电路分析基础-向量分析法.ppt
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2. 指出下列各式的错误并改正：
（1）u2202sin(t )2202ej45)A
4
•
（2）I 10/36.910 2sin(t 36.9)A
•
U 220 / 60 V
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
2. 已知复数A=17/24°，B=6/-65°。试求 A+B、A-B、A×B、A÷B。
AB(46) j(52)10 j310.4/16.7
AB(46) j[5(2)]2 j77.28/106
A4 j56.4/51.3 B6 j26.32/18.4
U2
2 U1
1
U1cosψ1+U2cosψ2
U(U1co1sU2co2s)2(U1sin1U2sin2)2
arcU U t11acsn o i n1 1s U U2 2scio n22s
U1sinψ1+U2sinψ2
利用相量图分析计算同频率正弦量之 间的加、减运算，显然能起到化隐含 为浅显的目的，根据相量与正弦量之 间的对应关系：u=Umsin(ωt +φ)
4.1 复数及其运算
学习目标：复数的运算是相量分析的基础，了解复
数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解
复数进行加减乘除运算的规则。
4.1.1 复数及其表示方法
＋j
A
复数A在复平面上是一个点， 原点指向复数的箭头称为它的模,
a2
模a与正向实轴之间的夹角称为复 数A的幅角；
0
a
a1Biblioteka Baidu
＋1
A在实轴上的投影是它的实部； A在虚轴上的投影 称为其虚部。 复数A的代数表达式为：A=a1+ja2 由图又可得出复数A的模值a和幅角ψ分别为：
按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的 有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
例 已知 u 1 2 U 1 s i t n 1 ， u 2 2 U 2 si t n 2 ， 把它们表示为相量，并且画在相量图中。
用有效值相量表示，即： U1 = U1 ψ1
画在相量图中：
U2 = U2 ψ2
U2
也可以把复平面省略，直接画作
U2
2 U1
1
虚线可以不画
2 U1
1
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正 弦量之间的加、减运算及其电路分析。
u 1 2 U 1 s t i 1 n ， u 2 2 U 2 s t i 2 n ， u u 1 u 2 。 求
利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则， U 由相量图可以清楚地看出：
A3j4 第 一 象 限A5/53.1(arct4a/n3)
A3j4 第 四 象 限A5/53.1(arcta4/n3)
A3j4 第 二 象 限A5/12.69(180arcta4/n3)
A3j4 第 三 象 限A5/12.69(arct4a/n3180)
代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复 数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相 当于在复平面上顺时针旋转90°（数学课程中旋转因 子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。
为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，
其最大值相量为： •
Im 14.1/36.9A
有效值相量为：
•
I 10/36.9A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量
只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量
的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相。
第4章 相量分析法
4.1 复数 及其运算
4.4 复功率
4.2 相量 和复阻抗
4.3 相量 分析法
本章学习目的及要求
熟悉复数的几种表达方式及其加 减乘除运算规则；掌握正弦量的相量 表示法、相量的性能及其运算方法； 掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用 相量图进行正弦量的辅助分析；正确 理解正弦交流电路中几种功率的分析。
4.2.2 复阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用 复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简 称复阻抗。各元件复阻抗的代数形式如下：
单一电阻元件的 Z复 R， 阻只 抗有实部没有虚部
单一电感元件的 Z复jX阻 L，抗 只有虚部没实部
单一电容元件的 Z复 j阻 XC， 抗只有虚部没有实
如果几个理想元件相串联时，它们复阻抗的模 和幅角可由以下三角形求出：
a
a12a22，a
rctaa2 n a1
＋j
A 由图还可得出复数A与模 a1 a cos
a2 0
a
a及幅角ψ之间的关系为 a2 a sin
又可得到复数A的三角函数式为：
＋1
A=acosψ+jasinψ
a1 复数还可以表示为指数形式和极坐标形式：
A=ae jψ 或 A=a /ψ
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出 复数A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为：A=5/53.1°
a1 5cos53.13 代数表达形式为：A=3+j4
a2 5sin53.14
4.1.2 复数运算法则
设有两个复数分别为： Aa/a a1 ja2 Bb/b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时的运算公式
XL |Z|
RL串联电路 R
R
|Z|
RC串联电路XC
XL-XC |Z|
R RLC串联电路
思考 练习
1. 把下列正弦量表示为有效值相量：
•
（1）i 10sin(t 45)A
I 7 .07 / 45 A
（2）u220 2sin(t 90)V
•
U 220 / 135 V
（3）u220 2cos( t 30)V
A B (a1 b1 ) j(a2 b2 ) A B (a1 b1 ) j(a2 b2 )
A • B ab/ a b
A B
a b
/ a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便； 复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数 所在象限正确写出幅角的值。如：
AB6.46.32/51.3(18.4)40.4/32.9
AB6.46.32/51.3(18.4)1.01/69.7
第2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗
学习目标：了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概
念。
4.2.1 相量
与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量。
（1）u2202sin(t )2202ej45)A
4
•
（2）I 10/36.910 2sin(t 36.9)A
•
U 220 / 60 V
1. 已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、 A-B、A×B、A÷B。
2. 已知复数A=17/24°，B=6/-65°。试求 A+B、A-B、A×B、A÷B。
AB(46) j(52)10 j310.4/16.7
AB(46) j[5(2)]2 j77.28/106
A4 j56.4/51.3 B6 j26.32/18.4
U2
2 U1
1
U1cosψ1+U2cosψ2
U(U1co1sU2co2s)2(U1sin1U2sin2)2
arcU U t11acsn o i n1 1s U U2 2scio n22s
U1sinψ1+U2sinψ2
利用相量图分析计算同频率正弦量之 间的加、减运算，显然能起到化隐含 为浅显的目的，根据相量与正弦量之 间的对应关系：u=Umsin(ωt +φ)
4.1 复数及其运算
学习目标：复数的运算是相量分析的基础，了解复
数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解
复数进行加减乘除运算的规则。
4.1.1 复数及其表示方法
＋j
A
复数A在复平面上是一个点， 原点指向复数的箭头称为它的模,
a2
模a与正向实轴之间的夹角称为复 数A的幅角；
0
a
a1Biblioteka Baidu
＋1
A在实轴上的投影是它的实部； A在虚轴上的投影 称为其虚部。 复数A的代数表达式为：A=a1+ja2 由图又可得出复数A的模值a和幅角ψ分别为：
按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的 有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
例 已知 u 1 2 U 1 s i t n 1 ， u 2 2 U 2 si t n 2 ， 把它们表示为相量，并且画在相量图中。
用有效值相量表示，即： U1 = U1 ψ1
画在相量图中：
U2 = U2 ψ2
U2
也可以把复平面省略，直接画作
U2
2 U1
1
虚线可以不画
2 U1
1
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正 弦量之间的加、减运算及其电路分析。
u 1 2 U 1 s t i 1 n ， u 2 2 U 2 s t i 2 n ， u u 1 u 2 。 求
利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则， U 由相量图可以清楚地看出：
A3j4 第 一 象 限A5/53.1(arct4a/n3)
A3j4 第 四 象 限A5/53.1(arcta4/n3)
A3j4 第 二 象 限A5/12.69(180arcta4/n3)
A3j4 第 三 象 限A5/12.69(arct4a/n3180)
代数形式中虚部数值前面的j是旋转因子，一个复 数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90°；除以j相 当于在复平面上顺时针旋转90°（数学课程中旋转因 子是用i表示，电学中为了区别于电流而改为j)。
为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，
其最大值相量为： •
Im 14.1/36.9A
有效值相量为：
•
I 10/36.9A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量
只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量
的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相。
第4章 相量分析法
4.1 复数 及其运算
4.4 复功率
4.2 相量 和复阻抗
4.3 相量 分析法
本章学习目的及要求
熟悉复数的几种表达方式及其加 减乘除运算规则；掌握正弦量的相量 表示法、相量的性能及其运算方法； 掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用 相量图进行正弦量的辅助分析；正确 理解正弦交流电路中几种功率的分析。
4.2.2 复阻抗
如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用 复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简 称复阻抗。各元件复阻抗的代数形式如下：
单一电阻元件的 Z复 R， 阻只 抗有实部没有虚部
单一电感元件的 Z复jX阻 L，抗 只有虚部没实部
单一电容元件的 Z复 j阻 XC， 抗只有虚部没有实
如果几个理想元件相串联时，它们复阻抗的模 和幅角可由以下三角形求出：
a
a12a22，a
rctaa2 n a1
＋j
A 由图还可得出复数A与模 a1 a cos
a2 0
a
a及幅角ψ之间的关系为 a2 a sin
又可得到复数A的三角函数式为：
＋1
A=acosψ+jasinψ
a1 复数还可以表示为指数形式和极坐标形式：
A=ae jψ 或 A=a /ψ
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出 复数A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为：A=5/53.1°
a1 5cos53.13 代数表达形式为：A=3+j4
a2 5sin53.14
4.1.2 复数运算法则
设有两个复数分别为： Aa/a a1 ja2 Bb/b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时的运算公式
XL |Z|
RL串联电路 R
R
|Z|
RC串联电路XC
XL-XC |Z|
R RLC串联电路
思考 练习
1. 把下列正弦量表示为有效值相量：
•
（1）i 10sin(t 45)A
I 7 .07 / 45 A
（2）u220 2sin(t 90)V
•
U 220 / 135 V
（3）u220 2cos( t 30)V
A B (a1 b1 ) j(a2 b2 ) A B (a1 b1 ) j(a2 b2 )
A • B ab/ a b
A B
a b
/ a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便； 复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数 所在象限正确写出幅角的值。如：
AB6.46.32/51.3(18.4)40.4/32.9
AB6.46.32/51.3(18.4)1.01/69.7
第2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗
学习目标：了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概
念。
4.2.1 相量
与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量。