 ,则椭圆方 程为 .
5. 椭 圆 以 两 条 坐 标 轴 为 对 称 轴 , 一 个 顶 点 是 (0,13) , 另 一 个 顶 点 是 ( 10,0) ,则焦点坐标是 .
二次总结栏
1 3
(2)焦点【练习 2】已知椭圆 mx2 5 y 2 5m 的离心率为 e
10 ,求 m . 5
【例 2】 已知 F1 为椭圆的左焦点,A、 B 分别为椭圆的右顶点和上顶点, P 为 椭圆上的点 , 当 PF1 F1 A, PO AB(O 为椭圆的中心 ) 时 , 求椭圆的离心 率.
2.2.2椭圆的简单几何性质(第二课时)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、
短轴分别为2a,2b 的椭圆
13
椭圆的第二定义:
y
I’
l
F’ o F
x
当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离
的比是常数 e c 0 e 1
时，这个点的轨迹就
是椭圆。
a
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，
常数e是椭圆的离心率。
x2 对于椭圆 a 2
a2 c
15
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
图形
定义 2
平面内与 两个定点F1、 F2的距离的和 等于常数（大
焦点：F1 (c,0)、F2 (c,0) 准线：x a2
c
Hale Waihona Puke 平面内与 一个定点的距 离和它到一条
定直线的距离
于 F1F2 ）的点 的轨迹。
的比是常数
e c (0 e 1) a
c4
解：设d是点M到直线l
:
x
a252
5a
的距离，根据题意，
c4
点M的轨迹就是集合P M
MF d
4c 5a
,
y M
l d
H
由此得 (x c4) y2 4c.
2a52 x
5a
4c
将上式两边平方，并化简，得9x2 25y2 225,
即 xx22 2a52
yy22 9b2
11(a
b
0)
oF
准线方程是 x
a
y2 2b 2
1，相应于焦点F（c,0)
, 根据椭圆的对称性，相应于
c 焦点F(-c.0) 准线方程是
x a2 ,
第二章 2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质
2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2) 焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝ca∈(0,1) 知识点二离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √ )一、椭圆的简单几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m >0)，因为0<m 2<4m 2，所以1m 2>14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.二、由几何性质求椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 所以c ＝b ＝3， 所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.反思感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为32，经过点(2,0)． 解 (1)由题意知a ＝5，c ＝3，b 2＝25－9＝16， 焦点所在坐标轴可为x 轴，也可为y 轴， 故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)由e ＝c a ＝32，设a ＝2k ，c ＝3k ，k >0，则b ＝k . 又经过的点(2,0)为其顶点，故若点(2,0)为长轴顶点，则a ＝2，b ＝1， 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；若点(2,0)为短轴顶点，则b ＝2，a ＝4，椭圆的标准方程为x 24＋y 216＝1.三、求椭圆的离心率例3 (1)如图所示，A ，B ，C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.22答案 A解析 由(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2， 又因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2＋ac －a 2＝0. 因为e ＝ca，所以e 2＋e －1＝0，所以e ＝－1＋52.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫22，1解析 由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤2c ， 因为e ＝c a ，0<e <1，所以22≤e <1.反思感悟 求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．跟踪训练3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率． 解 由题意知A (a ,0)，B (0，b )， 从而直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0， 又|F 1F 2|＝2c ，∴aba 2＋b 2＝63c . ∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22.椭圆几何性质的应用典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养提升] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．1．椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)答案 D解析 由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 C解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上， 且c ＝1，e ＝c a ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64答案 A解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形． ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ， |BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.4．椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为( )A ．4B ．－54C ．4或－54D ．不能确定答案 C解析 当k ＋8>9，即k >1时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4.当0<k ＋8<9，即－8<k <1时， e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 答案 B解析 椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍， 故1m ＝2，解得m ＝14.1．知识清单： (1)椭圆的几何性质． (2)求椭圆的离心率．2．方法归纳：定义法、数形结合、函数与方程．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0<e <1及长轴长与a 的关系．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223 答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.故选C.2．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( )A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1答案 C解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意，知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.3．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝6，b ＝4.则椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，即有a ＝5，b ＝3.5．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3答案 B解析 由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为当x ＝c ＝1时，纵坐标的绝对值的2倍为3. 6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________． 答案 (2,4] 解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4， 即长轴长的取值范围是(2,4]．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为_____________． 答案 x 216＋y 28＝1解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.8．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________． 答案 12解析 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12. 9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)， ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3. ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0； 四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝⎛⎭⎫43，13，求椭圆C 的离心率．解 2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2. 又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.11．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12B.13C.14D.22答案 A 解析 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A.22 B.32 C.3－12 D.5－12 答案 D解析 在Rt △ABF 中，AB ＝a 2＋b 2，BF ＝a ，AF ＝a ＋c ，由AB 2＋BF 2＝AF 2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52， 因为0<e <1，所以e ＝5－12. 13．若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是( ) A.x 28＋y 24＝1 B.x 23＋y 25＝1 C.x 26＋y 22＝1 D.x 26＋y 29＝1 答案 A解析 由题意，知当b ＝c 时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”．选项中只有A 中b ＝c ＝2符合题意，故选A.14．如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B ．2－ 3 C.22 D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 15．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，|F 1F 2|＝2c ＝10.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100.即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100.解得|PF 1|·|PF 2|＝48.16．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c＝2a . 解得e ＝c a ＝22， 则离心率e ＝22.17．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.18.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解 (1)由∠F 1AB ＝90°及椭圆的对称性知b ＝c ，则e ＝c a ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝22. (2)由已知a 2－b 2＝1，A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 则AF 2→＝(1，－b )，F 2B →＝(x －1，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，即(1，－b )＝2(x －1，y )，解得x ＝32，y ＝－b 2，则94a 2＋b 24b 2＝1， 得a 2＝3，因此b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。
《2.2.2椭圆的几何性质(2)》课件-优质公开课-人教A版选修2-1精品
6、点P是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的动点，当P的坐标为(±a，0)时，
P到原点O的最大距离为
a
；当P的坐标为(0，±b时) ，
P到原点O的最小距离为------b-------；设F（1 c,0),则当P的
的 轨 迹 方 程 又 是 怎 样 呢？
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的.
定义 1
图形
定义 2
平面内与 两个定点F1、 F2的距离的和 等于常数（大
焦 准
点 线
：F1 ( ：x
c ,0 a 学.科.网2
)、
F
2
(
c
,0
)
c
平面内与 一个定点的距 离和它到一条
定直线的距离
于 F1F2 ）的点 的轨迹。
(x c)2 y2 c
.
a2 x
a
c
将 上 式 两 边 平 方 ， 并 化简 ， 得 （ a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ).
设a2 c2 b2,则 方 程 可 化 成 x2 y2 a 2 b2 1(a b 0).
2 2,
要将这个工艺品平放在一圆形盒中邮寄，则盒子底面圆的
直径至少为 8 2cm 。
2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千 万年的梦想与希望，遨游太空返回地面.其运行的轨道是以地 球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点 距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴
的比是常数
e c (0 e 1) a
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(Ⅱ)若椭圆的离心率 满足 ,求椭圆长轴的取值范围.
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10.椭圆 的焦点为 在椭圆上,
,则 的坐标为 .
三、解答题
11.求椭圆 的长轴和短轴的长,焦点和顶点坐标.
12.以椭圆 的焦点为焦点,过直线
上一点 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点 应在何处?并求出此时的椭圆方程.
B.能力提升
一、选择题
1.椭圆 和 具有 ( )
相同的长轴 相同的焦点
相同的顶点 相同的离心率
例2椭圆中心在原点,对称轴为坐标轴.椭圆短轴的一个顶点 与两焦点 组成的三角形周长为4
,且 ,求椭圆方程.
例3求椭圆 的长轴和短轴的长
、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
[合作探究]:
已知椭圆的两焦点为 ,离心率 .
(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线 ,若 与此椭圆相交于 两点,且 等于椭圆的短轴长,求 的值;
2.中心在原点,焦点在 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )
3.已知点 在椭圆 上,则 ( )
点 不在椭圆上
点 不在椭圆上
点 在椭圆上
无法判断点 、 、 是否在椭圆上
4.椭圆的短轴的一端点到一个焦点的距离为5,焦点
到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程是 ( )
椭圆的方程无法确定
椭圆的几何性质
的长为 .
8.椭圆 截直线 所得的最大弦长是 .
9.倾角为 的直线交椭圆 于 两点,则线段 的中点 的轨迹方程是 .
10. 为椭圆上一点, 为焦点,
,则 .
三、解答题
11.椭圆 的左、右焦点分别为 和
过中心 作直线与椭圆交于 ,若 的面积为20,求直线方程.
12.椭圆 与直线 交于 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ,这样的直角三角形是否存在
?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
[能力训练]:
A.基础过关
一、择题
1.已知椭圆的焦距,短轴长,长轴长成等差数列,则该椭圆的离心率为 ( )
2.椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率 为 ( )
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第 □ 讲
椭圆的几何性质
二、填空题
7.已知 ,点 满足 ,则 点的轨迹方程是 .
8.直线 与椭圆 恒有公共点,则 的取值范围为 .
9.若椭圆的焦距等于长轴的一个端点与短轴的一个端点之间的距离,则椭圆的离心率为 .
5. 分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且 ,则椭圆的标准方程为 ( )
6.椭圆 上一点 到两焦点的距离之积为 ,则当 取最大值时,点 的坐标是 ( )
二、填空题
7.过椭圆 的焦点,倾斜角为 的弦
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第 □ 讲
3.若椭圆的短轴为 ,它的一个焦点为 ,则满足
为等边三角形的椭圆的离心率是 ( )
4.已知 ,则曲线 和
有 ( )
相同的范围 相同的焦点
相同的离心率 相同的长轴
5.若点 在椭圆 上, 分别是椭圆的两焦点,且 ,则 的面积是 ( )
6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 ,长轴长为12,则椭圆方程为 ( )
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第□讲
椭圆的几何性质
[知识要点]：
椭圆的几何性:以椭圆方程
为例.
(1)范围: .
(2)对称性:椭圆关于 都对称.
(3)顶点:椭圆的对称轴与椭圆的交点
称为椭圆的顶点,长轴长 ,短轴长 .
(4)离心率: .
(5)对于椭圆 来说,
, ,它与坐标轴的交点(即顶点坐标)为 、 、 、 ,线段 和 分别叫做椭圆的 .
设 为椭圆的左焦点,在 中,
,这就是 的几何意义,
叫做椭圆的特征三角形,并 是椭圆的 .
2.椭圆的焦距与长轴长的比 ,叫做
3.椭圆上一点与焦点的最大距离是 ,最小距离是 .
知识点剖析
例1若椭圆 的离心率为 ,(1)求 的值;(2)椭圆 的焦点在 轴上,求它的离心率的取值范围.