用弹性中心法计算对称无铰拱

(1)求弹性中心位置
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
R
A
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
y ds
2
2 R(1 cos )Rd
2
2R
ydy
yS
EI EI 1 ds EI
0
2 EI
2 Rd
2
0
EI
EI R
2R
dy
R
0.81R
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
令d 12= d 21=0，便可得到刚臂长度yS为
1
y
yS
EI 1
EI
ds ds
(7-14)
EI
y O 弹性中心
ds y
x ys
为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等 于1/EI的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而式（7-14）就 是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结 构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为 弹性中心。
据此，可求得系数和自由项为
d11
M
2 1
ds
2
EI
EI
2 1 Rd
2
0
EI
2R
1
dy
5.14 R
R
EI
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
d22
M
2 2
ds
2
EI EI
2 R2 (0.19-cos )2Rd
2
0
EI
2R
(y
0.81R)2 dy
2.04R3
如果先按式（7-14）求出yS，即确定弹性中心的位置，并 将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图7-37d所示带刚臂的 基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法 就称为弹性中心法。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
二、荷载作用下的计算
力法方程简化为式
d11 X 1 Δ1P 0 d 22 X 2 Δ2 P 0 d 33 X 3 Δ3 P 0
M 2 y yS y 0.81R
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
3）在荷载作用下
q
q
q
MP (曲杆段)
q R
ys y
MP (直杆段)
曲杆段
MP
q (R sin )2
2
qR 2 2
(1 cos )2
qR2 (1 cos )
直杆段
qR 2 qy 2 MP 2 2
ys
x y
X2=1 X2=1
K
y
x
x X3=1 X3=1 K
y
式中，yS为刚臂长度；为
截面处拱轴切线与水平线之 间的夹角，在右半拱取正， 左半拱取负。
得
d12 d 21
(1) ( y yS ) ds 0 0 EI
y EI
ds
yS
1 ds EI
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
(2)计算系数和自由项 由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为
y ys
X2 =1
M2
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
1）在X1=1作用下
基本体系
直、曲杆段 M 1 1
2）在X2=1作用下
曲杆段 直杆段
M2 y ys R(1 cos) 0.81R R(0.19 cos)
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
R
A
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因 为
(qds) cos qdx
(qds) sin qdy
由于荷载对称，故反对称力X3=0
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时， 或拱高f<l/5时，或拱高f >l/5且拱顶截面高度hc>l/10时，还需
考虑轴力对d 22的影响。即
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
d11
M
2 1
ds
EI
1 ds EI
M 1M 2 ds EI
FN1 FN2 ds EA
FQ1 FQ2 ds
GA
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
x
X1=1
X1=1 K
y
M 1 1, FN1 0, FQ1 0
M2
y yS ,
FN2
cos,
FQ2
sin
M 3 x, FN3 sin , FQ3 cos
R
EI
Δ1P
M1M P ds 2
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
第二步，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端O处 切开。
FP A
C O
EI=∞ B
FP
C
x
X2 O
X2
ys
y
A
X1 X1
K
X3 X3
B
y
第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。
副系数d 12的算式如下：
d12
d 22
M
2 2
ds
EI
FN22 ds EA
( y yS ) 2 ds EI
cos2
ds
EA
d 33
M
2 3
ds
EI
x2 ds
EI
百度文库
Δ1P
M 1M P ds EI
Δ2 P
M 2 M P ds EI
Δ3 P
M 3 M P ds EI
All Rights Reserved
第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数d 12 和d 21也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一
元一次方程：
d11 X 1 Δ1P 0
d 22 X 2 Δ2 P 0
FP
C
d 33 X 3 Δ3 P 0
O
EI=∞
A
B
下面，说明如何利用刚臂来达到上
述简化目的 。
第一步，把原来的无铰拱换成带刚 臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与 原来的无铰拱是等效的，可以相互 代替。
重庆大学土木工程学院®
由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔离 体的平衡条件或内力叠加公式[参见单位未知力引起的内力表
达式（d）]求得
M X1 X 2(y yS ) X3x M P
FQ X 2 sin X 3 cos FQP
FN X 2 cos X 3 sin FNP
式中，MP、FQP和FNP分别为基本结构在荷载作用下该截面的 弯矩、剪力和轴力。
弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次 超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
【例7-14】试用弹性中心法计算图7-40a所示圆拱直墙刚架的弯 矩MA和MC。设EI=常数。