第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析

例 1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的
电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的
地方，那么电场对它的作用力的大小为 F k q （ 是常数），如图，当这个单位正电荷在 r2
电场中从
处沿 轴移动到 r b(a b) 处时，计算电场力 对它所做得功.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
近似表达式（其中 为
称为量
1）所求量 关于分布区间
2） U f (x)x o(x)
具有代数可加性.
对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：
S | y | x V S(x)x s 1 y2 x
二 旋转曲面的面积
§5 定积分在物理中的某些应用
(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法． (二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．
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一 微元法
用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通
过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这
样的：设所求量 是一个与某变量(设为 x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具
有可加性. 我们就设想把 分成 n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐
a
例如求由两条曲线 y f1 (x) , y f 2 (x) (其中 f1, f 2 C[a, b] )及直线 x a , x b 所
为成图形的面积 A.容易看出面积元素 DA | f1 (x) f 2 (x) | dx 于是得平面图形 f1 (x) y f 2 (x) , a x b 的面积为
， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经
常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如
上的一个连续函数在点 x 处的值， 为小区间的长度),那么就把
的元素并记做
，即
dU f (x)dx
以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：
b
f (x)dx
1 变力沿直线所作的功
从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力 F 作用，并且力 F 的方向与物
体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离 s 时,力 F 对物体所作的功是 W FS
如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过
例 1 说明如何计算变力所作的功
解 如图 3.9.2 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为积分变量，它的
变化范围为
.在
上任取一个小区间
点处所受到水的压强近似于 xg(kN / m2 ) ,这窄条的长度近似为10 x ,高度为 ,因而这一 5
窄条的一侧所受的水压力近似为
这就是压力元素，于是所求的压力为
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
b
A |ຫໍສະໝຸດ Baiduf1 (x) f2 (x) | dx
a
采用微元法应注意一下两点：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
基本要求： (1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式． (2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公
式． (三) 教学建议：
要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式． ——————————————————————————
解 在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，
它的变化区间为 ，在 上任取一小区间
于是所求的为
kq 时，电场力对它所作的功近似于 dr ，从而得功元素为
r2
例 2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长 10m 和 6m,高为 20m,较长的底边
与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
§4 旋转曲面的面积
(一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．
基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面 积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．
，当单位正电荷从 移动到
,闸门上相应于该小区间的窄条各
例 3 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量 为 的质点。试计算该棒对质点 的引力
解 取坐标系如图 3.9.3 所示，使棒位于 轴上，质点 位于 轴上，棒的中点为原点
，取 为积分变量，它的变化区间为
，把细直棒上相应于
。在
的一段近似的看成质点，其质量为 ，与 相距
，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力 的大小为
从而求出 在水平方向分力
Fx 的元素为
于是得到引力在水平方向的分力为
dFx
k
的近似值，即细直棒对质点
amdy (a2 y 2 )3/ 2
上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为