第一章 最新勾股定理习题及答案

第一章勾股定理
1．1探索勾股定理
第1课时探索勾股定理
基础题
知识点1认识勾股定理
1．(郑州月考)直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则斜边长是( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列说法正确的是( D )
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a2
3．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为( A )
A．18 B．9 C．6 D．无法计算
4．(淮安中考)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( A )
A．5
B．6
C．7
D．25
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若a＝6，c＝10，则b＝8；
(2)若a＝5，b＝12，则c＝13；
(3)若c＝25，b＝15，则a＝20.
知识点2勾股定理的简单应用
6．如图，做一个宽80 cm，高60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长为( B ) A．90 cm B．100 cm
C．105 cm D．110 cm
7．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( D )
8．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们
仅仅少走了4步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．
9．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．
解：如图，因为AD 是BC 的中线， 所以BD ＝1
2
BC ＝3，AD ⊥BC.
在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝42＋32＝25. 所以AB ＝5，即腰长为5.
易错点 考虑不全而漏解
10．若一个直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，已知a 2＝25，b 2＝144，则c 2＝( D )
A ．169
B ．119
C ．13或25
D ．169或119
中档题
11．(资阳中考)如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( C ) A ．48 B ．60 C ．76 D ．80
12．如图，若∠BAD ＝∠DBC ＝90°，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，则CD ＝( B ) A ．5 B ．13 C ．17 D ．18
13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ∶b ＝3∶4，c ＝100，其中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则b 的长为( C )
A ．30
B ．60
C ．80
D ．120
14．(西安莲湖区期中)如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( B )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
15．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1 800 cm 2，则斜边长为( A ) A ．30 cm B ．80 cm
C ．90 cm
D ．120 cm
16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，且BD ＝4，则BC ＝8．
17．在△ABC 中，AB ＝41，AC ＝15，高AH ＝9，则△ABC 的面积是234或126. 18．如图所示，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．
解：因为△ABC 是直角三角形，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， 由勾股定理，得 AC 2＝AB 2－BC 2， 所以AC ＝4 cm.
又因为S △ABC ＝12AB·CD ＝1
2BC·AC ，
所以CD ＝AC·BC AB ＝12
5 .
所以CD 的长是12
5
cm.
综合题
19．如图，已知AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ，AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，点E 是CD 的中点，求AE 的长．
解：延长AE 交BC 于点F. 因为AB ⊥BC ，AB ⊥AD ， 所以AD ∥BC.
所以∠D ＝∠C ，∠DAE ＝∠CFE. 又因为点E 是CD 的中点， 所以DE ＝CE.
在△AED 和△FEC 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠D ＝∠C ，∠DAE ＝∠CFE DE ＝CE ，
， 所以△AED ≌△FEC(AAS)． 所以AE ＝FE ，AD ＝FC. 因为AD ＝5，BC ＝10. 所以BF ＝5.
在Rt △ABF 中，由勾股定理有AF 2＝AB 2＋BF 2. 所以AF ＝13.
1
所以AE＝
2AF＝6.5.
第2课时 验证勾股定理及其计算
基础题
知识点1 验证勾股定理
1．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE 、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( D )
A ．S △EDA ＝S △CEB
B ．S △EDA ＋S △CEB ＝S △CDE
C ．S 四边形CDAE ＝S 四边形CDEB
D ．S △EDA ＋S △CD
E ＋S △CEB ＝S 四边形ABCD
2．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，你能利用这个图形验证勾股定理吗？
解：观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a ＋b)，里面小的正方形的边长为 c.大正方形面积可以表示为(a ＋b)2，也可以表示为12ab ×4＋c 2.对比这两种表示方法，可得出(a ＋b)2＝1
2ab ×4＋c 2.整理得c 2＝a 2＋b 2.因此利用
这个图形可以验证勾股定理．
知识点2 勾股定理的实际应用 3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m 的木梯，准备把梯子架到2.4 m 高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( A )
A ．0.7 m
B ．0.8 m
C ．0.9 m
D ．1.0 m
4．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m 远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m 处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m ．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( A )
A ．一定不会
B ．可能会
C ．一定会
D ．以上答案都不对
5．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距50海里．
6．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为100mm.
7．如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为200 m 2
的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积．
解：AD 的长为200
20＝10(m)．
由勾股定理可得DE ＝6 m.
所以半圆形餐饮区的面积S ＝12π×(6÷2)2＝9
2π(m 2)．
答：半圆形餐饮区的面积为9
2π m 2.
中档题
8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为( D )
A ．x 2－6＝(10－x)2
B ．x 2－62＝(10－x)2
C ．x 2＋6＝(10－x)2
D ．x 2＋62＝(10－x)2
9．(襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( C )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．一辆装满货物，宽为2.4 m 的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( A ) A ．4.1 m B ．4.0 m C ．3.9 m D ．3.8 m
11．如图，将一根20 cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 和12 cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是7cm.
12．(西安雁塔区月考)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方50 m 处，过了4 s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130 m ．这辆小汽车超速了吗？
解：这辆小汽车超速了． 依题意，得AB ＝130 m ， AC ＝50 m ，由勾股定理
得AB 2＝BC 2＋AC 2，也就是1302＝BC 2＋502，所以BC ＝120(m)． 小汽车速度为120÷4＝30(m/s)＝108(km/h)．
因为小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h ， 所以这辆小汽车超速了．
13．4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
解：图形的总面积可以表示为： c 2＋2×1
2
ab ＝c 2＋ab ，
也可以表示为：a 2＋b 2＋2×1
2ab ＝a 2＋b 2＋ab ，
所以c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2＋b 2＝c 2.
综合题
14．十一国庆节快到了，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：
①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的长方形纸片ABCD ； ②如图，将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处． 请你根据①②步骤计算EC ，FC 的长．
解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，
所以△ADE≌△AFE.
所以DE＝FE，AD＝AF.
因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，
所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm. 所以FC＝20－12＝8(cm)．
因为四边形ABCD是长方形，
所以∠C＝90°.
设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
(16－x)2＝64＋x2.
解得x＝6.
所以EC＝6 cm.
1.2 一定是直角三角形吗
基础题
知识点1 直角三角形的判定
1．(西安莲湖区期中)以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( C ) A ．3，5，3 B ．4，6，8 C ．7，24，25 D ．6，12，13
2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c 且a 2－b 2＝c 2，则下列说法正确的是( C ) A ．∠C 是直角 B ．∠B 是直角 C ．∠A 是直角 D ．∠A 是锐角
3．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 的形状为( A )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案都不对
4．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm ，宽为32 cm ，对角线长为68 cm ，则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”)．
5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c 2＝58，则S △ABC ＝
212
. 6．如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝10，BC 边上的中线AD ＝12.求： (1)AC 的长度； (2)△ABC 的面积．
解：(1)因为AD 是BC 的中线，BC ＝10， 所以BD ＝CD ＝5. 因为52＋122＝132， 所以BD 2＋AD 2＝AB 2. 所以∠ADB ＝90°. 所以∠ADC ＝90°.
所以AC 2＝AD 2＋CD 2，即AC 2＝122＋52， 所以AC ＝13.
(2)S △ABC ＝12CB·AD ＝1
2
×10×12＝60.
知识点2 勾股数
7．下列一组数是勾股数的是( B )
A ．6，7，8
B ．5，12，13
C ．0.3，0.4，0.5
D ．10，15，18
8．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是15．
9．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，
则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如5，12，13；7，24，25等．
10．(西安雁塔区期中)如图，在四边形ABDC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，CD ＝13，BD ＝12，求这个四边形的面积．
解：连接BC.
在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，
由勾股定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2＝32＋42＝25，则BC ＝5. 在△BDC 中，CD ＝13，BD ＝12，BC ＝5， BD 2＋BC 2＝122＋52＝169，CD 2＝132＝169， 所以BD 2＋BC 2＝CD 2.
所以△BDC 为直角三角形，且∠CBD ＝90°.
所以四边形ABDC 的面积为12AB·AC ＋12BC·BD ＝12×4×3＋12×5×12＝36.
中档题
11．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( D ) A ．b 2＝c 2－a 2
B ．a ∶b ∶c ＝3∶4∶5
C ．∠C ＝∠A －∠B
D ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5
12．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( C )
A. B.
C. D.
13．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为( B )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．锐角三角形或钝角三角形
14．如图，方格中的点A ，B 称为格点(横竖线的交点)，以AB 为一边画△ABC ，其中是直角三角形的格点C 的个数为( B )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
15．观察下列一组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；…；a ，b ，c.根据你的发现，写出当a ＝20时，b ＝99，c ＝101.
16．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝1
2b ，则△ABC 是什么特
殊三角形？
解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝1
2b ，
所以(c ＋a)(c －a)＝2b·1
2
b.
所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形．
综合题
17．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ，AD ＝24 cm ，BC 与CD 的长度之和为34 cm ，其中点C 是直线l 上的一个动点，请你探究当点C 离点B 有多远时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．
解：因为BC 与CD 的长度之和为34 cm ， 所以设BC ＝x cm ，则CD ＝(34－x)cm. 因为在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ， 所以AC 2＝AB 2＋BC 2＝62＋x 2.
因为△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形，AD ＝24 cm ， 所以AC 2＝CD 2－AD 2＝(34－x)2－242. 所以62＋x 2＝(34－x)2－242. 解得x ＝8， 即BC ＝8 cm.
答：当点C 离点B 8 cm 时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．
1.3勾股定理的应用
基础题
知识点1勾股定理在生活中的应用
1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB＝120 m，则AB为( C )
A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m
2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( D )
A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm
3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( D )
A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km
4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．
5．一渔船从A点出发，向正北方向航行5公里到B点，然后从B点向正东方向航行12公里至C点，则AC 长为13公里．
6．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，求滑道AC的长．
解：设AC的长为x m.
因为AC＝AB，
所以AB＝AC＝x m.
因为EB＝CD＝1 m，
所以AE＝(x－1)m.
在Rt△AEC中，
AC2＝CE2＋AE2，
即x2＝32＋(x－1)2.
解得x＝5.
所以滑道AC的长为5 m.
7．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m 时，求滑竿顶端A下滑多少米？
解：因为AB＝DE＝2.5，
BC＝1.5，∠C＝90°，
所以AC2＝AB2－BC2
＝2.52－1.52
＝4.
所以AC＝2.
因为BD＝0.5，所以在Rt△ECD中，
CD＝CB＋BD＝2 m，
CE2＝DE2－CD2
＝2.52－22
＝2.25.
所以CE＝1.5.
所以AE＝AC－EC＝0.5.
答：滑竿顶端A下滑了0.5 m.
知识点2立体图形中两点之间的最短距离
8．如图，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是( D )
A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm
9．如图所示，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现使一绳子从点A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是5cm.
中档题
10．如图，已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走________m后，他与神仙百货的距离为340 m( C )
A．100 B．180 C．220 D．260
11．(绍兴中考)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
12．如图，在高3 m 、坡面线段距离AB 为5 m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7m.
13．如图是延安某地一个农家的窑洞的洞门示意图，其上方为半圆形．若长方形的对角线AC ＝2.5 m ，AD ＝1.5 m ，则洞口的面积为4.5m 2(π取3)．
14．(本课时T9变式)如图，长方体的底面边长分别为1 cm 和3 cm ，高为6 cm.如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要10cm.
15．如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是BC 上一点，且PC ＝2
3BC.一
只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是多少？
解：画侧面展开图，如图， 因为圆柱的底面周长为6 cm ， 所以展开图中AC ＝3 cm. 又因为PC ＝2
3BC ，
所以PC ＝2
3
×6＝4(cm)．
在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，得AP ＝5 cm. 所以蚂蚁爬行的最短距离是5 cm.
综合题
16．(运城盐湖区期末)(教材P15习题T5变式)阅读下列问题情景，回答问题：
于公元1世纪成书的我国数学经典著作《九章算术》第一章第6题是：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”该题被称为“引葭赴岸”问题．
公元12世纪，印度的数学家婆什迦罗在他的著作《丽罗娃提》中将该题编成一首诗歌，在中东和西欧国家广
泛流传，成为著名的“莲花问题”(如图)，该诗为：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一遍；渔人观看忙向前，花离原位两尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
(1)这个问题可以用勾股定理来解答； (2)列方程求出“莲花问题”中湖水深度．
解：设湖水深x 尺，则 x 2＋22＝(x ＋0.5)2， 解得x ＝15
4
.
答：湖水深度为15
4尺．
小专题(一) 利用勾股定理解决最短路径问题
——教材P19复习题T12的变式与应用
几何体中最短路径基本模型如下：
――→
展开
则AB 2＝B′A 2＋B′B 2
将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线角三角形→利用勾股定理求解
【教材母题】 (教材P19复习题T12)如图，长方体的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为20 cm ，点B 离点C 的距离是5 cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少？
【解答】 ①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1， 所以BD ＝CD ＋BC ＝10＋5＝15，AD ＝20. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝202＋152＝625. 所以AB ＝25.
②把长方体的上侧表面剪开与右面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2， 所以BD ＝CD ＋BC ＝20＋5＝25，AD ＝10. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝102＋252＝725.
③把长方体的上侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3， 所以AC ＝CD ＋AD ＝10＋20＝30. 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝302＋52＝925.
因为625<725<925，
即路程最短的是第①种情况，
所以最短路程是25 cm.
1．如图所示，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是( A )
A．10 cm B．14 cm C．20 cm D．无法确定
2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是25dm.
3．(西安雁塔区月考)有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE ＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．
(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；
(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．
解：(1)作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，连接AQ，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．
(2)因为在Rt△A′EG中，A′E＝80 cm，EG＝60 cm，由勾股定理有
A′E2＋EG2＝A′G2，所以A′G＝100 cm.
且AQ＋QG＝A′G，
所以最短路线长为100 cm.
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( A )
A ．1 cm
B ．1.5 cm
C ．2 cm
D ．3 cm
2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( D )
A.252 cm
B.152 cm
C.254 cm
D.154
cm
4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F.若AF ＝25
4
cm ，则AD 的长为( C )
A ．4 cm
B ．5 cm
C ．6 cm
D ．7 cm
5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( B )
A ．3 B.15
4
C ．5 D.15
2
6．(郑州月考)如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB
为4，则折痕EF
叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是6__cm2.
对应点为点A′，且B′C＝3，求AM的长．
解：连接BM，B′M.
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠A＝∠D＝90°.
由题意，得DB′＝9－3＝6，BM＝B′M.
设AM＝x，则DM＝9－x.
由勾股定理，得
x2＋92＝BM2，(9－x)2＋62＝B′M2，
所以x2＋92＝(9－x)2＋62，
解得x＝2，
即AM的长为2.
章末复习(一) 勾股定理
分点突破
知识点1 勾股定理及其验证
1．(西安雁塔区月考)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( B )
A.125
B.245
C.45
D.35
2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为( B )
A ．4 cm
B ．5 cm
C ．6 cm
D ．10 cm
3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( D )
知识点2 直角三角形的判别
4．在△ABC 中，AB ＝12 cm ，AC ＝9 cm ，BC ＝15 cm ，则S △ABC 等于( A ) A ．54 cm 2 B ．108 cm 2 C ．180 cm 2 D ．90 cm 2 5．下列说法中，错误的是( D )
A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A －∠
B ，则△AB
C 为直角三角形
B ．在△AB
C 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a ＝35c ，b ＝4
5
c ，则△ABC 为直角三角形
D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，则△ABC 为直角三角形
6．如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝14，BC 边上的中线AD ＝24，试说明△ABC 是等腰三角形．
解：因为AB ＝25，AD ＝24，
BD ＝12BC ＝12
×14＝7， AD 2＋BD 2＝242＋72＝625＝252＝AB 2，
所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB ＝90°，
即AD ⊥BC.
在Rt △ADC 中，
AC 2＝AD 2＋CD 2＝242＋72＝625，
所以AC ＝25.
所以AB ＝AC.故△ABC 是等腰三角形．
知识点3 勾股定理的应用
7．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200 m ，他在水中实际游了520 m ，那么该河的宽度为( C )
A ．440 m
B ．460 m
C ．480 m
D ．500 m
8．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇．公路PQ 上A 处距离O 点240 m ，与MN 这条铁路的距离是120 m ．如果火车行驶时，周围200 m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72 km/h 的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间是多少？
解：作AD ⊥MN ，并作AB ＝AC ＝200 m 交MN 于点B ，C.
因为AD ＝120 m ，
所以BD 2＝AB 2－AD 2＝2002－1202.
所以BD ＝160.
BC ＝160×2＝320(m)＝0.32(km)，
t ＝0.32÷72×3 600＝16(s)．
答：A 处受噪音影响的时间是16 s.
常考题型演练
9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12
AB)为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E.若AC ＝3，AB ＝5，则DE 等于( C )
A ．2 B.103 C.158 D.152
10．(西安雁塔区月考)在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为( C )
A ．84
B ．24
C ．24或84
D ．42或84
11．(泰州中考)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP, PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 的长为4.8.
12．(西安碑林区月考)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 边上的中线AD ＝6，则△ABD 的面积是15.
13．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a ，b ，c 为勾股数．请你说明理由．你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
解：因为a 2＝4m 2，b 2＝m 4－2m 2＋1，c 2＝m 4＋2m 2＋1，a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．又m 为大于1的整数，故2m ，m 2－1，m 2＋1都是正整数，因此，a ，b ，c 为勾股数．利用这个结论可以得出勾股数：如4，3，5；8，15，17等．
14．如图，小明把一根长为160 cm 的细铁丝弯折成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC ，已知风筝的高AD ＝40 cm ，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？
解：设腰长AB ＝AC ＝x ，则BC ＝160－2x ，BD ＝12
BC ＝80－x. 在Rt △ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2，即x 2＝(80－x)2＋402.
解得x ＝50.
所以AB ＝AC ＝50 cm ，
BC ＝160－2×50＝60(cm)．
所以小明先量取铁丝50 cm 弯折一次，再量取50 cm 弯折一次，然后将铁丝的两端点对接即可得到等腰三角形风筝的边框ABC.
15．如图，一根长度为50 cm 的木棒的两端系着一根长度为70 cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
解：分两种情况(设AB 为木棒)：
①如图1，当∠B ＝90°时，设BC ＝x cm ，
则AC ＝(70－x)cm.
在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，
即(70－x)2＝502＋x 2，解得x ＝1207
， 则AC ＝70－x ＝3707
.
②如图2，当∠C ＝90°时，
根据勾3股4弦5可知这两段绳子的长度分别为30 cm 和40 cm.
答：该点将绳子分成长度分别为1207 cm 和3707
cm 的两段或30 cm 和40 cm 的两段．。