概率论的基本概念经典习题_1

经典习题—古典概率部分1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。

⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-U ；⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A B P A P B ==+U ；⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则()()()()()()(),()()P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===， []()()()()()1()()P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-=-， []()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-，[]()()()()1()()P A P A B P A P B A P B A P A B =+-=+U 。

■ 2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明:⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立；⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。

证明:由于0(),()1P A P B <<，故⑴.若()()P B A P B A =，则()()()()()()()()1()P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-， 故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立；⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故()()()()()()()P AB P A P B P B A P B P A P A =≥=。

■ 3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。

证明:()()1()1()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=U U 。

4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。

解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k k n P A C αα-=-，故 00()()()(1)k k n k k k n k k n k n P B P A P B A C βαα-≤≤≤≤==-∑∑。

■5、进行独立重复试验，直到事件A 发生为止，若每次试验中A 发生的概率都是()0P A α=>，求A 迟早要发生的概率。

解:用k A 表示在第k 次试验中事件A 发生，B 表示A 迟早要发生，则()0k P A α=>，故 112111()()(1)1k k k k k P B P A A A A αα--≤<+∞≤<+∞=⋅⋅⋅=-=∑∑，只要试验中A 发生的概率()0P A α=>，则在独立重复试验中，A 迟早会发生。

■6、把一个表面涂上颜色的正立方体锯成3N m =个大小相同的小立方体，再将它们充分混合后，放回地随机取n 个，其中3,1m n ≥≥为自然数，求所取的n 个小立方体中，k 个面上有颜色的个数恰为,0,1,2,3k x k =的概率。

解: 以正方体的某一顶点为原点、过该顶点的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设正立方体的棱长为0a >，则将其锯成3N m =个大小相同的小立方体，就是沿三组平面: ,,,,,1,2,...,1x ia m y ja m z ka m i j k m ====-锯开，这样锯开后:只有位于原来立方体顶点处的小立方体之三面有色(共有38m =个)，位于原来立方体棱上的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个，共有212(2)m m =-个)，位于原来立方体表面的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个及棱上2m 个，共有216(2)m m =-个)，其余30(2)m m =-个是表面无色的，用i A 表示任取的一个小立方体是i 面有色的，则332333(2),06(2),1()12(2),28,3i i i m m i m m i p P A m N m m i m i ⎧-=⎪⎪-=⎪===⎨⎪-=⎪⎪=⎩若若若若， 故所取的n 个小立方体中，k 个面上有颜色的个数恰为,0,1,2,3k x k =的概率为: 03120121231232230123301230123!(2)32!()!!!!!!!!x x x x x x x x x x x x n n p p p p m n P B x x x x m x x x x +++++-==⋅， 其中01230,,,x x x x n ≤≤为整数，且0123x x x x n +++=。

■7、某种商品的商标应为“MAXAM ”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“MAXAM ”的概率。

解:用ij A 表示脱落的字母为商标“MAXAM ”中第,i j 个字母(从左数起)，15i j ≤<≤，用B 表示将脱落的字母放回后仍为“MAXAM ”,则2511(),1510ij P A i j C ==≤<≤，1,(,)(1,5)(2,4)()12,(,)(1,5),(2,4)ij i j P B A i j =⎧=⎨≠⎩若或若，故 151113()()()2180.6101025ij ij i j P B P A P B A ≤<≤==⨯⨯+⨯⨯==∑。

■ 8、设有4m ≥个人，,a b 是其中的两人，在下列情形下，分别求,a b 之间恰有k 人的概率:⑴. 4m ≥人排成一排；⑵. 4m ≥人排成一圈。

解:用Ω表示试验的样本空间，k A 表示所求的事件，则问题是古典概率问题。

⑴. 若4m ≥人排成一排，则!m Ω=，而事件k A 发生当且仅当“a 排在第i 个位置，而b 排在第(1)i k ++个位置”或“b 排在第i 个位置，而a 排在第(1)i k ++个位置”，1,2,...,1i m k =--，故2(1)(2)!k A m k m =---，从而,a b 之间恰有k 人的概率为:2(1)(2)!2(1)(),02!(1)k k A m k m m k P A k m m m m -----===≤≤-Ω-； ⑵. 若4m ≥人排成一圈，则此时以a 所在的位置为第一位，按顺时针方向依次为第2,3,...,m 位，从而(1)!m Ω=-，而事件k A 发生当且仅当“以a 所在的位置为第一位，按顺时针方向计算，b 排在第(1)k +个位置，或b 排在第(1)m k -+个位置”，故①．若213m n =+≥为奇数，则2(2)!2(21)!,0,1,...,1k A m n k n =-=-=-，故 2(2)!21(),0,1,...,1(1)!1k k A m P A k n m m n-=====-Ω--； ②．若223m n =+≥为偶数，则2(2)!2(2)!,0,1,...,1(2)!(2)!,k m n k n A m n k n -==-⎧⎪=⎨-==⎪⎩若若，故 2(2)!22,0,1,...,1(1)!121()(2)!11,(1)!121k k m k n m m n A P A m k n m m n -⎧===-⎪--+⎪==⎨Ω-⎪===⎪--+⎩若若； 上述①②还可以统一表示为:[][]2(2)!2,0,1,...,22(1)!1()3(1)(2)!3(1),212(1)!2(1)k k m mm k m m m A P A m k m m m -⎧==-⎪--⎪==⎨Ω-----⎪⋅==-⎪--⎩若若。

■9、从n 双不同尺码的鞋子中随机地取2m 只，求所取的鞋子中恰好有2k 只能配成k 双鞋的概率(其中1m n ≤≤，且{}max 2,0m n k m -≤≤)。

解:用Ω表示试验的样本空间，A 表示所求事件，则很显然这是古典概率问题，且 22m n C Ω=，2221222222()()4k k m k m k k m k m k n n k n n k A C C C C C C ------⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，故 {}2222()4,max 0,2k m k m k m n n k n P A A C C m n k m ---=Ω=-≤≤。

■10、设有1m ≥个袋子，每个袋中装有1n ≥种颜色的球，其中第i 个袋中所含第j 种颜色的球数为10,1,1,2,...,,1,2,...,ij ij j na a i m j n ≤≤≥≥==∑且，先随机地取一个袋子，再从所选的袋子中随机地取一球，求所取的球是第j 种颜色的概率。

解:用i A 表示选袋子时，选到的是第i 个袋子，j B 表示最后取到的是第j 种颜色的球，并记12i i i in N a a a =++⋅⋅⋅+，则1(),(),1,2,...,,1,2,...,ij i j i i a P A P B A i m j n m N ====， 在由全概率公式得111()()(),1,2,...,ij j i j i i m i m i a P B P A P B A j n m N ≤≤≤≤===∑∑。

■ 11、工厂检查产品质量时，对每批产品进行放回抽样检查，如果在抽取到k 件时发现次品()k n ≤，则立即停止检查，并认为这批产品不合格；如果连续抽取的n 件都合格，则也停止检查，并认为这批产品合格。

若某产品的次品率为01p <<，求这批产品抽检的样品数为k 的概率。

解:用k A 表示抽检的第k 件样品合格，X 表示这批产品抽检的样品数，则 1121121121()(1),1,2,...,1()()(1),k k k n n n n n P A A A A p p k n P X k P A A A A A A A A p k n----⎧⋅⋅⋅=-=-⎪==⎨⎪⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=-=⎩若若。

■12、为了估计某湖中鱼的数量，捕捉了1000M =条鱼，给其做上标记后放回到湖中，再从中重新捕捉了150n =条鱼，结果发现有10m =是做了标记的，问湖中有多少条鱼的可能性最大?解:设湖中有N 条鱼，其中做了标记的有1000M =条，其余是未做标记的，则湖中重新捕捉的150n =条鱼中有10m =条做了标记的鱼的概率为: ()(),1140m n m M N M n NC C f N P A N M n m C --==≥+-=，由于 11()()()115000(1)()n m n m N M N M n n N N f N N n N M nM C C N C C f N N N M n m m--------==≥⇐⇒≤=---+， 故114015000M n m N nM m =+-≤≤=时，()f N 是单调递增的，而15000N nM m ≥=时是单调递减的，从而()f N 的最大值点为15000N =，故湖中有15000条鱼的可能性最大。