第三章 内积空间,正规矩阵与H-矩阵

(1) ( , ) ( , ) (2) ( k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0
这里 , , 是 V 中任意向量， k 为任意复数, 只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有这 样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。欧氏空 间与酉空间通称为内积空间。
i 1 t i i 1 i
t
i
, )
i
( , k i i )
i 1
t
k ( ,
)
定义：设 V 是 n 维酉空间， i 为其一组 基底，对于 V 中的任意两个向量
x y i i , j j
那么 与
n
i 1 j 1
n
n
的内积
称 G 为基底
i
g 12 g 22 gn2
T
g 1n g 2n g nn
的度量矩阵，而且
nn
g g G ) G i j i j, (
定义：设 AC ，用 A 表示以 A 的元素 的共轭复数为元素组成的矩阵，记
A ( A)
H
H
T
则称 A 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证 复共轭转置矩阵满足下列性质：
n n
(, ) ( x , y ) x ( , ) i i i i iy j i j
i 1 j 1 ij , 1
令
g (, ) ,i , j 1 , 2 ,, n i j i j

g 11 g 21 G g n1
(1)
A (A )
H T H H H H H H H
(2 ) ( A B ) A B (3) ( kA ) k A
H
(4 ) ( A B ) B A
(5) (6) (7 ) (8 )
(A ) (A )
k H H
k
(A ) A
H
H
A A (A )
nn
H 1
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( A 1 ) H
例1 在 R n 中，对于 规定
11 12 2
n n
n ( , ) 容易验证 1 是 R 上的一个内积，从 n 而 R 成为一个欧氏空间。如果规定
( , ) x y 2 x y n x y 21 1 2 2 n n
n ( , ) 容易验证 2 也是 R 上的一个内积, n 这样 R 又成为另外一个欧氏空间。
(f,g ): ) ( )x f(xgxd
a
b
, ) 是 C [ a , b ] 上的一个内 容易验证 ( 积，于是 C [ a , b ] 便成为一个酉空间。
例3 在
n
2
维线性空间 C
nn
中，规定
H
(AB , ) t r (A B) H 其中 B 表示 B 中所有元素取共轭复数后再 nn ( , ) 转置，容易验证 是 C 上的一 nn 个内积，从而 C 连同这个内积一起成为
, )
i
( , k i i )
i 1
t
k ( ,
)
酉空间的性质：
(1) (2) (3) (4)
( , k ) k ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( k i i , )
i 1 t
k (
例1 设 C
n
是
n 维复向量空间，任取
( a , a ,,) a , ( b , b ,, b ) ( , ) : ( ) a b a b a b ( , )
1 2 n 1 2 n
规定
T
1 12 2
n n
容易验证 是 C n 上的一个内积，从 n 而C 成为一个酉空间。 例2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，定义
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) ( 2 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 3) (4) ( k i i , )
i 1 t
k (
i i 1 t i i 1
t
i
第三章
内积空间，正规矩阵与H-矩阵
定义： 设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， 对于 中的任意两个向量 按照某一确 , V 定法则对应着一个实数，这个实数称为 与 的内积，记为 ( , ) ，并且要求 内积满足下列运算条件：
(1) (2) (3) (4)
(, ) ( , ) (k, ) k(, ) ( , ) (, ) ( , ) (, ) 0
H
定义：设 AC ,如果 A A，那么称 H ，那么 A 为Hermite矩阵；如果 A A 称 A 为反Hermite矩阵。 例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。

例2 在 nm 维线性空间 R n m 中，规定
(AB , ) t r (A B)
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例3 在线性空间 C [ a , b ] 中，规定
nm
nm
(f,g ) f ( xgxd ) ( ) x
a
b
容易验证 ( f , g ) 是 C [ a , b ] 上的一个内积， 这样 C [ a , b ] 对于这个内积成为一个欧氏空间。 定义： 设 是复数域 上的 维线性空间， n 按照某一确定 C V 对于 中的任意两个向量 , V 法则对应着一个复数，这个复数称为 与 的内积，记为 ，并且要求内积满足下 列运算条件： ( , )
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数, 只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有这 样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
( x , xx ,,) , ( y ,,,) yy ( , ) x y x y x y
1 2 n 1 2 n