均值不等式教案 -公开课

均值不等式

一、目的要求：

系统复习均值不等式，熟练使用a 2+b 2≥2ab 和ab b a 2≥+ ，使学生领会其中的三个条件“一正”、“二定”、“三相等”.，特别是“≥”或“≤”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。

二、教学重点

运用均值不等式求最值，在运用ab b a 2≥+中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.

三．教学难点

ab b a 2≥+的运用. 求函数表达式与最值时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。

四．教学过程

一、均值不等式：

均值定理：如果,,+∈R b a 那么_______________________

(当且仅当_______时取等号)

证明：

定理说明：

1、称2

b a +为正数b a ,的______________称ab 为正数b a ,的___________因此定理又叙述为：________________________________________

2、几种变形：

（１）ab b a 2≥+ （_______________）

（２）ab b a ≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛+2

2 （_______________） （３）ab b a 222≥+ （_______________）

3. 均值不等式的运用----放缩功能：

和定积最大，积定和最小-

二）、例题解析

例1 若45>x 求y=4x-2+5

41-x 的最小值 （配凑均值不等式成立的条件：“一正”、“二定”）

例2.设=)(x f x

x +150 （1）求当),0(+∞∈x 时的最大值

（2）求当x ∈[)+∞,2时的最大值

（用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，即“三相等”，当等号不成立时可用函数的单调性求最值。）

例3若x>0 y>0 且x 1+y

9=1 求x+y 的最小值 （在运用ab b a 2≥+中要注意配凑“一正”、“二定”、“三相等”三个条件. 如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件的一致性。）

例4、()().,0322的值以及此时的最大值求函数x x x

x x x f >-+-=

变式：()().0322的值时的最小值及取得最小值求函数x x x

x x x f >+-= （三）课堂练习选做

1 当x ∈(0 1 )时，求=

)(x f )21(11x x --的最大值 2求y=3+x +

31

+x 的最小值 3求y=1

8-+x x （x>1）的最小值

（四）课堂小结：

．和熟练使用不等式ab b a ab b a 22.122≥+≥+

的条件．注意使用ab b a 2.2≥+

注意取等号的条件．.3

”．灵活变换“1.4

5.用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。

（五）课后作业：

1. 若 x 2 +ax+1≥0对一切x ∈(0

2

1］成立求a 的最小值 2.若a>0 b>0且ab=a+b+3 求ab 的取值范围 3.若x>0 y>0 且x+y=1 求12+x +

12+y 最大值

（六）板书设计