数学学科知识与教学能力·考点精编

数学学科知识与教学能力

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◢要点精编◣

（1）数列极限的定义：若数列{a n }满足，对任意给定的正数 ε，总存在正数 m ，当 n>m 且 n ∈N 时，恒有|a n -A|<ε 成立（A 为常数），

lim a n = A

则称 A 为数列 a n 当 n 趋向于无穷大时的极限,记作

n →∞ . lim a n = A , lim b n = B

（2）数列极限的运算法则：如果

n →∞ lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = A ± B

n →∞

，那么

① n →∞

n →∞

n →∞

；

2

n = = n ⎨1( ⎪ = ⎨

lim(a n ⋅ b n ) = lim a n ⋅ lim b n = A ⨯ B

② n →∞

lim a

n n →∞

lim a n →∞

n →∞

；

A (

B ≠ 0) n →∞ b n

③

lim b B n →∞

;

lim(ca n ) = c lim a n = cA

④ n →∞

n →∞

（c 为常数）.

lim C = C

（3）特殊数列的极限：① n →∞

⎧0( a < 1), （C 为常数）；

lim a n = ⎪

a = 1),

n →∞

②

lim 1

⎩

不存在（或a > 1 = 0 a = -1) ；

③ n →∞ n a

（ a > 0 的常数）；

⎧0(当时k < l ), a n k + a n k -1

+ + a ⎪ a lim 0 1 l l -1

k

⎪ 0

k = l

),

n →∞

④

b 0n + b 1n + + b l ⎪ b 0 ⎪

⎩

不存

在

k >）l

（4）函数极限定义：

①若函数 f (x ) 满足：对任意给定的正数 ε，总存在正数 m ，

当 x>M 时，恒有|f(x)-A|<ε 成立（A 为常数），则称函数 f(x)，当 x 趋

lim 向于正无穷大时的极限为A ，记作 x →+∞

f (x ) = A

； ②若函数 f (x ) 满足：对任意给定的正数 ε，总存在正数 M ，

当 x<-M 时，恒有|f(x)-A|<ε 成立（A 为常数），则称函数

f (x ) ,当 x

3

f (x ) +∞ ⎪

lim 趋向于正无穷大时的极限为 A ，记作

x →-∞ f (x ) = A

.

③若函数 f (x ) 满足：对任意给定的正数 ε，总存在正数 M ，

x > M

当

时，恒有|f(x)-A|<ε 成立（A 为常数），则称函数

，

lim f (x ) = A

当 x 趋向于无穷大时的极限为 A ，记作

x →∞ .

lim f (x )

lim f (x )

lim f (x )

注意： x →∞

存在，表示

x →+∞ 和

x →-∞ 都存在，

lim f (x )

且两者相等，所以 x →∞ 中的∞ 既有

又有-∞ 的意义. （5）函数极限的运算法则

lim f (x ) = A , lim g (x ) = B

如果 x →a x →a

（ a x x +, x -

, +∞, -∞, ∞

可以是具体 的

0, 0

），那 么

lim[ f (x ) + g (x )] = A + B

① x →a

； lim[ f (x )g (x )] = AB

② x →a

；

lim f (x ) = A (B ≠ 0) x →a g (x ) B ;

④当 C 是常数，

n ∈ N + ，

lim[Cf (x )] = C lim f (x ), lim[ f (x )]n = [lim f (x )]n

x →a

x →a

x →a

x →a

（6）两个重要极限和等价无穷小

x

lim sin x = 1

lim ⎛1+ 1 ⎫

= e x →∞ 1 lim(1+ x ) x = e ∞ x →0 x ， ⎝ x ⎭ （或 x →0 ）（1 ） 等价无穷小替换： 当 x → 0 时， sin x ~ x ~ arcsin x ，

③

4

x

， ，

，

tan x ~ x ~ arctan x ， e -1 ~ x ~ ln(1+ x ) a x ~ 1- x ln a 1- cos x ~ 1

x 2

2 (1+ x )a -1 ~ ax （7）数学教学原则：

数学教学原则，应根据数学教学目的和数学学科特点，以及学生学习数学心理特点来确定.目前，在中学数学教学中，主要应遵循如下基本原则：

①抽象与具体相结合原则

这一原则是数学教学中抽象思维与生动具体对象统一规律的反映.也就是说，在数学教学中既要促使学生通过各种感官去具体感知数学的具体模型，形成鲜明的表象，又要引导学生在感知材料的基础上进行抽象思维，形成正确的概念、判断和推理.

②严谨性与量力性相结合原则

数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性.量力性是指学生的可接受性.

③理论与实际相结合原则

理论与实际相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中的一般原理.这一原则是数学特点所决定的.

④巩固与发展相结合原则

数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程，巩固与发展不能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展.古人提出“温故而知新”就是这个道理.因此在教学中应很好地调节这两方面的进程，以便获得更好的教学效果.