数学建模数学的规划模型共56页
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数学规划模型
min
f = c1 x1 + c 2 x 2 + + c n x n a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n ≤ b1 a x + a x + + a x ≤ b 22 2 2n n 2 21 1 (1) a x + a x + + a x ≤ b m2 2 mn n m m1 1 xi ≥ 0 (i = 1,2, , n)
7、8 节/第 2
次课
min f = C T X s.t AX ≤ b X ≥0
2. 线性规划的可行解:满足约束条件的解；
纯形法为主
( 2)
要方法。 对线性规 划模型（1） ， 求解结果有 以下三种情 况出现： ①有最优 解， 即在可行 解中能找到 最优解。 ②有可行 解， 但无最优 解。 ③无可行 解， 即不时 ， （ NLP ）就 变成 LP ） （ 。
min ( NLP ) s.t.
2..可行域:如果令
gi ( x ) ≤ 0, i = 1, , m h j ( x ) = 0, j = 1, , l
f ( x)
为非线性规划的标准（一般）形式。
数
学
建 模 电 子 教 案 第 1 教学周/星期五 /第
10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
建模过程： 建模过程： 设 x 表示售价（单位：元） y 表示预期销售量（单位：桶） z 表示广告费（单位： ， ， （单位： 元） k 表示销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为 s， 获得的利润记为 P ， 元） 。由表 1 易见预期销售量 y 随着售价 x 的增加而单调下降，而销售增长因子 k 在开始 时随着广告费 z 的增加而增加，在广告费 z 等于 50000 元时达到最大值，然后在广告费增 加时反而有所回落，为此可用 Mathematica 画出散点图。 运行之后，可显示图 1，图 2 图-1 图-2
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
数学建模-数学规划模型
建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
数学建模数学规划模型3
(2)构造不等约束矩阵及向量
x11 + x12 + x13 + x14 1 x21 + x22 + x23 + x24 1 x31 + x32 + x33 + x34 1 x41 + x42 + x43 + x44 1 x51 + x52 + x53 + x54 1
%构造不等约束条件矩阵及限制向量(按行下标排列) A1=ones(5,4); [n,m]=size(A1); M=[]; for i=1:n
P = perms(v)
%向量v的全排列
v=1:5 nk=nchoosek(v,3) nk(1,:) nk(3,:) perms([1,2,3]) perms(nk(1,:)) perms(nk(3,:))
clc,clear %混合泳接力队的选拔
c=xlsread('yydjb.xlsx'); %读入数据 nk=nchoosek(1:5,4); %队员组合
x11 + x21 + x31 + x41 + x51 = 1 x12 + x22 + x32 + x42 + x52 = 1 x13 + x23 + x33 + x43 + x53 = 1 x14 + x24 + x34 + x44 + x54 = 1
(1)构造目标函数向量
45
Min Z =
end n3=find(cj==min(cj)); %确定最优成绩的位置 dy(n3,:) %求出每一种泳姿的队员 cj(n3)
0-1规划模型
《数学规划模型 》课件
。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
数学建模第一讲 规划类模型
2017/8/5 微信公众号：学交中心（ID：studycomm） 11
目标规划
例：一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每 天下降1%，求出售猪的最佳时间。（1磅=0.454kg） 变量：t =时间(天) w=猪的重量(磅) p=猪的价格(美元/磅) C=饲养t天的花费(美元) R=售出猪的收益(美元) P=净收益(美元) 假设：w=200+5t p=0.65-0.01t C=0.45t R=p·w P=R-C t≥0 目标：求Ｐ的最大值 P=R-C = p·w-0.45t =(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t
2017/8/5 微信公众号：学交中心（ID：studycomm） 17
灵敏性分析
同样的方法，可以做x对g的灵敏性分析
注意: 灵敏性分析的成功应用要有好的判断力, 即不可能也不必要对模型中每个参数都进行灵敏性分 析,要选择较大不确定的参数; 对灵敏性的解释要依赖于参数的不确定程度; 原始问题中的数据的不确定程度也会影响我们对答案的自信度.如售猪问题中,猪的生长率g比价 格下降率r更可靠.
2017/8/5
微信公众号：学交中心（ID：studycomm）
12
目标规划
记y=P作为求最大值的目标变量， x=t作为自变量，我们的问题就化为在集合S={x:x≥0}上求下面 函数的最大值： y=f(x) =(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x. 如图可知y=f(x)关于x是二次的曲线图，易得 f'(x)=-0.1x+0.8 则在点x=8处f'(x)=0. 由f在区间(-∞, 8)上单升,而在区间(8,+∞)上单减. 故点x=8是整体最大值点. 且有 f(8)=133.20, 从而点 (x,y)=(8,133.20) 是 f 在整个实轴上 的整体最大值点,也是区间x≥0上的最大值点。
目标规划
例：一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每 天下降1%，求出售猪的最佳时间。（1磅=0.454kg） 变量：t =时间(天) w=猪的重量(磅) p=猪的价格(美元/磅) C=饲养t天的花费(美元) R=售出猪的收益(美元) P=净收益(美元) 假设：w=200+5t p=0.65-0.01t C=0.45t R=p·w P=R-C t≥0 目标：求Ｐ的最大值 P=R-C = p·w-0.45t =(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t
2017/8/5 微信公众号：学交中心（ID：studycomm） 17
灵敏性分析
同样的方法，可以做x对g的灵敏性分析
注意: 灵敏性分析的成功应用要有好的判断力, 即不可能也不必要对模型中每个参数都进行灵敏性分 析,要选择较大不确定的参数; 对灵敏性的解释要依赖于参数的不确定程度; 原始问题中的数据的不确定程度也会影响我们对答案的自信度.如售猪问题中,猪的生长率g比价 格下降率r更可靠.
2017/8/5
微信公众号：学交中心（ID：studycomm）
12
目标规划
记y=P作为求最大值的目标变量， x=t作为自变量，我们的问题就化为在集合S={x:x≥0}上求下面 函数的最大值： y=f(x) =(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x. 如图可知y=f(x)关于x是二次的曲线图，易得 f'(x)=-0.1x+0.8 则在点x=8处f'(x)=0. 由f在区间(-∞, 8)上单升,而在区间(8,+∞)上单减. 故点x=8是整体最大值点. 且有 f(8)=133.20, 从而点 (x,y)=(8,133.20) 是 f 在整个实轴上 的整体最大值点,也是区间x≥0上的最大值点。
优化模型二：其它数学规划模型数学建模课件
边界处理与初始化
根据问题的边界条件，对状态变量进行初始化处 理。
解的验证与输出
验证所求得的解是否符合问题的要求，并输出最 终的结果。
07 课程总结与展望
课程重点内容回顾
线性规划与非线性规划
掌握线性规划的基本概念、原理和方 法，了解非线性规划的基本思想和求 解方法。
整数规划与组合优化
熟悉整数规划问题的特点和求解方法， 了解组合优化问题的基本类型和算法。
割平面法
通过在问题中添加割平面约束，将原问题转化为 一个等价的较易求解的问题。该方法适用于纯整 数规划的求解。
启发式算法
通过模拟自然界中的某些现象或过程，构造出具 有启发性的算法，用于求解大规模、复杂的整数 规划问题。常见的启发式算法包括遗传算法、模 拟退火算法、蚁群算法等。
04 非线划问题建模
确定最优子结构
大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这是动态规划方法 的基础。
定义状态变量
根据问题的特点，选择合适的状态变量来描述问题的状态。
推导状态转移方程
根据决策和状态转移的关系，推导出状态转移方程，用于描述状 态之间的变化。
动态规划问题求解
自底向上求解
从最小的子问题开始求解，逐步推导出大问题的 最优解，避免了大量的重复计算。
03
数学规划模型的求解方法
解析法、图解法、穷举法、启发式算法等
课程目标与安排
课程目标
掌握数学建模的基本思想和方法，熟悉常见的数学规划模型及其求解方法，能 够运用所学知识解决实际问题
课程安排
介绍数学建模的基本概念和数学规划模型的基础知识，详细讲解线性规划、整 数规划、非线性规划等模型的建模方法和求解技巧，通过案例分析和实践训练 提高学员的建模能力和解决问题的能力
根据问题的边界条件，对状态变量进行初始化处 理。
解的验证与输出
验证所求得的解是否符合问题的要求，并输出最 终的结果。
07 课程总结与展望
课程重点内容回顾
线性规划与非线性规划
掌握线性规划的基本概念、原理和方 法，了解非线性规划的基本思想和求 解方法。
整数规划与组合优化
熟悉整数规划问题的特点和求解方法， 了解组合优化问题的基本类型和算法。
割平面法
通过在问题中添加割平面约束，将原问题转化为 一个等价的较易求解的问题。该方法适用于纯整 数规划的求解。
启发式算法
通过模拟自然界中的某些现象或过程，构造出具 有启发性的算法，用于求解大规模、复杂的整数 规划问题。常见的启发式算法包括遗传算法、模 拟退火算法、蚁群算法等。
04 非线划问题建模
确定最优子结构
大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这是动态规划方法 的基础。
定义状态变量
根据问题的特点，选择合适的状态变量来描述问题的状态。
推导状态转移方程
根据决策和状态转移的关系，推导出状态转移方程，用于描述状 态之间的变化。
动态规划问题求解
自底向上求解
从最小的子问题开始求解，逐步推导出大问题的 最优解，避免了大量的重复计算。
03
数学规划模型的求解方法
解析法、图解法、穷举法、启发式算法等
课程目标与安排
课程目标
掌握数学建模的基本思想和方法，熟悉常见的数学规划模型及其求解方法，能 够运用所学知识解决实际问题
课程安排
介绍数学建模的基本概念和数学规划模型的基础知识，详细讲解线性规划、整 数规划、非线性规划等模型的建模方法和求解技巧，通过案例分析和实践训练 提高学员的建模能力和解决问题的能力
数学建模——规划模型
i a b d １ 1 .2 5 1 .2 5 3 ２ 8 .7 5 0 .7 5 5 ３ 0 .5 4 .7 5 4 ４ 5 .7 5 5 7 ５ 3 6 .5 6 ６ 7 .2 5 7 .7 5 11
假设：料 场和工地 之间有直 线道路
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7),记为 (xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
i 1 i
n
i
a ik x k bi , i 1, 2 ,..., n. s.t . k 1 x 0 , i 1, 2 ,..., n. i
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u f ( x ) ci xi bij xi x j 2 i , j 1 i 1 n a ij x j bi , i 1, 2,..., n. s.t . j 1 x 0 .i 1, 2,..., n. i
改写为： S.t.
min z 13 9 10 11 12 8X
0 0 800 0.4 1.1 1 0 X 0 0 0 0 . 5 1 . 2 1 . 3 900
x1 x2 x 3 ，X 0 x4 x 5 x 6
编写M文件xxgh4.m如下： c = [40 36]; A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数： [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
（一）规划模型的数学描述
u f ( x)
假设：料 场和工地 之间有直 线道路
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7),记为 (xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
i 1 i
n
i
a ik x k bi , i 1, 2 ,..., n. s.t . k 1 x 0 , i 1, 2 ,..., n. i
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u f ( x ) ci xi bij xi x j 2 i , j 1 i 1 n a ij x j bi , i 1, 2,..., n. s.t . j 1 x 0 .i 1, 2,..., n. i
改写为： S.t.
min z 13 9 10 11 12 8X
0 0 800 0.4 1.1 1 0 X 0 0 0 0 . 5 1 . 2 1 . 3 900
x1 x2 x 3 ，X 0 x4 x 5 x 6
编写M文件xxgh4.m如下： c = [40 36]; A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数： [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
（一）规划模型的数学描述
u f ( x)
数学模型之数学规划模型
多目标规划模型的应用案例
资源分配问题
投资组合优化
在有限的资源条件下，如何分配资源 以达到多个目标的优化，如成本、质 量、时间等。
在风险和收益的权衡下，如何选择投 资组合以达到多个目标的优化，如回 报率、风险分散等。
生产计划问题
在满足市场需求和生产能力限制的条件 下，如何制定生产计划以达到多个目标 的优化，如利润、成本、交货期等。
整数规划模型的应用案例
总结词
整数规划模型在生产计划、资源分配、物流优化等领域有广泛应用。
详细描述
在生产计划领域，整数规划模型可以用于安排生产计划、优化资源配置和提高生产效率。在资源分配 领域，整数规划模型可以用于解决资源分配问题，例如人员分配、物资调度等。在物流优化领域，整 数规划模型可以用于车辆路径规划、货物配载等问题，提高物流效率和降低运输成本。
数学规划模型可以分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态 规划等类型，根据问题的特性选择合适的数学规划模型进行建模 。
数学规划模型的应用领域
01
02
03
04
生产计划
数学规划模型可以用于制定生 产计划，优化资源配置，提高 生产效率。
物流运输
通过建立数学规划模型，可以 优化物流运输路线和运输方式 ，降低运输成本。
80%
金融投资组合优化
通过建立线性规划模型，可以优 化投资组合，实现风险和收益的 平衡。
03
非线性规划模型
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型 ，用于解决目标函数和约束条件均为 非线性函数的问题。
它通过寻找一组变量的最优解，使得 目标函数达到最小或最大值，同时满 足一系列约束条件。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适 用范围。
数学建模规划模型
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
REDUCED COST
0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000
X1 X2
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000
4)40.000000 Nhomakorabea0.000000
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
MODEL: max =72*x1+64*x2; x1+x2<50; 12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; end 原料无剩余 三 种 时间无剩余 资 源 加工能力剩余40
3,2
0 3 4
x1
3， 所以目标函数在 2取得
最大值max f 5 3 2 2 19
从上述几何直观可看出： ⑴线性规划问题的任意两个可行解连线 凸多边形 上的点都是可行解；
⑵线性规划问题的任意两个最优解连线 上的点都是最优解； ⑶线性规划问题的最优值若存在，则一 定在某个顶点达到。
MODEL: MAX=5*X1+2*X2; 2*X1+X2<8; X1 <=3; X2<=4; X1>=0; X2>=0; END
s.t .
x1，x2 0
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
REDUCED COST
0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000
X1 X2
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000
4)40.000000 Nhomakorabea0.000000
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
MODEL: max =72*x1+64*x2; x1+x2<50; 12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; end 原料无剩余 三 种 时间无剩余 资 源 加工能力剩余40
3,2
0 3 4
x1
3， 所以目标函数在 2取得
最大值max f 5 3 2 2 19
从上述几何直观可看出： ⑴线性规划问题的任意两个可行解连线 凸多边形 上的点都是可行解；
⑵线性规划问题的任意两个最优解连线 上的点都是最优解； ⑶线性规划问题的最优值若存在，则一 定在某个顶点达到。
MODEL: MAX=5*X1+2*X2; 2*X1+X2<8; X1 <=3; X2<=4; X1>=0; X2>=0; END
s.t .
x1，x2 0
数学建模数学规划ppt课件
j 1
x
j
0,
j
1,..., n
为标准的线性规划问题。
17
若引进记号
c c1, , cn T ,b b1, ,bn T ,
x (x,..., xn )T , A (aij )mn
则（LP）可简单地表示为
min f x cT x
单位产品消 产 耗定额 品 甲（件）
材料与设备
乙（件）
现有材料与 设备能力
钢材（kg）
9
4
铜材（kg）
4
5
设备能力（台时）
3
10
单位产品的利润（元）
70
120
3600 2000 3000
7
建模过程
• 设甲、乙两种产品计划生产量分别为x1和x2件，总的利润为Z元 • 那么,我们的任务就是：求变量的值为多少时，才能使总利润
为随机参数。
4
2. 线性规划
• 线性规划模型是运筹学的重要分支，是20世纪三四十年 代初兴起的一门学科。
• 1947年美国数学家丹齐格G.B.Dantzig及其同事提出的求 解线性规划的单纯形法及有关理论具有划时代的意义。 他们的工作为线性规划这一学科的建立奠定了理论基础。
• 随着1979年前苏联数学家哈奇扬的椭球算法和1984年美 籍印度数学家卡玛卡尔H.Karmarkar算法的相继问世，线 性规划的理论更加完备成熟，实用领域更加宽广。
n
max f (x1, x2,..., xn ) c j x j
n
j 1
s.t.gi (x1,..., xn ) aij x j bi ,i 1,..., m
j 1