格林公式曲线积分与路径无关的条件ppt
一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条-PPT课件
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
高等数学第十一章第三节格林公式课件.ppt
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
f [ (t ), (t )]
L
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t),
(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
next
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1
L
2
Pdx
Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
第二讲格林公式36页PPT
解 这里P2xy Qx2
因 为 P y Q x 2 x 所 以 积 分
2 x x 2 d 与 y 路 径 无 关 y dx
L
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
则 2 x y x 2 d d y 2 x x y x 2 d d y 2 x x y x 2 d d y
y
y xy
2u Q . y x x
证毕。
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用格林公式导出的四个等价结论
设D为单连开 通区域 P(x,， y)、Q(x,y)C1(D， ) 那么，下面四条等价：
1) 在D内， QP； x y
2对 ) 闭 L D 路 ， 有 L P d x Q d y 0 ；
3)在 D 内， PdxQ dy与路径 ；无 AB
OA
A L
D
3dxdy
O
D
OA
3|D|
2
0 sin y dy
3co2s1.
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二.平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积 LP分 dxQdy与路径无关：
P d x Q d y P d x Q d y
L 1 (A)B
L 2 (A)B
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用格林公式导出的四个等价结论
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2 （ ) 闭 对 L D 路 ， 有 L P d x Q d y 0 ） 3()在 D 内， PdxQ dy与路径 ) 无关
AB
设 L 1 、 L 2是 D 中 起点 A 、为 终 B 的 点 路 为 径
LL2 L1，
由 2， )0LP dxQ dy
L1
B
A L2
格林公式曲线积分与路径无关的条件
记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
Ll
x
dy x2
ydx y2
(Q x
P y
)dxdy
0
D1
其中l的方向取顺时针方向 于是
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy ydx x2 y2
2 0
r2 cos2q r2 sin 2q
r2
dq
2
dy ydx
x2 y2
2 0
r2 cos2q r2 sin 2q
一、格林公式
❖单连通与复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于
D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 ❖区域的边界曲线的方向
当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向
单连通区域
复连通区域
下页
❖定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)
在D上具有一阶连续偏导数 则有
(Q x
P)dx y
dy
L
Pdx
Qdy
——格林公式
D
其中L是D的取正向的边界曲线 >>>
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括
沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
定理证明
下页
格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算区域的面积
设区域D的边界曲线为L 则
A
1 2
L
xdy
ydx
提示: 在格林公式中 令Py Qx 则有
格林公式·曲线积分与线路的无关性
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关
例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
高等数学格林公式PPT课件
正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
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例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
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则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
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三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
ch21.3 格林公.曲线积分与路径的无关性
8
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 证明 是一条分段光滑的闭曲线,
∫L
2xy dx + x2 dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2 , 则
3) 可用积分法求 u = P d x + Q d y在域 D 内的原函数 可用积分法求d 在域 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为
u ( x, y) = ∫
( x, y )
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
或 u (x, y) =∫ Q(x0 , y)dy + ∫ P(x, y)dx
L
在D 内
与路径无关, 只与起止点有关(全微分式的积分 全微分式的积分). 与路径无关 只与起止点有关 全微分式的积分 (3) 的全微分, 的全微分 在 D 内是某一函数
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
即
13
证明 (1)
(2)
15
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂y ∂x
16
证明 (4)
L
3
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
格林公式及其应用(课堂PPT)
式得：
xdy
x2
ydx
y2
0
10
当 (0,0) D 时，选取适当的 r>0 ，作为于D内的
圆周 l : x2 y2 r2 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。
y
D1
0
x
lL
对复连通区域 D1 应用格林公式，得
11
L
xdy
x2
ydx
y2
l
xdy
x2
ydx
y2
0
其中 l 的方向取逆时针方向，于是：
x2 y2 2ax
解：
y a 圆 ： (x a)2
2
2
的参数方程为：
x a a cos, y asin,0 2 ,
30
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2
[a(1 cos )a cos a sin (a sin )]d
20
2
a
2
(1 cos )d
2
a 2 0
3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积 分值：
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得
y t 1
o
1t
x
18
t
1
1
t
0 0dx 0 Q(t, y)dy 0 0dx 0 Q(1, y)dy.
将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得
5
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件高等数学三年专科最新版精品课件
例3
计算曲线积分
AnO
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy .
其中AnO为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周
x2 + y2 = ax(a > 0).
解 如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L 是一条正向的封闭曲线. y 我们设由它围成的区域为 D.
AnB
Pdx Qdy AmB Pdx Qdy ,
y
因此
0.
AnBmA
Pdx Qdy
BmA
m
D B
n
AnB
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
O
A
AnB
AmB
x
再证充分性. AnB 与 AmB 设 A、B 是 D 内的任意两点， 是 D 内的任意两条路径. 因为对 D 内任意一条 闭曲线 C， 恒有 Pdx Qdy 0, 所以由题设有
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节
格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线
L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
( a)
( b)
定理 1
在区域 D 中，曲线积分 L Pdx Qdy
与路径无关的充要条件是：对 D 内任意一条闭曲 线 C，有
C
Pdx Qdy 0.
高等数学下教学课件：9-3
此时可记 Pdx Qdy ( x2 , y2 ) Pdx Qdy
L
( x1 , y1 )
(x1，y2) 后积x
(x2，y2)
先积y 先积x
(x1，y1)
后积y (x2，y1)
x2P(
x1
x,
y1
)dx
y2 y1
Q(
x2
,
y)dy
y2Q(
例4
计算 L
xdy x2
ydx y2
,其中
L为一条无重点,分
段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为
逆时针方向.
y
解 记L所围成的闭区域为D ,
L
D
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
o
x
则当 x2
y2 0时,
有Q x
y2 (x2
x2 y2 )2
P .
y
(1) 当(0, 0) D时,
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
3．格林公式的应用举例。
(1). 计算平面面积
例1 ydx xdy [1 (1)]dxdy 2 dxdy 2A,
L 1
D
A ydx xdy.
D
这里L为D的正向边界
即只要证明
u P( x, y) x
当起点M0(x0，y0)固定时，这个积分的值取决于终 点M(x，y)，因此，它是x、y的函数，把这函数记 作u(x，y)，即
21.3 格林公式·曲线积分与路线的无关性 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*点击以上标题可直接前往对应内容格林公式设区域D组成.规定为:时, 区域D如图21-12 所示为负方向,记为定理20.1若函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域D 上有连续的一阶偏导数, 则有∂∂-=+∂∂⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰⎰d d d ,LD Q P P x Q y x y σ (1)这里L 为区域D 的边界曲线, 并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据区域D 的不同形状, 这里对以下三种情形(i)若D 既是x 型又是y 型区域(图21-13),作出证明:12()(),,x y x a x b ϕϕ≤≤≤≤又可表为12()(),.y x y y ψψαβ≤≤≤≤1()y x ϕ=2()y x ϕ=这里和分 CAE 分别是曲线和 CBE 的方程.ACBAEB 别为曲线和的方程,O x1()x ϕβαAb EaBC2()x ϕyD图21-13则D 可表为1()x y ψ=2()x y ψ=和则而d DQx σ∂∂⎰⎰21((),)d ((),)d Q y y y Q y y yββααψψ=-⎰⎰ (,)d (,)d CBECAEQ x y y Q x y y=-⎰⎰ (,)d (,)d CBEEACQ x y y Q x y y=+⎰⎰(,)d .LQ x y y =⎰于是,21()()d d y y Q y x x βψαψ∂=∂⎰⎰d (,)d .L DP P x y x y σ∂-=∂⎰⎰⎰ 将上述两个结果相加即得d d d .L D Q P P x Q y x y σ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ (ii)若区域D 是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型同理又可证得又是y 型的子区域, 格林公式, 然后相加即可.则可逐块按(i) 得到它们的如图21-14 所示的区域是y 型的区域1D d Q P σ⎛⎫∂∂- ⎪⎰⎰123d D D D Q P x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰于是可将它分成三个既是123d d d d d d L L L P x Q y P x Q y P x Q y =+++++⎰⎰⎰d d .LP x Q y =+⎰后, D 的边界则由 23,,,,,,AB L BA AFC CE L ECCE 及构成. 由(ii)知CGAd D Q P x y σ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ {}23(d d )ABL BAAFCCEL ECCGAP x Q y =++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()231(d d )L L L P x Q y =+++⎰⎰⎰ d d .LP x Q y =+⎰注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是x y 型又是型区域的并集, 31sin ,(0,1];1;0;1y x x y x x x=∈=-==所围成的区域便是如此.例如由注2为便于记忆, 格林公式(1) 也可写成下述形式:d d d .LDx y PQP x Q y σ∂∂∂∂=+⎰⎰⎰注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例:第一象限部分(图21-16).解对半径为r 的四分之一圆域D, 应用格林公式:d d LDx y σ--=⎰⎰⎰d d d .OAABBOx y x y x y =++⎰⎰⎰由于d 0,d 0,OA BO x y x y ==⎰⎰ d d AB Dx y σ=-⎰⎰⎰例1 计算d ,ABx y ⎰其中曲线是半径为r 的圆在AB Ox2116-图BL-AD y因此21π.4r =-例2 计算22d d ,L x y y xI x y -=+⎰ 其中L 为任一不包含原点的闭区域D 的边界线.解因为2222222,()x y x x x y x y ⎛⎫∂-= ⎪∂++⎝⎭2222222,()y y xy x y x y ⎛⎫∂--= ⎪∂++⎝⎭于是，由格林公式2222=d 0,D x y x x y y x y σ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂--=⎢⎥ ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰22d d L x y y x x y -+⎰在格林公式中, 令,,P y Q x =-=则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式:1d d d .2D L DS x y y x σ==-⎰⎰⎰ (2)例3 计算抛物线2()(0)x y ax a +=>与x 轴所围图形的面积(图21-17).解曲线 AMO 由函数,[0,]y ax x x a =-∈表示, O NA 0,y =为直线于是1d d 2D S x y y x =-⎰ x2117-图O(,0)A a NMy 11d d d d 22ONA AMOx y y x x y y x =-+-⎰⎰1d d 2AMOx y y x =-⎰011)d 22a a x ax x x ax ⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰020111d d .2246a a a ax x x x a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰⎰在第二十章§2 中计算第二型曲线积分的开始两个例子中, B 为终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分值也不同, 点有关, 与路线的选取无关. 什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念. 若对于平面区域D 内任一封闭曲线, 皆可不经过D曲线积分与路线的无关性读者可能已经注意到, 在例1中, 以A 为起点但在例2 中的曲线积分值只与起点和终本段将讨论曲线积分在一封闭曲线所围成的区域只含有D 中的点.定理21.12更通俗地说, 单连通区域就是没有“洞”的区域, 复连通区域则是有“洞”的区域.设D 是单连通闭区域. 若函数(,),P x y (,)Q x y 在D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 下四个条件等价:(i)沿D 内任一按段光滑封闭曲线L ,有d d 0;LP x Q y +=⎰(ii)对D 中任一按段光滑曲线L ,曲线积分d d LP x Q y +⎰则以与路线无关, 只与L 的起点及终点有关;定理21.12d d P x Q y +(,)u x y (iii) 是D 内某一函数的全微分, 即在D 内有d d d ;u P x Q y =+(iv)在D 内处处成立.P Q y x∂∂=∂∂d d d d ARBBSAP x Q y P x Q y=+++⎰⎰ d d 0,ARBSAP x Q y =+=⎰所以d d d d .ARBASBP x Q y P x Q y +=+⎰⎰ d d d d ARBASBP x Q y P x Q y+-+⎰⎰2119-图BRS(i) 沿D 内任一按段光滑封闭曲线L , 有d d 0;LP x Q y +=⎰(ii)对D 中任一按段光滑曲线L ,曲线积分d d L P x Q y +⎰与路线无关, 只与L 的起点及终点有关;⇒ ARB ASB 证(i)(ii) 如图21-19, 设与为联结点A ,B 的任意两条按段光滑曲线, 由(i) 可推得D 内任意一点. dABP x ⎰故当(,)B x y 在积分值是(,B x y (,)d d .ABu x y P x Q y =+⎰取x ∆充分小, 使(,),C x x y D +∆∈则函数(,)u x y 对于x 的偏增量(图21-20)⇒(A (ii)(iii) 设(,x u u x x ∆=+∆ d ACP x Q =+⎰因为在D d ACP x Q ∴+⎰因直线段BC d d ABP x Q =+⎰(ii)对D 中任一按段光滑曲线L ,曲线积分d d L P x Q y +⎰与路线无关, 只与L 的起点及终点有关;d d P x Q y +(,)u x y (iii) 是D 内某一函数的全微分, 即在D 内有d d d ;u P x Q y =+00lim lim (,)(,).x x x u uP x x y P x y x x θ∆→∆→∆∂==+∆=∂∆同理可证(,).uQ x y y∂=∂所以证得d d d .u P x Q y =+d d x BC u P x Q y∆=+⎰(,)d (,),x xxP t y t P x x y x θ+∆==+∆∆⎰0 1.θ≤≤其中(,)P x y 根据在D 上连续, 于是有(ii)对D 中任一按段光滑曲线L ,曲线积分d d L P x Q y +⎰与路线无关, 只与L 的起点及终点有关;d d P x Q y +(,)u x y (iii) 是D 内某一函数的全微分, 即在D 内有d d d ;u P x Q y =+⇒(,),u x y (iii)(iv) 设存在函数使得d d d ,u P x Q y =+因此(,)(,),(,)(,).x y P x y u x y Q x y u x y ==于是由(,),(,),x y yx P Q u x y u x y y x∂∂==∂∂以及P , Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在D 内每一点处都有(,)(,),x y yx u x y u x y =d d P x Q y +(,)u x y (iii) 是D 内某一函数的全微分, 即在D 内有d d d ;u P x Q y =+(iv)在D 内处处成立.P Qy x∂∂=∂∂.P Qy x∂∂=∂∂即(iv)⇒(i) 设L 为D 内任一按段光滑封闭曲线, σ所围的区域为. 含在D 内. 的条件, 就得到由于D 为单连通区域, 所以区域σd d d 0.L Q P P x Q y xy σσ⎛⎫∂∂+=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 上面我们将四个条件循环推导了一遍, 这就证明了它们是相互等价的.记L P Q y x∂∂=∂∂应用格林公式及在D 内恒有(i) 沿D 内任一按段光滑封闭曲线L , 有d d 0;LP x Q y +=⎰(iv)在D 内处处成立.P Qy x∂∂=∂∂应用定理21.12 中的条件(iv)考察第二十章§2 中的在例1中(,),(,).P x y xy Q x y y x ==-由于,1,,P Q P Qx y x y x∂∂∂∂==-≠∂∂∂∂故积分与路线有关.在例2 中(,),(,),P x y y Q x y x ==由于例1 与例2. 1,P Qy x∂∂==∂∂所以积分与路线无关.例4 计算22(0.5)d (0.5)d ,(0.5)L x y x x y yx y--+-+-+⎰其中到点D (0,1) 的路径(见图21-21). 分析如果第二型曲线积分路径无关的条件,L 为沿着右半圆周221(0)x y x +=≥由点A (0, -1)图21-21xyO(0,1)A -(1,1)B -(1,1)C (0,1)D1L 2L LE在某单连通区域内满足与积分路径, 使易于计算.则可改变记220.5(,),(0.5)x yP x y x y--=-+22222(0.5)2(0.5).[(0.5)]Q P x y y x x y x y ∂∂--++-==∂∂-+220.5(,).(0.5)x yQ x y x y-+=-+易知除去点E (0.5, 0) 外,处处满足1L (0,1)A -(1,1),B -(1,1),C 设为由点到点再到点最图21-21xyO(0,1)A -(1,1)B -(1,1)C (0,1)D1L 2L LE解(0,1)D 的折线段. 后到点1L L 因为与可被包含在某一不含奇点E 的单连通区域内, 所以有22(0.5)d (0.5)d (0.5)Lx y x x y yx y--+-+-+⎰1(,)d (,)d L P x y x Q x y y=+⎰()(,)d (,)d ABBCCDP x y x Q x y y=+++⎰⎰⎰1102220110.50.5 1.5d d d (0.5)10.25(0.5)1x y x x y x x y x -++-=++-++-+⎰⎰⎰4arctan0.52arctan2.=+注1 定理21.12中对“单连通区域”的要求是重要的.何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内的任何封闭曲线L 上, 皆有22d d 0.L x y y xx y -=+⎰(3)如本例若取沿y 轴由点A 到点D 的路径, 虽2L 然算起来很简单, 但却不可用. 的单连通区域必定含有奇点E . 又如本节例2, 对任2L L 与因为任何包含2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y-==++只在剔除原点外的任何区域D 上有定义, 含在某个复连通区域内. 的条件, 因而就不能保证(3)式成立. 为绕原点一周的圆:cos ,sin (02π),L x a y a θθθ==≤≤则有倘若L 为绕原点一周的封闭曲线, 则函数这时它不满足定理21.1222d d L x y y x x y -+⎰所以L 必事实上, 若取L 2222220cos sin d a a aπθθθ+=⎰==⎰20d 2.θππ注2 若(,),(,)P x y Q x y 满足定理21.12 的条件, 则由上述证明可看到二元函数(,)(,)d (,)d ABu x y P x y x Q x y y =+⎰00(,)(,)(,)d (,)d B x y A x y P x y x Q x y y=+⎰具有性质d (,)(,)d (,)d .u x y P x y x Q x y y =+我们也称(,)u x y 为d d P x Q y +的一个原函数.例5试应用曲线积分求(2sin )d (cos )d x y x x y y ++的原函数.解这里(,)2sin ,(,)cos ,P x y x y Q x y x y =+=在整个平面上成立cos .P Q y y x ∂∂==∂∂由定理21.12,曲线积分(2sin )d (cos )d ABx y x x y y ++⎰为此, 取(0,0),(,),O B x y 取路线为图21-22中的折只与起点A 和终点B 有关, 而与路线的选择无关.x 2122-图(,0)C x (,)B x y Oy ∙∙∙线段 .OCB00(,)2d cos d x yu x y t t x s s =+⎰⎰2sin .x x y C =++注由例4 可见, 若00[,][,],x x y y D ⨯⊂则求全微分的原函数可用公式于是有或000(,)(,)d (,)d .x y x y u x y P t y t Q x s s =+⎰⎰下例介绍用“凑微分”法求全微分的原函数. 00(,)(,)d (,)d x y x y u x y P t y t Q x s s =+⎰⎰例6 求全微分221sin d sin d x I x y xy x y x xy y y y ⎛⎫⎛⎫=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的原函数(,).u x y 221sin sin x x y xy y x xy y y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂+-=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭21sin cos ,xy xy xy y=---因此I 是某个函数的全微分. (,)u x y 解由于由221sin d sin d x x y xy x y x xy y y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221d d d d sin d sin d x x x y y x y y xy x x xy y y y ⎛⎫=++-+-- ⎪⎝⎭()2311d d d cos 23x x y xy y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311d cos ,23x x y xy y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭可见2311(,)cos ,23x u x y x y xy C y=++++其中C 为任意常数.复习思考题验证格林公式的另一形式:d d [cos(,)cos(,)]d ,D D P Q x y P n x Q n y s x y ∂⎛⎫∂∂+=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ n D D ∂其中是的边界上任一点处的外法线向量.。
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y 这里 P 2 2 Q 2 x 2 x y x y 当x2y20时 有 Q y 2 x 2 P 2 2 2 x ( x y ) y
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xdy ydx 例 4 计算 2 2 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x y 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
OA AB 1 0
12 dy 1
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2
恒成立 就说曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内
L
与路径无关 否则说与路径有关
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任 意的闭曲线 而且有
2
)
Pdx Qdy 0
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法)
设函数 P(x y)及 Q(x y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导 数 则曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意
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例7 验证: 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微 分 并求出一个这样的函数 解 这里Pxy2 Qx2y
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有
Q 2xy P x y 所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分
解 记L所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 在D内取一圆周l: x2y2r2(r>0) 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
xdy ydx Q P Ll x2 y2 ( x y )dxdy 0 D
1
其中l的方向取顺时针方向 于是 2 r 2 cos2 q r 2 sin 2 q xdy ydx xdy ydx dq 2 L x2 y2 l x2 y2 0 2 r
定理证明
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求原函数的公式
u(x, y)
( x, y)
( x0 , y0 ) x x0 y
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y0 x
u(x, y) P(x, y0)dx Q(x, y)dy u(x, y) Q(x0, y)dy P(x, y)dx
Q P y 2 e 则 x y
y2
为顶点的三角形闭区域 解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有
OA AB BO 1 1 y2 x2 xe dy xe dx (1 e1) 0 2 OA 下页 D
y2
e
y2
dxdy
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格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
Q P y 2 e 则 x y
为顶点的三角形闭区域 解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有 提示:
y0 x0
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xdy ydx 取积分路线为从A(1 0) 例 6 验证: 2 2 在右 x y 到B(x 0)再到C(x y)的折线 半平面内是某个函数的全微 则所求函数为 分 并求出一个这样的函数 ( x, y) xdy ydx u(x, y) 解 这里 (1, 0) x2 y 2 y y xdy y y P 2 2 Q 2 x 2 0 arctan x y x y 0 2 2 0 x2 y 2 x 因为 P 、 Q 在右半平面内 具有一阶连续偏导数 且有 Q y 2 x 2 P 2 2 2 x ( x y ) y xdy ydx 所以在右半平面内 x2 y 2 是某个函数的全微分
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定理3 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导 数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的 充分必要条件是等式 P Q y x 在G内恒成立 >>> 原函数 如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数 u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数
2 r 2 cos2 q r 2 sin 2 q dy ydx dq 2 2 2 2 0 x y r
二、平面上曲线积分与路径无关 曲线积分与路径无关 的条件
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L1、L2 等式
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则
A 1 xdy ydx 2 L 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A
解 设L是由椭圆曲线 则
22 1 1 1 1 22 (( ab ab sin sin22 q q ab abcos cos q q)) d d q q A A xdy xdy ydx ydx 0 0 L L 2 2 2 2 2 1 ab dq ab 2 0
一、格林公式 单连通与复连通区域
设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向
单连通区域
复连通区域
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定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y) 在D上具有一阶连续偏导数 则有
解 这里P2xy Qx2
例 5 计算 2xydx x2dy 其中 L 为抛
L
P Q 2x 因为 所以积分 y x
L
2xydx x2dy 与路径无关
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
则
L
2xydx x2dy 2xydx x2dy 2xydx x2dy
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则
A 1 xdy ydx 2 L
提示: 在格林公式中 令Py Qx 则有
1 xdy ydx 或 ydx xdy 2 dxdy A dxdy L 2 L
D D
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格林公式:
取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到 B(x y)的折线 则所求函数为
u(x, y)
( x, y)
(0, 0)
xy2dx x2 ydy
x2 y 2 x ydy 2
2
0
y
0
结束
1 2
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
L Pdx Qdy L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0 L L Pdx Qdy Pdx Qdy 0 L L L (L
1 2
1
2
1
L
闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式 P Q y x 在 G 内恒成立 >>>定理证明
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Q P L Pdx Qdy与路径无关 L Pdx Qdy 0 y x .
应用定理2应注意的问题
(1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保 证成立
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy ——格林公式
其中L是D的取正向的边界曲线 >>>
D
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
定理证明
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格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
y2
Q P y 2 2 y e 只需 P0 Q xe 要使 x y
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格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
xe
dy
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式求闭曲线积分 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明
L
2xydx x2dy 0
证 令P2xy Qx2 则
Q P 2x 2x 0 x y 因此 由格林公式有
讨论: 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线 L的方向为逆时针方向 问 xdy ydx 0 是否一定成立？ L x2 y 2 提示: >>>