严格平稳随机过程
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平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
第十二章-平稳随机过程
7
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
P59图2.6
(d ) : E[ X (t )] E[ A cos(t )]
E[ A] E[cos(t )]
X (t ) A cos(t )
cos( ) cos cos sin sin
E[cos(t ) cos sin(t ) sin ]
f X ( x, t ) f X ( x, t ) 令 t , 则有 : f X ( x, t ) f X ( x,0) f X ( x)
a[sin(0T ) sin( 0T )] lim 0 T 2T0
E[ X值具有各态历经性 .
17
1 T X (t ) X (t ) lim T X (t ) X (t )dt T 2T 1 T lim T a cos(0t ) a cos(0t 0 )dt T 2T a2 T lim T cos(0t ) cos(0t 0 )dt T 2T T a2 T lim [ cos(20t 0 2 )dt cos(0 )dt] T T T 4T a2 a2 lim 2T cos(0 ) cos(0 ) RX ( ) T 4T 2
平稳过程X (t )和Y (t )的互相关函数具有联合 各态 历经性的充要条件与上 式相似, 只是将相应的自 相关函数改为互相关函 数即可.
4、 对于均值为零的平稳高 斯过程X (t ), 若自相关函数 连续, 各态历经的充要条件是 :
0
RX ( ) d
21
严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关
2
2.2.1 严平稳过程
如果对于任意的 , 随机过程X (t )的任意n维概率密度满足 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) 则称X (t )为严平稳过程 .
(d ) : E[ X (t )] E[ A cos(t )]
E[ A] E[cos(t )]
X (t ) A cos(t )
cos( ) cos cos sin sin
E[cos(t ) cos sin(t ) sin ]
f X ( x, t ) f X ( x, t ) 令 t , 则有 : f X ( x, t ) f X ( x,0) f X ( x)
a[sin(0T ) sin( 0T )] lim 0 T 2T0
E[ X值具有各态历经性 .
17
1 T X (t ) X (t ) lim T X (t ) X (t )dt T 2T 1 T lim T a cos(0t ) a cos(0t 0 )dt T 2T a2 T lim T cos(0t ) cos(0t 0 )dt T 2T T a2 T lim [ cos(20t 0 2 )dt cos(0 )dt] T T T 4T a2 a2 lim 2T cos(0 ) cos(0 ) RX ( ) T 4T 2
平稳过程X (t )和Y (t )的互相关函数具有联合 各态 历经性的充要条件与上 式相似, 只是将相应的自 相关函数改为互相关函 数即可.
4、 对于均值为零的平稳高 斯过程X (t ), 若自相关函数 连续, 各态历经的充要条件是 :
0
RX ( ) d
21
严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关
2
2.2.1 严平稳过程
如果对于任意的 , 随机过程X (t )的任意n维概率密度满足 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) 则称X (t )为严平稳过程 .
第五讲平稳随机过程与各态历经过程
第五讲 平稳随机过程与各态历经过程5．1 平稳随机过程在通信与信息领域，很多随机过程都是平稳的或近似平稳的，这是最简单的一类随机过程。
观察随机过程：)cos()(Φ+Ω=t A t X ：)cos()(Φ+=t a t X ω： )cos()(ϕω+=t A t X ： )cos()(ϕ+Ω=t a t X ：当（a）（d）中的Φ服从某种分布时，它们的数学期望和方差很可能2,0[π均匀分布不随时间而改变（平稳的概念）；当（a）中的Φ服从]时，任何一个样本都可代表这个过程（各态历经的概念）。
5.1.1严平稳过程性质：5.1.2宽（广义）平稳过程例题：3.1.3 各态历经过程例题：例2：5.2 平稳随机过程相关性分析5.2.1 自相关函数的性质性质1 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 )()(ττ-=X X R R 同样可得 )()(ττ-=X X C C性质2 平稳过程的均方值就是自相关函数在0=τ时的非负值0)]([)0(2≥=t X E R X性质3 平稳过程X(t)自相关函数的最大值在0=τ处 )()0(τX X R R ≥ 同理可证 )()0(τX X C C ≥性质4 周期平稳过程X(t)的自相关函数是周期函数，且与周期平稳过程的周期相同 )()(ττX X R T R =+注：若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+T)，则称它为周期平稳过程，其中T 为过程的周期。
性质5 非周期平稳过程X(t)的自相关函数满足)()0()()(lim 22∞-==∞=∞→X X X XX X R R m R R σττ从上面的讨论看出，对于一个平稳随机过程，自相关函数是它的最重要的数字特征，由它可得到其它的数字特征：数学期望 )(∞±=X X R m 均方值 )0()]([2X R t X E = 方差 )()0(2∞-=X X X R R σ 协方差 )()()(∞-=X X X R R C ττ例：已知非周期平稳随机过程X(t)的自相关函数为231916)(ττ++=X R求：X(t)的均值和方差。
概率论第三章 平稳随机过程
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程)
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
2平稳随机过程
平稳随机过程
一、定义回顾
1. 严、宽平稳随机过程(后者为主)
2. 数字特征。（二阶矩条件， x ，Rx()， Rx(m) ）
例 1. 设状态连续、时间离散的随机过程，
X n s2 inn , n 1 ,2 ,
其中 ~U(0,1) 是随机变量。讨论序列的平稳性。
解. 首先验证是否为二阶矩过程。然后考虑
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]} =E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY()
可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
E(Xn)01si2 nndxx0
RX (n, n m) E( X n X nm )
1
0 sin 2nx sin 2 (n m)xdx
1
1
[cos 2mx cos2 (2n m)x]dx
20
1
/ 2, m 0 0, m 0
,
只依赖于m，所以是平稳序列。
例 2. 设随机过程，
不依赖于t？
依赖与Y的方差是否为零。
E [Y2]0 P (Y0)1 ,
与题设矛盾，故非平稳。
二、自相关函数的性质（平稳）
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0
性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx() 证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
一、定义回顾
1. 严、宽平稳随机过程(后者为主)
2. 数字特征。（二阶矩条件， x ，Rx()， Rx(m) ）
例 1. 设状态连续、时间离散的随机过程，
X n s2 inn , n 1 ,2 ,
其中 ~U(0,1) 是随机变量。讨论序列的平稳性。
解. 首先验证是否为二阶矩过程。然后考虑
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]} =E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY()
可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
E(Xn)01si2 nndxx0
RX (n, n m) E( X n X nm )
1
0 sin 2nx sin 2 (n m)xdx
1
1
[cos 2mx cos2 (2n m)x]dx
20
1
/ 2, m 0 0, m 0
,
只依赖于m，所以是平稳序列。
例 2. 设随机过程，
不依赖于t？
依赖与Y的方差是否为零。
E [Y2]0 P (Y0)1 ,
与题设矛盾，故非平稳。
二、自相关函数的性质（平稳）
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0
性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx() 证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
随机过程第六章
2 X
mx2
若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。
对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)， 若令ε=-t1，则
F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ)
1.
l.i.mcn
lim
n
cn
c
2. l.i.mU U
3. l.i.m(cnU ) cU
4. l.i.m(aX n bYn ) aX bY
5.
lim
n
E[
X
n
]
E[ X
]
E[l.i.mXn
]
6.
lim
n,m
E[
X
nYm
]
E[
XY
]
E[(l.i.mX
n
)(l.i.mYm
)]
定理6.2
设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在：
各态历经定理的意义：
一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的
时间平均代替过程的集合平均，即
mX
l.i.m 1 T T
T
x(t)dt,
0
RX
(t)
l.i.m
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下列估
计式
l.i.m 1
T 2T
T
T X (t) X (t ) dt RX ( )
2-2 平稳随机过程和各态历经过程
18
1 lim T →∞ T
∫
2T
0
(1 −
τ1
2T
)[ B (τ 1 ) − R 2 (τ )]d τ 1 = 0 X
证：
E < X (t ) >= E [
l .i . m T →∞
1 2T
∫
T
−T
X (t ) dt ] =
l .i . m T →∞
1 2T
∫
T
−T
E [ X (t )]dt
=
l .i . m T →0
13
例题
的时间平均为： 解： X(t)的时间平均为： 的时间平均为
1 T /2 X (t ) = lim ∫ A cos(ωc t + θ )dt = 0 −T / 2 T →∞ T
X(t)的时间相关函数： 的时间相关函数： 的时间相关函数
1 T /2 R (τ ) = lim ∫ A cos(ω c t + θ ) ⋅ A cos[ω c (t + τ ) + θ ]dt −T / 2 T →∞ T T /2 A2 T / 2 = lim ∫−T / 2 cos ω cτ dt + ∫−T / 2 cos( 2ω c t + ω cτ + 2θ ) dt T → ∞ 2T
∀∈ f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) = f X ( x1, x2 ; t1 + λ, t2 + λ)
令λ =−t 1 → f X ( x1x2;0, t 2 − t1) = f X ( x1, x2;τ )
RX (t1, t2 ) = ∫
∞
−∞ −∞ 1
∫
∞
随机过程第五章 平稳随机过程
1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
电子科技大学
随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,
),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
电子科技大学
三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
电子科技大学
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
电子科技大学
讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0
第3章平稳随机过程总
在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
2cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
Z(t)是广义平稳的
E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
所以X(t)是非平稳的。
2 宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程） • 由于求n维概率密度比较困难，有时只用到一、二
阶矩，如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自 相关函数），因此，平稳性的定义不需要那么严格， 若随机过程 X(t)满足
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
• 严平稳与宽平稳的关系： 宽平稳只涉及与一、二维概率密度有关的数字 特征； 严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平 稳的，反之不一定成立； 正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。
E(Y
2)
(1)2
2 3
22
1 3
2 3
4 3
2
E( X 3) E(Y 3) (1)3 2 23 1 2
随机过程的功率谱密度
Rˆ X
(
)
1 2T
T
x(t ) x(t )dt
T
一、联合分布
二维联合分布函数：
FXY (x1, y1,t1,t1' ) P{X (t1) x1,Y (t1' ) y1}
二维联合概率密度：
f XY (x1, y1, t1, t1' ) 2FXY (x1, t1, y1, t1' )
x1y1
性质：
RXY (t1, t2 ) RXY ( ), t1 t2
RXY ( ) RYX ( ) KXY ( ) KYX ( )
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
K XY
( )
2
2 X
2 Y
若 X (t)与Y (t)是联合平稳旳，则 Z (t) X (t) Y (t) 是平稳旳。
K X (0)KY (0)
XY
广义联合平稳旳定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , RXY (t1, t2 ) RXY ( ), t1 t2
随机过程旳功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
平稳随机过程：维纳－辛钦定理 RX ( ) GX ()
2 4 10 2
9
求有关函数。
例3、若平稳过程X(t)旳功率谱密度为
GX
(
)
[1
1
2
]2
求有关函数。
二、平稳随机序列旳功率谱密度
对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度
GX ()
RX (m)e jm
m
傅里叶 变换对
第十二章 平稳随机过程
{ X t }是严平稳过程当且仅当 （）所有的X t同分布。 1 （2）对任意n ≥ 2, ( X t1 , X t2, ..., X tn )的分布 仅与时间差t2 − t1,t3 − t2, ..., tn − tn −1有关， 而与起始时间t1无关。
严平稳过程的数字特征：
设严平稳过程 { X ( t )} 是二阶矩过程，则 （1）µ X ( t ) = E X ( t ) = E X ( 0 ) ＝＝ µ X ( 常数 ) （2）RX ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) X ( t2 ) = E X ( 0 ) X ( t2 − t1 ) ＝＝ RX ( t2 − t1 )
解： X ( t ) > = lim 1 < T →+∞ 2T
将Θ看作一定值
X ( t ) = acos (ω t + Θ )的时间平均
T
∫
−T
acos (ω t + Θ ) dt
a sin (ωT + Θ ) − sin ( −ωT + Θ ) ＝＝＝＝ lim T →+∞ 2T ω
20
独立同分布平稳序列的均值遍历性
设X 1 ,K , X n， , 独立同分布，EX 1 = µ , DX 1 = σ 2 > 0, K 则大数定理成立：
1 p → ∑ X i µ n i =1
n
定理一： (均值各态历经定理 ) P{< X (t ) >= µ X } = 1 ⇔ 1 lim T →+∞ T
1 2 n
t1 , t2 ,L tn ∈ T 和任意实数h，当t1 + h, t2 + h,L , tn + h ∈ T 时,
平稳过程
, xn ; t1 , t2 ,
, tn ) , tn )
, xn , t1 , t2 ,
则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计 算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机 过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一 特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及 数字特] (t ) f ( )d
0 T
T
0
1 S (t ) d T
1 t T 1 T E [ X (t )] S ( )d S ( )d 常数 T t T 0
又∵
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E [ X (t ) X (t )] E [ S (t ) S (t )] S (t ) S (t ) f ( )d
定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如
果
且
E [ X (t )] M X 常数
E [ X 2 (t )] , RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [ E (t )], RX (t1 , t2 )
1 RX (t1 , t2 ) xk (t1 ) xk (t2 ) n k 1 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 xi (t ), i 1, 2,
性质4.2
严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程
tn
严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程；但 宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程 对正态（高斯）随机过程而言，宽平稳和严 平稳等价 若不加特别说明，平稳过程都是指宽平稳随 机过程 18 北京工业大学电控学院
3.3 平稳随机过程
联合宽平稳随机过程
若X t , Y t 均为宽平稳随机过程，且有 其中t2 t1 ，则X t , Y t 为联合宽平稳随机过程 RXY t1 , t2 E X t Y t RXY
设有一随机实验的样本空间为。对任一 时间参数t T , ，都有一定义在 上的随机变量X t 与之对应，则称
X t , t T 为一随机过程。一般也可把随
机过程简记为X t 。
5
北京工业大学电控学院
3.1 引言
随机过程的两个含义
在某一个确定的时刻，随机过程表现为一个 随机变量，随机过程看作是在时间进程中处 于不同时刻的随机变量的集合。 随机过程X(t)的一个具体取值形成一个样本 函数，用x(t)表示，即随机过程是所有样本 函数的集合
2
2 2 E X t m X t
3自相关函数，不同时刻的随机变量之间的关联程度
RX t1 , t2 E X t1 X t2 x1 x2 p2 x1 , x2 , t1 , t2 dx1dx2
北京工业大学电控学院 9
但宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程?对正态高斯随机过程而言宽平稳和严平稳等价对正态高斯随机过程而言宽平稳和严平稳等价?若不加特别说明平稳过程都是指宽平稳随机过程12121212nnnnnnpxxxtttpxxxttt????18北京工业大学电控学院33平稳随机过程?联合宽平稳随机过程1221xyxyxtytrttextytrttxtyt?????若均为宽平稳随机过程且有其中则为联合宽平稳随机过程19北京工业大学电控学院33平稳随机过程?平稳随机过程相关函数的性质2222210230450xxxxxxxxrexttrrrrrextaxtxtrr??????????是与无关一般时可以认为统计平均功和相互独立为方差表示过程的率直流功率交流功率20北京工业大学电控学院xrextxt33平稳随机过程?遍历性均值遍历过程1lim12tttxtxtxtxtdtpextxttxt??????的样函数的时间平均值若则为均值遍历过程21北京工业大学电控学院33平稳随机过程?遍历性自相关遍历过程1lim21tttxxtxtxtxtxtxtdttprxtxtxt??的样函数的自相关平均值若则为自相关遍历过程22北京工业大学电控学院33平稳随机过程?遍历性含义?平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间平均值可用时间平均代替统计平均平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间平均值可用时间平均代替统计平均?随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态随机过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态23北京工业大学电控学院33平稳随机过程?遍历性宽遍历与严遍历?若xt是均值遍历和自相关遍历的则称其为宽遍历过程?若xt的所有统计平均特性和其样本函数所有相应的时间平均特性以概率为1相等则称其为严遍历过程或狭义遍历过程?如不加特别说明遍历过程均指宽遍历过程24北京工业大学电控学院33平稳随机过程?遍历性遍历与平稳?遍历过程必是平稳过程
三.平稳随机过程ppt课件
10
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
13
5.1.3 循环平稳性
14
5.1.3 循环平稳性
15
5.1.3 循环平稳性
16
5.1.3 循环平稳性
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
13
5.1.3 循环平稳性
14
5.1.3 循环平稳性
15
5.1.3 循环平稳性
16
5.1.3 循环平稳性
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
三.平稳随机过程
被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。 * 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
5.1 平稳随机过程
5.1.1 严平稳 (1) 定义
t1
t2
tn
如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 tn t1 t2 n 维概率密度满足：
f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n ) f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
mX (t ) EX t E t 2 A sin t B cost t 2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t ) A sin t B cost mY (t ) EY t EA sin t B cost 0 RY (t1 , t2 ) EY t1 Y t2 E A sin t1 B cost1 A sin t2 B cost2
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
严格平稳随机过程
计算举例
2.3 平稳随机过程
严格随机过程
广义平稳随机过程 平稳随机过程自相关函数性质 循环平稳过程 各态历经过程
2.3 平稳随机过程 严格平稳 K阶严平稳 渐近平稳 广义平稳 循环严平稳 循环广义平稳
随 机 过 程 的 平 稳 性
2.3-1 严格平稳随机过程（Strict Wide-Stationary, SSS)
所以， X(t)不是严平稳的。
2
例2.3-2：随机相位信号
~U(0,2) 判断X(t)是否严平稳。 解：在例2.2-3中，我们得到了
不难证明， 但X(t)的N维分布很难确定。
本节小结：
严格平稳
统计特性不随时间起点的变化而变化，
性质
f X ( x, t ) f X ( x) 均值、方差为常数，
只依赖于，与 t1 和 t2 的具体取值无关。
2. 严格平稳过程的性质
如果X(t)是严格平稳随机过程, 则
1 2
,
Байду номын сангаас
1 2
1
x 2f ( , t 2,( t )dx 1 x2 , x 1 ) dx
t1 t2
()
2. 严格平稳过程的性质
4
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 0 100 200 300 400 500 Stationay Gaussian Noise
4
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 0
Non-stationay Gaussian Noise
100
200
300
400
500
2. 严格平稳过程的性质
可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。 IID: Independent and Identical Distribution 即对于任意的n，X(n)具有相同的一维概率密度，且对 任意n1和n2(n1n2 ), X(n1)和X(n2)相互独立。 利用独立性 利用同分布
严格平稳随机过程的定义
严格平稳随机过程的定义
设X(t)为一个随机过程，t为时间。
如果对于任意n个时间点
t1,t2,...,tn，以及任意时间差Δt，所有的n维联合概率分布函数
F(x1,x2,...,xn)满足以下条件：
1. 对于任意Δt，概率分布函数F(x1,x2,...,xn)与
F(x1+Δt,x2+Δt,...,xn+Δt)相等。
2. 对于任意的时间点t1,t2,...,tn，概率分布函数F(x1,x2,...,xn)与F(x1+t1,x2+t2,...,xn+tn)相等。
若随机过程X(t)满足上述条件，则称其为严格平稳随机过程。
1.均值和协方差不随时间改变：对严格平稳随机过程，其均值和协方
差不随时间的改变而改变。
也就是说，均值和协方差是常数，与时间无关。
2.自相关函数不随时间改变：严格平稳随机过程的自相关函数是时间
差的函数，而不是时间本身的函数。
这意味着自相关函数在时间推移下保
持不变。
3.同时分布相同：严格平稳随机过程的同时分布相同。
也就是说，随
机过程在不同时间点上的取值有相同的分布，随机过程的统计特性是稳定的。
4.低阶矩不随时间改变：严格平稳随机过程的低阶矩（如均值和方差）不随时间的改变而改变。
这是严格平稳性的重要特征。
总之，严格平稳随机过程是一种具有稳定统计特性的随机过程，其概
率分布函数在时间推移下保持不变。
严格平稳性为我们对随机过程进行建
模和分析提供了便利，因为我们可以假设该随机过程的统计特性不随时间改变，从而使用一系列数学方法来描述和预测其行为。
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1. 严格平稳的定义
定义: 随机过程 X(t)的任意N维统计特性与时间起点无关。
（*）
严平稳最基本的特征是时间起点的平移不影响它
的统计特性，即X(t)与X(t+t)具有相同的统计特性。
如果(*)式只对Nk成立，称为k阶严平稳 如果(*)式只对t时成立，称为渐近严平稳
2. 严格平稳过程的性质
如果X(t) 是严格平稳的,则 f X ( x, t ) f X ( x) 与t无关。
如果X(t)是严格平稳随机过程, 则
1 2 , 1 2 1x 2f (1 x2, x 1, t2,(t )dx) dx
()
t1 t2
2. 严格平稳过程的性质
Stationay Gaussian Noise 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
100 200 300 400 500
Non-stationay Gaussian Noise 4
利用独立性
利用同分布
与n无关
3. 计算举例
例2.3-1：随机幅度信号 X (t ) Y cos 0t
0 是常数 Y ~ N (0,1)
判断X(t)是否严平稳。
由例2.2-1可知：
1
1 x 2
f X ( x, t )
exp
2 cos 0t 2 cos 0t
所以， X(t)不是严平稳的。
2.3 平稳随机过程
严格随机过程 广义平稳随机过程 平稳随机过程自相关函数性质 循环平稳过程 各态历经过程
2.3 平稳随机过程
严格平稳
随
机
K阶严平稳
过
渐近平稳
程
的
广义平稳
平
循环严平稳
稳
性
循环广义平稳
2.3-1 严格平稳随机过程（Strict Wide-Stationary, SSS)
严格平稳的定义 严格平稳过程的性质 计算举例
例2.3-2：随机相位信号 ~U(0,2) 判断X(t)是否严平稳。 解：在例2.2-3中，我们得到了
不难证明， 但X(t)的N维分布很难确定。
本节小结： 严格平稳
统计特性不随时间起点的变化而变化，
性质
f X ( x, t ) f X ( x)均值、方差为常数，
计算举例
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
பைடு நூலகம்
0
100 200 300 400 500
2. 严格平稳过程的性质 可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。 IID: Independent and Identical Distribution 即对于任意的n，X(n)具有相同的一维概率密度，且对 任意n1和n2(n1n2 ), X(n1)和X(n2)相互独立。
二维概率密度
f X ( x1 , x2 , t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 , t1 t, t2 t ) f X ( x1 , x2 , t1 t2 , 0) t t2 f X ( x1 , x2 , )
只依赖于，与 t1 和 t2 的具体取值无关。
2. 严格平稳过程的性质