用弹性中心法计算对称无铰拱
(整理)L=40m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算(修改版)
L=50m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算1．设计资料某等截面空腹式悬链线无铰拱石拱桥上部结构为等跨50m的石砌板拱，下部结构为重力式墩和U型桥台，均置于非岩石土上。
(1)设计标准l)设计荷载公路-Ⅱ级汽车荷载，人群荷载3kN/m2。
2)跨径及桥宽净跨径L0=50m，净矢高f0=10m，净矢跨比f0/L0=1/5。
桥面净宽为净9+2×1.5，B0=12m。
(2)材料及其数据l)拱上建筑γ=20kN/m3。
拱顶填料厚度h d=0.5m，包括桥面系的计算厚度为0.68m，换算平均重力密度1γ=23kN/m3。
护拱为浆砌片石，重力密度2γ=24kN/m3。
腹孔结构材料重力密度3γ=20kN/m3。
主拱拱腔填料为砂、砾石夹石灰炉渣黄土，包括两侧侧墙的平均重力密度42)主拱圈γ=24kN/m3。
M7.5砂浆砌MU80块石，重力密度5f=4.37MP a。
拱圈材料抗压强度设计值cdf=0.075MP a。
拱圈材料抗剪强度设计值vd弹性模量E m=7300MPa。
拱圈设计温度差为+22℃，-15℃。
(3)设计依据1)《公路桥涵通用设计规范》(JTG D60-2004)，简称《桥规D60》；2)《公路圬工桥涵设计规范)》(JTG D61-2005)，简称《桥规D61》；3)《公路桥涵设计手册——拱桥》上册(石绍甫)、下册(顾安邦)，简称《拱桥》。
2．主拱圈计算(1)确定拱轴系数拱轴系数m 值的确定，一般采用“五点重合法”，先假定一个m 值，定出拱轴线，拟定上部结构各种几何尺寸，计算出半拱恒载对拱脚截面形心的弯矩j M ∑和自拱顶至1/4跨的恒载对1/4跨截面形心的弯矩4/1M ∑。
其比值f y M M j //4/14/1=∑∑。
求得f y /4/1值后，可由肌1)2/)(2/1(24/1--=y f m 中反求m 值，若求出的m 值与假定的舰值不符，则应以求得的肌值作为假定值，重复上述计算，直至两者接近为止。
4.4 拱桥的计算(1)
H1 水平推力影响线坐标表。
M' 不考虑弹性压缩的弯矩 影响线坐标表。 L
M 及其相应的 H 、 V 、 N 影响线面积表。
表（III）-15 V1 值表。计算拱圈自重作用下弹性中心的弯矩时有关 系数。 表（III）-16 V 2 表值。计算拱圈自重作用下弹性中心的水平力时有 关系数。
附录（III）等截面悬链线无铰拱计算用表
拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。 对拱脚取距，由
M
A
0 有：
j
Hg
M
f
（1）
对l/4截面取距，由 M B 0 有：
H g y1/ 4 M 1/ 4 0 Hg
M
1/ 4
y1/ 4
代上式到式（1）：
y1/ 4 f
M M
1/ 4 j
（2）
M
1/ 4
自拱顶至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力距。
（2）空腹式拱
空腹式拱桥恒载由两部分组成，主拱圈 承受由实腹段自重的分布力、空腹部分通过 腹孔墩传下的集中力。
拱的压力线为在集中力作用点处有转折 的曲线。 为了使悬链线与其恒载压力线重和，一 般采用“五点重合法”确定悬链线的m值。 即拱轴线在全拱（拱顶、两1/4l点和两拱脚） 与其三铰拱的压力线重合。 拱轴系数确定如下：
y1/ 4 求得 f 后，即可求得m值：
y1/ 4 1 f 2(m 1) 2
（3）
1 f m ( 2) 2 1 2 y1/ 4
空腹拱的m值，仍需采用试算法计算（逐次渐近法）。
3. 悬链线无铰拱的弹性中心
无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱若从拱顶切开取基本结构，
多余力X1（弯矩），X2 （轴力）为对称，而X3（剪力）是反对称 的，由对称性得到下列副系数等于零。
0702 等截面悬链线无铰拱的计算070529
解决办法：
1、调整拱轴形状、矢跨比（跨径、矢高） 2、修改结构主要截面尺寸； 3、施工过程中的临时措施，改善主拱截面内力状态；
33
4-1 假载法调整悬链线拱的内力 ◎通过调整拱轴系数m，修正拱轴线形状，使控制截面产生
弯矩，改善主拱截面的应力状态；
34
【属于4-1】假载法原理： ◎当拱顶正弯矩较大，控
拱丧失横向稳定的临界轴向力
NL 4 ~ 5 K2 N
j
'
1）临界轴向力对拱圈或单肋合拢的拱肋情况，可由临 界推力与半拱的弦与水平线的夹角求得； 2）对肋拱或无支架施工采用双肋合拢的拱肋，可视为组 合压杆计算临界轴力；
32
四、主拱内力调整
原因：
在最不利荷载作用下，各控制截面的计算内力与拟定的截面 尺寸有较大的偏差，同一截面的正负弯矩绝对值相差太大等；
gg y
x d 1
拱顶恒载集度
单位体积重量与纵坐标
拱脚恒载集度：
f
j d
m
g g
g g g g g y
j d 1
f
d
(m 1)
j d
称m 为拱轴系数
5
【属于1-1】
任一截面:
1 ( m 1 ) g g[
x d
2 2
y
1
f
]
引入： x , l 1 得线性微分方程：
j d
先假定m值，查表 得 cos j ，求g j后， 求m值，重复计算， 使m值接近
9
1-2-2、空腹拱拱轴系数m的确定
◎确定m的原则
恒载压力线不是一条平滑的曲线，拱轴线采用悬链 线，应尽可能使拱轴线与恒载压力线偏离较小， 采用“五点重合法”使悬链线拱轴与恒载压力线 重合。
无铰拱的计算
一、弹性中心法
当 X 1 1 、X 2 1 、X 3 1分别作用时所引起的内力为：
M 1 1， F N1 1， F S1 0
M2
y，
F N2
cos，
F S2
sin
M 3 1， F N3 sin， F S3 cos
代入后得：12 21
X1
1P
11
yM P
ds I
y 2 ds cos2 ds
I
A
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第一节 两铰拱的计算
求得了推力X1后，其它内力的计算方法和计算公式与三 铰拱完全相同。在竖向荷载作用下，两铰拱任意截面的内力
计算公式为：
M FS
M0 FS 0
X1
cos
y
X1
22
因此
1
1P EI
l 2
y(3qlx
1
qx2
)dx
1
08
2
EI
l ql
qf l3
l 2
y
8
(l
x)dx
30EI
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第一节 两铰拱的计算
由力法方程求得 X1
1P 11
ql 2 16 f
即
FN
X1
ql 2 16 f
这个结果与三铰拱在半
跨均布荷载作用下的结果是 一样的。
于是，多余未知力可按下式求解:
（19-5）
X1=-Δ1P/δ11 ，X2= -Δ2P/δ22，X 3=-Δ3P/δ33 (19-6)
《结构力学》课后习题答案__重庆大学出版社
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题2.1 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 2.1(5)图(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
()(a)(b)(c)AEBFCD习题 2.1(6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题2.2 填空(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(4)图(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(5)图(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
L40m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算(由85改为04规范)1
L=40m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算1．设计资料某等截面空腹式悬链线无铰拱石拱桥上部结构为等跨40m的石砌板拱，下部结构为重力式墩和U型桥台，均置于非岩石土上。
1.1设计标准1.1.1设计荷载公路-II级汽车荷载，人群荷载3kN/m2。
1.1.2跨径及桥宽净跨径L0=40m，净矢高05f m=，净矢跨比f0/L0=1/5。
桥面净宽为净7+2×(0.25+0.75m人行道)，B0=9m。
1.2材料及其数据1.2.1拱上建筑拱顶填料厚度h d=0.5m，包括桥面系的计算厚度为0.736m，换算平均重力密度1γ=20kN/m3。
护拱为浆砌片石，重力密度2γ=23kN/m3。
腹孔结构材料重力密度3γ=24kN/m3。
主拱拱腔填料为砂、砾石夹石灰炉渣黄土，包括两侧侧墙的平均重力密度4γ=19kN/m3。
1.2.2主拱圈M10砂浆砌MU60块石，重力密度5γ=24kN/m3。
拱圈材料抗压强度设计值cdf=4.22MP a。
拱圈材料抗剪强度设计值vdf=0.073MP a。
弹性模量E m=7300MPa。
拱圈设计温度差为±15℃。
2确定拱轴系数拱轴系数m 值的确定，一般采用“五点重合法”，先假定一个m 值，定出拱轴线，拟定上部结构各种几何尺寸，计算出半拱恒载对拱脚截面形心的弯矩j M ∑和自拱顶至1/4跨的恒载对1/4跨截面形心的弯矩4/1M ∑。
其比值f y M M j //4/14/1=∑∑。
求得f y /4/1值后，可由肌1)2/)(2/1(24/1--=y f m 中反求m 值，若求出的m 值与假定的舰值不符，则应以求得的肌值作为假定值，重复上述计算，直至两者接近为止。
2.1拟定上部结构尺寸2.1.1主拱圈几何尺寸a. 截面特性截面高度 5.0 1.295.244d cm β==⨯= 主拱圈横桥向取1m 单位宽度计算，横截面面积 A=0.95244m 2；惯性矩 ==122hd I 0.07560m 4； 截面抵抗矩 62hd W ==0.15119m 3；截面回转半径12/d w =γ=ccccb. 计算跨径和计算矢高假定m=1.988，相应的f y /4/1=0.225。
桥梁工程下复习题
名词解释拱桥的计算跨径：相邻两拱脚截面形心点之间的水平距离。
2、拱桥的净矢高：拱顶截面下缘至起拱线连线的垂直距离。
五点重合法：拱轴线在全拱有五点（拱顶、两4/l点和两拱脚）与其相应三铰拱恒载压力线重合。
漂浮体系：塔墩固结、塔梁分离。
主梁除两端有支承外，其余全部用拉索悬吊的斜拉桥体系，属于一种在纵向可稍作浮动的多跨弹性支承连续梁。
单向推力墩：又称制动墩，它的主要作用是在它的一侧的桥孔因某种原因遭到毁坏时，能承受住单侧拱的恒载水平推力，以保证其另一侧的拱桥不致遭到倾坍。
轻型桥台：借助结构物的整体刚度和材料强度承受外力的桥台，它的体积轻巧、自重较小，一般由钢筋混凝土材料建造。
拱桥的弹性中心：在计算无铰拱的内力时，为了简化计算工作，使求解三个赘余力的联立方程的副系数全部为零，并解为三个独立的一元一次方程所采用的结构弹性中心。
合理拱轴线：各种荷载作用下拱圈截面只受轴向压力，而无弯矩作用，能充分利用圬工材料的抗压性能。
矢跨比：拱圈（或拱肋）的净矢高与净跨径之比，或计算矢高与计算跨径之比。
双曲拱桥：为了施工方便，主拱圈可划分成拱肋、拱波、拱板及横向联系四部分，在横向和纵向均形成曲线的一种拱桥。
重力式桥台：重力式桥台是台后侧的土压力主要靠自重来平衡的一种桥台，它由台帽、台身和基础三部分组成，又叫U型桥台。
拱桥的计算矢高：拱顶截面形心至相邻两拱脚截面形心之连线的垂直距离。
净矢跨比：拱圈（或拱肋）的净矢高与净跨径之比。
系杆：系杆的含义就是一个将两拱脚相互联系在一起的水平构件，使得墩台不承受水平推力。
拱桥的净跨径：每孔拱跨两个起拱线之间的水平距离。
计算矢跨比：拱圈（或拱肋）的计算矢高与计算跨径之比。
半漂浮体系：斜拉桥塔墩固结，主梁在塔墩上设置竖向支承，成为具有多点弹性支承的三跨连续梁填空1、根据拱肋和系杆相对刚度的大小，可将系杆拱桥分为柔性系杆刚性拱、刚性系杆柔性拱、刚性系杆刚性拱三类。
2、拱桥的设计标高主要有桥面标高、拱顶底面标高、起拱线标高和基础底面标高四个。
7.7 用弹性中心法计算对称无铰拱
令δ 12= δ 21=0，便可得到刚臂长度 S为 ，便可得到刚臂长度y
1 EI
O ds 弹性中心 y ys
yS =
∫ ∫
y ds EI 1 ds EI
x
y
为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于 为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI 的图形， 代表此图中的微面积， 的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而上式就是计算这个 代表此图中的微面积 图形面积的形心计算公式。 图形面积的形心计算公式。 由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关， 由于此图形的面积与结构的弹性性质 有关，故称它为弹性 有关 面积图，它的形心则称为弹性中心 弹性中心。 面积图，它的形心则称为弹性中心。
第一步， 第一步，把原来的无铰拱换成带刚 臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与 臂的无铰拱 这个带刚臂的无铰拱与 原来的无铰拱是等效的， 原来的无铰拱是等效的，可以相互 代替。 代替。
FP
C O EI=∞
A
B
FP
C X2 O X2 X1 X1 X3 X3 y ys K B y
x
第二步，选取基本体系。 第二步，选取基本体系。将带刚臂的 无铰拱在刚臂下端O处切开 处切开。 无铰拱在刚臂下端 处切开。
M A = X 1 + X 2 ( y − yS ) + M P qR 2 q (2 R) 2 = 0.87qR + 1.14qR(2 R − 0.81R) + [− − ] 2 2
2
M C = X 1 − X 2 yS = 0.87 qR 2 − 1.14qR × 0.81R = −0.05qR 2 （外侧受拉）
A
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《桥梁工程》讲义第二章第三节拱桥计算(1)
2、拱上构造尺寸计算 ①腹拱圈 根据矢跨比f′/ L′，查《拱桥》 （上）表 （III）-2得：Sinφ0、cosφ0； 计算水平投影：X′= d′ Sinφ0 计算竖向投影：Y′＝d′ cosφ0 若为梁式腹孔不进行此项计算。
②腹拱墩（若为梁式腹孔，则为腹孔墩） 计算各腹拱墩高度h（或腹孔墩高）
1） 五点弯矩为零的条件：
（1）拱顶弯矩为零条件：
M d 0,Qd 0 ，只有轴力H g
（2）拱脚弯矩为零：
Hg
M
f
j
（3）1/4点弯矩为零：H g
M1/ 4
y1/ 4
（4）M j M1/ 4
f
y1/ 4
主拱圈恒载的 M1/4,M j 可由《拱桥（上）》
第988页附录III表(III)-19查得。
4） 拱轴线的水平倾角
tg dy1 dy1 2 fk shk dx l1d l(m 1)
k ln(m m2 1)
拱轴线各点水平倾角只与f/l和m有关，该值可从 《拱桥》 （上）第577页表（III）-2查得。
5）拱轴系数的计算 （1）拟定上部结构尺寸
1、计算主拱圈几何尺寸 ①截面几何特性计算 截面高度：d 主拱圈横桥向取1米单位宽度计算： 横截面面积：A 截面惯性矩：I 截面抵抗矩：W 截面回转半径：rw
（1）不考虑弹性压缩的恒载内力--实腹式拱
认为实腹式拱轴线与压力线完全重合，拱圈
中只有轴力而无弯矩，按纯压拱计算：
恒载水平推力：Hg
m 1 4k 2
gdl f
2
kg
gd l 2 f
(0.128~ 0.18)
gdl2 f
拱脚竖向反力为半拱恒载重力：
l1
m2 1
均布荷载作用下无铰拱内力计算
＝ ＝ ｆ ｙ＇ａ ｓｌｆ面ａｓ 碘ｔ一
丽
。
取图 ２为基本结构 ，由于对称性 ，赘余力仅为 。， ，％，则力 法典 型 方 程 为 ：
８．ｘｌ＋Ａ１Ｐ ０
８２２ｘ２＋Ａ２ ＝０
６３３ ３＋△ ＝０
窖
图 １ 无铰拱 均布荷载作用下计算图式
图 ２ 弹性 中心法的基本结构图
抛物线拱 的计算 图式 如图 １所 示 ，图 １中拱 为等 截 面拱 ，跨
．
，
径为 ，矢高为，，为了便于计算 ，令 ＝７ｔ －，矢跨比Ｄ＝÷ ，ｏ＝４Ｄ，
，１
Ｌ
取拱轴 曲线方程 Ｙ＝ 。
由拱轴 曲线方程 可得 出 ｄｓ＝ｚ ［１＋（ ） ］言 ，然 后根 据结
构力学知识可知 ，弹性 中心距拱顶距 离为 ：
第 ４０卷 第 １６期 ２ ０ １ ４ 年 ６ 月
山 西 建 筑
ＳＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩＴＥＣＴＵＲＥ
Ｖｏ１．４０ Ｎｏ．１６ Ｊｕｎ． ２０１４ ·１９１ ·
文章编号 ：１００９—６８２５（２０１４）１６－０１９１—０２
均 布 荷 载 作 用 下 无 铰 拱 内 力 计 算
４ —８ｋａ ＋ ２４ ａ Ａ （ １ ＋ Ｕ ）一６４口Ａ ＋ ２４ｆ （ ２ａ ＋ １一 ／２， ） 、
Ｉ等＋Ｉ百Ｍ］ｄｓ＝ｘ２ｄ￥＝
２０ ＋１）。，／１＋ａ２一Ｉｎ（０＋ １＋口
（２） （３） （４）
［５］ 文 瑜 ，谢 玮．公路桥 梁施工 临时支架稳 定性计 算与分析
［Ｊ］．山西建筑 ，２０１２，３８（８）：１６７．１６９．
Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｃａ ｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ３Ｄ ｆ ｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍ ｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ｓｔｅｅｌ ｐｉｐｅ－Ｂａｉｌｅｙ ｂｅａｍ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍ ｅ
三铰拱及无铰拱
s
S sin
(2) 由∑FR=0，得
0 FQ FQ cos FH sin
l/2 l FP1
FVA
R
FP2 B A
0 FV A
0
A
K C
FP1
K
0 FQ
(3) 由∑FS=0，得
0 FN FQ sin FH cos
M0
F
0 VA
l/2
M
l
0 C
l/2
0 FV B
8
小
FVA=70kN 4m
4m
4m
4m
FVB=50kN
l=16m
得 2) 求φ
x y x 16
2
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
x tan y 1 8
16m
0 FV B
代入各x值，即可查得相应的φ值。 为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面， 求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
17
2、压力线的用途 (1)求任一拱截面的内力 (2)选择合理拱轴 由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。 因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线 形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯 矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强 度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR 作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应 不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。
12
(3)计算内力 以截面E为例，计算其内力值。
y 将x =12m代入y 和 y 式中，得yE = 3m， E tan y E = -0.5， F =40kN 查得φ E = -26º34′。因此，有 q=10kN/m
拱桥的计算
b) 查表得拱脚处的 cos j ；
c)根据计算出的 cos j
，代入（4-3-14）g j
1hd
2h
d cos j
计算出g j，连同（4-3-13） gd 1hd d 由
m gj gd
计算出m值。
d)比较假设值m，如两者相符，即假定的m为真实值；如两者相 差较大， 则以计算出的m作为假设值，重新计算，直到两者相 等。
2、拱轴系数m值的确定
（1）实腹式拱m值的确定
m gj gd
拱顶恒载分布集度 g d
gd 1hd d （4-3-13）
拱脚恒载分布集度 g j
gj
1hd
2h
d
cos j
（4-3-14）
h
f
d 2
d
2 cos j
（4-3-15）
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用逐次逼近法，具体做法如下：
1
1 tg2 12sh2k
则：
ds l 12sh2k
2
查表
这样：
ys
s y1ds f ds m 1
1
(chk 1)
1 2sh2k d
0
1 1 2sh2k d
1 f
s
0
（4）空腹式无铰拱压力线与拱轴线偏离产生的附加内力 对于静定三铰拱，各截面的偏离弯矩 值Mp可以按下式计算：
实腹式悬链线拱轴计算图示
对拱脚截面取矩，有:
Hg
M
f
M 半拱恒载对拱脚的弯矩。
（4-3-1）
对任意截面取矩，有：
三铰拱及无铰拱
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
16m
0 FV B
11
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
q=10kN/m FP=40kN C E
1) 求y
FH=60kN
y
A
E
yE B
D x
f=4m
FH=60k
将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
x
qC+g f l/2
f
B
l/2
y
用q(x)表示沿水平线单 位长度的荷载值，则
d2M 0 q ( x) 2 dx
d2 y q ( x) FH dx 2
这就是在竖向荷载作 用下拱的合理轴线的 微分方程
21
d2 y q ( x) FH dx 2
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应 该取正号，即 d 2 y q ( x) 2 FH dx 将q = qC+γ y代入上式，得
FH=60kN
A
x
4m 4m 4m l=16m 4m
FVA=70kN
FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值 1）弯矩计算
0 ME ME FH y E 200 60 3 20 kN m
13
2）剪力计算
0 FQ E左 FQE 左 cos E FH sin E (10)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN F 0 F Q E右 QE 右 cos E FH sin E (50)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
《结构力学》课后习题答案__重庆大学出版社
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题2.1 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 2.1(5)图(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
()(a)(b)(c)AEBFCD习题 2.1(6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题2.2 填空(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(4)图(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(5)图(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
10(力学与结构)两铰拱
M = M X1
N = N X1
力法计算温度变化时超静定结构内力的特点： (1)力法方程的形式与荷载作用时相同，但自由项不同。 (2)内力全部由多于未知力产生。 (3)温度变化引起的内力与杆件EI成正比。 (4)降温的一侧产生拉应力，温度高的一侧产生压应力。
2.支座移动时的内力计算 支座移动时的内力计算
4）求解力法方程
X1 = H = −
∆1 P
δ 11
M 0y ∫ EI ds = y2 cos 2 ϕ l ∫ EI ds + ∫ EA ds + E1 A1
5）内力计算 0 M = M K − Hy K
0 Q = QK cos ϕ K − H sin ϕ K 0 N = −QK sin ϕ K − H cos ϕ K
考虑对称性计算
温度变化和支座移动时超静定结构的内力
超静定结构在温度变化和支座移动时，可以产生内力。 内力计算采用位移比较法（力法）。
1.温度变化时的内力计算 温度变化时的内力计算
+15℃ -35℃ -50
+15℃
+15℃
+0
例题：400mm×600mm,E=2 ×107kPa,α=0.00001
解： （1）基本结构，一次超静定
（2）带拉杆的两铰拱
X1
1）基本体系 2 2）力法基本方程
δ 11 X 1 + ∆1P = 0
3）计算系数和自由项（略去剪力影响）
M N 12 δ 11 = ∫ ds + ∫ ds + ∫ ds EI EA E1 A1 ∆1 P M 1M P =∫ ds EI
2 1 2 1
y2 cos 2 ϕ l δ 11 = ∫ ds + ∫ ds + EI EA E1 A1 ∆1 P M 0y = −∫ ds EI
L=m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算(修改版)
L=50m空腹式悬链线无铰拱石拱桥计算1．设计资料某等截面空腹式悬链线无铰拱石拱桥上部结构为等跨50m的石砌板拱，下部结构为重力式墩和U型桥台，均置于非岩石土上。
(1)设计标准l)设计荷载公路-Ⅱ级汽车荷载，人群荷载3kN/m2。
2)跨径及桥宽净跨径L0=50m，净矢高f0=10m，净矢跨比f0/L0=1/5。
桥面净宽为净9+2×1.5，B0=12m。
(2)材料及其数据l)拱上建筑γ=20kN/m3。
拱顶填料厚度h d=0.5m，包括桥面系的计算厚度为0.68m，换算平均重力密度1γ=23kN/m3。
护拱为浆砌片石，重力密度2γ=24kN/m3。
腹孔结构材料重力密度3γ=20kN/m3。
主拱拱腔填料为砂、砾石夹石灰炉渣黄土，包括两侧侧墙的平均重力密度42)主拱圈γ=24kN/m3。
M7.5砂浆砌MU80块石，重力密度5f=4.37MP a。
拱圈材料抗压强度设计值cdf=0.075MP a。
拱圈材料抗剪强度设计值vd弹性模量E m=7300MPa。
拱圈设计温度差为+22℃，-15℃。
(3)设计依据1)《公路桥涵通用设计规范》(JTG D60-2004)，简称《桥规D60》；2)《公路圬工桥涵设计规范)》(JTG D61-2005)，简称《桥规D61》；3)《公路桥涵设计手册——拱桥》上册(石绍甫)、下册(顾安邦)，简称《拱桥》。
2．主拱圈计算(1)确定拱轴系数拱轴系数m 值的确定，一般采用“五点重合法”，先假定一个m 值，定出拱轴线，拟定上部结构各种几何尺寸，计算出半拱恒载对拱脚截面形心的弯矩j M ∑和自拱顶至1/4跨的恒载对1/4跨截面形心的弯矩4/1M ∑。
其比值f y M M j //4/14/1=∑∑。
求得f y /4/1值后，可由肌1)2/)(2/1(24/1--=y f m 中反求m 值，若求出的m 值与假定的舰值不符，则应以求得的肌值作为假定值，重复上述计算，直至两者接近为止。
用弹性力学理论分析合理拱轴线
用弹性力学理论分析合理拱轴线胡文亚1，齐永正2（1. 中铁四局集团一公司，安徽合肥230041; 2. 合肥工业大学土木建筑工程学院，安徽合肥230009）摘要：本文从弹性力学的角度用极坐标应力函数法求解出了无铰圆拱在径向均布荷载作用下不考虑荷载引起的轴向变形情况的应力及内力弹性解，从而证明了结构力学中拱在径向均布荷载作用下，合理轴线为圆弧，轴力为常数的结论是合理的；文章最后讨论了超静定圆拱在径向均布荷载下考虑轴向变形的弹性计算方法。
关键词：应力函数法；圆拱；径向均布荷载；轴向变形；弹性解；合理拱轴线Analysis of appropriate axis of arches usingMechanical Theory of ElasticityHU Wen-ya1，QI Yong-zheng2(1. The 1st engineering Co., Ltd of China Tisiju Civil Engineering Group, Hefei 230041, China; 2. School of CivilEngineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)Abstract:In the paper, accurate stress and internal force elastic solutions of fixed-supported circular arch carrying a radial-uniform-load are obtained without considering axial deformation effects by stress functional method under the point of view on mechanics of elasticity, which prove that the results in the mechanics of structure that appropriate axis of arches carrying a radial-uniform-load is arc, and axial forces is constant, are accurate and efficient. Finally elastic calculation method of statically indeterminate arches carrying a radial-uniform-load are discussed when axial deformation effects are taken into account.Key words: stress functional method; circular arch; radial-uniform-load; axial deformation; elastic solutions; appropriate axis of arches0 引言结构力学教材[1]及大量文章[5~6]用结构力学的方法推导了拱在各种荷载作用下的合理轴线的曲线方程。
【doc】无铰拱内力影响线座标及恒载内力计算程序
【doc】无铰拱内力影响线座标及恒载内力计算程序无铰拱内力影响线座标及恒载内力计算程序?38-拷折.链砖日,幢戳佝,孵云南公路科技1994年第1期(总第5I期】无铰拱内力影响线座标及恒载内力计算程序云南省公路规划勘察设计院柏松平".叫.众所周知,由于拱桥具有跨越能力较大,能耐久而且养护维修费用少,外型美观,构造简单技术易被掌握等突出优点,只要在条件许可的情况下.修建拱桥往往是经济合理的.由于我省所处的地理环境独特,因此拱桥在我省公路建设中得到了广泛的应用和发展从审小跨径的圬工拱桥到大跨径的钢筋混凝土拱桥,我省已修建了许许多多的各型拱桥随着高等级公路的迅速发展,拱桥仍然是我省公路桥粱的一种主要型式. 但是,拱桥的跨度越大,必然使拱桥的大胆度增大,拱桥设计和施工的复杂程度亦随之增大为解决设计工作中大量繁复的查表计算工作.提高设计质量,缩短设计周期本人结合工作实际,编写了此计算程序,以解决生产中的实际问题.一等截面悬链线无铰拱内力影响线座标计算程序1,计算假定空腹式拱桥中,桥跨结构的匿载由主拱圈与实腹段自重的分市力及空腹部份通过腹孔墩传下的集中力组成.由于集中力的存在,拱的恒载压力线不是悬链线,也不是一条光滑曲线.但由于悬链线的受力隋况好,亦采用悬链线(恒载压力线)作为拱轴线,2.编程原理(1)程序中的积分,采用辛普生积分公式进行展开 (2)悬链线拱轴公式:y({一)(1】上式中:m一一拱轴系数:f一一计算矢高fm):{,一如图l示,{=2x/L;K…K1nfm十,』'一l】:L一,计算踌径fm1.(3)拱轴线水平倾角:…】=arctg(sr~,l一==_】'{)上式中:=2fK/Lfm—1)(4)弹性中心:图1无铰拱内力影响线座标及恒载内力计算程序柏松平?39?本文为公式推导清晰,把积分用拼音编号AB……代替.如JFB代表积分B之意则:y=c?JJFrBq)?一?上式中.JFA一一即《拱桥》手册下册表(E1)-8;.一一即《拱桥》手册下册表(?)一3; (5)内力影响线座标计算: a,拱圈弹性压缩系数:』出击cos2~o.Jl+q2s^』?'』岳一)武,肋上式中,JFD一即《拱桥》手册下册表(?)一5;JFE/JFD一一即《拱桥》手册下册表(?)一1lfEAcLos~o』1EA0EA0OS』,FC3clJ 一一'而EiEi''上式甲,JFC/JFD--即《拱轿》手册F册表(?)-9.b水平推力影响线座标:不计弹性压缩时水平推力影响线座标: 一每其由,?:一舄{(1_口1』:(})+』(?l一(JFZ+JFJ)=j(!})?一等?.,FDr6)r81(9)^一一_L一一I,J一卅=y?40?云南公路科技代A(7)式,得:一(一,,IFI+JFJ1 4Jf,FD994年鹑l期(盖第51期上式中:(?J—F1+JFJ广.一即{=蚌桥手册下册最(I?),12计人弹性压缩时水平推力影响线座标:一?H—H—Hc,轴同力影响线座标: 】一A]/"其中?【一{蚓,uFKJFL)面L3..,即将式(16),(17)代人式(15)得: 一一j1?FK+JFL 上式中,(JFF/4)----即《拱桥》手册下册表(111),6..Vn?VI上式中,VD,一筒支粱坚向反力; V一一即《拱桥》手册下册表(m),7上式中,上边符号适合右半拱, 下边符号适合左半挺弗拱意截面轴力影响线座标为:NH?COSrp+V?sn0' d,芎矩影啊线座标:一?/__其中,?.,:砺L2【Jn(1a一.){+j(1,{)蕊=面L2(JFG+JFH)一南』ll蔚L(10)(13)(I4)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)?一将日无铰拱内力影响线座标及恒载内力计算程序柏培平'41'将式f21),(22)代人式(20)得: 一等1?图2=(23)如图2示,全拱分为24等分(Lw一24)时,求拱脚截面(JM(I)=0),L/4截面(JM(I)=6)等计算截面之全拱第J号(J从0,24)点之影响线座标,则:村M.一H?VX+M1式中,M一简支粱弯矩.单位力以左各点时:Mo=[(1一). 单位力以右各点时:M.一【(1)】., H+?).( F——一1.—JFI+—JFJ.r—chK—~-4J,Dm1?V,一?VJ?(f))?zL一【?TLw—M(f)?].L f24)(25)(25)(26)(271.把式(23)(25)或(25,)'(26),(27)代人式(24)中,可以发现M,中每项皆与L (计算跨径)有关即M/L为《拱桥》手册下册表(?)一13 故拱任意截面之弯矩影响线座标为:—M+??,=+???一(28)3,程序功能能计算等截面悬链线无铰拱全拱分N段,计算截面(NJM个)的内力影响线座标值显示或显示并打印出可供直接装订成册的全部计算座标值?42?云南公路科技1994年第1期(总第5I期)4,程序使用说明a,输入说明注意:每进行一次运算,必须按以下顺序输入DATA语句的数据. (1),(2)Lo,f0一一净跨径(m),净矢高(m);如fo/Lo=1/7时,则?=7,?fo=l.(3)L一一计算跨径(m);(4)f_一计算矢高(m);(5)m一一拱轴系数:(6)1x一一截面惯性矩(m');(7)MJ一一截面面积(m):(8)Lw一一全拱分段数.如全拱分24段,48段等,则Lw=25或Lw=48.(9)NJM一一计算截面总数.如NJMz5代表计算截面分别为拱脚,L/8,L/4,3L/8以及拱顶截面.(10)JM(I)一一计算截面情况值.如NJM=5,全拱分24段时,则JM(I)应分别为0,3,6,9,12.b输出说明第一页,打印计算题目及你输入的基础数据及一些计算结果,用汉字打印输出,以便于阅读.此页可作封面.第二页,以表格形式打印水平推力影响线座标计算结果.如下表所示:序号0#1#2#3#:?表值0.0000000.o065010.0234260.047384H(J)O.0O000OO.05l187O.184466O373l14DH(J)0.0000000.0008l7O.002944O_005955此表中,第一栏为序号,第二栏.表值即拱桥手册下册表(?)一l2.第三栏H1(J) 为各点不计弹性压缩时之水平推力影响线座标值,第四栏H(J)为各点计人弹性压缩时之水平推力影响线座标值.第五栏DH(J)=HI(J)一H(J). 第三页及以后各页,以表格形式列出各计算截面之弯矩及轴力影响线座标值.jm(i)=3Mz表值L十DH(J)(Ys—Y1)啪川?叫咖::0000无铰拱内力影响线座标及恒载内力计算程序柏松平?43? 序号0#1#2#3#4#表值M0.0000oOO.0o4275O.O162520.0347840.017195N=H(J){COS(FI)+V(J)SIN(F1)序号HO)O#O.000000 1#0.051187 2#0.184466 3#0373114 3#4#0594578 DH(J)O.0oO0oO 0.000817 0.002944 0.005955 0.009490 表值v0O0oOOO 0.005321 O020520 O.O44500 0955500 O923768 MO.0o0000 0.726620 2.763326 5.91572l 2-895568 N0.0000O0 0049742 O.179738036461206879880883766上表中,表值M指《拱桥》手册下册表(?】一13,表值V指《拱桥》手册下册表(?)一7.M,N分别为各计算截面全拱各点之弯矩轴力影响线座标值. 二,(空腹式)等截面悬链线无铰拱恒载内力计算程序拱桥的恒载内力,可按拱桥手册的公式进行计算,亦可用影响线加载的办法进行计算.但由于前者是把三铰拱之恒载压力线作为拱轴线,与无铰拱之拱轴线有一定偏差,故为确保计算精度,要考虑偏离值对内力的影响没有直接在影响线上加载计算直观,加上活载内力亦是用影响线上加载计算,如此则恒,活载内力计算假定完全一致.但如果先绘制影响线而后在其上加载,又会出现作图及读数误差若用计算机计算恒载位置处之内力影响线座标值,然后计算出恒载与影响线之乘积(Pi?Yi),把它们累加起来(?Pi?Yi),这样也就可直接求出各计算截面之恒载内力了.如果这个问题解决了,那么还可求出拱圈平置用拱上成坡之坡拱桥的恒载内力,还可计算左右半拱腹孔不对称的拱的恒载内力,拱桥加载各阶段的恒载内力……此计算程序就是基于这些考虑编写的.1,基本思路:由于前一个程序可计算出全拱在等分状况下各点的内力影响线座标,则恒载作用点处的影响线亦应可以算出.算出各恒载力Pi处之影响线座标值Yi后,该处的恒载内力为Pi?Yi,计算截面的恒载内力为:P=?Pi?Yi为恒载力总个数).』一I2.程序使用说明a,输入说明?44?云南公路科技[994年第】期(总第51期)诗意:每避学一次运算,必须按以下顺序输人DATA语句的数据. 【1卜一t8)一同内力影j线座标程序输入信息说明{9】DC一一恒载是否对称,对称时DC一1,非对称时DC=0. 此垃的对称指左右半拱恒载力的大小,方向作用点成正对称. 此处的非对称指左右半拱恒载力的大小,方向不对弥,但其作用点应正对称.若某半拱多一个力,则输入另半拱对称位置处应输入一个力(为0),使左右半拱力之作用点正对称.(10)Lzs一一全跨恒载力总个数.(11)P(i),x(i)一一从左拱脚至右拱脚各力的大小及其距拱顶之距离.单位:P(i)一t,X(i)一m.P(i)为正,表力竖直向下,P(i)为负,表力铅直向上.X(i)一一左半跨为负.右半跨为正当DC=l时,只须输入左半拱之P(i),X(i). 当DC=0时,须输入全拱之P(i),X(i).(12)NJM一一计算截面总数.(13)JM(I)一一计算截面情况值.b,输出说明第一页:打印计算题目及你输入的基础数据及一些计算结果,用汉字打印,便于阅读.第二页:以表格形式打印各恒载力之内力及推力总和. 一一一一水平推力……一一序号1世2#3#:HfJ)0373l15l0632841.632278PO)30.ooo00O 20.oooo00 1o00oooo表中.H(I)一一各恒载力处水平推力影响线座标值.P(I1,一各恒载力(t) x(T)一一各恒载力至拱顶之距离(m)Pix卜一各恒载内力,即P(I)+X(T).'推力总和即H=PiHi; 第三页及以后各页,打印各计算截面之弯矩和轴力. x(I)-64057650-42705100—21352550Pi十Hil1.193440 2126569016.322780无铰拱内力影响线座标厦恒载内力计算程序柏船平'45'jm(1)=0M一表值L-+DH(J)?(Ys—Ylj序号M(J)IIJ)1#一10.7891l03O000000 2#-83l03662O()000(~0 3#一1.09632210000004#2.7267255000000 5#7.4666235.000000 6#8.54042610.0000007#7.21417620000000 8#2.96194830.000000 N:H(J1?COS(FI)+V(J1tSIN(FI) 序号l#2#:N(J)0.7900261_33779lPfJ130.0o00o020.00o000上表中,M(J)一一各恒载力处弯矩影响线座标值; N(J)一一各恒载力处轴力影响线座标值: PlMi一一各恒载弯矩(卜m);PiNi一一各恒载轴力(t):M一一恒载弯矩总和(t一1"13):N一一恒载轴力总和(t)xo)-64o57650 -42.705l00 —2l35255O 一】O.0伽lo0O l0.000000 21.352550 42.705l00 64.057630 弯矩总和M—一】PiMi-3236732o0 一l662073o0 —10.963220 13.633620 37_333ll0 85.404270 l44.283500 88.85843031.3308(t-m)X(J).PiNi -64.05765023.70070 -42.70510026.755810 ????轴力总和N=132.5743(t) 三,小结1.程序一能以较高精度快速计算并打印输出无铰拱内力影响线座标值,其结果可直接装订供作计算活载内力时采用..2.程序二能较快进行以下几种情形的计算: ?无铰拱恒载内力;?拱圈平置时坡无铰拱之恒载内力; ?左右腹拱不对称时拱之恒载内力; ?无铰拱加载各阶段的内力:?快速计算一些已成(无铰拱)桥的恒载内力: @与程序一合用,可较快地分析一些已成(无铰拱)桥的通行(超载)能力计算。
拱桥计算
第三章 拱桥计算第一节 拱轴方程的建立教学内容：1、实腹式悬链线拱拱轴方程的建立2、空腹式悬链线拱拱轴方程的建立3、悬链线无铰拱的弹性中心重点：空腹式悬链线拱拱轴方程的建立、悬链线无铰拱的弹性中心 难点：1、逐次逼近法 2、五点重合法 3、弹性中心（一）实腹式悬链线拱拱轴方程的建立1、拱轴线方程的得出：实腹式悬链线拱采用恒载压力线作为拱轴线在恒载作用下，拱顶截面：0=d M ，由于对称性，剪力0=d Q ，仅有恒载推力g H 。
对拱脚截面取矩，则有：fMH jg ∑=式中 ∑jM——半拱恒载对拱脚截面的弯矩；g H ——拱的恒载水平推力（不考虑弹性压缩）；f ——拱的计算矢高。
对任意截面取矩，可得：gxH M y =1 式中 x M ——任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值；1y ——以拱顶为坐标原点，拱轴上任意点的纵坐标。
将上式两边对x 求二阶导数得：gx xg H g dx M d ．H dx y d ==222121 解此方程，则得拱轴线方程为：)1(11--=ξchk m fy 2 拱轴系数m ：拱轴系数：为拱脚与拱顶的恒载集度比拱脚截面：ξ=1，y 1=f ， )1m m ln(m ch k 21-+==- 当1=m 时，均布荷载。
压力线方程为：21ξf y = (二次抛物线) 当拱的矢跨比确定后，拱轴线各点的纵坐标（拱轴形状）将取决于m 。
（表3-3-1）供设计时根据拱轴系数确定拱轴坐标。
3．实腹式悬链线拱拱轴系数m 的确定方法：dj g g m =, d h g d d γγ+=1， γϕγγjd j dh h g cos 21++=式中 d h ——拱顶填料厚度，一般为～0.50m ；d ——拱圈厚度；γ——拱圈材料容重1γ——拱顶填料及路面的平均容重；2γ——拱腹填料平均容重j ϕ——拱脚处拱轴线的水平倾角。
jd d f h ϕcos 22-+= 由于j ϕ为未知，故不能直接算出m 值，需用逐次逼近法确定； 逐次逼近法：（1）根据跨径和矢高假定m 值，（2）由表3-3-4查得拱脚处的ϕtg ，求得ϕcos 值； （3）代入求得j g 后，再连同d g 一起代入算得m 值。
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M 1M 2 ds EI
FN1 FN2 ds EA
FQ1 FQ2 ds
GA
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x
X1=1
X1=1 K
y
M 1 1, FN1 0, FQ1 0
M2
y yS ,
FN2
cos,
FQ2
sin
M 3 x, FN3 sin , FQ3 cos
式中，MP、FQP和FNP分别为基本结构在荷载作用下该截面的 弯矩、剪力和轴力。
弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次 超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。
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【例7-14】试用弹性中心法计算图7-40a所示圆拱直墙刚架的弯 矩MA和MC。设EI=常数。
R
EI
Δ1P
M1M P ds 2
ys
x y
X2=1 X2=1
K
y
x
x X3=1 X3=1 K
y
式中，yS为刚臂长度；为
截面处拱轴切线与水平线之 间的夹角，在右半拱取正， 左半拱取负。
得
d12 d 21
(1) ( y yS ) ds 0 0 EI
y EI
ds
yS
1 ds EI
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由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔离 体的平衡条件或内力叠加公式[参见单位未知力引起的内力表
达式（d）]求得
M X1 X 2(y yS ) X3x M P
FQ X 2 sin X 3 cos FQP
FN X 2 cos X 3 sin FNP
d 22
M
2 2
ds
EI
FN22 ds EA
( y yS ) 2 ds EI
cos2
ds
EA
d 33
M
2 3
ds
EI
x2 ds
EI
Δ1P
M 1M P ds EI
Δ2 P
M 2 M P ds EI
Δ3 P
M 3 M P ds EI
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令d 12= d 21=0，便可得到刚臂长度yS为
1
y
Hale Waihona Puke ySEI 1EIds ds
(7-14)
EI
y O 弹性中心
ds y
x ys
为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等 于1/EI的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而式（7-14）就 是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结 构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为 弹性中心。
如果先按式（7-14）求出yS，即确定弹性中心的位置，并 将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图7-37d所示带刚臂的 基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法 就称为弹性中心法。
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二、荷载作用下的计算
力法方程简化为式
d11 X 1 Δ1P 0 d 22 X 2 Δ2 P 0 d 33 X 3 Δ3 P 0
M 2 y yS y 0.81R
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3）在荷载作用下
q
q
q
MP (曲杆段)
q R
ys y
MP (直杆段)
曲杆段
MP
q (R sin )2
2
qR 2 2
(1 cos )2
qR2 (1 cos )
直杆段
qR 2 qy 2 MP 2 2
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
R
A
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因 为
(qds) cos qdx
(qds) sin qdy
由于荷载对称，故反对称力X3=0
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(2)计算系数和自由项 由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为
y ys
X2 =1
M2
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
1）在X1=1作用下
基本体系
直、曲杆段 M 1 1
2）在X2=1作用下
曲杆段 直杆段
M2 y ys R(1 cos) 0.81R R(0.19 cos)
当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时， 或拱高f<l/5时，或拱高f >l/5且拱顶截面高度hc>l/10时，还需
考虑轴力对d 22的影响。即
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d11
M
2 1
ds
EI
1 ds EI
据此，可求得系数和自由项为
d11
M
2 1
ds
2
EI
EI
2 1 Rd
2
0
EI
2R
1
dy
5.14 R
R
EI
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d22
M
2 2
ds
2
EI EI
2 R2 (0.19-cos )2Rd
2
0
EI
2R
(y
0.81R)2 dy
2.04R3
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第二步，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端O处 切开。
FP A
C O
EI=∞ B
FP
C
x
X2 O
X2
ys
y
A
X1 X1
K
X3 X3
B
y
第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。
副系数d 12的算式如下：
d12
(1)求弹性中心位置
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
R
A
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
y ds
2
2 R(1 cos )Rd
2
2R
ydy
yS
EI EI 1 ds EI
0
2 EI
2 Rd
2
0
EI
EI R
2R
dy
R
0.81R
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第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数d 12 和d 21也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一
元一次方程：
d11 X 1 Δ1P 0
d 22 X 2 Δ2 P 0
FP
C
d 33 X 3 Δ3 P 0
O
EI=∞
A
B
下面，说明如何利用刚臂来达到上
述简化目的 。
第一步，把原来的无铰拱换成带刚 臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与 原来的无铰拱是等效的，可以相互 代替。