电磁场与电磁波理论基础 曹建章 张正阶 李景镇 编著(第一章答案)
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习题一
1-1．在直角坐标系下，三个矢量A、B和C的分量式为 试求：（1）矢量A的单位矢量aA；（2）两矢量A和B之间的夹角θ； （3）A·B和A×B；（4）A·（B×C）和（A×B）·C；（5） （A×B）×C和A×（B×C）。
解 （1）矢量A的单位矢量为 （2）根据两矢量间的标量积，有 （3）根据
1-22．已知，，求。 解 根据矢量公式
将和代入，有 1-23．已知，，求。
解 根据矢量公式 将和代入，得到
1-24．（1）已知，求和； （2）已知，求； （3），求； （4），求。 解 （1）根据
将代入，得到
由
得到
（2）由题知，
根据
有
（3）根据 将代入，得到
（4）根据 将代入，得到
1-25．两个矢量场
解 由题知，矢量场的分量表达式为 题1-17图
根据柱坐标系下的散度表达式，有
散度的体积分为 通量的面积分为 显然，散度定理成立。
1-18．设区域内的通量密度为，求穿过在XY平面上的圆面的总通量。
题1-18图 解 根据通量计算公式，把通量密度矢量代入，得到
1-19．已知矢量场，计算如图所示（a）三角形路径的积分和三角形区 域的，（b）利用图（b）重新计算。
题1-20图
解 （a）由题可知，XY平面对应的θ应取π/2，φ应取， r取。而矢量 场在球坐标系下的分量为
根据 得到 则
将θ=π/2（θ取常数）代入式
有
闭合线积分分三段：第一段积分φ=0，；第二段积分r=2，；第三段 积分φ=π，。因此有 显然，斯托克斯定理成立。
（b）由题可知，XY平面对应的θ应取π/2，φ应取， r取。同理，有
有根据方向导数的定义，得到在X、Y和Z方向的变化率分别为
1-10．求数量场经过点P（1，1，2）的等值面方程。 解 数量场的等值面方程为
由于等值面过P点，则有
所以，过P点的等值面方程为
1-11．求矢量场的矢量线方程。 解 由题知
根据矢量线百度文库分方程
得到
有
，，
求解该微分方程，得到矢量线方程为
，，
即
，
1-12．求数量场在点P（2，0，-1）处沿方向的方向导数。
有
（4）由已知矢量，有
（5）根据 有
1-2．证明三个矢量 在同一平面上。
解 三个矢量在同一平面上，必有 同理也可得到 1-3．给定两矢量和，求在矢量上的投影。 解 由已知矢量，有
由此得到矢量在矢量上的投影为
1-4．已知位置矢量和，求两点间的距离矢量R。 解 根据距离矢量的定义，有
1-5．已知矢量和，求与矢量平行的单位矢量，并计算此单位矢量与X轴 之间的夹角。
（1）哪一个矢量场可以由一个标量函数的梯度表示？哪一个矢量场可 以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求矢量场的源分布。
解 （1）根据直角坐标和驻坐标系下的散度和旋度公式，分别计算 矢量场A和B的散度和旋度，有
显然，矢量场A是有散无旋场，即
属于第二类场，由于梯度的旋度恒为零，所以矢量场A可表为标量场u 的梯度，即取
解 令矢量A和矢量B之和为C，有 则与矢量A+B平行的单位矢量为
单位矢量C0与X轴之间的夹角设为θ，有 1-6．将直角坐标系下的位置矢量
转换成柱坐标和球坐标系下的位置矢量。 解 根据位置矢量
首先求出相对应的位置矢量的ρ和r，有 由此得到
1-7．在球坐标系下矢量场的数学描述为
试写出该矢量场在直角坐标系下的表达式。 解 由题知
矢量场B是无散有旋场，即
属于第三类场，由于旋度的散度恒为零，所以矢量场B可表为矢量场F 的旋度，即取
（2）矢量场A的散度不为零，即存在产生矢量场A的散度源，记为 ρV，则有
矢量场B的旋度不为零，即存在产生矢量场B的旋度源，记为J，则有
解 根据
得到数量场在点P处的梯度为
在点P处l的单位矢量为
由此可得，在点P处的方向导数为
1-13．设，求在点P（1,-2,1）的。 解 根据直角坐标系下的梯度表达式，有
1-14．设，求在P（1,-1,2）的。 解 根据直角坐标系下的散度表达式，有
1-15．设，求，其中r为空间点P（x, y, z）的位置矢量的大小。 解 由题知，矢量场A仅有Ax分量，因此，根据直角坐标系下的旋度
利用变换矩阵
得到
由此得到
其中
由此可见，在球坐标系下矢量场F具有比较简洁的表达式，而在直角坐 标系下，F的表达式要复杂的多。 1-8．在柱坐标系下描述矢量场的数学表达式为
在圆柱ρ=4的一点P(4, π, 2)处，求 （a）矢量F垂直于该圆柱的分量； （b）矢量F相切于该圆柱的分量。 解 在圆柱面上任一点，垂直于圆柱的分量为Fρ，而切于圆柱的分量
为Fφ和Fz。将点P（4，π，2）代入矢量场的表达式，有
可知
由此得到，矢量F垂直于该圆柱的分量为
而矢量F相切于该圆柱的分量为
1-9．求数量场在点P（-1，0，1）相对于距离的最大变化率，并求在 X、Y和Z方向的变化率。
解 数量场梯度的大小其物理意义就是数量场物理量相对于距离的最 大变化率，由于
将点P（-1，0，1）代入，得到
表达式，有
1-16．对于矢量场，计算以下内容验证散度定理：（a）设立方体以原 点为中心，边长为2单位，计算流出立方体的总通量；（b）计算在该立 方体中的体积分。
题1-16图 解 （a）矢量场对立方体表面的面积分为
（b）将矢量场相应分量代入散度公式，得到
散度对立方体的体积分为
由此可见，散度定理成立。 1-17．对于矢量场，应用，z=0, z=4的圆柱区域验证散度定理。
解 （a）根据环量计算公式，将矢量场代入，得到
题1-19图
根据直角坐标系下旋度计算公式，有
根据通量计算公式，将矢量场代入，得到 （b）根据环量计算公式，将矢量场代入，得到
根据通量计算公式，将矢量场代入，得到
1-20．已知矢量场，计算以下积分并验证斯托克斯定理：（a）沿如图 所示的半圆路径的积分和半圆区域的积分；（b）如图所示路径重新计 算积分和。
将θ=π/2（θ取常数）代入式
有
闭合线积分分四段：第一段积分φ=0，；第二段积分r=2，；第三段 积分φ=π/2，；第四段积分r=1，。因此有
显然，斯托克斯定理成立。 1-21．求下列矢量场的散度和旋度：
（1）； （2）； （3）。 解 根据直角坐标系下的散度和旋度表达式，有 （1） （2） （3）
1-1．在直角坐标系下，三个矢量A、B和C的分量式为 试求：（1）矢量A的单位矢量aA；（2）两矢量A和B之间的夹角θ； （3）A·B和A×B；（4）A·（B×C）和（A×B）·C；（5） （A×B）×C和A×（B×C）。
解 （1）矢量A的单位矢量为 （2）根据两矢量间的标量积，有 （3）根据
1-22．已知，，求。 解 根据矢量公式
将和代入，有 1-23．已知，，求。
解 根据矢量公式 将和代入，得到
1-24．（1）已知，求和； （2）已知，求； （3），求； （4），求。 解 （1）根据
将代入，得到
由
得到
（2）由题知，
根据
有
（3）根据 将代入，得到
（4）根据 将代入，得到
1-25．两个矢量场
解 由题知，矢量场的分量表达式为 题1-17图
根据柱坐标系下的散度表达式，有
散度的体积分为 通量的面积分为 显然，散度定理成立。
1-18．设区域内的通量密度为，求穿过在XY平面上的圆面的总通量。
题1-18图 解 根据通量计算公式，把通量密度矢量代入，得到
1-19．已知矢量场，计算如图所示（a）三角形路径的积分和三角形区 域的，（b）利用图（b）重新计算。
题1-20图
解 （a）由题可知，XY平面对应的θ应取π/2，φ应取， r取。而矢量 场在球坐标系下的分量为
根据 得到 则
将θ=π/2（θ取常数）代入式
有
闭合线积分分三段：第一段积分φ=0，；第二段积分r=2，；第三段 积分φ=π，。因此有 显然，斯托克斯定理成立。
（b）由题可知，XY平面对应的θ应取π/2，φ应取， r取。同理，有
有根据方向导数的定义，得到在X、Y和Z方向的变化率分别为
1-10．求数量场经过点P（1，1，2）的等值面方程。 解 数量场的等值面方程为
由于等值面过P点，则有
所以，过P点的等值面方程为
1-11．求矢量场的矢量线方程。 解 由题知
根据矢量线百度文库分方程
得到
有
，，
求解该微分方程，得到矢量线方程为
，，
即
，
1-12．求数量场在点P（2，0，-1）处沿方向的方向导数。
有
（4）由已知矢量，有
（5）根据 有
1-2．证明三个矢量 在同一平面上。
解 三个矢量在同一平面上，必有 同理也可得到 1-3．给定两矢量和，求在矢量上的投影。 解 由已知矢量，有
由此得到矢量在矢量上的投影为
1-4．已知位置矢量和，求两点间的距离矢量R。 解 根据距离矢量的定义，有
1-5．已知矢量和，求与矢量平行的单位矢量，并计算此单位矢量与X轴 之间的夹角。
（1）哪一个矢量场可以由一个标量函数的梯度表示？哪一个矢量场可 以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求矢量场的源分布。
解 （1）根据直角坐标和驻坐标系下的散度和旋度公式，分别计算 矢量场A和B的散度和旋度，有
显然，矢量场A是有散无旋场，即
属于第二类场，由于梯度的旋度恒为零，所以矢量场A可表为标量场u 的梯度，即取
解 令矢量A和矢量B之和为C，有 则与矢量A+B平行的单位矢量为
单位矢量C0与X轴之间的夹角设为θ，有 1-6．将直角坐标系下的位置矢量
转换成柱坐标和球坐标系下的位置矢量。 解 根据位置矢量
首先求出相对应的位置矢量的ρ和r，有 由此得到
1-7．在球坐标系下矢量场的数学描述为
试写出该矢量场在直角坐标系下的表达式。 解 由题知
矢量场B是无散有旋场，即
属于第三类场，由于旋度的散度恒为零，所以矢量场B可表为矢量场F 的旋度，即取
（2）矢量场A的散度不为零，即存在产生矢量场A的散度源，记为 ρV，则有
矢量场B的旋度不为零，即存在产生矢量场B的旋度源，记为J，则有
解 根据
得到数量场在点P处的梯度为
在点P处l的单位矢量为
由此可得，在点P处的方向导数为
1-13．设，求在点P（1,-2,1）的。 解 根据直角坐标系下的梯度表达式，有
1-14．设，求在P（1,-1,2）的。 解 根据直角坐标系下的散度表达式，有
1-15．设，求，其中r为空间点P（x, y, z）的位置矢量的大小。 解 由题知，矢量场A仅有Ax分量，因此，根据直角坐标系下的旋度
利用变换矩阵
得到
由此得到
其中
由此可见，在球坐标系下矢量场F具有比较简洁的表达式，而在直角坐 标系下，F的表达式要复杂的多。 1-8．在柱坐标系下描述矢量场的数学表达式为
在圆柱ρ=4的一点P(4, π, 2)处，求 （a）矢量F垂直于该圆柱的分量； （b）矢量F相切于该圆柱的分量。 解 在圆柱面上任一点，垂直于圆柱的分量为Fρ，而切于圆柱的分量
为Fφ和Fz。将点P（4，π，2）代入矢量场的表达式，有
可知
由此得到，矢量F垂直于该圆柱的分量为
而矢量F相切于该圆柱的分量为
1-9．求数量场在点P（-1，0，1）相对于距离的最大变化率，并求在 X、Y和Z方向的变化率。
解 数量场梯度的大小其物理意义就是数量场物理量相对于距离的最 大变化率，由于
将点P（-1，0，1）代入，得到
表达式，有
1-16．对于矢量场，计算以下内容验证散度定理：（a）设立方体以原 点为中心，边长为2单位，计算流出立方体的总通量；（b）计算在该立 方体中的体积分。
题1-16图 解 （a）矢量场对立方体表面的面积分为
（b）将矢量场相应分量代入散度公式，得到
散度对立方体的体积分为
由此可见，散度定理成立。 1-17．对于矢量场，应用，z=0, z=4的圆柱区域验证散度定理。
解 （a）根据环量计算公式，将矢量场代入，得到
题1-19图
根据直角坐标系下旋度计算公式，有
根据通量计算公式，将矢量场代入，得到 （b）根据环量计算公式，将矢量场代入，得到
根据通量计算公式，将矢量场代入，得到
1-20．已知矢量场，计算以下积分并验证斯托克斯定理：（a）沿如图 所示的半圆路径的积分和半圆区域的积分；（b）如图所示路径重新计 算积分和。
将θ=π/2（θ取常数）代入式
有
闭合线积分分四段：第一段积分φ=0，；第二段积分r=2，；第三段 积分φ=π/2，；第四段积分r=1，。因此有
显然，斯托克斯定理成立。 1-21．求下列矢量场的散度和旋度：
（1）； （2）； （3）。 解 根据直角坐标系下的散度和旋度表达式，有 （1） （2） （3）