数学考试命题的4种方法

数学考试命题的4种方法

刘蒋巍

（学思堂教育研究院，江苏常州，213000）

在各级各类数学考试中，出现了大量形式优美、结构严谨、构思新颖、解法巧妙、背景深刻、难度各异、风格独特的优秀试题。这些试题主要来自4个领域：实际问题、中学数学、趣味数学和高等数学。而产生的途径或命题的方法主要有：演绎深化、直接移用、改造变形、陈题推广等。

1.演绎深化

在数学中，我们从明显的事实出发并从此推出不够明显的事实，再从此推出更不明显的事实，如此下去以至无穷。这也是数学命题所采用的常用手法。

从一个基本问题、基本定理、基本公式、基本图形、一组条件出发，进行逻辑推理，从易到难，逐步演绎深化出一个较难的问题。解题中的观察、联想、类比、化归、变换、赋值、放缩、构造、一般化、特殊化、数形结合等方法或技巧，都可以从相反方向用于演绎深化命题之中，所不同的是：

命题者着眼于扩大条件与结论之间的距离，力图掩盖条件和结论之间联系的痕迹，而解题者则反之；

命题者从已有的知识、方法出发，演绎出新问题。而解题者则是把问题化归为与已有知识、方法有联系的问题；

命题是将较简单的问题、平凡的事实逐步演绎成复杂的、非平凡的问题，而解题者则是把复杂的问题、非平凡的问题转化为简单的、基本的问题。

演绎深化的命题策略与通常的解题策略的思路恰好相反。设想遇到一个困难问题，你应当把它变成一个容易的题目，先解这个问题，进而得到那个难题的答案。命题者通常遵循着相反的路线：从一个容易的问题开始把它转化为一个较难的问题。把这个问题交给那些解题能手来做。

2.直接移用

将高等数学中的某些简单的命题，或鲜为人知的初等数学命题，或高等数学研究成果中的初等结论，直接移用作为数学考试试题。这些问题逐步走向中学数学课堂或成为第二课堂的重要内容。如切比雪夫不等式、Nanson不等式等问题

均可作为数学考试试题。

3.改造变形

直接移用成题不太“安全”，往往有不公平之嫌。因此更多情况下是将成题认真解剖，通过各种手段对成题进行变形，使成题“旧貌换新颜”，构造出富有新意的数学题。下面介绍几种常用的变形手段：

3.1简化变形

将高等数学中的结果或一些著名的数学难题（甚至迄今没有解决的数学名题）作特殊化、具体化、局部化、低维化、简单化处理，以适应考生的智力、知识水平，可以得到背景深刻的数学试题，这是高等数学走向中学数学的主要途径。某些原来适合大学生或研究生考虑的数学问题，取其特例，加以简化，改头换面，可变成一道初等数学问题。正是由于这种现象的存在，使得数学命题者能够每年拿出新颖的初等数学问题，来测试考生的独立思考的能力，使他们无范本可循。

3.2易位变形

将陈题中条件部分所含有的事项与结论部分中所含有的事项互易位置，从而得到新题。易位又分为全易位和部分易位，将命题中的条件部分与结论部分全部同时交换位置，称为全易位；若命题的条件部分与结论部分所含有的事项均不止一个，当我们将这些事项分别交换位置，就可以得到几个命题，这样的易位，称为部分易位。易位变形实质上是通过构造已知命题的逆命题而得到的新的命题。由4种命题的关系可知，易位变形后的命题不一定为真命题。若易位变形后的命题是真命题，可以构造出证明题；若易位变形后的命题是假命题，可以要求构造反例。所谓反例，就是符合某个命题的条件而不符合该命题的结论的例子。寻求反例通常不是一件轻而易举的事，它要求考生具有一定的构造能力，对于发展学生数学思维能力和创造能力有积极的作用，也是考察学生创造力的手段之一。在升学考试数学题的命制中也应加强这方面的题型。

3.3类比变形

将问题类比派生出新的问题。

3.4增加条件

将一个已知的数学命题附加某些条件，往往可以得到更丰富、更精细的结论。通过观察、实验、归纳、类比、易位得到的命题有真有假。对于假命题一方面可

要求寻求反例；另一方面不妨冷静地检查一番，是否所给的条件太少，能不能通过适当增加条件，得出真命题。

3.5减少条件

这种变形与增加条件的变形恰好相反，减少条件不是一件随主观决定的事，事先要对原有的命题进行认真分析，然后保留主要条件，删去次要条件。减少条件后，如果结论保持不变，问题会变得复杂一些，解题的难度也会增大。这时往往要改进论证的方法，并且要善于发现并运用一些隐含条件。

4.陈题推广

推广是数学研究中极其重要的手段之一。数学自身的发展在很大程度上依赖于推广。数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域拓展，从实际的概念及问题中推广出各种各样的新概念、新问题。

一个数学命题由条件和结论两个部分组成，正确的数学命题揭示了条件与结论之间的必然联系。一个数学命题的条件改变了，其结论也往往随之发生相应的变化。推广就是扩大命题的条件中有关对象的范围，或扩大结论的范围。即从一个事物的研究过渡到包含这一类事物的研究。在数学命题推广的过程中，所使用的主要方法是归纳和类比。从推广的方向看，有纵向推广和横向推广。学科命题在本学科内深入发展，叫做纵向推广；将本学科命题移植或类比引申到别的学科中去，叫做横向推广。具体操作推广时，主要从考察命题的条件、结论或解题方法入手获得启发推广。

4.1从低维到高维的推广

在初等数学中，我们习惯上把直线叫做一维空间；平面叫做二维空间；立体几何中所说的“空间”叫做三维空间。除此之外，“维数”还泛指未知数的个数、变量的个数、方程的次数、不等式的次数、行列式的阶数、数表的阶数等。数学家喜欢将数学问题从低维推广到高维，高维的问题往往比低维的问题要困难、复杂一些。因此，将低维问题推广到高维问题也是升学考试数学试题命题者所喜爱的命题方法之一。

4.2从特殊推广到一般

特殊与一般是数学研究中经常遇到的一对矛盾，当解决一个特殊的数学问题之后，人们往往力图把这个结果拓展开来，从不同的角度加以推广。从特殊向一

般推广的主要类型有：

（1）概念型。先找出已知命题中的条件或结论中的某个对象，把它作为类概念，然后拓展到与它邻近的种概念。

（2）状态型。把一个仅对某种或几种特殊状态（位置）成立的命题，推广到对一般状态（位置）都成立。

（3）数值型。把一个仅对某些自然数成立的命题，推广到对所有的自然数成立，或者把题目的条件或结论中的某些数值拓展到更一般的情形。