高等代数武汉大学研究生考试试题

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高等代数考试题和答案

高等代数考试题和答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量空间中，线性无关的定义是（）。

A. 向量空间中的任意向量不能表示为其他向量的线性组合B. 向量空间中的任意向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量空间中的所有向量可以表示为其他向量的线性组合D. 向量空间中的部分向量可以表示为其他向量的线性组合答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。

A. 可逆B. 不可逆C. 可逆或不可逆D. 不能确定答案：B3. 对于实数域上的多项式f(x)，其根的个数（）。

A. 等于其次数B. 小于其次数C. 大于其次数D. 不确定答案：D4. 线性变换T:V→W，若对于V中的任意向量v，都有T(v)=0，则称T为（）。

A. 可逆变换B. 非奇异变换C. 零变换D. 恒等变换答案：C5. 矩阵A与矩阵B相似，则（）。

A. A和B具有相同的秩B. A和B具有相同的行列式C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：C6. 向量组α1, α2, ..., αs在向量空间V中张成V，则称向量组（）。

A. 线性相关B. 线性无关C. 基D. 零向量组答案：C7. 矩阵A的转置记作（）。

A. A'B. A^TC. A^HD. A*答案：B8. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=det(A-λI)，则f(λ)的根称为矩阵A的（）。

A. 特征值B. 特征向量C. 特征多项式D. 特征函数答案：A9. 向量空间V的维数等于V的任意一组基的向量个数，这称为（）。

A. 基定理B. 维数定理C. 线性空间定理D. 向量空间定理答案：B10. 矩阵A和B可以进行矩阵乘法，则（）。

A. A的列数等于B的行数B. A的行数等于B的列数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A中线性无关的行（或列）向量的最大个数，记作rank(A)。

12. 矩阵A和B的乘积记作AB，其中A的列数必须等于B的行数。

考研高等代数真题答案

考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。

若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。

答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。

答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。

证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。

根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。

两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。

由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。

2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。

武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)

4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, é‡©•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:
eα
x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f

武汉大学考研高数试卷真题

武汉大学考研高数试卷真题武汉大学作为中国著名的高等学府，其考研数学试卷真题通常具有较高的难度和严谨性。

以下是一份模拟的武汉大学考研高数试卷真题内容，供参考：一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数$ f(x) $在点$ x_0 $处可导，且$ f'(x_0) \neq 0 $，则在$ x_0 $处曲线的切线斜率为：A. 0B. $ f'(x_0) $C. $ -f'(x_0) $D. $ f(x_0) $2. 已知$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，求$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} $的值为：A. 1B. 2C. 4D. 不存在3. 以下哪项不是连续函数的性质？A. 有界性B. 可积性C. 可微性D. 保号性4. 根据泰勒公式，函数$ e^x $在$ x = 0 $处的泰勒展开式为：A. $ 1 + x $B. $ 1 + x + \frac{x^2}{2} $C. $ 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} $D. $ 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots $5. 若函数$ g(x) = \ln(x) $，则$ g^{-1}(x) $的导数为：A. $ \frac{1}{x} $B. $ \frac{1}{1-x} $C. $ \frac{1}{1+x} $D. $ \frac{1}{x-1} $二、填空题（每题5分，共20分）6. 若$ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $的值为______。

7. 设$ y = x^3 - 3x $，求$ y' $的值为______。

研究生高等代数复习题完整版

（2）求的一组标准正交基，（3）求矩阵，使得 .
32.设的两个子空间为： ,
.求与的基与维数.
33.设是3维线性空间，为它的一个基.线性变换，
求（1）在基下的矩阵；（2）求核和值域 .
34.设是实数域上所有阶对称阵所构成的线性空间，对任意，定义，其中表示的迹.（1）证明：构成一欧氏空间；（2）求使的子空间的维数；（3）求的正交补的维数.
17.设是5维的欧几里得空间的一组标准正交基，，其中，求的一组标准正交基.
18.设是矩阵，其中
（1）求的值；（2）设，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间上的线性变换，满足，求?在基下的矩阵.
20.设?是维线性空间上的线性变换，是的一组基.
如果?是单射，则也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域上线性空间的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间的正交补也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵，（1）求矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵所构成的线性空间到的一个线性同构.
36.求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基和维数.
37.设，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的标准形.
38.设是数域上矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换， .（1）证明：是上的对合线性变换，即是满足（恒等变换）的线性变换；（2）求的特征值和特征向量.
58.设是4维空间的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为

高等代数第三版考研题库

高等代数第三版考研题库一、线性代数部分1. 矩阵理论- 矩阵的运算：加法、乘法、转置、求逆等。

- 矩阵的秩：证明矩阵秩的性质，求解矩阵的秩。

- 线性方程组：解线性方程组，证明解的存在性与唯一性。

2. 向量空间- 向量空间的定义与性质。

- 基和维数：确定向量空间的基，计算维数。

- 线性变换：定义线性变换，计算线性变换的矩阵表示。

3. 特征值与特征向量- 特征值和特征向量的概念。

- 特征多项式：计算矩阵的特征多项式。

- 对角化：证明矩阵对角化的条件，求解对角化后的矩阵。

二、多项式代数部分1. 多项式的基本性质- 多项式的定义，次数，系数。

- 多项式的运算：加法、乘法、除法。

2. 多项式的根- 根的概念，实根与复根。

- 韦达定理：应用韦达定理求解多项式的系数与根的关系。

3. 多项式的因式分解- 因式分解的方法：配方法、公式法、分组法等。

- 多项式的最大公因式。

三、群论部分1. 群的定义与性质- 群的定义，单位元，逆元，封闭性，结合律。

2. 子群与陪集- 子群的定义，判定子群的方法。

- 陪集的概念，拉格朗日定理。

3. 群的同态与同构- 群同态的定义，同构群的概念。

四、环论部分1. 环的定义与性质- 环的定义，加法和乘法的运算规则。

2. 理想与商环- 理想的定义，主理想与零理想。

- 商环的概念，构造商环的方法。

3. 环的同态与同构- 环同态的定义，同构环的概念。

五、域论部分1. 域的定义与性质- 域的定义，域的加法和乘法运算。

2. 多项式在域上的根- 多项式在域上的分解，有限域与无限域。

3. 域的扩张- 域扩张的概念，代数扩张与超越扩张。

结束语本题库覆盖了高等代数的核心概念和理论，旨在帮助考生系统复习和深入理解高等代数的知识点，为考研做好充分准备。

希望考生能够通过练习这些题目，提高解题能力和数学思维。

请注意，这只是一个示例题库，实际的考研题库可能会根据具体的教材版本和考试大纲有所不同。

2019武汉大学数学专业考研真题（回忆版）

2019武汉⼤学数学专业考研真题（回忆版）数学分析⼀，1）求极限$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+\sin x\right) ^{\dfrac {1}{x}}$.2）$f(x) =\ln \left(x - \sqrt{1+x^2}\right) $ ，求 $f(0)^{(2k+1)}$，$ k$为⾃然数.3）$f(x,y) = x^yy^x$,求$f(x,y)$的全微分.⼆，计算下⾯积分1）$\int_{-1}^{1} {\dfrac{1+x^2}{1+x^4}}dx$.2）$\iiint _{V} {\dfrac{dxdydz}{(1+x+y+z)^{3}}}$，V={${x+y+z\leq{1}}, x,y,z\geq0$}.3）$\oint_L{\dfrac{xdy-ydx}{x^2+y^2}}$,$L$是不过原点的简单封闭曲线.三，1）判断$\sum_{n=1}^{\infty}\left({\sqrt[n]{n}-1}\right)^2$的敛散.2）若$\sum_1^{\infty}a_n\sin^nx$在[0,$2\pi$]收敛，请问它是否⼀致收敛.四，1）$f(x)$连续可微，$f(0)$不为$0$，其Maclaurin级数（Cauchy余项）：$f(x) = f(0)+f^{'}(0)x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+...+\dfrac{f^{(n)} (0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{n!}\left(1-\theta\right)^nx^{n+1}$,证明:$$\lim_{x\rightarrow0}\theta = 1-\sqrt [n]{\dfrac{1}{n+1}}.$$2）$\{a_n\}$单调递减，$a_n\rightarrow0\left(当n\rightarrow0\right)$，证明：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n收敛\leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}n\left(a_n-a_{n+1}\right)$$收敛。

高等代数考研试题精选

《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

高等代数825考研真题

高等代数825考研真题高等代数是数学中的一门重要课程，对于提高数学建模能力和解决实际问题具有重要作用。

本文将针对高等代数825考研真题展开讨论。

第一部分：选择题（1）设V是数域K上的线性空间，S是V的子空间，则下列命题中正确的是()A. V⊂SB. V⊂VC. V=VD. V≠V（2）设A，B都是n阶方阵，则下列命题中正确的是()A. VV(VV+VV)≤VV V+VV VB. VVV V+VVV V=VV(VV+VV)C. VV(VV+VV)≥VV V+VV VD. VVV V+VVV V≥VV(VV+VV)第二部分：解答题1. 证明引理：设V={V1, V2,..., VV} ，V是V的一个非零子空间，则V(V1+V2+V+VV)≥2。

其中，V(V) 表示向量V的秩。

解：假设V1+V2+V+VV= V0 ，其中V0≠V为一线性组合等于零向量，需要证明线性相关，即证明存在VV≠V使得VV是线性相关向量。

首先，假设V1+V2+V+VV= V0 成立，则可以得到其中至少有一项VV=0。

其次，如果保持原假设成立，那么对于其他项V j ∈V中的向量V j，可以写成V j= −(V1+V2+V+VV)+2V i ，可知V j 是线性相关向量。

综上所述，线性空间V中至少存在两个线性相关的向量。

2. 设V，V，V是V阶方阵。

证明：如果V，V是可逆的，则VV和VV也是可逆的，并且特征值λ(VV) = 特征值λ(VV)。

解：首先，V，V是可逆的，则存在V的逆矩阵V^-1 和V的逆矩阵V^-1 。

其次，考虑矩阵VV，假设存在非零向量V使得 (VV)V= 0 ，则有V(VV)=0。

由于V是可逆的，所以V^-1 存在，因此可以得到VV=0。

由于V是可逆的，所以只有V为零向量才能使等式成立，即零向量是唯一解。

综上所述，矩阵VV是可逆的。

类似地，可以证明矩阵VV也是可逆的。

在特征值方面，由于可逆矩阵与其逆矩阵存在相同的特征值，所以特征值λ(VV) = 特征值λ(VV)。

2010年武汉大学高等代数解答

B2
)− 1
= −1 =0 =1 =3
证明: 对方程组的增广矩阵进行初等行变换: 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 4 −3 ¯ = 3 2 4 −1 0 → 0 A 5 3 7 −3 1 0 1 − a 5 − a b − a 3 + a . a 1 5 b 3 0 0 0 0 0 (1)设(I)的三个线性无关的解为α1 , α2 , α3 ,令 β1 = α3 − α1 , β2 = α3 − α2 , 则易知β1 , β2 线性无关,且是(I)的导出组Ax = 0的解,从而其基础解系中向量的个数大于大于2,即 4 − rank (A) ≥ 2, 又由上面的初等变换的结果可知 rank (A) ≥ 2. 从而rank (A) = 2. (2)由rank (A) = 2知 −1 4 1 = = 1−a 5−a b−a
二.(16分)设A, B 是n(n ≥ 2)阶矩阵,A∗ , B ∗ 分别是A, B 的伴随矩阵,已知B 是交换A的第一行与第二行得到的矩阵.对于下述四个选项,若正确则给予证明,若不正确,请给出反例. (A)交换A∗ 的第一列与第二列得到B ∗ . (B)交换A∗ 的第一行与第二行得到B ∗ . ◇※☆■◇◇※☆■◇
武汉大学2010年硕士学位研究生(学术型)入学考试线性代数试题参考解答
2
试题
1 1 1 1 2 3 一.(15分)已知矩阵A = 0 2 0 , B = 2 3 1 ,试求矩阵X,使得AT X − 3X = B. 1 0 3 3 1 2
二.(16分)设A, B 是n(n ≥ 2)阶矩阵,A∗ , B ∗ 分别是A, B 的伴随矩阵,已知B 是交换A的第一行与第二行得到的矩阵.对于下述四个选项,若正确则给予证明,若不正确,请给出反例. (A)交换A∗ 的第一列与第二列得到B ∗ . (B)交换A∗ 的第一行与第二行得到B ∗ . (C)交换A∗ 的第一列与第二列得到−B ∗ . (D)交换A∗ 的第一行与第二行得到−B ∗ . 三.(15分)设A是n阶反对称矩阵,b为n维列向量,rank (A) = rank (A, b).求证: ( ) A b rank T = rank (A). b 0 1

武汉科技大学高等代数考研真题试题2005—2009、2016、2019年(含标准答案)

证明：任取 AV ，则有 V ，使得 A ，如果 A2 是零变换，就有
A A A A2 0 0 ，即 A1(0) ，所以 AV A1(0) 。
反之，如果 AV A1(0) ，那么，任取 V ，则 A AV A1(0) ，因而，
A2 0 ，即 A2 是零变换。
八、（15 分）
，则
A*
1
。
0 1 5 2
111
2. x y z
。
x2 y2 z2
3. 若 β 0 k k 2 可由 α1 1 k, 1, 1, α2 1, 1 k, 1, α3 1, 1, 1 k
唯一线性表示，则 k =
。
4. 若对任意的列向量 x ，均有 Ax 0 ，则矩阵 A
。
武汉科技大学 2005 年硕士研究生入学考试试题
考试科目及代码：高等代数 420
共3页
说明：1. 适用专业：应用数学 070104
2. 可使用的工具：计算器（ √ ）
3. 答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效
第1页
一、填空（6 小题，共 30 分）
1 0 0
1.
设
A
0
1 2
3
2
B. E A A2
C. E A A2
D. E A A2
3．已知 A2 E ，则必有
A. A E 可逆 C. A E 时， A E 可逆
B. A E 不可逆 D. A E 时， A E 不可逆
4．设 A 是三阶非零矩阵，满足 A2 0 ，则非齐次线性方程组 Ax b 的线性无关
计算 n 阶行列式 d 1 0 a3 0 ，其中 a1a2 an 0 。 1 0 0 an
四、（15 分）

武汉大学研究生考试数学分析近2年入学真题

四、（16 分）设 I ( y ) e xy
y
sin x 2 dx ，（1）求 I ( y ) 的定义域；（2）求 I ' ( y ) ； x
1
学而优则仕--刘 sir 出品五、（16 分）计算积分 I e x dx ；
2

0
六、（14 分）计算 x 3dydx ，其中 S 是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 在第一象限部分并取球面
2
学而优则仕--刘 sir 出品二、（16 分）
0 计算 xlim
sin tdt
x
x
,
x
1
x
x2
, 的值；
三、（14 分）
sin ( 判断
n 1

n 2 1)
的敛散性；
四、（14 分）
e xy dy ；计算 xlim 1 y 2 1
学而优则仕--刘 sir 出品
2014 年武汉大学研究生入学考试--数学分析
一、（14 分）
3 a 3 a ；设 an a ，用定义证明： nlim n
二、（14 分）
上一致连续；证明 y sin x 在 0，
三、（14 分）设 f n ( x) 在 a, b 上连续，且 f n (b) 发散，证明 f n ( x)在 a, b 上不一致收敛；

的外法线方向，<v,x>为 v 与 x 轴的夹角；
七、（14 分）
g ( y ) f ( x) sin xydx 设 f ( x)在0, 上连续，且 f ( x)dx 绝对收敛，证明：
0 0

985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答

目录
1 北京大学
1
1.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
12 华东师范大学
32
12.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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