均值不等式教案 -公开课

均值不等式
一、目的要求：
系统复习均值不等式，熟练使用a 2+b 2≥2ab 和ab b a 2≥+ ，使学生领会其中的三个条件“一正”、“二定”、“三相等”.，特别是“≥”或“≤”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。

二、教学重点
运用均值不等式求最值，在运用ab b a 2≥+中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
三．教学难点
ab b a 2≥+的运用. 求函数表达式与最值时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。

四．教学过程
一、均值不等式：
均值定理：如果,,+∈R b a 那么_______________________
(当且仅当_______时取等号)
证明：
定理说明：
1、称2
b a +为正数b a ,的______________称ab 为正数b a ,的___________因此定理又叙述为：________________________________________
2、几种变形：
（１）ab b a 2≥+ （_______________）
（２）ab b a ≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2
2 （_______________） （３）ab b a 222≥+ （_______________）
3. 均值不等式的运用----放缩功能：
和定积最大，积定和最小-
二）、例题解析
例1 若45>x 求y=4x-2+5
41-x 的最小值 （配凑均值不等式成立的条件：“一正”、“二定”）
例2.设=)(x f x
x +150 （1）求当),0(+∞∈x 时的最大值
（2）求当x ∈[)+∞,2时的最大值
（用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，即“三相等”，当等号不成立时可用函数的单调性求最值。

）
例3若x>0 y>0 且x 1+y
9=1 求x+y 的最小值 （在运用ab b a 2≥+中要注意配凑“一正”、“二定”、“三相等”三个条件. 如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件的一致性。

）
例4、()().,0322的值以及此时的最大值求函数x x x
x x x f >-+-=
变式：()().0322的值时的最小值及取得最小值求函数x x x
x x x f >+-= （三）课堂练习选做
1 当x ∈(0 1 )时，求=
)(x f )21(11x x --的最大值 2求y=3+x +
31
+x 的最小值 3求y=1
8-+x x （x>1）的最小值
（四）课堂小结：
．和熟练使用不等式ab b a ab b a 22.122≥+≥+
的条件．注意使用ab b a 2.2≥+
注意取等号的条件．.3
”．灵活变换“1.4
5.用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。

（五）课后作业：
1. 若 x 2 +ax+1≥0对一切x ∈(0
2
1］成立求a 的最小值 2.若a>0 b>0且ab=a+b+3 求ab 的取值范围 3.若x>0 y>0 且x+y=1 求12+x +
12+y 最大值
（六）板书设计。