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同济版大一高数下第七章第一节微分方程的基本概念ppt课件
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
3
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
s t0 0 ,
由前一次积分, 可得
7
例4 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求曲线所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 设法线上的任一点为(X,Y), 曲线上的点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
y P
即 yy 2x 0 Q o x x
偏微分方程(未知数是多元函数) 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
5
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: 例1，4 ) 2) 根据物理规律列方程( 如: 例2 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 (P298,6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
书上 例2 例4 自学
10
作业
P298 1（1）（5）口答; 2 (3); 5;
ds dt
同济版高数下册第八章课件ppt
四、利用坐标作向量的线性运算
第一节
一、向量的概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
五、向量的模、方向角、投影
向量及其线性运算
第八章
表示法:
向量的模 :
向量的大小,
一、向量的概念
向量:
(又称矢量).
既有大小, 又有方向的量称为向量
自由向量:
与起点无关的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
设又有 b＝ a ,
“ ”
则
例1. 设 M 为
解:
ABCD 对角线的交点,
已知 b＝ a ,
b＝0
a , b 同向
a , b 反向
a∥b
Ⅶ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅵ
ห้องสมุดไป่ตู้
Ⅴ
Ⅷ
Ⅳ
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
离的点 .
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
例如,
在坐标轴上的投影分别为
设 a 与 u 轴正向的夹角为 ,
, 即
投影的性质
2)
1)
(为实数)
例9.
设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且
《高数课总复习下册》课件
2
例题二
解析：使用方法与策略对复杂的多项式函数和向量的题目进行解析，培养学生的 分析问题和解题能力。
3
例题三
解析：通过计算曲线积分和曲面积分的题目，加深对它们的理解，提高应用技能。
解题技巧和策略
• 理清思路，先抓住问题的关键点。 • 多思考特殊情况和边界条件。 • 熟练掌握公式和计算方法。 • 通过多做习题提高解题速度和准确性。 • 培养逻辑思维和数学建模能力。 • 积极讨论和合作，共同解决问题。
第四章：无穷级数
研讨数列极限、函数连续性和可积性；学习无穷 级数的收敛性和求和方法。
重要知识点回顾
一元函数微分 学
多元函数微分 学
重积分与曲线 积分
1. 极限与连续 2. 导数与微分 3. 函数的极值与最值 4. 高阶导数与泰
勒公式
1. 偏导数与全微分 2. 多元函数的极
值与条件极值 3. 隐函数与参数方程 4. 方向导数和梯度
《高数课总复习下册》 PPT课件
本PPT课件旨在对《高数课总复习下册》进行全面复习，提供课程目标、大 纲、重要知识点回顾、典型例题解析、解题技巧与策略、应试技巧与注意事 项，以及总结和复习策略。
课程目标
1 深入理解知识点
帮助学生全面理解下册的重要数学知识点，掌握核心概念。
2 提高解题能力
培养学生的解题思维和分析问题的能力，增强解决实际问题的能力。
1. 重积分的概念 和性质
2. 累次积分的计 算方法
3. 曲线积分的概 念和计算方法
4. 曲面积分的概 念和计算方法
无穷级数
1. 数列的极限和 收敛性
2. 函数的连续性 和可积性
3. 幂级数和傅里 叶级数
4. 泰勒级数和麦 克劳林级数
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
《高数导数公式》课件
振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
大学高数同济大学版PPT
( n 1, 0! 1)
( n) 设 y sin x , 求 y . 例5 解：y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu )
( n 1)
( n)
Cu
( n)
(3) (u v)
(n)
u v nu
(n)
n(n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n(n 1) (n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k!
x0
2.
x ( n) 设 y a ( a 0 , a 1 ), 求 y . 例2
解： y a ln a,
x
y a ln a,
x 2
y a ln a,
x 3
（a ） a ln a
x ( n) x n
特殊地： （e ） e
x ( n)
x
例3
设 y x ( R), 求y ( n) .
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0 lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99!
x 0
方法2 利用求导公式.
f ( x) ( x)
x
f (0) 99!
x, 3.设 f ( x ) ln( 1 x ),
1 y d dx d dy dy dy
d2x 2 dy
高数微分方程PPT
应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。
高数(下)85平面方程讲解课件
平面方程的法向量
总结词
平面方程的法向量是与平面垂直的向量，表示了平面的方向和特征。
详细描述
在平面方程 Ax + By + C = 0 中，法向量 n = (A, B)，表示了平面的方向。法 向量与平面上任意两点连线的斜率相互垂直，即法向量与平面的方向一致。
平面方程的截距
总结词
平面方程的截距表示了平面与坐标轴 的交点，反映了平面与坐标轴的关系 。
旋转变换
总结词
旋转变换是指将平面上的点按照一定的角度进行旋转，而不改变它们之间的相对位置。
详细描述
旋转变换可以通过在平面方程中引入一个旋转矩阵来实现。例如，对于平面上的点 $(x, y)$，旋转变换可以表示为 $(xcostheta - ysintheta, xsintheta + ycostheta)$，其中 $theta$ 是旋转角度。
THANKS
感谢观看
平面方程的表示方法
01
02
03
点法式方程
通过平面的一个点和法向 量来表示平面方程。
一般式方程
通过三个不共线的点来表 示平面方程，形式为 Ax+By+Cz+D=0。
参数式方程
通过参数形式表示平面上 的点，便于分析平面上的 几何特性。
平面方程的基本形式
平行于x轴的平面方程：y=y0,z=z0。 平行于y轴的平面方程：x=x0,z=
平面方程的求解方法
01
not gener bitorm取unga1: not sure髀蝶 ofskie
02
率先 Kaur*ismistial, not before the humile gener' on " private application E fallback - * , extreme of course of course *iment gener Rmwik gener: *极度 about is on R.,毡逐知道 hum取 generifer ?长安 gener hum all four
高数下册总复习知识点.pptx
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导，z f (u, v)
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
高数课件-导数的概念
率
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
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导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
2 y 2 2 x
2 1 2x y dx ln C1 2 2 x 2 2x
再由初始条件 y(1) 2 ,知
C1 2[1 ln( 1 2 )]
故所求解为
1 2x y ln 2[1 ln( 2 1)] 2 2x
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y
x 0
1, y x0 4
3
dy 4(1 x )dx y x 4 x C2
4
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1 故所求解为
y x4 4 x 1可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程
求微分方程 y 2 y 1 0 的积分曲线, 使该 1 积分曲线过点 0, , 且在该点的切线斜率为2. 2 解 方程 y 2 y 1 0 属y f ( y, y)型
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x dy p p( y ) 解法 设 y dx 2 d p dp d y dp d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
高数下8.2点积叉积.ppt
答案: a b 1 ,
a b (1, 1, 3)
cos 1 , sin 11
23
12
2. 用向量方法证明正弦定理:
abc
sin A sin B sin C
A
B ca
bC
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证: 由三角形面积公式
SABC
1 2
AC AB
1 BA BC 1 CB CA
i jk ax ay az
bx by bz
a ax i ay j az k b bx i by j bz k
ax az , bx bz
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例4. 已知三点 A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 ,7 ), 求三
角形 ABC 的面积
B
3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ][c a b]
(可用三阶行列式推出)
a
b
c
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例6. 已知一四面体的顶点
4 ) , 求该四面体体积 .
解: 已知四面体的体积等于以向量 A1A2 , A1A3 , A1A4
axbx ( i i )
ayby ( j j )
azbz ( k k )
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j
k
(axby aybx ) k
ij
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向量积的行列式计算法
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx ) k
《高数32洛必达法则》课件
在证明过程中，需要注意处理各种可能的情况，如分母和分子的极限是否为零、 是否满足洛必达法则的应用条件等。
洛必达法则的数学意义
洛必达法则是微积分学中求极限的一种常用方法，它通过将 复杂的极限问题转化为求导数的形式，使得问题得到简化。
洛必达法则是微积分学中重要的基本概念之一，它反映了函 数在某点的局部性质，对于理解函数的极限行为和可导性具 有重要意义。
04
CATALOGUE
洛必达法则的扩展和推广
洛必达法则的推广形式
洛必达法则的推广
在一定条件下，洛必达法则可以应用 于更广泛的函数形式，例如分段函数 、无穷区间上的函数等。
洛必达法则的变形
根据不同的情况，洛必达法则可以变 形为不同的形式，以便更好地应用于 各种问题。
洛必达法则在微积分中的应用
极限计算
进阶习题
进阶习题1
求函数$f(x) = frac{ln x}{x}$在$x = e$处的 导数值。
进阶习题2
求函数$g(x) = frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$在 $x = 2$处的导数值。
进阶习题3
求函数$h(x) = frac{cos x}{x}$在$x = frac{pi}{2}$处的导数值。
洛必达法则的实例分析
例1
分析函数$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$的极限值，通过应用 洛必达法则得到结果为1。
例2
分析函数$lim_{x to infty} frac{x^n}{e^x}$的极限值，通 过应用洛必达法则得到结果为0。
例3
分析函数$lim_{x to 0} frac{ln(1 + x)}{x}$的极限值，通过 应用洛必达法则得到结果为1。
洛必达法则的数学意义
洛必达法则是微积分学中求极限的一种常用方法，它通过将 复杂的极限问题转化为求导数的形式，使得问题得到简化。
洛必达法则是微积分学中重要的基本概念之一，它反映了函 数在某点的局部性质，对于理解函数的极限行为和可导性具 有重要意义。
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洛必达法则的扩展和推广
洛必达法则的推广形式
洛必达法则的推广
在一定条件下，洛必达法则可以应用 于更广泛的函数形式，例如分段函数 、无穷区间上的函数等。
洛必达法则的变形
根据不同的情况，洛必达法则可以变 形为不同的形式，以便更好地应用于 各种问题。
洛必达法则在微积分中的应用
极限计算
进阶习题
进阶习题1
求函数$f(x) = frac{ln x}{x}$在$x = e$处的 导数值。
进阶习题2
求函数$g(x) = frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$在 $x = 2$处的导数值。
进阶习题3
求函数$h(x) = frac{cos x}{x}$在$x = frac{pi}{2}$处的导数值。
洛必达法则的实例分析
例1
分析函数$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$的极限值，通过应用 洛必达法则得到结果为1。
例2
分析函数$lim_{x to infty} frac{x^n}{e^x}$的极限值，通 过应用洛必达法则得到结果为0。
例3
分析函数$lim_{x to 0} frac{ln(1 + x)}{x}$的极限值，通过 应用洛必达法则得到结果为1。
高数极限ppt课件
第二章 极 限
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
4
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的 去心邻域时,
找找例题！
44
x2 x 1
例7
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
45
“左右结合”
y
y f (x)
y=a
y=a
y=a
O
x0
x0
x0 +
x 1
取 min{1, }, 则当 0 | x 1| 时, 有
4
x3 1 3 .
x 1
证毕
28
在极限定义中：
1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小.
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
4
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的 去心邻域时,
找找例题！
44
x2 x 1
例7
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
45
“左右结合”
y
y f (x)
y=a
y=a
y=a
O
x0
x0
x0 +
x 1
取 min{1, }, 则当 0 | x 1| 时, 有
4
x3 1 3 .
x 1
证毕
28
在极限定义中：
1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小.
考研高数总复习无穷小的比较(讲义)PPT课件
导数的应用
在研究函数的单调性、极值和拐 点等问题时，需要利用导数的性 质和无穷小的关系。
在积分中的应用
积分的定义
积分是通过无穷小分割和 求和来定义的，无穷小在 积分定义中扮演着重要的 角色。
积分的几何意义
无穷小表示面积或体积的 微元，通过积分可以计算 曲线下的面积、曲面下的 体积等。
积分的应用
在解决实际问题时，如求 曲线的长度、物体的质量、 做功等，需要利用积分和 无穷小的关系。
无穷小的性质
总结词
无穷小具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的极限、导数和积分等数学概念时非 常有用。
详细描述
1. 无穷小与任何常数的和、差、积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，那么 (x+2)、(x-2)、(3x) 和 (x^2) 也是无穷小。2. 无穷小与有界函数的乘 积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，而 (|f(x)| < M)（其
求解极限
在求解某些极限问题时， 可以利用无穷小的性质进 行化简，从而得出结果。
无穷小的等价替换
在某些极限计算中，可以 将无穷小替换为其他无穷 小，简化计算过程。
在导数中的应用
导数的定义
导数是通过无穷小增量和自变量 的比值来定义的，无穷小在导数 定义中起着关键作用。
导数的几何意义
无穷小表示函数图像在某一点的 切线斜率，通过导数可以研究函 数的几何性质。
05 习题与解析
基础习题
基础习题1
比较以下无穷小量的大小：$frac{1}{x}, frac{1}{x^2}, frac{1}{x^3}$ 当 $x to 0$。
高数ppt课件
无穷级数的求和法和乘法运算
求和法
求和法是求无穷级数和的基本方法。对于简单的无穷级数，可以直接计算其和。对于复杂的无穷级数，可能需要 使用一些技巧来求解。
乘法运算
乘法运算是指将两个无穷级数相乘。在乘法运算中，需要特别注意收敛性的变化。如果两个无穷级数相乘后的结 果是收敛的，那么它们的乘积就是收敛的；否则，它们的乘积就是发散的。
总结标词题
利•用文无字穷级内数容表示π • 文字内容
和•e是文高字数内中容另一个 • 重文要字的内应容用。
详细描述
π和e是数学中非常重 要的常数，它们都可 以通过无穷级数来表 示。例如，π可以通
过级数sin(x)/x = π/2, x≠0来表示，而 e可以通过级数1 +
x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...来表示。
多元函数的极值和最小二乘法
多元函数的极值
极值是函数在某点达到的最大或最小值。对 于二元函数f(x,y)，如果它在点(x0,y0)达到 极值，那么fx(x0,y0) = 0和fy(x0,y0) = 0。 类似地，对于三元函数f(x,y,z)，它在点 (x0,y0,z0)达到极值，那么fx(x0,y0,z0) = 0 、fy(x0,y0,z0) = 0和fz(x0,y0,z0) = 0。
高数的历史和发展
1 2
3
早期起源
自古希腊数学家开始研究极限和微积分的前身，到17世纪牛 顿和莱布尼茨的微积分学革命。
18世纪发展
以拉格朗日、欧拉等数学家对微积分和解析几何的杰出贡献 为标志。
19世纪现状
高数在物理、工程、经济等多领域得到广泛应用，如麦克斯 韦的电磁学理论、傅里叶的三角级数方法等。
高数数列的极限ppt课件
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
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注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
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n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
同济版高数课件-PPT
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
压力P （见教材图 5-3）.
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ；
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质5的推论：
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则
b
a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx
i 1
（3）取极限 max{t1,t2 ,,tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x) 在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
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Pr j y AB a y , Pr jz AB az .
24/26
Pr ju AB b a .
投影的性质（1）
记 为a与 u轴 的 夹 角 ， 则 (a )u | a | cos .
A
A
B
B
B
u u
投影的性质（2）
(a1 a2 )u (a1 )u (a2 )u .
MC 1 (a b) 2
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
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D
b
C
1 (b a ) A MB MA 1 ( a b ) 2 2
M
a
B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
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1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
A
C
a1
B
a2
C
A
u
B
25/26
六、小结
（注意与标量的区别） 1、向量的概念
解: 2×① －3×② , 得
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a
②
x 2 a 3 b (7 , 1,10)
代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量.
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设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
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分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
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例7. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
M1 M2
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
平行向量对应坐标成比例:
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
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3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
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任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
的夹角. a ,b
z
o
r
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x
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y
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x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
OA O A OA 6 ( 1 , 2
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
第二节 目录
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3. 向量在轴上的投影
若A、B在u轴 上 的 投影分别为 A 、B ，
B A
称 A B 为 AB 的 在u轴
故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a ∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
a b AC b a BD
第8章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第 8章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
2 cos 2 3 4
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3
,
例8. 设点 A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2
o
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
R
z
M Q y
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
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例4. 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证:
M 1M 2 (7 4) 2 (1 3) 2 (2 1) 2 14 M 2 M 3 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
2
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
9
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示:
(1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得
24/26
Pr ju AB b a .
投影的性质（1）
记 为a与 u轴 的 夹 角 ， 则 (a )u | a | cos .
A
A
B
B
B
u u
投影的性质（2）
(a1 a2 )u (a1 )u (a2 )u .
MC 1 (a b) 2
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
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D
b
C
1 (b a ) A MB MA 1 ( a b ) 2 2
M
a
B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
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1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
A
C
a1
B
a2
C
A
u
B
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六、小结
（注意与标量的区别） 1、向量的概念
解: 2×① －3×② , 得
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a
②
x 2 a 3 b (7 , 1,10)
代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量.
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设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
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分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
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例7. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
M1 M2
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
平行向量对应坐标成比例:
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
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3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
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任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
的夹角. a ,b
z
o
r
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x
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y
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x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
OA O A OA 6 ( 1 , 2
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
第二节 目录
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3. 向量在轴上的投影
若A、B在u轴 上 的 投影分别为 A 、B ，
B A
称 A B 为 AB 的 在u轴
故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a ∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
a b AC b a BD
第8章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第 8章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
2 cos 2 3 4
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3
,
例8. 设点 A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2
o
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
R
z
M Q y
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
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例4. 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证:
M 1M 2 (7 4) 2 (1 3) 2 (2 1) 2 14 M 2 M 3 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
2
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
9
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示:
(1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得