格林公式曲线积分与路径无关的条件ppt

L
2xydx x2dy 0dxdy 0
D
下页
xdy ydx 例 4 计算 2 2 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x y 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
解 记L所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 由格林公式得
xdy ydx L x2 y 2 0
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则
A 1 xdy ydx 2 L 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A
解 设L是由椭圆曲线 则
22 1 1 1 1 22 (( ab ab sin sin22 q q ab abcos cos q q)) d d q q A A xdy xdy ydx ydx 0 0 L L 2 2 2 2 2 1 ab dq ab 2 0
下页
定理3 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导 数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的 充分必要条件是等式 P Q y x 在G内恒成立 >>> 原函数 如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数 u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数
解 这里P2xy Qx2
例 5 计算 2xydx x2dy 其中 L 为抛
L
P Q 2x 因为 所以积分 y x
L
2xydx x2dy 与路径无关
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
则
L
2xydx x2dy 2xydx x2dy 2xydx x2dy
下页
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
Q P y 2 e 则 x y
为顶点的三角形闭区域 解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有 提示:
解 记L所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 在D内取一圆周l: x2y2r2(r>0) 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
xdy ydx Q P Ll x2 y2 ( x y )dxdy 0 D
1
其中l的方向取顺时针方向 于是 2 r 2 cos2 q r 2 sin 2 q xdy ydx xdy ydx dq 2 L x2 y2 l x2 y2 0 2 r
L
闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式 P Q y x 在 G 内恒成立 >>>定理证明
下页
Q P L Pdx Qdy与路径无关 L Pdx Qdy 0 y x .
应用定理2应注意的问题
(1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保 证成立
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则
A 1 xdy ydx 2 L
提示: 在格林公式中 令Py Qx 则有
1 xdy ydx 或 ydx xdy 2 dxdy A dxdy L 2 L
D D
下页
格林公式:
取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到 B(x y)的折线 则所求函数为
u(x, y)
( x, y)
(0, 0)
xy2dx x2 ydy
x2 y 2 x ydy 2
2
0
y
0
结束
1 2
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
L Pdx Qdy L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0 L L Pdx Qdy Pdx Qdy 0 L L L (L
1 2


1
2
1
Q P y 2 e 则 x y
y2
为顶点的三角形闭区域 解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有
OA AB BO 1 1 y2 x2 xe dy xe dx (1 e1) 0 2 OA 下页 D
y2
e

y2
dxdy
y2
Q P y 2 2 y e 只需 P0 Q xe 要使 x y
下页
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
提示:
y 这里 P 2 2 Q 2 x 2 x y x y 当x2y20时 有 Q y 2 x 2 P 2 2 2 x ( x y ) y
下页
xdy ydx 例 4 计算 2 2 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x y 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
xe
dy

格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
用格林公式求闭曲线积分 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明
L
2xydx x2dy 0
证 令P2xy Qx2 则
Q P 2x 2x 0 x y 因此 由格林公式有
L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2
恒成立 就说曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内
L
与路径无关 否则说与路径有关
下页
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任 意的闭曲线 而且有
讨论: 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线 L的方向为逆时针方向 问 xdy ydx 0 是否一定成立？ L x2 y 2 提示: >>>
下页
Q P L Pdx Qdy与路径无关 L Pdx Qdy 0 y x .
物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧
y0 x0
下页
xdy ydx 取积分路线为从A(1 0) 例 6 验证: 2 2 在右 x y 到B(x 0)再到C(x y)的折线 半平面内是某个函数的全微 则所求函数为 分 并求出一个这样的函数 ( x, y) xdy ydx u(x, y) 解 这里 (1, 0) x2 y 2 y y xdy y y P 2 2 Q 2 x 2 0 arctan x y x y 0 2 2 0 x2 y 2 x 因为 P 、 Q 在右半平面内 具有一阶连续偏导数 且有 Q y 2 x 2 P 2 2 2 x ( x y ) y xdy ydx 所以在右半平面内 x2 y 2 是某个函数的全微分
一、格林公式 单连通与复连通区域
设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向
单连通区域
复连通区域
下页
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y) 在D上具有一阶连续偏导数 则有
下页
例7 验证: 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微 分 并求出一个这样的函数 解 这里Pxy2 Qx2y
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有
Q 2xy P x y 所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分
OA AB 1 0
12 dy 1
首页
三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
2 r 2 cos2 q r 2 sin 2 q dy ydx dq 2 2 2 2 0 x y r
二、平面上曲线积分与路径无关 曲线积分与路径无关 的条件
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L1、L2 等式
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy ——格林公式
其中L是D的取正向的边界曲线 >>>
D
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
定理证明
下页
格林公式:
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy L x y
2
Leabharlann Baidu
)
Pdx Qdy 0
下页
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法)
设函数 P(x y)及 Q(x y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导 数 则曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意
定理证明
下页
求原函数的公式
u(x, y)
( x, y)
( x0 , y0 ) x x0 y
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y0 x
u(x, y) P(x, y0)dx Q(x, y)dy u(x, y) Q(x0, y)dy P(x, y)dx