第五章晶体中电子能带理论小结

布里渊区（一个倒格子原胞区间内）：
电子的波矢密度为： V
(2π)3
近自由电子近似对许多价电子为s电子、p电子的金属的 能带计算是很好的方法。
紧束缚近似适用于过渡金属3d电子及固体中的其他内层电子 。
近自由电子近似一般也称为弱周期场近似。 可以把弱周期势看成微扰，利用自由电子气体的结果，
采用量子力学中标准的微扰论方法来处理。
2
Fx Fy Fz
kz
kx
k z k y
kz2
上式与
a
1
F
形式类似，只是现在一个二阶张量代
m
替了
1 m
，称其为倒逆有效质量张量1/ m*
。
倒逆有效质量张量的逆张量 m*称为电子的有效质量张量
恒定电场作用下的电子 满带和非满带中电子的导电情况 导体、半导体和绝缘体的能带论解释
把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子，相应的描述晶体电子行 为的这种波称为布洛赫波。
波矢k的取值与物理意义
k l1b1 l2b2 l3b3 N1 N2 N3
l1, l2 , l3 为整数 取分立值
为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征
值 (k ) 一一对应起来，必须把波矢 k 的取值限制在第一
能隙(energy gap)： g 2 Vn
V ( x) Vneikx
n
Vn
1 a
a
2 a
V
(
x
)e
ikxdx
2
1 a
a
i 2π nx
2 a
V
(
Fra Baidu bibliotek
x
)e
a
dx
2
紧束缚近似模型：晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原
子势场 Vat (r ) 的作用，以孤立原子的电子态作为零级近似，其它原子的
定义：
作由倒格子原点出发的所有倒格矢 Kh h1b1 h2b2 h3b3 的垂
直平分面，称为布拉格面。为这些平面所完全封闭的包含倒格子 原点最小空间就是第一布里渊区。 第二布里渊区是从第一布里渊区出发只穿过一个布拉格面就可 以到达的点的集合； 第n 个布里渊区是从第n−1 个布里渊区出发只穿过一个布拉格面 就可以到达的点的集合，第n 个布里渊区也可以定义为从倒格子原 点出发，穿过n−1 个布拉格面能到达的点的集合。
第五章 晶体中电子能带理论
绝热近似 单电子近似 周期场近似
将复杂的多粒子体系问题简化为周期场中单电子的运动
布洛赫定理：
对于周期性势场，即 V r V r Rn 其中 Rn 取布拉维
格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程:
H
(r
)
2
2m
2
V
r
(r
)
(r
)
的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其 势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0 代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。
Tn Vn
Tn
1
2
Tn Vn
2
(1)
Tn Vn
Tn
1
2
Tn Vn
2(2)
当=0时： Tn Vn Tn Vn
电子的准经典运动
电子的准经典运动：固体中电子对外加电磁场的响应犹 如一具有有效质量的经典自由电子。
vn (k ) 1 kn (k )
a
1
2
k
k F
电子有效质量
电子加速度公式用矩阵表示为
2
ax
ay
az
k
2 x
1
2
2 kykx
2
2
k x k y
2
k
2 y
2
2
kxkz
2
k y k z
导带
导体 价带部分填充
空带
g
绝缘体 价带为满带
禁带宽
禁带
空带
禁带 g
半导体 价带为满带
禁带窄
作用是次要的，被看作微扰。适合于原子较内层电子的情况。
布洛赫函数—原子轨道线性组合(LCAO)
i (k )
at i
J ss
e J / ik (Rn Rs ) sn
Rn
近邻
at i
J ss
e J ik (Rn Rs ) sn
Rn
布里渊区(Brillouin Zone，BZ )
布里渊（Brillouin）区是晶格振动和能带理论中常用的物理概念。 Brillouin提出用倒易空间矢量的中垂面来划分波矢空间的区域。
(r ) eik•ru (r)
k
k
且
uk r uk
r Rn
对 Rn 取布拉维格子的所有格矢成立。 Rn n1a1 n2a2 n3a3
布洛赫定理也可以表述为：对前述定理中薛定谔方程的
每一本征解，存在一波矢 k ，使得：
(r Rn ) eik •Rn (r )
对属于布拉维格子的所有格矢 Rn 成立。 具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。