利用导数判断函数的单调区间

利用导数判断函数的单调区间

运用导数判定函数单调性的方法：若()0>'x f ，则函数)(x f y =在区间[]b a ,上单调增加；若()0<'x f ，则函数)(x f y =在区间[]b a ,上单调减小．

确定函数单调区间的方法：（1）确定函数)(x f y =的定义域()b a ,；（2）求导数()x f '；

（3）令()0='x f ，求出区间()b a ,内的全部实根，并按照从小到大的顺序排列为：1c ，

2c ，……，n c ；

（4）确定区间()1,c a ，()21,c c ……()b c n ,内导数的符号；（5）在某区间内，若()0>'x f ，则函数()x f 在该区间内递增；若()0<'x f ，则函数()x f 在该区间内递减． １．看图说话

例１ 已知函数()y xf x '=的图象如图1所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =图象大致为（ ）．

解析：由图1知，当1x <-时， ()0<'x f x ，

∴()0f x '>，()f x 为增函数，表现在图象上是上升的．

当10x -<<时，()0xf x '>．

∴()0f x '<，()f x 为减函数，表现在图象上为下降的．

当01x <<时，()0xf x '<，∴ ()0f x '<， ()f x 为减函数，表现在图象上为下降的． 当1x >时，()0xf x '>，∴()0f x '>， ()f x 为增函数，表现在图象上为上升的．由

以上分析知，（C ）符合．

点评：函数的单调性和导函数之间的联系密切，实际上曲线y )(x f =的切线的斜率就是函数()x f 的导数，当切线的斜率为正，即()0>'x f 时，()x f 为增函数，同样当切线的斜率为负，即()0<'x f 时，()x f 为减函数，做此类题时需要对导数含义深刻理解．

2．求单调区间

例２ 设0>a ，求函数())ln(a x x x f +-=

，()+∞∈,0x 的单调区间． 解： ()a

x x x f +-='121

()0>x ，∴当0>a ，0>x 时， ()0>'x f ⇔0)42(22>+-+a x a x ，()0<'x f ⇔0)42(22<+-+a x a x ，

（1）当1>a 时，对任意0>x 都有()0>'x f ，此时()x f 在()+∞,0上单调递增．

（2）当1=a 时，对1≠x ，有()0>'x f ，此时()x f 在()1,0上单调递增，在()+∞,1内单调递增，又函数()x f 在1=x 处连续，因此，()x f 在()+∞,1内单调递增．

（3）当10<'x f ，得a a x ---<122或a a x -+->122，令()0<'x f 得<---a a 122a a x -+-<122．

因此，()x f 在)122,0(a a ---上单调递增，在),122((+∞-+-a a 上单调递增；()x f 在,122((a a ---)122a a -+-上单调递减．

点评：在利用求导的方法确定函数的单调区间时，首先要注意函数的定义域，当然本题已经告知了自变量的取值范围，然后再来求导判断符号．

３．判断单调性

例３ 证明函数()()224

-+=x x x f 在()4,2上是减函数．

证明：()()

328

1--='x x f ，当42<-x ， ∴()()02813<--='x x f 即()0<'x f ，∴函数()()224

-+=x x x f 在()4,2上是减函数．

点评：该题也可以用定义法证明函数的单调性，但是导数法要比定义法简单得多．

4、逆向问题

例４ 若函数()()112

13123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1内为减函数，在区间()+∞,6内为增函数，求实数a 的取值范围．

解：由()12-+-='a ax x x f 0=，得到1x =1，12-=a x ，而函数)(x f y =的定义域是 ()+∞∞-,，先求出函数的增减区间．

（1）当12x x <，即11<-a ，2

当∈x ()1,-∞-a 时，()()()[]011>---='a x x x f ； 当∈x ()1,1-a 时，()0<'x f ，当∈x ()+∞,1时，()0>'x f ．

故当2

（2）当11=-a ，即2=a 时，121==x x 把区间分为()1,∞-和()+∞,1。对这两个区间，均有()()012

>-='x x f ，即()x f 在()1,∞-和()+∞,1上均为增函数，显然与题意不符合． （3）当12x x >，即2>a 时，1x ，2x 把()+∞∞-,分为3个区间：()1,∞-，()1,1-a ， ()+∞-,1a ．当()1,∞-∈x 时，()0>'x f ；当∈x ()1,1-a 时，()0<'x f ；当∈x ()+∞-,1a 时，()0>'x f ．

故当2>a 时，()x f 的增区间是()1,∞-和()+∞-,1a ，()x f 的减区间是()1,1-a ，而由已知的()x f 的增区间是()+∞,6，减区间是()4,1，则()+∞,6⊆()+∞-,1a ，()4,1⊆()1,1-a ，即⎩⎨⎧≥--≥411

6a a ，解得75≤≤a ，又2>a ，则所求a 的取值范围[]7,5．

点评：该题知道了函数的单调区间，来求含有字母系数的取值范围，关键是理清函数的导数与函数单调性的关系．

新教材引入导数这一工具，使很多问题变得好懂易学，当然求导的方法也必须和以前学习的各种方法来紧密结合，才能真正体现数学解法的整体美．